LXXXIII. Das Verhältniß des goldnen Schnitts in seiner Bedeutung für bildende Künstler und Techniker. Mit einer Abbildung auf Tab. V. Das Verhältniß des goldnen Schnitts in seiner Bedeutung für bildende Künstler und Techniker. Sobald der bildende Künstler oder Techniker irgend ein aus mehreren Theilen und verschiedenen Dimensionen bestehendes Werk herzustellen hat, das nicht bloß dem praktischen Bedürfniß genügen, sondern zugleich das ästhetische Gefühl befriedigen soll, ist in formeller Beziehung keine Frage so wichtig für ihn, als die, welches Größenverhältniß zwischen den einzelnen Theilen und Dimensionen bestehen müsse, um das Werk als ein harmonisch gegliedertes, planmäßig geordnetes, kurz wohlgeformtes Ganzes erscheinen zu lassen und dadurch auf das Auge wie auf den Geist des Schauenden einen wohlgefälligen Eindruck zu machen. Soll das Werk die Nachbildung irgend eines Naturerzeugnisses, z.B. eines menschlichen oder thierischen Körpers seyn, so sind die innezuhaltenden Verhältnisse und die daraus hervorgehenden Formen dem Bildner zwar im Allgemeinen vorgeschrieben, jedoch nicht so, daß er sich ohne Selbstthätigkeit einer sklavischen Nachahmung überlassen dürfte: denn die Natur producirt innerhalb einer und derselben Gattung sehr verschiedene und zwar nicht bloß mehr oder minder schöne, sondern auch entschieden häßliche Gebilde; überhaupt findet sich unter den Naturproducten keines, welches alle Vorzüge und Schönheiten der Gattung in sich vereinigte und daher als allgemein gültiges Muster derselben angesehen werden könnte; der Künstler muß sich also aus verschiedenen Einzelgebilden der Natur selbst sein Ideal construiren, und es entsteht also auch in diesem Falle für ihn die Frage, welche unter den verschiedenen von ihm beobachteten Verhältnissen und Formen er gerade diesem Mustergebilde geben soll. Noch schwieriger ist die Frage über die Wohlgefälligkeit der Verhältnisse für diejenigen Bildner, welche Werke zu schaffen haben, zu denen sich in der Natur gar keine, oder nur ganz rohe Vorbilder finden lassen, z.B. ein Gebäude, ein Hausgeräth, ein Gefäß, ein Werkzeug, ein Gewand, ein Schmuck und dergl. Allerdings sind bis zu einem gewissen Grade die Grundtypen der Formen und Verhältnisse auch hier durch die Rücksicht auf den praktischen Zweck des Gebildes vorgezeichnet; aber die hieraus resultirenden Bedingungen sind doch durchgängig nur so ganz allgemeine und unbestimmte, daß sie sich ebensowohl ohne, als mit Befriedigung des Schönheitssinnes erfüllen lassen, und der Künstler wird sich also diejenigen Regeln und Normen, die ihn in ästhetischer Hinsicht zu leiten haben, selbst schaffen müssen. Aus diesen Gründen haben die bildenden Künstler und die sich ihnen anschließenden Techniker von jeher nach einem mehr oder minder gemeingültigem Proportionalgesetz als sicherem Anhalt für das sehr bedeutenden Schwankungen und Irrthümern ausgesetzte Gefühl gesucht; und indem man hiebei von der richtigen Ansicht ausging, daß der menschliche Körper als das schönste der Naturgebilde auch die schönsten Verhältnisse haben und daher als allgemeines Vorbild auch für andere Erzeugnisse benutzt werden müsse, richtete man hauptsächlich sein Augenmerk darauf, zu erforschen, welche Verhältnisse des menschlichen Körpers unter der unendlichen Masse der in der Wirklichkeit vorkommenden gerade als die idealen und normalen anzusehen und in der Kunst anzuwenden seyen. Mit der Auffindung eines solchen Kanons haben sich von den ältesten bis auf die neuesten Zeiten die namhaftesten Vertreter der Kunst und Wissenschaft, wie Plato, Polyklet, Vitruv, Leonardo da Vinci, Michel Angelo, Albrecht Dürer, Jean Cousin, Audran, Winckelmann, Raphael Mengs, Schadow, Quetelet, Carus etc. beschäftigt; aber so Treffliches auch in verschiedenen Beziehungen hiebei geleistet worden ist, so gelang es doch nicht, ein Verhältniß zu entdecken, welches als Normalverhältniß für die ganze Gliederung des Körpers hätte angenommen werden können: denn indem man das Maaß irgend eines einzelnen Gliedes oder Abschnitts, z.B. die Kopflänge, Gesichtslänge, Handlänge, Fußlänge, Nasenlänge etc. als Maaßeinheit oder Modul annahm, fand man, daß die übrigen Glieder oder Abschnitte bald mehr, bald weniger solcher Einheiten enthielten, und welches Maaß man auch als Modul ansehen mochte: es blieben stets sehr viele und sehr wesentliche Abschnitte übrig, die zu demselben durchaus nicht in einem rationalen, einfachen und übersichtlichen Verhältnisse standen, und noch weniger ließ sich in der Anordnung und Zusammensetzung dieser verschiedenen Abschnitte irgend ein einheitlicher Plan entdecken, welcher den harmonischen Eindruck, den der Bau des menschlichen Körpers unbestreitbar auf das unmittelbare Gefühl macht, auch nur einigermaßen für den Verstand und für das wissenschaftliche Bedürfniß zu erklären im Stande gewesen wäre. Nur so viel erkannte man und darin traf man von allen Seiten zusammen, daß jene Harmonie auf einer Uebereinstimmung der Verhältnisse theils der einzelnen Theile unter sich, theils der Theile zum Ganzen beruhen müsse, einen wirklich in Zahl und Maaß auszudrückenden und dadurch praktisch brauchbaren Nachweis dieser Uebereinstimmung wußte man jedoch nicht zu geben, und diese in ihrer Allgemeinheit richtige Erkenntniß blieb also zufolge ihrer Unbestimmtheit eine für Theorie und Praxis gleich sehr unbefriedigende. Durch ästhetische Studien auf diese Lücke in der Kunstwissenschaft aufmerksam geworden, machte ich diese Frage zu einem Gegenstande sorgfältigen Beobachtens und Nachdenkens, und so ist es mir geglückt, das in Zahl und Maaß ausdrückbare Verhältniß des goldnen Schnitts als dasjenige zu entdecken, welches genau den Bedingungen der eben erwähnten Erkenntniß entspricht und nach welchem in der That die menschliche Gestalt nach allen ihren Abschnitten und Dimensionen gegliedert ist. Bekanntlich wird durch den goldnen Schnitt eine als Ganzes gegebene Größe dergestalt in zwei ungleiche Theile getheilt, daß sich der kleinere Theil oder Minor (m) zum größern Theil oder Major (M) eben so verhält, wie der größere Theil zum Ganzen (T). Es springt also in die Augen, daß in einem nach diesem Verhältniß eingetheilten Gebilde wirklich die oben geforderte Uebereinstimmung der Verhältnisse theils der Theile unter einander, theils der Theile zum Ganzen stattfindet: denn das Verhältniß zwischen dem kleinern und größern Theil ist ja in der That dasselbe wie das zwischen dem größern Theil und dem Ganzen. Fig. 1., Bd. 137, S. 323 Auf geometrischem Wege wird die Eintheilung einer Größe nach diesem Verhältniß bekanntlich dadurch gefunden, daß man an eine gegebene Linie ab die Hälfte von ab als Kathete bd ansetzt, dann die Hypotenuse da zieht und hierauf erst de = bd auf der Hypotenuse und dann ca, d. i. den Rest der Hypotenuse, als ac auf der ursprünglich gegebenen Linie ab abträgt: denn in diesem Fall ist ac der gesuchte Major, cb dagegen der gesuchte Minor der ganzen Linie ab, und es verhält sich mithin bc : ac = ac : ab. (Fig. 1.) Auf arithmetischem Wege findet man dem entsprechend das Maaß des Majors (M) aus dem des Ganzen (T) nach der Formel: M = √ (T² + T²/4) – T/2. Wird also z.B. T = 10 angenommen, so ist M = √ (10² + 10²/4) – 10/2 = √ (100 + 25) – 5 = 6,₁₈₀₃... Das Maaß des Minors (m) aber ist hienach = T – M, z.B. = 10 – 6,₁₈₀₃... = 3,₈₁₉₇... Hieraus ist zugleich ersichtlich, daß beide Theile trotz ihrer Bestimmtheit stets einen irrationalen, unendlichen Bruch des Ganzen bilden, daß sie sich mithin in Zahlen nie ganz genau ausdrücken lassen, und daß folglich bei jedem Zahlenausdruck derselben entweder der Major um ein Weniges zu klein und der Minor zu groß, oder umgekehrt der Major zu groß und der Minor zu klein ausfällt.Gebe ich z.B. von 10 den Major als 6,₁₈ und den Minor als 3,₈₂ an, so ist ersterer um etwa 3/10000 zu klein und letzterer um eben soviel zu groß. Bestimme ich dagegen den Major als 6,₁₉ und den Minor als 3,₈₁, so ist umgekehrt jener um etwa 97/10000 zu groß und dieser um eben soviel zu klein angegeben. So ist, wenn ich die Proportionaltheile von 8 als 3 + 5, und von 13 als 5 + 8 angebe, in jenem Falle der Major, und in diesem Falle der Minor ein wenig zu groß genommen. Das Verhältniß ist also insofern wirklich ein ideales, in endlichen Größen nie ganz zu erreichendes; eine wenn auch noch so geringe Abweichung nach der einen oder der andern Seite hin ist also in der realen Welt geradezu unvermeidlich und die mehr oder minder vollkommene Realisation dieses Verhältnisses kann daher stets nur in einer mehr oder minder vollkommenen Annäherung an dasselbe bestehen. Die praktische Brauchbarkeit desselben wird hiedurch natürlich nicht im Mindesten geschwächt, im Gegentheil es entspringt daraus für Natur und Kunst der Vortheil, es nach zwei verschiedenen Seiten hin und in verschiedenen Graden der Vollkommenheit ausbilden zu können, und späterhin wird sich zeigen, daß hierauf gerade die wesentlichsten Unterschiede in den Verhältnissen der Erscheinungen, z.B. die Geschlechtsunterschiede der männlichen und weiblichen Gestalt beruhen. Dieses Verhältniß (3,₈₁...: 6,₁₈... = 6,₁₈...: 10,₀₀, oder wenn das Ganze als Eins angenommen wird, 0,₃₈₁...: 0,₆₁₈... = 0,₆₁₈...: 1,₀₀₀ = 1,₀₀₀: 1,₆₁₈... etc.) ist nun in der That dasjenige, nach welchem in consequenter Durchführung die ganze menschliche Gestalt gebaut und gegliedert ist; noch wichtiger und interessanter aber wird es dadurch, daß auch noch eine große Anzahl von anderen Erscheinungen, welche durch wohlgefällige Größenverhältnisse einen ästhetischen Eindruck machen, nach demselben Verhältnisse geformt ist oder sich wenigstens mehr oder minder genau um dasselbe bewegt, so z.B. die Abstände der Planeten, die Gestalt vieler Krystalle, der Bau vieler Pflanzen und Pflanzentheile, insbesondere die von O. Braun entdeckte Blattstellung, die Gliederung der edlern Thiere, die befriedigendsten und wohlklingendsten der musikalischen Accorde u.s.w. Ueber alles dieses habe ich mich in einem besonderen WerkeNeue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze Natur und Kunst durchdringenden morphologischen Grundgesetze entwickelt und mit einer vollständigen historischen Uebersicht der bisherigen Systeme begleitet von Prof. Dr. Zeising. Mit 177 in den TextTert gedruckten Holzschnitten. Leipzig, R. Weigel. 1854. ausführlich verbreitet und die darin niedergelegte Entdeckung durch Zahlen und Zeichnungen belegt. Der vorliegende Aufsatz hat daher nur den Zweck, insbesondere den praktischen Künstler und Techniker auf diese Schrift und das darin behandelte Proportionalgesetz aufmerksam zu machen, und ich will daher hier nur diejenigen Punkte berühren, die besonders für ihn von Interesse sind. Zunächst und hauptsächlich ist natürlich das Gesetz für den Bildhauer und Maler, sowie für alle an diese sich anreihenden Techniker, z.B. für den Steinmetzen, Holzschnitzer, den Arbeiter in Metall, Porzellan, Glas, Steinpappe etc., kurz den Bildner und Zeichner jedweder Art, sofern er es mit der Bildung menschlicher Figuren zu thun hat, von Wichtigkeit, und zwar nicht bloß in theoretischer, sondern auch in rein-praktischer Beziehung, weil nach keinem andern System die Zeichnung einer correcten menschlichen Gestalt so einfach und leicht ist, als nach dem hier in Rede stehenden. Theilt man nämlich die Totalhöhe einer menschlichen Figur vom Scheitel bis zur Sohle genau auf die oben beschriebene Weise nach dem Verh. des goldnen Schnitts, so fällt der Durchschnitt, wenn dem Minor die obere Lage gegeben wird, stets mit den zwischen der untersten Rippe und dem Hüftkamm liegenden Weichen oder der Taille, und zwar am genauesten mit der Basis derselben oder der ein wenig über dem Nabel hinlaufenden Bauchfalte, welche besonders deutlich beim Bücken hervortritt, also mit der Gränze zwischen Oberkörper und Unterkörper zusammen. Der Oberkörper ist also der Minor und der Unterkörper der Major der Totalhöhe und beide bilden mit dem Ganzen, wenn dieses als Eins angenommen wird, folgende stetige, dem goldnen Schnitt entsprechende Proportion: Oberkörper : Unterkörper = Unterkörper : Totalhöhe    0,₃₈₁... :     0,₆₁₈... =     0,₆₁₈...   1,₀₀₀. Theilt man die Totalhöhe so, daß der Minor unterhalb des Major zu liegen kommt, so reicht der Major gerade bis zum Handende des senkreckt herabhängenden Arms. Auch in diesem Fall correspondirt also der goldne Schnitt mit einem wesentlichen Abschnitt des Körpers. Zu nicht minder wesentlichen Körperabtheilungen gelangt man, wenn man die zuerst angegebene Eintheilung nach demselben Princip weiter verfolgt. Theilt man nämlich den Oberkörper (vom Scheitel bis zur Taillenbasis), so bezeichnet der Durchschnitt gerade die Gränze oder schmalste Stelle zwischen der Kopf- und Rumpfpartie in der Höhe des Kehlkopfs; theilt man hingegen den Unterkörper, so wird dadurch die Gränze oder schmalste Stelle zwischen Ober- und Unterschenkel am unteren Ende des Knies oder Anfang der Wade gefunden. Unter- und Oberkörper sind also nach demselben Verhältniß gegliedert wie der ganze Körper, nur daß ihre Theile in demselben Verhältniß kleiner sind, in welchem ihre Totalität hinter der Totalhöhe zurückbleibt. Die beiden Theile des Unterkörpers bilden mithin mit dem ganzen Unterkörper in Zahlen folgende Proportion: Unterschenkelpartie : Oberschenkelpartie : ganzer Unterkörper;         0,₂₃₆... :         0,₃₈₁... :          0,₆₁₈... dagegen die beiden Theile des Oberkörpers mit dem ganzen Oberkörper folgende: Kopfpartie : Rumpfpartie : ganzer Oberkörper   0,₁₄₅... :   0,₂₃₆... :       0,₃₈₁...Hat man einmal die Zahlenwerthe der beiden Hauptabcheilungen des Ganzen gefunden, so gelangt man zu denen der Unterabtheilungen ganz einfach auf dem Wege der Subtraction des Major vom Ganzen und des Minor vom Major. Der Major des Majors ist daher = 1,₀₀₀ – 0,₆₁₈... = 0,₆₁₈..., mithin dem Minor des Ganzen gleich, der Minor des Majors (mM), sowie auch der Major des Minors (Mm) = 0,₆₁₈... – 0,₃₈₁... = 0,₂₃₆...; der Minor des Minors (mm), sowie auch der Major vom Major des Minors (MMm) und der Major vom Minor des Majors MmM) = 0,₃₈₁... – 0,₂₃₆... = 0,₁₄₅... u.s.w. Mithin sind die Zahlenwerthe für alle aus einer fortgesetzten Untereintheilung sich ergebenden Abschnitte, wenn das Ganze als 1 oder 1000 Tausendstel angenommen wird, in folgender absteigender Zahlenreihe enthalten:1000 : 618 : 381 : 236 : 145 : 90 : 55 : 34 : 21 : 13 : 8 : 5 : 3.Alle zwischen diesen Zahlen bestehenden Verhältnisse sind bis auf kleine, der Kürze halber hier unberücksichtigt gebliebene Bruchtheile einander gleich, z.B. 1000 : 618 = 618 : 381 u.s.w. Als die einfachsten Typen dieses Verhältnisses in runden Zahlen lassen sich die Verhältnisse 8 : 5 und 5 : 3 ansehen, und zwar jenes als Typus derjenigen in denen der Minor, dieses aber als Typus derjenigen in welchen der Major ein wenig zu groß ist. In noch kleineren Zahlen läßt sich das Verhältniß ohne Bruch nicht mit genügender Genauigkeit bezeichnen; doch drückt sich in den Verhältnissen 3 : 2, 2 : 1 und 1 : 1, welche in runden Zahlen durch fortgesetzte Subtraction des Minor vom Major gewonnen werden, ein Uebergang mit oscillirender Bewegung vom Verh. des goldnen Schnitts zum Verhältniß des Gleichmaaßes (1 : 1) aus. Nicht anders ist das Resultat, wenn man mit jeder dieser vier Abtheilungen abermals eine Untereintheilung vornimmt: denn je nachdem man hiebei dem Minor oder Major die obere Lage gibt, correspondirt der Durchschnitt mit folgenden wesentlichen Punkten: 1) in der Kopfpartie mit dem Orbitalrande oder der Nasenbasis; 2) in der Rumpfpartie mit der Höhe der Achselhöhlen oder der Herzgrube; 3) in der Oberschenkelpartie mit dem Schamende oder dem Handende; 4) in der Unterschenkelpartie mit dem Ende des Wadenmuskels oder der Schienbeintaille, d. i. der schmalsten Stelle zwischen Wade und Knöchel. Je nachdem die hieraus resultirenden Abtheilungen mehr oder minder gegliedert sind, läßt sich mehr oder minder oft dasselbe Eintheilungsprincip auch bei ihnen verfolgen, am evidentesten in den Abschnitten der Kopf- und Rumpfpartie, minder scharf markirt, doch immer noch unverkennbar in den Unterabtheilungen der Ober- und Unterschenkelpartie. Dieß hier ausführlich ins Einzelne zu verfolgen, erlauben die Gränzen dieses Aufsatzes nicht; ich begnüge mich daher, die Ergebnisse einer consequent fortgesetzten Subdivision der vier Hauptabschnitte der Totalhöhe hier nur in einer Uebersicht anzudeuten und die den Abtheilungen entsprechenden proportionalen Zahlenwerthe beizufügen. 1. Gliederung der Kopfpartie mit dem Totalmaaß von 145 Tausendsteln der Totalhöhe: Scheitel bis HaaranfangHaaranfang bis Augenbrauen 2134 55 Augenbrauen bis NasenbasisNasenbasis bis KinnKinn bis Kehlkopf 55 343421 90 2. Gliederung der Rumpfpartie mit dem Totalmaaß von 236 Tausendsteln: Kehlkopf bis BrustbeinanfangBrustbeinanfang bis Achselhöhlenhöhe 3455 90 Achselhöhlenhöhe bis HerzgrubeHerzgrube bis RippenendeRippenende bis Taillenbasis 90 555534 145 3. Gliederung der Oberschenkelpartie mit dem Totalmaaß von 381 Tausendsteln: Taillenbasis bis SchambergSchamberg bis Schamende 9055 145 Schamende bis HandendeHandende bis KnieanfangKnieanfang bis Wadenanfang 145 905590 236 4. Gliederung der Unterschenkelpartie mit dem Totalmaaß von 236 Tausendsteln: Wadenanfang bis zur größten Breite der WadenGrößte Breite der Waden bis Ende des Wadenmuskels 5534 90 Ende des Wadenmuskels bis SchienbeintailleSchienbeintaille bis FußanfangFußanfang bis Fußsohle 90 553455 145 Zur Veranschaulichung dieser Uebersicht dient Fig. 17 auf Tab. V, welche eine genaue Nachbildung der von Carus in seiner „Symbolik der menschlichen Gestalt“ zur Darstellung der von ihm als ideal-normal erkannten Maaßverhältnisse gegebenen Figur ist. Die Linien und Punkte innerhalb der Figur beziehen sich auf das Carus'sche System; das links von der Figur befindliche Schema nebst den davon auslaufenden Linien stellt die consequent fortgesetzte Eintheilung der Totalhöhe dieser Figur nach dem Verhältniß des goldnen Schnitts dar. Ganz nach dem nämlichen Verhältniß gliedern sich nun auch die Arme, Hände, Füße, Augen etc., wofür hier die Andeutung genügen möge, daß der ganze Arm mit Hand als Ganzes 3mal 145... = 437... der Unterarm mit Hand als Major des Ganzen 3mal   90... = 270... der Oberarm als Minor des Ganzen 3mal   55... = 167... die Hand als Minor des Majors 3mal   34... = 103... die Vorderhand als Major der Handlänge 3mal   21...  =  63... Tausendstel der ganzen Körperlänge enthält. Und so entsprechen auch die Breitedimensionen wohlgebildeter mittlerer Constitutionen in den wesentlichsten Höhepunkten der einzelnen Partien und Gliedmassen denselben Verhältnißzahlen. So ist z.B. die größte Breite des Kopfes = 2mal 55; die Breite des Halses = 2mal 34; die größte Breite des Rumpfes ohne Arme = 2mal 90; die größte Breite des Rumpfes mit Armen = 2mal 145; die Breite der Hüften = 2mal 90; die mittlere Breite des einzelnen Schenkels = 90; die Breite des Knies = 55; die größte Breite der Wade = 145/2 geringste Breite des Schienbeins = 34, und die horizontale Ausdehnung des Fußes in der Länge = 145, dagegen in der Breite = 55. Das Nähere hierüber findet sich in meiner Proportionslehre S. 220–263. Fig. 2.; Bd. 137, S. 329 Alle für den Bildner und Zeichner richtigen Abschnitte des menschlichen Körpers lassen sich mithin in ihrem Maaß mit größter Leichtigkeit nach den wenigen und leicht zu behaltenden Zahlen der aus der fortgesetzten proportionalen Eintheilung der Zahl 1000 hervorgehenden Reihe: 1000, 618, 385, 236 u.s.w. bestimmen; und eben so leicht ist natürlich auch die Bestimmung der Maaße auf rein-geometrischem Wege, besonders wenn man sich ein für allemal einen General-Proportionsmesser nach Andeutung der beistehenden Figur entwirft und die in meiner Proportionslehre (S. 451–456) dazu gegebene Gebrauchsanweisung dabei berücksichtigt. (Fig. 2.) Will z.B. ein Zeichner eine menschliche Figur gerade von der Höhe dieses Maaßstabes, also = αx entwerfen, so hat er im Major desselben βx das Maaß für den Unterkörper, und mithin im Minor αβ = γx (381) das Maaß für den Oberkörper und zugleich für die Oberschenkelpartie, sowie für die Abschnitte vom Kehlkopf bis zum Schamende und vom Handende bis zur Sohle: denn alle diese Abschnitte haben das Maaß von 381. – Im Minor des Majors βγ = δx (236) besitzt er das Maaß für die Rumpf- und Unterschenkelpartie, sowie für die Abschnitte vom Scheitel bis zu den Achselhöhlen, von der Taillenbasis bis zum Handende, vom Schamende bis zum Wadenanfang u.a. – Im nächst kleineren Theil γδ = εx (145) hat er das Maaß für die Kopfpartie, für die Abschnitte vom Kehlkopf bis zur Herzgrube, von den Achselhöhlen bis zur Taillenbasis, von dieser bis zum Schamende, vom Handende bis zum Knieende etc., sowie auch für die mittlere Fußlänge, für die halbe Breite des Rumpfes nebst Armen (in der Höhe der Achselhöhlen), für die Breite beider Waden etc.; und so liefern ihm auch die folgenden Abschnitte δε = ζx (90), εζ = ηx (55), ζη = ϑx (34), ηϑ = ιx (21) und ϑι (13) die Maaße für alle ihm wichtigen Abtheilungen, wie sie auf S. 264 und 265 meiner Proportionslehre tabellarisch zusammengestellt sind. Soll die Figur kürzer als die ganze Länge des Maaßstabes, z.B. nur Fx seyn, so muß natürlich für βx der Abschnitt fx, für αβ oder γx der unter γ beginnende Abschnitt fx, für βγ oder δx der unter δ beginnende Abschnitt fx u.s.w. substituirt werden, weil sich diese nach der Construction des Maaßstabes zu Fx eben so verhalten, wie βx, γx, δx etc. zu αx. Soll hingegen die Figur länger seyn als der Maaßstab αx, so muß man sich denselben nach Bedürfniß verlängern, nämlich oben an ihn ein auf gleiche Weise eingetheiltes Stück in der Länge von βx, welches α'x heißen möge, dann wieder ein Stück = αx mit der Bezeichnung α''x, hierauf wieder ein Stück = α'x mit der Benennung α''x u.s.w. ansetzen, bis er eine Länge besitzt, wie man sie gebraucht. Uebrigens verfährt man dann ganz in der bisher beschriebenen Weise. Natürlich entspricht eine auf solche Weise construirte Figur nur dem Bedürfniß der Correctheit und entbehrt als solche noch jedes charakteristischen und lebendigen Ausdrucks; wer aber weiß, daß die Correctheit stets die Basis auch der freieren Gestaltung seyn und bleiben muß, wird darum die Wichtigkeit eines so leicht zur Correctheit führenden Verfahrens nicht verkennen, und zwar um so weniger, als dieses Verfahren, weil es dem Auge und der Hand nur die genaue Erfassung eines einzigen Verhältnisses zumuthet, weit mehr als alle bisherigen Methoden dazu geeignet ist, jene Sicherheit und Virtuosität zu erzeugen, welche eines leitenden Kanons nicht mehr bedarf. Noch mehr aber empfiehlt sich der hier erörterte Kanon dadurch, daß sich aus ihm zugleich die allgemeinsten Normen für die Darstellung der wichtigsten Modificationen der Menschengestalt, namentlich der Geschlechts-, Racen- und Altersunterschiede ergeben. Wie oben bereits angedeutet ist, läßt sich unser Verhältniß in endlichen Zahlen und Maaßen nie vollkommen genau realisiren, sondern der reale Ausdruck weicht immer um einen wenn auch noch so geringfügigen Bruchtheil von demselben ab, und zwar entweder zu Gunsten des Minors, wodurch sich das Verhältniß dem Verhältniß der Gleichheit (1 : 1) nähert, oder zu Gunsten des Majors, wodurch es dem Verhältniß einer noch größeren Verschiedenheit, namentlich dem Verhältniß der Duplicität (1 : 2) näher kommt. Vergleicht man nun die Verhältnisse der obigen Zahlenreihe mit einander, so findet man daß die Verhältnisse 5 : 8, 13 : 21, 34 : 55, 90 : 145 u.s.w. den Minor, dagegen die dazwischenliegenden Verhältnisse 3 : 5, 8 : 13, 21 : 34, 55 : 90, 145 : 236 etc. den Major bevorzugen, daß also in dieser Reihe abwechselnd ein Schwanken nach der einen oder der andern Seite hin stattfindet. Auf diesem unmittelbar aus der Idealität oder Unendlichkeit des Verhältnisses sich ergebenden Unterschiede beruht nun merkwürdiger Weise auch die Hauptdifferenz des menschlichen Körperbaues, nämlich die zwischen dem männlichen und weiblichen Typus. Der männliche Typus folgt nämlich mit entschiedener Vorliebe den den Minor bevorzugenden Verhältnissen, unter denen sich das Verhältniß 5 : 8 als das einfachste und Grundverhältniß darstellt; der weibliche Typus hingegen ist häufiger nach den den Major bevorzugenden Verhältnissen gebildet, unter welchen das Verhältniß 3 : 5 als das einfachste und zumeist ausgeprägte anzusehen ist. Beim männlichen Körper nämlich liegt die Taille in der Regel etwas tiefer als der goldne Schnitt, beim weiblichen hingegen ein wenig höher; in jenem ist also der Minor, in diesem der Major ein wenig bevorzugt, was sich außerdem auch darin ausdrückt, daß bei den Männern Kopf und Brust als Theile des Oberkörpers, bei den Frauen dagegen Hüften und Waden als Theile des Unterkörpers völliger gebaut sind, wie sich denn überhaupt nach Seite 298 fgg. meiner Proportionslehre alle formellen Geschlechtsunterschiede als einfache Konsequenzen dieses Grundunterschiedes darstellen. Auf ähnlichen Schwankungen beruhen nun auch die Racen- und Altersunterschiede, nur daß hier die Abweichungen von der idealen Mitte des Verhältnisses nach beiden Seiten hin noch stärker sind, dergestalt daß sie sich in den minder entwickelten Formen um das Verhältniß der Gleichheit (1 : 1) dagegen in den übermäßig entwickelten Formen, wie sie in Uebergangsperioden vorzuherrschen Pflegen, um das Verhältniß der Duplicität (1 : 2) bewegen, über diese Extreme aber nur sehr selten hinausgehen. Auch die Darstellung des Eigenthümlichen und Charakteristischen in der Menschengestalt findet also in dem hier besprochenen Proportionalgesetz einen sicheren Anhalt, worüber man außer meiner Proportionslehre (S. 309 fgg.) auch meine „Aesthetischen Forschungen“ (§ 186, 196 fgg.) vergleichen möge. Nächst dem Bildner und Zeichner menschlicher Figuren ist nun dieses Gesetz selbstverständlich auch für alle diejenigen von wesentlicher Bedeutung, die es mit der Bekleidung, Costümirung und Ausschmückung des menschlichen Körpers zu thun haben, also für den Schneider, Modisten, Schnürleibfabrikanten, Waffenschmied u.s.w.: denn es liegt auf der Hand, daß nur die Ausstattung wirklich als schön gelten kann, die mit den normalen und charakteristischen Verhältnissen des Körpers selbst im Einklang ist. Dieß ist vom Gefühl auch stets empfunden, und daher ist man von jeher bestrebt gewesen, in und an der Bekleidung die drei Hauptcäsuren des Körpers gehörig hervorzuheben, nämlich die Taille durch den Gürtel, den Hals durch das Halsband und den Wadenanfang als Gränze zwischen Ober- und Unterschenkel durch den Kniegürtel oder durch das Ende des Rockes. Nicht selten gerathen aber Geschmack und Mode bei Bestimmung dieser und anderer für die Gliederung der Gestalt wichtigen Punkte auch auf Irrwege, und ein leitender Kanon ist daher hier nichts weniger als überflüssig. Nähere Andeutungen hierüber habe ich bereits im Morgenblatt (1854, Nr. 17 und 18) gegeben, und will ich daher hier der Kürze halber darauf verweisen. Von nicht geringerer Wichtigkeit ist nun aber ein zuverlässiges Proportionalgesetz auch für eine große Anzahl anderer Künstler und Techniker, die es nicht unmittelbar mit dem menschlichen Körper zu thun haben, namentlich für den Architekten, sodann aber auch für Tischler, Gold und Silberarbeiter, Glas- und Porzellanfabrikanten, Formschneider, kurz für Alle, die es mit der Anfertigung von Gefäßen, Tafelaufsätzen, Lampen, Leuchtern, Kandelabern, Uhren, Teppichen, Tapeten, Stickmustern und sonstigen Gebrauchs- und Luxusartikeln zu thun haben; ja man kann sagen, es thut hier in noch höherem Grade noth, einerseits weil hier die natürlichen Vorbilder fehlen und mithin der subjectiven Willkür mehr Thür und Thor geöffnet ist, andererseits weil viele der Arbeiter, die solche Artikel zu fertigen haben, nicht in gleichem Maaße wie der Maler, Bildhauer und der eigentliche Architekt eine durchgreifende Geschmacksbildung erhalten haben. Wie sehr nun das Verhältniß des goldnen Schnitts auch in dieser Hinsicht sich als dasjenige empfiehlt, um welches herum man sich bei Bestimmung der Formen zu bewegen hat, und von welchem man, wenn man nicht das ästhetische Gefühl verletzen will, nicht allzuweit abweichen darf, geht deutlich daraus hervor, daß man in einer großen Anzahl von architektonischen und verwandten Kunstwerken und zwar gerade solchen, die unbestritten als die schönsten anerkannt sind, unbewußt und unwillkürlich, also rein in Folge des natürlichen Schönheitsgefühls, davon Anwendung gemacht hat. In Betreff der Architektur habe ich hierüber in meiner Proportionslehre (S. 390–410) eine Reihe überzeugender Belege gegeben, von denen ich hier nur auf einige hindeuten will. So verhält sich z.B. am Parthenon zu Athen die Höhe desselben (von der Grundlinie der Basis bis zur Spitze des Giebels) zur Länge des Architravs genau wie der Minor zum Major: denn nach den arithmetischen Maaßangaben besteht die Höhe dieses vollendetsten aller antiken Bauwerke aus 65, dagegen die Breite, d. i. die Länge der Giebelfront, aus 107, mithin die Summe beider Dimensionen aus 172 Fuß. Theilt man aber diese Zahl nach dem goldnen Schnitt, so kommen auf den Major 106–107, auf den Minor 66–65 Fuß; beide Theile entsprechen also bis auf einen für die Wahrnehmung völlig verschwindenden Bruchtheil den oben angegebenen Maaßen. In gleich überraschender Weise stimmt die Eintheilung der Höhe mit unserem Gesetz überein. Theilt man diese nämlich nach dem goldnen Schnitt, so reicht der längere Untertheil gerade bis zur Grundlinie des Gebälks und der kürzere Obertheil von da bis zur Spitze des Giebels; der Major correspondirt also mit der Höhe der Säulen nebst den Stufen, der Minor hingegen mit der Höhe des Gebälks nebst der Höhe des Giebels. Unterwirft man den Obertheil wieder derselben Theilung, so fällt die Durchschnittslinie gerade mit der Grundlinie des Giebels, also der Gränze zwischen Giebel und Gebälk, zusammen; nimmt man aber auch mit dem Gebälk die Theilung vor, so entspricht die Höhe des Architravs dem Minor und die Höhe des Frieses und der Corniche zusammengenommen dem Major; im letztem Abschnitt aber stehen der Fries als Major und die Corniche als Minor zu einander wiederum in dem nämlichen Verhältnisse. Interessant ferner ist, daß sich auch die Höhe des nackten Säulenschafts zur summirten Höhe der Basis einerseits und des Capitäls sammt dem Gebälk andererseits wie der Major zum Minor verhält, und daß alsdann zwischen der Höhe der Basis und der Höhe des Capitäls sammt Gebälk, also zwischen dem unterhalb und dem oberhalb des Schaftes liegenden Bau (mit Ausschluß des Giebels) abermals dasselbe Verhältniß besteht. In nur wenig abweichender Weise finden sich dieselben Proportionen auch an andern antiken Bauwerken von hervorragender Schönheit wieder z.B. an den Propyläen der Akropolis, am Erechtheum, am Theseustempel, am Jupitertempel zu Agrigent, am Apollotempel zu Bassä, am Tempel des capitolinischen Jupiter zu Rom, am Denkmal des Lysikrates, sowie an vielen Triumphbogen, Mausoleen, Wasserleitungen etc.; von besonderem Interesse aber ist es, daß sich die verschiedenen Verhältnisse der Säulenordnung, durch die sich u.a. der dorische und ionische Styl von einander unterscheiden, zur reinen Mitte unseres Verhältnisses gerade eben so verhalten, wie die oben erwähnten Modificationen, auf denen die Unterschiede des männlichen und weiblichen Typus beruhen: denn in der Bestimmung des Verhältnisses der Säulendicke zum Säulenabstand zeigt der dorische Styl, wie der männliche Typus eine entschiedene Vorliebe zur Bevorzugung des Minors, also eine Hinneigung zum Verhältniß 1 : 1, ungefähr bis zum Verhältniß 2 : 3; der ionische Styl hingegen, wie der weibliche Körperbau, zeigt eine Inclination zur Bevorzugung des Majors, also zum Verhältniß 1 : 2, ja 1 : 3, ein Umstand, aus dem sich mit Evidenz der männliche Charakter des dorischen und der weibliche Charakter des ionischen Styls erklärt, und welcher dadurch eine noch allgemeinere Wichtigkeit erhält, daß auf derselben Differenz auch der Unterschied zwischen Dur- und Moll-Schlußaccord in zweistimmigen Musikstücken beruht: denn der zweistimmige Dur-Schlußaccord, d. i. die kleine Sexte (z.B. e + ) beruht auf dem Schwingungsverhältniß 5 : 8, in welchem der Minor bevorzugt ist, und der zweistimmige Moll-Schlußaccord, d. i. die große Sexte (z.B. es + ) beruht auf dem Schwingungsverhältniß 3 : 5, in welchem der Major ein wenig zu groß ist. Wie an antiken Bauwerken findet sich nun das Verhältniß des goldnen Schnitts oft mit überraschender Consequenz auch an Werken der gothischen Baukunst beobachtet, namentlich was die Eintheilung der Höhe betrifft. In meiner Schrift habe ich dieß insbesondere am Kölner Dom, am Freiburger Münster und an der Elisabethkirche zu Marburg nachgewiesen und durch Zeichnungen veranschaulicht; außerdem aber können noch eine große Anzahl anderer berühmter Gebäude, z.B. Notre Dame zu Paris, die Kathedralen zu Amiens, Lincoln, York, Canterbury, Salisbury, Liechfield, Palermo, Siena etc., sowie viele deutsche Kirchen und Dome gleich überzeugende Belege dafür liefern. Auch für anderweitige öffentliche und Privatgebäude empfiehlt sich die Anwendung des Verhältnisses, z.B. zur Bestimmung bei Maaßverhältnissen zwischen der Höhe des Souterrains und des Erdgeschosses, der Hauptetage und der darüberliegenden, des obersten Geschosses und des Dachgesimses, der Fensterbrüstung und des Fensters etc., sowie auch zwischen der Breite des Hauptflügels und der Seitenflügel, der Fenster und der Fensterwände, der Thürflügel und der Thürbekleidung u.s.w. Nicht minder anwendbar als für die Construction und Gliederung ganzer Gebäude ist das Gesetz auch für die Gestaltung einzelner Bestandtheile derselben, z.B. der Thüren, FensterBei Eintheilung der Fensterhöhe durch den Querbalken des Fensterkreuzes hat man bisher zwischen den Verhältnissen 1 : 1 und 1 : 2 geschwankt, indem man entweder jeder der beiden Abtheilungen 2, oder der untern 2, dagegen der obern nur 1 Scheibe gab. Ein unschönes Hinausgehen über das letztere Verhältniß findet dann statt, wenn sich die Zahl der Scheiben in beiden Abtheilungen wie 1 : 3 verhält; dagegen eine Vermittlung jener beiden zuerst genannten Verhältnisse wird erstrebt, wenn man, wie im Schinkel'schen Fenster, der oberen Abtheilung 2, und der unteren 3 Scheiben gibt, oder wenn man, was neuerdings beliebt ist zwar jede Abtheilung nur aus einer Scheibe bestehen läßt, aber der unteren 3/5 und der oberen 2/5 der ganzen Fensterhöhe gibt. Hierin ist schon eine entschiedene Annäherung an das Verhältniß des goldnen Schnitts enthalten; noch wohlgefälliger aber und zugleich praktischer wird es seyn, die Höhe der oberen Abtheilung zur Höhe der unteren Abtheilung sich wie 3 : 5 oder wie 5 : 8 verhalten zu lassen, weil man auf diese Weise für den unteren Flügel noch an Höhe gewinnt, ohne die Höhe der oberen Flügel, wie bei dem Verhältniß 1 : 2 der Fall ist, bloß auf die Hälfte von der Höhe der untern Flügel zu reduciren., Treppen, Gesimse, Consolen, Arabesken und sonstigen Ornamente. Die ästhetische Bedeutung derselben folgt schon daraus, daß die den Formen dieser Gegenstände zum Grunde liegenden geometrischen Figuren, z.B. Dreiecke, Oblongen, Rhomben, Achtecke, Ellipsen, Ovale, Kreuze, Sterne u.s.w., gerade dann eine dem Auge wohlthuende Gestalt haben, wenn sie auf die eine oder die andere Weise nach dem Verhältniß des goldnen Schnitts gebildet sind, z.B. wenn sich Länge und Breite, Grundlinie und Höhe, längere und kürzere Seite, längerer und kürzerer Radius oder sonstige im Maaß verschiedene Dimensionen einer Figur gerade wie Major und Minor oder wie ein Product derselben zu einander verhalten. So ist z.B. eine Ellipse, in welcher sich die kürzere Achse zur längeren entweder wie der Major zum Ganzen, also ungefähr wie 5 : 8, oder wie der doppelte Minor zum Ganzen, also etwa wie 6 : 8, verhält, eine sehr wohlgefällige; und ein dem Schönheitssinn entsprechendes Oval – nämlich das der Kopfform zum Grunde liegende – läßt sich vielleicht auf keine andere Weise so leicht und sicher als mit Hülfe des goldnen Schnitts construiren, indem es ganz einfach durch die Verbindung zweier in zwei Punkten sich schneidenden Kreise herzustellen ist, von denen der größere einen Halbmesser vom Maaße des Majors, der kleinere dagegen, dessen Centrum in der Peripherie des größern liegen muß, einen Halbmesser vom Maaße des Minors hat. Selbst die Wellenlinie, deren ästhetische Wichtigkeit stets erkannt, in ihren Maaßverhältnissen aber ohne nähere Bestimmung geblieben ist, läßt sich, wie ich in meinen „Aesthetischen Forschungen“ (§ 179) gezeigt habe, in den zumeist befriedigenden Formen bequem nach unserem Verhältniß construiren.Die auf diese Weise entstehenden Wellenlinien sind dieselben, auf denen die Conturen der menschlichen Gestalt beruhen; auch die besonders wohlgefälligen Schwingungen der Gebirgskämme pflegen ihnen zu entsprechen. Und so stehen auch gewisse eigenthümliche Verhältnisse der Spirallinie, aus denen die Gebrüder Bravais die Gesetze der Blattstellung abgeleitet haben, mit unserem Gesetze und einer ihm entsprechenden Kreiseintheilung, wie meine Proportionslehre (S. 372) nachweist, in nothwendigem und engstem Zusammenhange. Hieraus ergibt sich zugleich seine Bedeutung für die Formation von Vasen, Bechern, Urnen, Schalen, Leuchtern und ähnlichen Gegenständen: denn sofern diese nicht Nachbildungen organischer Gebilde sind, stellen sie sich stets, als mehr oder minder zusammengesetzte Combinationen geometrischer Formen dar. Von besonderer Wichtigkeit ist hier das Gesetz, wie die Proportionalität überhaupt, für die Eintheilung der Höhe z.B. bei einem Becher die Bestimmung der Gränze zwischen dem tragenden und dem getragenen Theil, und an jedem dieser beiden Haupttheile die Maaßbestimmungen für die Absätze, Schichten, Einziehungen und Ausbauschungen, für die zur Inschrift oder zu bildlichen Darstellungen bestimmte Abtheilung, für die Randverzierungen u.s.w. In sehr vielen Fällen läßt sich aber auch das Verh. der Breite zur Länge, resp. Höhe entweder für das Ganze oder für einzelne Theile desselben, so wie die Gliederung der horizontalen Ausdehnung, namentlich die Untereintheilung der beiden zu einander gewöhnlich gegenständlich-symmetrisch sich verhaltenden seitlichen Hälften, die Articulation des Umrisses, die concentrische Schichtung des vom Umriß umschlossenen Raumes etc. auf eine geschmack-befriedigende Weise nach demselben Verhältniß bestimmen z.B. das Format von Postamenten, Schränken, Commoden, Tischplatten, Kästchen, Spiegeln, Bilderrahmen, Büchern, Füllungen, Abfachungen etc., das Maaß des concreten Mittelstücks im Verhältniß zum Maaß der dasselbe umspielenden Lineamente und Schnörkel bei Rosetten, Arabesken, Agraffen etc.; der Maaßunterschied breiterer und schmälerer Abtheilungen (z.B. der Triglyphen und Metopen) bei Friesverzierungen, Brüstungen, Geländern, Einfassungen, Bordüren, Tapisserien, Draperien u.s.w. Vielleicht taucht in Manchem hiebei die Befürchtung auf, es müsse eine allgemeinere und mit Bewußtseyn ausgeführte Anwendung des hier in Rede stehenden Verhältnisses nothwendig zu einer gewissen Monotonie und Gleichartigkeit der Formen und zu einer Beschränkung der freischaffenden Phantasie führen. Diese Besorgniß ist aber eine durchaus unbegründete: denn das Verhältniß ist einer so unendlich mannichfaltigen und verschiedenartigen Ausbildung im Einzelnen fähig, und es läßt der schöpferischen Kraft innerhalb seiner Gränzen noch einen so unbegränzten Spielraum, daß in keiner Hinsicht eine beengende Wirkung von ihm zu befürchten ist. Dieß ergibt schon daraus, daß eine große Anzahl natürlicher und künstlerischer Gebilde, wie die Menschengestalt, die Figur der schöneren Thiele, der Bau der Pflanzen, die Form vieler Krystalle, die Anordnung der Planeten, die Construction antiker, mittelalterlicher und moderner Bauwerke, die harmonische Verbindung von Tönen, und so noch viele andere Formationen wirklich auf diesem Verhältniß beruhen, ohne daß dadurch ihre Verschiedenheit und Mannichfaltigkeit irgend einen Abbruch erlitten hätte, ja ohne daß das zum Grunde liegende Gesetz dem beobachtenden Sinne und forschenden Geiste auch nur mit Klarheit zum Bewußtseyn gekommen wäre. Es erklärt sich aber diese unendliche Variabilität und die damit verbundene Schwererkennbarkeit des Verhältnisses noch deutlicher daraus, daß es sich bald bei dieser, bald bei jener Dimension, bald an den inneren Achsen einer Figur, bald an ihren äußeren Umrissen, bald bei der Eintheilung der Linien, bald bei der Eintheilung der Winkel, bald in einfacherer, bald in complicirterer Weise anwenden läßt, und daß es in seiner ursprünglichen Reinheit rein idealer, irrationaler Natur ist und daher bei der Realisation nothwendig gewisse Modificationen erleiden muß, deren Zahl, weil sie auf der unbegränzten Feinheit von Gradunterschieden beruht, nach zwei verschiedenen Seiten hin eine schlechthin unendliche ist. Schon die Eintheilung einer einzigen, einfachen Linie nach diesem Verhältniß kann, je nachdem die Eintheilung einmal, zweimal, dreimal oder öfter angewandt wird, und je nachdem der Minor bald oberhalb, bald unterhalb des Majors, oder auch in die Mitte seiner Unterabtheilungen gelegt wird, eine unberechenbar verschiedene seyn. Nimmt man z.B. als Totalmaaß der Linie 1000 Tausendstel an, so sind u.a. folgende mehr oder minder complicirte Eintheilungen und Anordnungen von oben nach unten, oder von rechts nach links, oder von innen nach außen möglich: bei einmaliger Theilung: 381 + 618, und umgekehrt 618 + 381; bei zweimaliger Theilung: 381 + 236 + 381, oder 381 + 381 + 236, oder 236 + 381 + 381, oder 618 + 236 + 145, oder 145 + 236 + 618 etc.; bei dreimaliger Theilung: 145 + 236 + 381 + 236, oder 381 + 236 + 145 + 236, oder 236 + 381 + 145 + 236 etc.; bei viermaliger Theilung: 145 + 236 + 236 + 236 + 145, oder 236 + 145 + 236 + 145 + 236, oder 145 + 236 + 236 + 145 + 236 u.s.w. in infinitum. – Will man nicht vom Ganzen zu den Theilen, sondern von den Theilen zu dem Ganzen gelangen, so lassen sich die Theile auch in aufsteigender, absteigender oder wechselnder Progression an einander reihen, z.B. 3 + 5 + 8 + 13, oder 13 + 8 + 5 + 3, oder 3 + 5 + 8 + 5 + 3, oder 8 + 5 + 3 + 5 + 8 etc. Jede dieser möglichen Eintheilungen läßt sich natürlich mit jeder andern theils an derselben Achse, theils an einer andern Achse, oder auch an den Seiten, an den Winkeln etc. in Verbindung setzen, und so sind noch zahllose andere Combinationen möglich, so daß der berechnende Verstand nicht einmal im Stande ist, sie unter allgemeine Rubriken zu bringen. Uebrigens versteht sich von selbst, daß, wenn hier das Verh. des goldenen Schnitts als das vollkommenste bezeichnet und dem Techniker zur Benutzung empfohlen ist, damit nicht gemeint seyn kann, daß es überall und in allen Beziehungen angewandt werden müsse. Neben ihm besteht z.B. das für den Bildner nicht minder wichtige Gesetz des Gleichmaaßes oder der Symmetrie unangetastet fort, und zwar läßt sich das Verhältniß beider zu einander so bestimmen, daß das Verh. des Gleichmaaßes das ursprünglichste und einfachste, das des goldenen Schnitts hingegen das vollendetste und in sich abgeschlossenste ist. Jenes bildet daher die Basis, dieses die Culmination der formellen Entwickelung, jenes prävalirt, wie das Gleichgewicht, in der horizontalen, dieses, wie die Combination eines größeren und geringeren Gewichts, in der verticalen Richtung. Jenes befriedigt, weil in seiner Gesetzmäßigkeit sofort erkennbar, auf der Stelle, wird aber auf die Dauer monoton und langweilig; dieses besitzt, weil es seine Gesetzmäßigkeit verhüllt, etwas Mystisches und Räthselhaftes, wirkt aber gerade dadurch in höherem Grade anregend und geistbeschäftigend. Außer diesen beiden Hauptverhältnissen gibt es ferner noch eine unendliche Masse anderer Verhältnisse, theils solche, die zwischen beiden in der Mitte liegen, wie die Verhältnisse 2 : 3, 3 : 4, 4 : 5, 5 : 6 u.s.w., denn in allen diesen sind die beiden mit einander verbundenen Theile weder einander vollkommen gleich wie in dem Verhältniß der Symmetrie (1 : 1), noch in dem Grade von einander verschieden, wie im Verhältniß des goldenen Schnitts (1 : 1,61...); theils solche, welche über das Verh. des goldenen Schnitts hinausgehen, wie 1 : 2, 1 : 3, 1 : 4, 2 : 5, 3 : 7 etc. Auch unter diesen Verhältnissen sind viele von ästhetischer Bedeutung, besonders die zuerst genannten und diejenigen der letztern, welche sich als bloße Producte oder Potenzen der beiden Hauptverhältnisse auffassen lassen, wie z.B. 1 : 2, 1 : 3 als Verdoppelung und Verdreifachung des Verhältnisses 1 : 1; und 3 : 10, 5 : 16 als Verdoppelungen der Verhältnisse 3 : 5, 5 : 8 etc. Im Allgemeinen qualificiren sich aber dieselben nicht zur Formbestimmung des Ganzen weder in seiner ursprünglichen, noch in seiner vollendeten Gestalt, sondern nur zur Gestaltung der untergeordneten Theile und der vom Anfang zum Schluß überleitenden Momente, so daß sie sich als Theil- oder Uebergangsverhältnisse bezeichnen lassen. Als solche sind sie eben so wichtig und nothwendig als jene, selbst wenn sie, absolut betrachtet, als Mißverhältnisse erscheinen sollten. So wirken z.B. in der Musik die Secunden und Septimen mit den Verhältnissen 8 : 9 und 5 : 9, für sich allein genommen, als Dissonanzen; ja auch die Verhältnisse der Quinte (2 : 3), Quarte (3 : 4) und der beiden Terzen (4 : 5 und 5 : 6) gewähren nicht eine so selbstständige Befriedigung, daß sich das Ohr zum Schluß bei ihnen zu beruhigen vermöchte. Aber inmitten einer fortschreitenden Reihe von Accorden sind sie von ganz außerordentlichem Effect: denn sie lassen gleichsam die einzelnen Töne als mit einander im Conflict erscheinen, und erzeugen dadurch diejenige Spannung und Aufregung, welche vorangehen muß, wenn das Beruhigende und absolut Befriedigende der reinen Harmonie in seiner vollen Schönheit erscheinen soll. Ebenso ist es nun auch bei den optischen Erscheinungen. Ein Verhältniß der Breite zur Höhe, wie es z.B. die Figur einer einzelnen Säule darstellt, muß, absolut betrachtet, schon als ein Mißverhältniß angesehen werden; aber als integrirender Theil einer Säulenhalle, deren Gesammtform auf einem harmonischen Verhältniß wie 3 : 5 oder 5 : 8 beruht, trägt es wesentlich zur Steigerung und Belebung des Effects bei, indem es den anschauenden Sinn und Geist zunächst aus seiner Ruhe aufregt, dann aber ihm Gelegenheit gibt, die einzelnen Theile zu einer harmonischen Totalität zusammen zu fassen. Durch die hier ausdrücklich hervorgehobene ästhetische Bedeutung, welche das Verh. der Symmetrie einerseits und die zuletzt erörterten Verhältnisse andererseits besitzen, wird jedoch die Suprematie des auf dem goldenen Schnitt beruhenden Verhältnisses nicht aufgehoben, sondern sie läßt sich gerade aus einer Vergleichung beider mit ihm um so deutlicher erkennen: denn es leuchtet ein, daß dasselbe die Vorzüge beider in sich vereinigt, indem es einerseits das Beruhigende vom Verhältniß der Gleichheit und andererseits das Anregende und Belebende von den übrigen Verhältnissen besitzt. Indem es nämlich die Ungleichheit und Gebrochenheit der einzelnen Theile durch eine Gleichheit und Continuität der Verhältnisse zwischen dem Ganzen und seinen Theilen zur Ausgleichung bringt, läßt es uns inmitten der Ruhe noch die Bewegung und inmitten des Conflicts schon den Frieden empfinden. Daher bestimmt sich denn auch der ästhetische Rang der übrigen Verhältnisse nach der nähern oder fernern Beziehung, die sie zum Verh. des goldenen Schnitts haben, und dieses ist dasjenige Verhältniß, um welches herum sich alle übrigen Verhältnisse wie um ihre ideale Mitte bewegen. So liegen z.B. unter den musikalischen Verhältnissen die der Secunden, Terzen, Quarten und Quinten (8 : 9, 5 : 6, 4 : 5, 3 : 4, 2 : 3) diesseit desselben, d.h. sie nähern sich ihm mehr und mehr von dem Verhältniß des Gleichmaaßes oder der Prime (1 : 1) aus; dagegen die Verhältnisse der verschiedenen Septimen (64 : 125, 8 : 15, 5 : 9, 9 : 16, 125 : 216, 75 : 128) liegen jenseit desselben, d.h. sie nähern sich ihm vom Verhältniß der Duplicität oder der Octave (1 : 2) oder von Verhältnissen einer noch größeren Differenz aus. In ganz ähnlicher Weise zeigt sich dieses Verhältniß auch als das mittlere bei optischen Erscheinungen, z.B. in der Anordnung des Planetensystemes. Die mittleren Abstände der Planeten von der Sonne sind in runden Zahlen bekanntlich folgende: Mercur   8 Mill. Mars   32 Mill. Saturn 196 Mill. Venus 15   „ Asteroiden   55   „ Uranus 395   „ Erde 21   „ Jupiter 108   „ Neptun 626   „ Die Entfernungen des Mercur von der Sonne, der Venus vom Mercur, der Erde von der Venus etc. drücken sich also in folgenden runden Zahlen aus: 8, 7, 6, 11, 23, 53, 88, 199, 231. Die erste Distanz verhält sich also zur zweiten wie 8 : 7, die zweite zur dritten wie 7 : 6, die dritte zur vierten wie 6 : 11 u.s.w. Drücken wir diese Verhältnisse, um sie mit dem Verh. des goldenen Schnitts (1 : 1,₆₁...) bequem vergleichen zu können, sämmtlich in Decimalbrüchen aus und zwar so, daß die kleinere Zahl stets als 1, die größere dagegen stets als 1 oder 2 mit einem Decimalbruch erscheint, so erhalten wir folgende Verhältnisse: Sonne-Mercur     7 :     8 = 1 : 1,₁₄... Mercur-Venus     6 :     7 = 1 : 1,₁₆... Venus-Erde     6 :   11 = 1 : 1,₁₆... Erde-Mars   11 :   23 = 1 : 2,₀₉... Mars-Asteroiden   23 :   53 = 1 : 2,₃₀... Asteroiden-Jupiter   53 :   88 = 1 : 1,₆₆... Jupiter-Saturn   88 : 199 = 1 : 2,₂₆... Saturn-Uranus 199 : 231 = 1 : 1,₁₆... Uranus-Neptun 231 : 374 = 1 : 1,₆₁... Sämmtliche Verhältnisse schwanken also zwischen den Verhältnissen 1 : 1,₁₄... und 1 : 2,₃₀... Zwischen diesen beiden Extremen bildet aber das Verh. 1 : 1,₆₁..., also das Verhältniß des goldenen Schnitts das mittlere Proportionalglied; und wenn man aus allen diesen Verhältnissen das Durchschnittsverhältniß zieht, erhält man das Verh. 1 : 1,₆₉, welches dem Verh. des goldenen Schnitts ebenfalls sehr nahe kommt. Zu einem ähnlichen Resultate gelangt man, wenn man z.B. an Pflanzen die Längenmaaße der zunächst zusammenliegenden Stängelglieder, oder an Thieren die Maaße der nächst zusammengehörigen Gliedmaßen mit einander vergleicht, worüber ich mir den Nachweis für eine besondere Abhandlung vorbehalten muß. Dasselbe läßt sich, wie bereits erwähnt, auch an architektonischen, plastischen und industriellen Kunstwerken beobachten, und es dürfte daher wohl kaum noch einen Zweifel erleiden, daß sich die Natur und das unmittelbare künstlerische Gefühl bei ihren Schöpfungen in formeller Beziehung in bald strengerer, bald freierer Ausführung um das hier erörterte Verhältniß zu bewegen pflegen. A. Zeising.