XXXIX. Beschreibung und Anwendung des Goniograph von Collardeau. Aus dem Bulletin de la Société d'Encouragement, Jan. 1850, S. 34. Mit einer Abbildung auf Tab. III. Collardeau's Goniograph. Dieses Instrument ist in Fig. 30 dargestellt. A B C D ist eine quadratische Messingplatte von einem Decimeter Seitenlänge, aus deren Mitte ein Kreis b d p′ a′ ausgedreht ist, welcher genau gleichen Abstand von den Seiten und von den Winkeln des Quadrates A B C D hat. Der Umfang dieses Kreises ist, von dem Durchmesser b p′ angefangen, welcher parallel zu den Seiten A D und B C des Quadrates liegt, in Grade getheilt. Die Gradnummern auf jedem der beiden Halbkreise b d p′, p′ a′ b laufen in der nämlichen Richtung von 0 bis 180° fort, so daß zwei Punkte der Peripherie, die gleiche Nummern haben, sich in einem und demselben Durchmesser befinden. Der Durchmesser, welcher durch die Theilpunkte 90° geht, ist also parallel zu den Seiten A B und C D des Instrumentes. Die Seiten A B und A D, welche den Winkel A des Quadrates A B C D einschließen, sind endlich noch jede in 100 Millimeter eingetheilt, die von 10 zu 10 numerirt sind, und zwar so, daß der Nullpunkt der Theilungen mit dem Punkte A zusammenfällt. Die zwei Hauptprobleme, für welche das Instrument bestimmt ist, werden auf folgende Weise gelöst. Erstes Problem. Den Winkel abzumessen, welchen zwei gerade Linien auf einem Plane einschließen. Zur Lösung dieser Aufgabe kann man auf zweierlei Weise verfahren, wovon die erste folgende ist: den Durchmesser, auf welchem sich die beiden Nullpunkte der Theilung befinden, legt man an eine der zwei gegebenen Geraden an, und wenn in dieser Lage der Kreis des Instrumentes die zweite Gerade nicht trifft, so verschiebt man dasselbe einem Lineal entlang, das man vorläufig schon an eine der Quadratseiten angelegt hatte, oder man kann nöthigenfalls das Instrument auch noch senkrecht auf die vorige Richtung verschieben, wenn man das Lineal an eine anstoßende Seite angelegt hat. Auf diese Weise wird man immer von der erstern Geraden auf die zweite übergehen können, welches Stück der letztern auch gezeichnet seyn oder welche Lage sie haben mag. Ist dieß geschehen, und schneidet die zweite Gerade a′ a einen der Halbkreise des Goniographen, z. B. den Halbkreis b a′ p′ in den Punkten a a′, so wird der abzumessende Winkel a′ a p′ als Maaß die Hälfte des Bogens p′ c′ a′ weniger den Bogen b a haben. Diese Bogen haben aber als respective Werthe n und (180° - n′) Grade, wobei die Zahlen n und n′ den Durchschnittspunkten a′ a der zweiten Geraden entsprechen. Der zu messende Winkel wird deßhalb als Maaß Textabbildung Bd. 117, S. 198 oder n + n′/2 - 90° haben. Geht die zweite Gerade b b′ durch einen der Nullpunkte der Theilung, z. B. durch b, so ist der Winkel b′b p′ = dem durch die beiden gegebenen Linien eingeschlossenen Winkel, und sein Maaß wird die Hälfte des Bogens p′ c′ b′ seyn, oder die Hälfte der Zahl n von Geraden, welche zwischen o und b′, dem Durchgangspunkte der zweiten geraden Linie, liegen, also n/2. Schneidet die zweite Gerade d d′ die beiden Umfanghälften des Goniographen, so sind die Scheitelwinkel d′ d, p′ und b d′ d gleich dem zu messenden Winkel, und da sie als Maaß die halbe Summe der Bogen p′ d′ und b d haben, welche sie einschließen und welche durch die Gradzahlen n, n′ ausgedrückt sind, die den Durchgangspunkten d′ d entsprechen, so folgt daraus, daß der gesuchte Winkel gleich ist n + n′/2 oder der halben Summe der Grade, welche zwischen 0 und den Durchschnittspunkten der zweiten geraden Linie auf dem Instrumente liegen. Falls die beiden Zahlen n, n′ die nämlichen sind, drückt jede derselben den Werth des zu messenden Winkels in Graden aus, wobei dann die zweite Gerade mit einem Durchmesser des Instrumentes zusammenfällt und durch die Mitte 0 desselben geht. Die zweite Art das Problem zu lösen, ist in dem Falle passend, wo der Goniograph auf einmal an beiden Linien angelegt werden kann, was bei jeder Größe des Instrumentes dann geschehen kann, wenn der Durchschnittspunkt der beiden Geraden nicht weit von den gezeichneten Stücken der Geraden entfernt liegt. Diese zweite Art besteht darin, daß man die beiden Nullpunkte der Theilung auf zwei Punkte der beiden Geraden bringt, welche den zu messenden Winkel einschließen. Ist der zu messende Winkel q r ein spitzer, so fällt der Scheitel q desselben außerhalb des Goniographen-Kreises, während die Schenkel p q und r g durch die Nullpunkte b und p′ gehen. Im Falle die zweiten Durchschnittspunkte p′ a′ der Schenkel mit dem getheilten Kreise des Instrumentes nicht in eine Hälfte desselben fallen, so sieht man, daß wenn man mit n und n′ die Anzahl der Grade bezeichnet, die diesen Punkten entsprechen, der Werth des gesuchten Winkels n - n′/2 Grade beträgt; dieß ist die halbe Differenz der Gradzahlen, die zwischen den nicht mit den Nullpunkten zusammenfallenden Durchschnittspunkten der geraden Linien liegen. Wäre der Goniograph so gelegt, daß die beiden Schenkel p′ v, b v des spitzen Winkels p′ v b, die durch die Nullpunkte b und p′ gehen, eine und dieselbe Hälfte des Instrumentes b d e p ′ schneiden, und zwar in den Punkten e und d, die n und n′ Graden entsprechen, so wäre das Maaß des zu messenden Winkels die Hälfte der Differenz zwischen dem Halbkreise a a′ p′ und dem Bogen d e, oder 90° - n - n′/2, das heißt ein rechter Winkel, weniger der halben Differenz der Gradzahlen, welche durch die beiden Geraden auf ein und demselben Halbkreise des Instrumentes abgeschnitten wurden. Ist der zu messende Winkel s t u ein stumpfer, so befindet sich der Scheitel t desselben innerhalb des Goniographen-Kreises, während die Schenkel s t und u t durch die Nullpunkte p′ und b gehen. Die verlängerten Schenkel schneiden dann den dem Scheitel zunächst liegendem Halbkreis in den Punkten s′ und c′, welchen Punkten die Zahlen n und n′ entsprechen. Der stumpfe Winkel s t u hat deßhalb als Maaß den Halbkreis b d p′ und die Hälfte des Bogens c′ b′ s′, der n - n′ Graden gleich ist, das heißt 90° + n - n′/2, oder einen rechten Winkel plus der halben Differenz der Gradzahlen, die bei den Durchschnittspunkten mit den geraden Linien stehen. Fiele der Scheitel des zu messenden Winkels auf den Kreisumfang selbst, während die Schenkel durch die Nullpunkte gehen, so wäre der Winkel ein rechter. Zweites Problem. Durch einen gegebenen Punkt auf einer Geraden oder außerhalb ihrer Richtung sey eine zweite Gerade unter irgend einem bestimmten Winkel zu ziehen. Die Lösung dieses Problems gründet sich auf das Vorhergehende; denn es wird, um den Zweck zu erreichen, hinreichen, den Goniographen an die gegebene Linie so anzulegen, daß die auf der gegebenen Geraden liegenden Gradnummern dem zu construirenden Winkel entsprechen. Die durch die Nullpunkte des Instrumentes gezogene Gerade wird dann die verlangte Neigung haben. Da nun die Seiten des Quadrates parallel zu dem die Nullpunkte enthaltenden Durchmesser sind, so sind sie auch parallel zu der zu ziehenden Linie, und da man mittelst der zwei auf einander senkrechten Bewegungen an einem Lineal den Goniographen überall hin verschieben kann, so ist es immer möglich, eine Seite desselben zu dem gegebenen Punkte zu bringen, und so eine gerade Linie zu ziehen, welche unter dem verlangten Winkel durch den gegebenen Punkt geht.