XLIII. Ueber das Rückwärtseinschneiden mit dem Meßtische. Aus der Zeitschrift für Mathematik und Physik, zweiter Jahrg., 2tes Heft S. 108. Ueber das Rückwärtseinschneiden mit dem Meßtische. Hierüber findet sich im Februarhefte des Jahrganges 1855 der Sitzungsberichte der mathem. naturw. Classe der kais. Akad. d. Wissenschaften zu Wien eine sehr lesenswerthe Abhandlung von Dr. A. Winkler, Prof. der prakt. Geometrie am Polytechnicum zu Brunn. Der Verf. gibt ein Verfahren zum Rückwärtseinschneiden an, das wegen seiner praktischen Brauchbarkeit in weiteren Kreisen bekannt zu werden verdient. Wir theilen daher im Folgenden Einiges aus der genannten Abhandlung wörtlich mit. „1. Die praktische Wichtigkeit der Aufgabe, aus der bekannten Lage dreier Punkte auf dem Felde die Lage eines vierten Punktes bloß durch Messung der Winkel, welche die von ihm nach den gegebenen Punkten gehenden Virsirlinien mit einander bilden, zu bestimmen, hat, wie bekannt, eine große Anzahl von Abhandlungen und verschiedene Lösungen hervorgerufen. Diese Lösungen, die zum Theile von den ausgezeichnetsten Geometern herrühren, unterscheiden sich natürlich darin, ob der Theodolit oder Meßtisch zur Anwendung kommt. Bei Anwendung des Theodoliten geschieht die Lösung, wie sich von selbst versteht, nur durch Rechnung, und in dieser Hinsicht ist die Sache als erledigt zu betrachten. Nicht in gleichem Maaße ist dieß bei den bis jetzt bekannten Auflösungen der Fall, welche sich auf den Gebrauch des Meßtisches beziehen, wo begreiflich nur die graphische Methode anwendbar ist. Denn hier stellt der Praktiker mit Recht die Anforderung, daß die Auflösung (das Rückwärtseinschneiden genannt) in allen Fällen, welche überhaupt eine solche zulassen, leicht (ohne weitläufige Sätze und Regeln beachten zu müssen), bequem (ohne geometrische Constructionen mit Cirkel und Lineal und ohne größere Drehungen des Meßtischblattes), sowie schnell und sicher auf dem Felde ausgeführt werden könne. In der That entsprechen die bisher üblichen Verfahrungsarten diesen Anforderungen nicht vollständig, und es scheint zur näheren Begründung angemessen, die wichtigsten jener Methoden mit Rücksicht auf die angeführten Gesichtspunkte in Kürze zu betrachten. Bekanntlich kommen praktisch nur noch die Methoden der directen Bestimmung des vierten Punktes oder Standortes von Bessel und Bohnenberger, durch welche ein zweiter Punkt (Hülfspunkt) der Orientirungslinie nach einem der drei gegebenen Punkte construirt wird, sodann die beiden Näherungsmethoden von Lehmann und Netto zur Anwendung. Das erstere, directe Verfahren leidet, so einfach es sonst zu seyn scheint, wie dieß in jedem guten Lehrbuche auseinander gesetzt wird, an dem Uebelstande, daß unter Umständen der Hülfspunkt entweder durch einen schlechten Schnitt erhalten wird oder zu nahe an denjenigen der drei Punkte fällt, welcher mit ihm die Orientirungslinie bestimmt, so daß diese unsicher wird, oder endlich, daß der Hülfspunkt außerhalb des Tischblattes fällt. Kann man sich in diesen Fällen auch auf andere Weise helfen, so entstehen daraus doch Umständlichkeiten. Eine wesentliche Verzögerung der Arbeit entsteht aber immer dadurch, daß größere Drehungen des Tischblattes und in deren Folge wiederholte Einstellungen desselben nothwendig werden. Diese Rücksichten waren es wohl, welche zur Aufsuchung einer anderen approximativen Lösung Veranlassung gaben, bei welcher eine Drehung des Tischblattes von Hause aus ganz Umgängen und wobei, wenn die Orientirung nach Schätzung einigermaßen gelungen ist, nur noch sanfte Mikrometerbewegungen erforderlich werden, welche eine weitere Berücksichtigung der Libelle nicht mehr nöthig machen. Nachdem nämlich zwei kleine sogenannte Fehlerdreiecke erhalten worden sind, welche in Bezug auf die „mittlere“ Visirlinie eine entgegengesetzte Lage haben, kann man, wie bekanntlich Lehmann gezeigt hat, durch Schätzung einen Punkt finden, bei welchem die auf die beiden äußeren Visirlinien gefällten Perpendikel sich nahezu wie diese Linien verhalten, und welcher dann ebenfalls nahezu ein Punkt der mittleren Visirlinie ist, nach der man nun den Tisch orientiren kann. Dieser Orientirung wird aber meistens wieder ein Fehlerdreieck entsprechen, und ohne einige Wiederholungen des Verfahrens wird man wohl selten ganz scharf zum Ziele gelangen. So sicher man nun dieses auch erreichen wird, so beschwerlich wird es demjenigen Geometer seyn, der in jener Schätzung nicht bald das Rechte trifft, oder dessen Gedächtniß einen der Lehrsätze nicht treu bewahrt hat, welche Lehmann rücksichtlich der gegenseitigen Lage der mittleren Visirlinie und der Fehlerdreiecke auf empirischem Wege gefunden hat, und welche später von Prof. Hartner in den Sitzungsberichten der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften allgemein bewiesen worden sind. Diese Rücksichten hinwieder mögen es gewesen seyn, welche Netto zur Ermittelung eines mehr directen, von bloßen Schätzungen unabhängigen Verfahrens führten, vermöge dessen aus bloß zwei Fehlerdreiecken ein zweiter Punkt der mittleren Visirlinie durch Construction erhalten werden kann. Dieses Verfahren, im weiteren als bekannt vorausgesetzt, erfordert, wenigstens behufs einer schärferen Bestimmung jenes Punktes, ebenfalls die Kenntniß der Lehmann'schen Sätze, bedingt das Operiren mit sehr kleinen Linienstücken vermittelst des Cirkels und liefert den gesuchten Punkt durch einen einzigen, nicht selten sehr schiefen Schnitt. Es ist also auch hierbei nicht jede Hülfsconstruction mit Cirkel und Lineal vermieden, und wird man wohl öfter, ohne Wiederholung des Verfahrens, eine scharfe Orientirung des Tisches nicht erlangen können. 2. Das Verfahren nun, welches wir dem Praktiker als in allen Fällen leicht, bequem und sicher zum Ziele führend empfehlen möchten, und welches weder die Kenntniß der Lehmann'schen Sätze, noch andere Constructionsregeln voraussetzt, auch den Gebrauch des Cirkels nicht nothwendig macht, sondern auf rein mechanische Weise die Lage des Standortes auf dem Meßtischblatte mit aller erforderlichen Schärfe liefert, nachdem nur etwa drei größere oder kleinere Fehlerdreiecke erzeugt worden sind, – ein solches Verfahren, welches also allen Eingangs gestellten Anforderungen entspricht, liegt viel näher als alle vorhin aufgeführten Regeln und beruht auf der folgenden überaus einfachen Bemerkung. Denkt man sich nämlich das Meßtischblatt continuirlich gedreht und in jeder Lage desselben durch zwei der gegebenen Punkte und die entsprechenden auf dem Felde Visirlinien gezogen und ihre Durchschnittspunkte auf dem Blatte bemerkt, so werden diese Punkte in ihrer Gesammtheit eine krumme Linie – Scheitelcurve bilden, welche, wie schon aus elementaren Gründen klar ist, und wie wir zum Ueberflusse noch näher zeigen werden, einem Kreise sehr nahe kommt, und in welcher derjenige Punkt liegt, durch welchen die Visirlinien gehen müssen, wenn die beiden gegebenen Punkte auf dem Tischblatte in einer zur entsprechenden auf dem Felde parallelen Linie liegen. Da aber drei Punkte auf dem Blatte gegeben sind, so kann man je zwei derselben auf dreierlei Arten mit einander verbinden und erhält also auf beschriebene Weise drei verschiedene Curven, wovon jede den gesuchten Punkt – Standort – enthalten muß. Dieser kann also nur im gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte aller drei Curven liegen und ist durch den letzteren vollständig bestimmt. Die praktische Ausführung des hierdurch angedeuteten Verfahrens läßt sich nun einfach wie folgt bezeichnen: Man orientire den Tisch vom Auge aus so genau als möglich, und ziehe nach den drei gegebenen Punkten die Visirlinien, welche im Allgemeinen ein Fehlerdreieck liefern werden. Man drehe hierauf das Tischblatt vermittelst der Mikrometerschraube einmal nach der rechten und einmal nach der linken Seite um so viel, daß die beiden neuen, auf gleiche Weise entstehenden Fehlerdreiecke zu entgegengesetzten Seiten des ersteren liegen und etwas größer als diese sind. Bezeichnet man dabei, um Irrungen vorzubeugen, die drei gegebenen Punkte auf dem Tische mit a, b, c, und die Durchschnittspunkte der Visirlinien nach a und b, nach a und c, nach b und e beziehungsweise beim ersten Fehlerdreiecke mit γ, β, α beim zweiten mit γ', β', α' und beim dritten mit γ'', β'', α'' so sind nun α, α', α'' und β, β', β'' und γ, γ', γ'' jedesmal drei Punkte der oben bezeichneten Curven. (Da schon α mit α' und β mit β' durch gerade Linien verbunden, eine genäherte Lage des Standortes liefern, so erfährt man hierdurch, nach welcher Seite das Blatt zu drehen ist, um das dritte Fehlerdreieck in der oben vorausgesetzten Lage zu erhalten.) Die Curven lassen sich, so weit wir ihrer bedürfen, mit um so größerer Sicherheit durch einen bloßen Freihandzug construiren, als die Punkte, durch welche sie gehen müssen, fast immer sehr nahe an einander liegen, die Curven selbst aber äußerst nahe eine constante Krümmung haben, nämlich Kreisbogen sind, außerdem durch die Punkte a, b: a, c: b, c gehen und sich in einem gemeinschaftlichen Punkte schneiden müssen, so daß bei einiger Uebung und Sorgfalt rücksichtlich ihrer Construction jede Willkürlichkeit sich von selbst ausschließt. In welch hohem Grade dieß der Fall ist, habe ich mich vielfältig und unter den verschiedensten Umständen praktisch überzeugt, und einige wenige Versuche werden für jeden Geometer hinreichen, um alle Zweifel in die vollkommene Zuverlässigkeit und ungemeine Förderlichkeit des Verfahrens zu beseitigen. Sollte sich indessen zeigen, daß, nachdem bereits drei Fehlerdreiecke erhalten und die einander entsprechenden Eckpunkte derselben durch Bogen verbunden worden sind, diese Bogen sich erst in ihrer Verlängerung schneiden, daß also die anfängliche Orientirung noch sehr unrichtig war, so erhält man hierdurch den sichersten Fingerzeig, nach welcher Richtung das Meßtischblatt weiter zu drehen sey, um ein viertes Fehlerdreieck zu erhalten, welches nun ganz gewiß über dem gesuchten Punkte hinaus liegt. Da nun die drei Curvenbogen mit Sicherheit bis zu den respectiven Eckpunkten dieses neuen Fehlerdreiecks fortgesetzt werden können, und der Durchschnittspunkt in ihnen selbst und nicht mehr in ihren Verlängerungen liegt, so ergibt er sich mit derselben Bestimmtheit wie in dem oben zuerst angenommenen Falle. Uebrigens braucht kaum bemerkt zu werden, daß, da die Bildung der Fehlerbreiecke sehr leicht und schnell von statten geht und da, je größer die Zahl derselben ist, um so bequemer die Curven gezogen werden, es der Bequemlichkeit des ganzen Verfahrens keinen Eintrag thut, wenn man überhaupt statt drei etwa vier oder fünf Fehlerdreiecke nach einander bildet, die an der Stelle, wohin der gesuchte Punkt fallen wird, in kleineren Zwischenräumen auf einander folgen. Nach dem bisher Ausgeführten ist ferner klar, daß das obige Verfahren unmittelbar und schneller als jedes andere den bekannten Ausnahmefall, in welchem das Problem keine oder nur eine sehr unsichere Auflösung zulaßt, anzeigt, den Fall nämlich, in welchem der Standort mit den drei gegebenen Punkten nahezu oder ganz genau im Kreise liegt. Auf das Stattfinden dieses Falles wird man nämlich sogleich schließen, wenn die drei Curven sehr nahe zusammenfallen und demgemäß ihr Durchschnittspunkt unsicher wird, und dieß zeigt sich schon auf das Bestimmteste, nachdem drei Fehlerdreiecke gebildet und ihre entsprechenden Eckpunkte durch Curvenbogen verbunden worden sind. Bei jeder anderen Lage des Standortes, und insbesondere dann, wenn die Entfernungen desselben von den drei Punkten unter sich sehr ungleich sind, werden sich immer wenigstens zwei dieser Bögen unter so großen Winkeln durchsetzen, daß ihr Schnittpunkt mit der nöthigen Scharfe erscheint. Diese umständlichere Darlegung des Verfahrens schien durch den Umstand geboten, daß dasselbe, so nahe es liegt und so weniger theoretischen Auseinandersetzungen es erfordert, in keinem der mir bekannten Werke, welche diesen Gegenstand behandeln, erwähnt wird. In einigen Lehrbüchern über praktische Geometrie, z.B. jenem von Prof. Grunert, wird (S. 230) nach Bohnenberger zwar bemerkt, daß man den Standort näherungsweise dadurch auf dem Tischblatte bestimmen könne, daß man die sich correspondirenden Eckpunkte zweier Fehlerdreiecke durch gerade Linien verbinde und ihren Durchschnittspunkt bestimme. Aber abgesehen davon, daß sich auch bei nahe an einander liegenden Fehlerdreiecken die meistens ziemlich stark gekrümmten Curvenbogen mit einiger Genauigkeit zwar der Größe, aber nicht der Richtung nach durch ihre Sehnen ersetzen lassen, ist eine schnelle und sichere Bestimmung des Standortes auf diese Weise schon darum unmöglich, weil sich die drei Sehnen, die man ziehen kann, wohl niemals in einem Punkte treffen werden, und man also statt des richtigen, drei ungenaue Punkte für den Standort erhält. 3. Die oben mitgetheilte, auch dem weniger unterrichteten Praktiker zugängliche Auflösung erledigt, wie wir glauben, die immer noch häufig zu vernehmenden Einwürfe gegen die öftere Anwendbarkeit dieses nützlichen Problems. In der That wird man sich desselben nicht nur in dem Falle, wo drei Punkte auf dem Blatte gegeben sind, wovon keiner sich zur Aufstellung des Instrumentes eignet, sondern auch in mehreren anderen Fällen mit Nutzen bedienen, die wir nun in Kürze anführen werden. A. Wenn in einem der drei Punkte eine Aufstellung zwar möglich, aber für die Detailaufnahme nicht weiter von Nutzen wäre und nur den Zweck haben würde, eine Orientirungslinie nach einem neuen Standorte hin zu liefern, so wird man es vorziehen, sich unmittelbar auf diesem Standorte aufzustellen und denselben, wie oben auseinander gesetzt, aus den gegebenen Punkten durch Rückwärtseinschneiden zu bestimmen. Man gewinnt dadurch nicht nur an Zeit, sondern hat vermöge der gleichzeitigen Benutzung aller drei Punkte zugleich eine im Verfahren selbst liegende Controle und die Sicherheit, den richtigen Punkt erhalten zu haben, welche um so mehr in Anschlag zu bringen ist, als etwaige Orientirungsfehler, welche bei jener Hülfsaufstellung eintreten könnten, hierbei ganz vermieden werden. B. Eine weitere, nicht minder bemerkenswerthe Anwendung läßt das Problem vermöge seiner leichteren Auflösung in dem Falle zu, wenn man zwar eine Orientirungslinie nach dem neuen Standorte hin bereits besitzt, der durch Seitwärtsabschneiden nach einem zweiten Fixpunkte erhaltene Schnitt aber nicht ganz günstig ist, oder die Controle nach einem dritten Punkte nicht aushält, sondern ein Fehlerdreieck gibt, so daß man genöthigt wäre, durch eine neue Aufstellung des Meßtisches eine günstigere Orientirungslinie von einem anderen Fixpunkte aus zu erheben oder die bereits gegebene zu verbessern, wodurch in beiden Fällen die Arbeit verzögert würde. Statt dessen wird man den einmal eingenommenen Standpunkt beibehalten, vermittelst der gegebenen Orientirungslinie den Tisch einstellen und nun den Standort mit Schärfe durch Rückwärtseinschneiden bestimmen. Die Zweckmäßigkeit dieses Verfahrens bedarf für den praktischen Geometer keiner weiteren Auseinandersetzung, denn es ist klar, daß es in allen Fällen das bequemste und sicherste Mittel darbietet, um die durch mehrere auf einander folgende mittelbare Orientirungen des Tisches eintretenden Fehler zu beseitigen und den jeweiligen Standort den Fixpunkten möglichst genau anzuschließen. Von den mannichfachen Anwendungen, deren die beschriebene rein mechanische und von allen geometrischen Lehrsätzen unabhängige Methode zur Lösung schwierig scheinender Aufgaben fähig ist, und welche der Leser selbst beifügen wird, mögen nur noch die folgenden zwei Erwähnung finden. C. Die Lage zweier Punkte und die Entfernung eines derselben vom Standorte ist gegeben; es soll der Tisch orientirt, resp. der Standort bestimmt werden. Man beschreibe mit jener gegebenen Entfernung aus ihrem ebenfalls gegebenen Endpunkte einen Kreisbogen und bilde, nachdem der Meßtisch von Auge aus möglichst genau orientirt ist, mit Hülfe von drei oder mehreren Durchschnitten der nach den beiden Punkten auf dem Blatte und auf dem Felde gezogenen Visirlinien einen jenen Kreis durchsetzenden Bogen der in Art. 2 erwähnten Scheitelcurve, so wird man, wie nicht näher gezeigt zu werden braucht, den Standort aus einer einzigen Aufstellung des Tisches erhalten. Obgleich diese Aufgabe gewiß nur selten vorkommen wird, so schien sie doch darum erwähnenswerth, weil wohl jede andere Auflösungsart zwei Aufstellungen des Meßtisches erfordern würde. D. Eine ähnliche Behandlung ergibt sich für die folgende Aufgabe: Die Lage dreier Punkte ist gegeben, wovon aber keiner von dem anderen aus sichtbar ist. Man besitzt ferner die Orientirungslinie von einem dieser Punkte nach einem vierten, – dem Standorte des Meßtisches, kann aber von diesem aus nicht zurückorientiren, weil sich nach dem entsprechenden Punkte des Terrains nicht visiren läßt; nach den beiden anderen gegebenen Punkten dagegen ist die Visirrichtung frei. Es soll nun der Meßtisch orientirt, beziehungsweise der Standort auf dem Blatte bestimmt werden. Man orientire den Tisch vom Auge aus möglichst genau, bilde auf angegebene Weise mittelst der beiden sichtbaren Punkte die Scheitelcurve der Visirlinien und bestimme mit Schärfe den Punkt, in welchem sie die gegebene Orientirungslinie durchschneidet, so ist dieser der Standort auf dem Blatte. Eine Hülfsaufstellung ist auch hier nicht erforderlich, und es löst sich also diese Aufgabe, welche, wie die vorhergehende, meines Wissens noch nicht erörtert worden ist, auf ganz einfache Art. Diese Aufgabe kann z.B. in gebirgigen Gegenden bei graphischen Triangulationen in Fällen vorkommen, wenn der gegebene Punkt, von welchem aus nach dem neuen Standorte rayonnirt werden kann, viel tiefer als dieser liegt, so daß man den letzteren vom ersteren, aber nicht umgekehrt diesen von jenem aus anvisiren kann.“