XXXVIII. Ueber die Tragfähigkeit eingerammter Pfähle; von Professor G. Decher. Mit einer Abbildung auf Tab. III. Decher, über die Tragfähigkeit eingerammter Pfähle. Die theoretische Aufgabe, die Tragfähigkeit eingerammter Pfähle zu bestimmen, besteht zunächst darin, aus dem Gewichte und der Fallhöhe des Rammklotzes, aus dem Gewicht, der Länge, dem Querschnitt und dem Elasticitäts-Coefficienten des eingerammten Pfahles und aus der beobachteten Größe, um welche der Pfahl durch den letzten Schlag der Ramme (beziehungsweise durch eine sogenannte Hitze von 25 bis 30 Schlägen) eingetrieben wurde, den Widerstand des Erdreiches gegen das fernere Eindringen des Pfahles zu finden, d. i. das Gewicht zu berechnen, mit welchem der Pfahl gerade noch belastet werden darf, ohne daß er dadurch tiefer eingedrückt wird. Dieser Widerstand gibt demnach die Grenze der Tragfähigkeit des eingerammten Pfahles, und es ist dann Sache der Erfahrung, zu bestimmen, wie weit man sich dieser Grenze mit einer dauernden und einer größten vorübergehenden Belastung des Pfahles nähern darf, ohne die Stabilität des auf denselben gegründeten Baues zu gefährden. Man hat diese Aufgabe schon auf verschiedene Weise zu lösen versucht, und zwar ohne und mit theilweiser Berücksichtigung der Beschaffenheit des Pfahlesv. Gerstner, Handbuch der Mechanik, Bd. III; v. Burg, Compendium der Mechanik und Maschinenlehre; Prechtl, technologische Encyklopädie, Bd. XI.; ich fürchte aber nicht, einem Widerspruche zu begegnen, wenn ich auch ohne eingehende Kritik jener Versuche behaupte, daß dadurch die Theorie von der Tragfähigkeit eingerammter Pfähle noch keineswegs erschöpft ist, und daß es nicht ganz ohne Verdienst seyn dürfte, zu dieser Theorie einen neuen Beitrag zu liefern. Jene theoretische Aufgabe bietet nämlich unter Zugrundelegung einiger der Wahrheit ziemlich nahe kommender Voraussetzungen eine gewiß beachtenswerthe Anwendung der im dritten Buche (Bd. III S. 547 u. ff.) meines Handbuches der Mechanik vorgetragenen Lehre von der Uebertragung der Bewegung und dem Stoße, und die daraus hervorgehende Lösung jener Aufgabe dürfte wohl mit der Natur der Sache viel besser übereinstimmen, als die bisherigen Theorien und die sich daran anlehnenden praktischen Recepte, welche mit Ausnahme der Theorie v. Burg's schon darin fehlerhaft sind, daß sie keine Grenze für das Eintreiben des Pfahles in Bezug auf Gewicht und Fallhöhe des Rammklotzes kennen, sondern den Pfahl bei jeder Größe des Widerstandes durch die kleinste Arbeit des Rammklotzes eintreiben lassen, wenn auch um eine verhältnißmäßig kleine Größe, während es auf der Hand liegt, daß bei einer bestimmten Größe des Widerstandes auch eine bestimmte Arbeit des Rammklotzes erforderlich ist, um diesen Widerstand zu überwinden, und daß deßhalb dieser Widerstand für gleiche Eintreibung des Pfahles nicht der Arbeit des Rammklotzes geradezu proportional seyn kann, daß es z.B. nicht einerlei seyn kann, ob man, wie es die praktische Regel von Burnell im Civil Enginer and Architect's Journal vorschreibt, einen Pfahl von beliebiger Länge und Schwere mittelst eines Rammklotzes von 12 Centner bei 4 Fuß Fallhöhe durch 30 Schläge, oder bei 12 Fuß Fallhöhe durch 10 Schläge um 2/5 Zoll eintreibt, ebensowenig als jener Widerstand oder die Tragfähigkeit des Pfahles bei gleicher Arbeit des Rammklotzes der Eintreibung des Pfahles proportional ist. Sehr einfach ist meine neue Theorie allerdings nicht, und es lassen sich die Resultate derselben nicht so geradezu im Stehen mit Bleistift und Notizbuch berechnen; namentlich wäre die Auflösung der Aufgabe, wie sie Eingangs ausgesprochen wurde, eine ziemlich schwierige; wir können aber diese Aufgabe zunächst umgekehrt stellen, wie dieß auch bei den praktischen Regeln von Woltmann und Burnell geschieht, und sie so aussprechen: Es ist die für einen beabsichtigten Bau nothwendige Belastung eines Pfahles und damit der kleinste Widerstand des Erdreiches gegen das tiefere Eindringen des Pfahles gegeben; es soll bestimmt werden, wie viel der Pfahl durch den letzten Schlag (bez. eine Hitze von 25 oder 30 Schlägen) eines Rammklotzes von bestimmtem Gewicht und bei gegebener Fallhöhe desselben noch eingetrieben werden darf, damit dieser Widerstand erreicht ist, und meine Theorie läßt sich sowohl in dieser als in der ursprünglichen Fassung der Aufgabe dem Praktiker durch Tabellen (wie die am Schlusse beigefügte) zugänglich machen, in welchen für die in der Anwendung am meisten vorkommenden Arten von Rammblock-Gewichten und Fallhöhen und die entsprechende Stärke der Pfähle die Eintreibungen dieser letzteren bei verschiedenen Widerständen des Erdreiches berechnet sind. Die Voraussetzungen, welche ich meiner Theorie zu Grunde lege, sind folgende: 1) Der Widerstand gegen das Eindringen des Pfahles bleibt für die Dauer des letzten Schlages der Ramme (bezüglich der letzten Hitze) constant; 2) dieser Widerstand kann in dem unteren Ende des Pfahles vereinigt angenommen werden, d.h. der an den Seiten des Pfahles wirkende Widerstand hat keinen oder einen zu vernachlässigenden Einfluß auf das Gesetz, nach welchem der Pfahl durch den auf seinen Kopf ausgeübten Druck gestaut oder verkürzt wird; 3) diese Verkürzung des Pfahles ist dem auf seinen Kopf durch den Stoß des Rammklotzes ausgeübten Drucke und seiner Länge direct und seinem mittleren Querschnitt und Elasticitäts-Modul verkehrt proportional; 4) der Pfahl ist aber nicht vollkommen elastisch; er dehnt sich nach der größten Verkürzung in der zweiten Hälfte des Stoßes nicht gerade so wieder aus, wie er gestaut worden ist, sondern weniger, und behält am Ende des Stoßes noch eine kleine, erst allmählich wieder verschwindende Verkürzung; bei dieser Ausdehnung des Pfahles bleibt aber die Voraussetzung 3) bestehen, nur mit dem Unterschiede, daß für diese zweite Hälfte des Stoßes der Elasticitäts-Modul ein größerer ist (vergl. mein Handbuch der Mechanik, Bd. III S. 563 u. ff.); endlich 5) es kann von der unbedeutenden Compression und Extension des Rammklotzes der Einfachheit wegen Umgang genommen werden. Es sey nun das Gewicht des Rammklotzes = Q, die Fallhöhe desselben = H, die Beschleunigung des Falles = g, das Gewicht des Pfahles = P, die Länge desselben = L, sein mittlerer Querschnitt = a², sein Elasticitäts-Modul oder -Coefficient = E, der vom Rammklotz auf den Pfahl ausgeübte augenblickliche    Druck = N, die durch diesen Druck bewirkte augenblickliche Verkürzung    des Pfahles während der ersten Hälfte des Stoßes = l, die sehr kleine bleibende Verkürzung desselben am Ende des    Stoßes L – L' = αL, die dem Drucke N entsprechende augenblickliche Verkürzung    in der zweiten Hälfte des Stoßes = l', der entsprechende Elasticitäts-Coefficient = E', der constante Widerstand des Erdreichs = W; man hat dann zunächst nach Voraussetzung 3) in der ersten Hälfte des Stoßes zwischen der Verkürzung l und dem Druck N die Beziehung: l/L = N/Ea²,    l = L N/Ea²,      (1. und ebenso zwischen l' und N in der zweiten Hälfte l'/L' = N/E'a²,    l' = L' N/E'a²,    (2. Ist dann Nm der am Ende der ersten Hälfte des Stoßes eintretende größte Werth von N, und lm die entsprechende Verkürzung des Pfahles, so wird l'm die Größe seyn, um welche sich dieser in der zweiten Hälfte des Stoßes wieder ausdehnt, und man hat als bleibende Verkürzung am Ende des Stoßes L – L' = αL = lm – l'm = L Nm/Ea² – L' Nm/E'a²; daraus ergibt sich die Beziehung: Textabbildung Bd. 173, S. 164 woraus mit hinreichender Annäherung E' = E/μ²      (3b). folgt, indem man die kleine Größe α neben 1 vernachlässigt und den Factor 1 – (L – L')/lm, welcher jedenfalls ein ächter Bruch ist, da die bleibende Verkürzung L – L' des Pfahles immer kleiner seyn muß als die größte Verkürzung lm, durch μ² ersetzt. Man wird auch leicht erkennen, daß die Grenzwerthe μ² = 0 und μ² = 1 den Voraussetzungen eines durchaus unelastischen und eines vollkommen elastischen Pfahles entsprechen, da im ersten Falle die größte Stauung auch die bleibende, und im zweiten Falle L' wieder gleich L ist. Diese Beziehung (3) würde dazu dienen, aus den: beobachteten Werthe von L – L' den von μ zu berechnen, wenn jene Größe mit genügender Sicherheit beobachtet werden könnte. Da es aber dazu kaum ein Mittel geben dürfte, so möchte es wohl am einfachsten und zweckmäßigsten seyn, den Werth von μ, wie es a. a. O. meines Handbuches angegeben ist, dadurch zu bestimmen, daß man einen kürzeren Pfahl aus demselben Holze wie die einzutreibenden auf eine feste Unterlage aufsetzt, den Rammklotz auf denselben fallen läßt und die Höhe beobachtet, bis zu welcher derselbe nach dem Stoße wieder aufspringt; man hat dann, wenn diese letztere Höhe mit h bezeichnet wird, 2 gh = μ² . 2 gH,    μ = √(h/H).      (4. Führen wir dann den Werth (3ª) von E' in die Gleichung (2) ein, so gibt diese mit dem aus (3b) folgenden Werthe von μ² den Werth von l' in der einfachen Form: l' = μ²L N/Ea² = μ²l.      (5. Wir nehmen nun die verticale Achse des Pfahles, in welcher auch der Schwerpunkt des Rammblockes liegen soll, als z-Achse an, verlegen den Anfangspunkt der z in das untere Ende des Pfahles vor dem Beginn des letzten Schlages, von dem an auch die Zeit t gezählt werde, rechnen die positiven z nach unten und bezeichnen für das Ende dieser Zeit t mit z die Eintreibung der Pfahlspitze d. i. ihren Abstand von jenem Anfangspunkte der z, mit z' den Abstand des Schwerpunktes der Ramme von demselben Punkte und mit v und v' die Geschwindigkeiten der Pfahlspitze und dieses Schwerpunktes; ferner mit – c' den Werth von z' am Anfang der Zeit t. Wir haben dann für die Bewegung des Rammklotzes (beziehungsweise seines Schwerpunktes) während des letzten Schlages von dem Augenblicke an, wo der Rammblock den Pfahl zu berühren anfängt, die Gleichungen: Q/g dv'/dt = Q – N,    v' = dz'/dt;      (6. die Bewegung der Pfahlspitze, in welcher wir nach Voraussetzung (2) und weil es sich nur um eine geradlinige fortschreitende Bewegung handelt, die Masse des Pfahles vereinigt annehmen können, wird durch die Gleichungen: P/g dv/dt = N + P – W,    v = dz/dt      (7. dargestellt, und für die Verkürzungen l und l' des Pfahles ergeben sich die Beziehungen: l = L N/Ea² = c' – (z – z'),l' = μ²L N/Ea² = c' – αL – (z – z')       (8. und unsere Aufgabe besteht nun darin, aus diesen Gleichungen durch Elimination von N und z' die Eintreibung z der Pfahlspitze für das Ende des letzten Schlages durch die Gegebenen ausgedrückt abzuleiten. Um diese Aufgabe richtig zu lösen, müssen wir aber in der kurzen Dauer dieses letzten Schlages oder Stoßes außer dem Hauptabschnitt zwischen der ersten und zweiten Hälfte desselben noch einige weitere Zeitabschnitte machen, weil auch in jeder dieser Hälften die Pfahlspitze noch wesentlich verschiedene Bewegungszustände besitzt oder besitzen kann. Denn 1) leuchtet ein, daß sich die Pfahlspitze nicht bewegen kann, so lange das Gewicht des Pfahles und der Druck auf denselben zusammen noch kleiner sind als der Widerstand des Erdreiches; unser erster Zeitabschnitt wird also vom Anfang des Stoßes, wo N = 0 ist, bis zu dem Augenblicke reichen, wo N + P = W geworden, und während dieses Zeitabschnittes wird die Pfahlspitze unbewegt bleiben. 2) Sobald aber N die obengenannte Größe erreicht hat und sie überschreitet, wird die Pfahlspitze eine beschleunigte Bewegung annehmen, und diese wird gleichartig fortdauern, bis N und l ihre größten Werthe erreicht haben, mit welchen unser zweiter Zeitabschnitt und die erste Hälfte der Dauer des Stoßes schließt. 3) Von diesem Zeitpunkte an wird N wieder kleiner und steht in einer anderen Beziehung zu der Compression des Pfahles, durch welche der Factor μ in die Bewegungsgleichungen eingeführt und eine neue Aufstellung dieser Gleichungen nothwendig wird; die daraus hervorgehende Bewegung bleibt jedenfalls gleichartig, bis wieder N + P = W geworden ist, und wenn es auch nicht geradezu nothwendig ist, so dürfte es doch sehr die Auffassung erleichtern, wenn wir mit diesem Zeitpunkt unseren dritten Zeitabschnitt schließen. 4) Mit dem Anfang des vierten Zeitabschnittes wird die Bewegung der Pfahlspitze nothwendig eine verzögerte, und es können nun je nach der Größe von W in Bezug auf P, Q und H zwei Fälle eintreten; a) entweder ist die Verzögerung dieser Bewegung so groß, daß die Geschwindigkeit der Pfahlspitze eher Null wird, als der Druck N auf den Pfahl; dann bleibt sie von da an Null, und die Bewegung der Pfahlspitze erreicht mit dem vierten Zeitabschnitt ihr Ende, oder b) es wird N eher Null als die Geschwindigkeit der Pfahlspitze; dann schließt der vierte Zeitabschnitt mit N = 0, und es folgt noch ein fünfter, in welchem die Pfahlspitze durch die ihrer Geschwindigkeit entgegenwirkende constante Kraft W – P eine gleichförmig verzögerte Bewegung annimmt und diese mit der Geschwindigkeit Null beschließt. Um diese verschiedenen Zeitabschnitte auch in den Gleichungen anzudeuten, wollen wir die Veränderliche t selbst sowie die von ihr abhängigen Veränderlichen N, N' = dN/dt, v und z je nach der Ordnungszahl des betreffenden Zeitabschnittes mit dem Index 1, 2, 3 etc. versehen, und dann noch die besonderen Werthe dieser Veränderlichen für das Ende dieser Zeitabschnitte mit deutschen Buchstaben t, N, N', v, z und dem entsprechenden Index bezeichnen. Erster Zeitabschnitt. Der erste Zeitabschnitt beginnt in dem Augenblick, wo der Rammklotz den Pfahl berührt, also l und folglich nach (1) auch N = 0 ist, und der Schwerpunkt des Rammklotzes sich durch den Fall von der Höhe H die Geschwindigkeit: v'₀ = √2gH erworben hat. Die Pfahlspitze bleibt in diesem ganzen Zeitabschnitt ohne Bewegung, also z = 0, weil immer W > N + P, und die erste der Beziehungen (8) kommt auf l = L N₁/Ea² = c' + z₁' zurück, woraus v₁' = dz₁'/dt₁ = L/Ea² dN₁/dt₁,    dv₁'/dt₁ = L/Ea² dN₁'/dt₁      (9. folgt und sich durch Elimination von dv₁'/dt₁ mittelst der Gleichung (6) für N₁ die charakteristische Gleichung: dN₁/dt₁ = g Ea²/LQ (Q – N₁)      (10. ergibt. Beachtet man dann, daß L Q/Ea² nach (1) die Verkürzung λ ausdrückt, welche der einzurammende Pfahl durch den Druck oder das daraufliegende Gewicht Q erleiden würde, so nimmt das unbestimmte Integral der Gleichung (10) die Form an: Textabbildung Bd. 173, S. 167 worin A₁ und B₁ die noch zu bestimmenden Constanten der Integration bedeuten. Man hat dann auch Textabbildung Bd. 173, S. 167 und die Bedingungen: t₁ = 0, N₁ = 0, N₁' = Ea²/L v₀' = Ea²/L √(2gH) = Q √(2gH)/λ; daraus folgen die Werthe: A₁ = Q,    B₁ = – Q √(2H/λ) und die allgemeinen Beziehungen: Textabbildung Bd. 173, S. 168 Dieser erste Zeitabschnitt ist zu Ende, wenn N = W – P geworden ist; seine Dauer t₁ bestimmt sich daher durch die Bedingung: Textabbildung Bd. 173, S. 168 oder wenn man Textabbildung Bd. 173, S. 168 setzt, durch die Bedingung: Φ cos β = sin (β + τ₁ – π/2),      (12. und für das Ende dieses Zeitabschnittes und den Anfang des folgenden hat man demnach die besondern Werthe: Textabbildung Bd. 173, S. 168 Aus (12) zieht man als größte Dauer des ersten Zeitabschnittes Textabbildung Bd. 173, S. 168 und diese tritt ein, wenn Φ cos β = 1 ist; damit wird aber der letzte Werth (13): N₁' = 0 und spricht aus, daß dann N schon am Ende des ersten Zeitabschnittes seinen größten Werth Nm erreicht, daß also mit dem ersten auch schon der zweite Zeitabschnitt zu Ende ist, und daß, weil mit dem dritten Zeitabschnitt N wieder kleiner wird, v und z immer Null bleiben, also keine Bewegung der Pfahlspitze eintritt. Noch weniger ist dieses der Fall, wenn Φ cos β > 1, weil dann τ₁ und N₁' imaginär werden, N also niemals den Werth W – P erreichen kann. Die Forderung, daß sich die Pfahlspitze bewegen soll, ist demnach an die Bedingung: Φ < sec β geknüpft, welche mit den frühern Werthen in 1 + 2H/λ > Φ²,    H > ½ λ (Φ² – 1)      (14. übergeht, und so die kleinste Fallhöhe H für einen Rammklotz von gegebenem Gewicht Q bestimmt, wenn durch diesen ein Pfahl von gegebener physischer und geometrischer Beschaffenheit bei einem gegebenen Widerstande W des Erdreiches noch um etwas eingetrieben werden soll. Ist dieser Widerstand W gegen die Gewichte P und Q sehr groß, so daß man 1 neben Φ² vernachlässigen kann, so hat man mit Einführung des Werthes von λ Textabbildung Bd. 173, S. 169 und wenn man noch P und Q neben W vernachlässigt, was um so mehr zulässig ist, als man in der Anwendung doch nicht bis an die Grenze gehen kann, so wird einfacher QH > ½ L W²/Ea²      (15b. die erste zu erfüllende Bedingung zwischen der Arbeit des Rammklotzes, der Länge und Elasticität des Pfahles und dem Widerstand, den das Erdreich gegen das tiefere Eindringen desselben leisten soll, und man schließt daraus, daß jene Arbeit des Rammklotzes dem Quadrat des Widerstandes oder dem Quadrat der theoretischen Tragfähigkeit des Pfahles, sowie der Länge und Zusammendrückbarkeit des letztern proportional seyn muß. Aus der Bedingung (15b) würde man übrigens auch eine sehr einfache Beziehung für die Tragfähigkeit eines Pfahles erhalten, wenn man das Einrammen so lange fortsetzen wollte oder könnte, bis der Pfahl nicht mehr weiter eindringt; denn in diesem Falle hätte man Textabbildung Bd. 173, S. 169 es leuchtet aber ein, daß ein solches Verfahren für die Praxis viel zu zeitraubend wäre, um ernstlich empfohlen werden zu können. Zweiter Zeitabschnitt. Der zweite Zeitabschnitt beginnt mit N = W – P = Q (Φ + 1) und endigt mit dem größten Werthe von N oder mit N' = 0. In diesem Zeitraum bestehen die Gleichungen (6) und (7) und die erste der Gleichungen (8) zusammen; aus den beiden ersten folgt dv'₂/dt₂ – dv₂/dt₂ = g[W/P – N₂(1/P + 1/Q)],      (17. und daraus geht mittelst des zweiten Aenderungsgesetzes jener ersten Gl. (8) in Bezug auf t nämlich dv₂'/dt₂ – dv₂/dt₂ = L/Ea₂ dN₂'/dt₂ = λ/Q dN₂'/dt₂, für N₂ die charakteristische Gleichung: dN₂/dt₂ = g/λ (νW – (1 + ν)N₂)      (18. hervor, worin wieder LQ/Ea₂ durch λ, und Q/P durch v ersetzt ist. Das unbestimmte Integral dieser Gleichung ist N₂ = ν/(1 + ν) W + A₂ cos γt₂ + B₂ sin γt₂,      (19. wenn noch zur weiteren Abkürzung der Factor durch γ ersetzt wird, und für die beiden unbestimmten Constanten A₂ und B₂ ergeben sich durch das Aenderungsgesetz dieses Integrales in Bezug auf t, nämlich dN₂/dt₂ = γ(B₂ cos γt₂ – A₂ sin γt₂) = N₂', und die Werthe (13) von N₁ und N₁', welche auch die von N₂ und N₂' für t₂ = 0 sind, die bestimmten Werthe: Textabbildung Bd. 173, S. 170 und damit hat man, weil W = QΦ + Q + P = Q(1 + Φ + 1/v) ist Textabbildung Bd. 173, S. 170 Der zweite Zeitabschnitt ist zu Ende, wenn N₂' = 0 geworden ist, und die letzte Gleichung gibt damit für die Dauer t₂ dieses Zeitabschnittes die Beziehung: Textabbildung Bd. 173, S. 170 und der entsprechende größte Werth von N wird Textabbildung Bd. 173, S. 170 Führen wir nun den Werth (20) von N₂ in die erste Gleichung (7) ein, so nimmt diese mit dem obigen Werthe von W – P die Form an: Textabbildung Bd. 173, S. 171 und gibt, wenn man noch die Gleichung (21) beachtet, Textabbildung Bd. 173, S. 171 Man zieht daraus durch die erste Integration für die Geschwindigkeit der Pfahlspitze Textabbildung Bd. 173, S. 171 und die nochmalige Integration gibt für die Eintreibung derselben Textabbildung Bd. 173, S. 171 da man hat g/γ² = λ/(1 + v), und man wird leicht erkennen, daß man darin für das Ende des zweiten Abschnittes nur γt₂ = τ₂ für γt₂ setzen darf, um die Werthe von v₂ und z₂ zu erhalten; diese werden demnach Textabbildung Bd. 173, S. 171 und sind zugleich die anfänglichen Werthe von v und z für den dritten Zeitabschnitt. Alle diese Werthe zeigen nun augenfällig, daß mit der Bedingung: Φ cos β = 1 die Dauer t₂ des zweiten Zeitabschnittes Null wird und daß auch v₂ und z₂ wie v₁ und z₁ Null bleiben, die Pfahlspitze also nicht tiefer eindringt. Dritter Zeitabschnitt. Im dritten Zeitabschnitt, welcher mit N = Nm beginnt und den ich der einfacheren Betrachtung wegen mit N = W – P schließe, obgleich er dadurch nicht nothwendig begrenzt ist, kommt statt der ersten die zweite der Gleichungen (8) zur Anwendung, und man zieht daraus dv'₃/dt₃ – dv₃/dt₃ = μ² L/Ea₂ dN₃'/dt₃ = μ² λ/Q dN'₃/dt₃, Die Gleichung (17) des vorigen Abschnittes besteht noch fort und führt mit der vorstehenden verbunden auf Textabbildung Bd. 173, S. 171 welche sich von der Gl. (18) nur durch den Factor μ² vor λ unterscheidet; man erhält daher jetzt für das unbestimmte Integral und dessen Ableitung Textabbildung Bd. 173, S. 172 und mit den Werthen (22) von N₂ und N'₂ = 0 folgt Textabbildung Bd. 173, S. 172 also auch Textabbildung Bd. 173, S. 172 Die letzte dieser Gleichungen zeigt, daß im dritten Zeitabschnitt N wieder im Abnehmen begriffen ist, und die erste gibt durch die Bedingung N₃ = W – P = Q (Φ + 1) für die Dauer t₃ dieses Zeitabschnittes die Beziehung: γt₃/μ = τ₂ = γt₂, t₃ = μ t₂,      (27. womit dann weiter für das Ende desselben Textabbildung Bd. 173, S. 172 folgt. Durch die Gleichung (7) erhält man dann wieder mittelst der ersten Gl. (26) die Beziehung: Textabbildung Bd. 173, S. 172 und zieht daraus nach und nach die Werthe: Textabbildung Bd. 173, S. 172 Für das Ende des dritten Zeitabschnittes hat man der Beziehung (27) zufolge dv₃/dt₃ = 0; es hat also die Geschwindigkeit der Pfahlspitze am Ende dieses Zeitabschnittes ihren größten Werth erreicht und dieser ist Textabbildung Bd. 173, S. 172 ferner ergibt sich Textabbildung Bd. 173, S. 173 oder mit den Werthen von v₂ und t₂ und nach einigen weiteren Reductionen Textabbildung Bd. 173, S. 173 und diese Werthe (29) und (30) bestimmen wieder mit (28) und dem von N₃ den anfänglichen Zustand des Pfahles für den nächsten Zeitabschnitt. Vierter Zeitabschnitt. Der vierte Zeitabschnitt endigt entweder mit v₄ = 0 oder N₄ = 0, je nachdem das eine oder andere zuerst eintritt; die Gleichungen (25) bestehen mit neuem Index sonst unverändert fort, geben aber mit den anfänglichen Werthen N₃ und N'₃ von N₄ und N'₄ Textabbildung Bd. 173, S. 173 und damit werden die allgemeinen Werthe von N und N' für diesen Zeitraum Textabbildung Bd. 173, S. 173 Mit dem ersten dieser Werthe folgt sodann Textabbildung Bd. 173, S. 173 und die erste Integration in Bezug auf t₄ gibt, γt₄/μ = τ₄ gesetzt, für v₄ den Werth: Textabbildung Bd. 173, S. 173 welchem man man mit den Werthen von v₃ und v₂ die Form geben kann: Textabbildung Bd. 173, S. 173 Soll demnach mit diesem vierten Zeitabschnitt auch die Bewegung der Pfahlspitze endigen, so muß man haben v₄ = 0 = tang τ₂ – τ₂ + μ sin (τ₂ + τ₄) sec τ₂ – μ (τ₂ + τ₄),      (34. ohne daß N₄ mit dem daraus folgenden Werthe von τ₄ negativ wird. Das Letztere würde der Fall seyn, wenn der aus der ersten Gleichung (31) mit der Bedingung N₄ = N₄ = 0 folgende Werth von $#x03C4;₄ kleiner wäre, als der aus (34) folgende, und in diesem Falle würde der vierte Zeitabschnitt mit N₄ = 0 schließen und noch ein fünfter mit einer gleichförmig verzögerten Bewegung der Pfahlspitze folgen. Es ist daher vor Allem zu untersuchen, unter welchen Verhältnissen der eine und unter welchen der andere Fall eintritt. Die erste Gleichung (31) gibt mit der Bedingung N₄ = 0 und der schon angewendeten Bezeichnung tang τ₂ sin τ₄ – cos τ₄ = (1 + v + vΦ)/Φ oder cos (τ₂ + τ₄) = – (1 + v + vΦ)/Φ cos τ₂;      (35. diese Bedingung ist demnach von μ ganz unabhängig. Für die in der Anwendung vorkommenden Verhältnisse ist aber meistens v wenig von 1 verschieden und vΦ viel größer als 1 + v; man kann deßhalb in erster Annäherung und für die Anwendung meistens hinreichend genau cos (τ₂ + τ₄) = – cos τ₂, τ₄ = π – 2τ₂      (36. als den Werth von τ₄ nehmen, mit welchem N₄ Null wird. Dieser Werth von τ₄ wird demnach offenbar um so größer, je kleiner τ₂ ist, je mehr sich also der Werth von Φ seiner Grenze sec β nähert, oder je größer der Widerstand W gegen das Eindringen des Pfahles im Verhältniß zu der Arbeit des Kammklotzes ist, und umgekehrt um so kleiner, je größer τ₂ wird, und man hat für die den beiden Grenzwerthen von τ₂, welche den Werthen Φ = 0 und Φ = sec β entsprechen, zugehörigen Werthe von τ₄ Φ = 0, τ₂ = π/2, τ₄ = 0; Φ = sec β, τ₂ = 0, τ₄ = π. Gerade umgekehrt verhält es sich mit dem aus Gl. (34) folgenden Werthe von τ₄; denn diese Gleichung unter die Form: τ₂ + τ₄ – sec τ₂ sin (τ₂ + τ₄) = 1/μ (tang τ₂ – τ₂)      (37. gebracht, zeigt daß für ein und denselben Werth von μ der Werth von τ₄ mit dem von τ₂ wächst und abnimmt; denn man findet für τ₂ = 0 und für jeden Werth von μ = 0 bis μ = 1 auch τ₄ = 0; für τ₂ = π/4 wird die Bedingung (37) τ₄ – sin τ₄ – cos τ₄ = 1/μ (1 – π/4) – π/4 und läßt sich in zwei zerlegen, je nachdem μ ≶ (4 – π)/π oder ≶ 0,2732 also μ² ≶ 0,07466; im ersten Falle ist τ₄ kleiner, im zweiten größer als 72° 10', erhält aber für den größten Werth μ = 1 noch den Werth 48° 12', und wird für μ = 0 unendlich u.s.f. Es muß demnach zwischen den beiden Grenzwerthen von τ₂ und für einen bestimmten Werth von μ immer einen solchen Werth von τ₄ geben, welcher den beiden Bedingungen (36) und (37) gleichzeitig Genüge leistet, für welchen also N und v gleichzeitig Null werden, und wenn man aus diesen Bedingungen das τ₄ eliminirt, so wird man eine Gleichung in τ₂ und μ erhalten, oder unter Anwendung der strengeren Bedingung (35) in τ₂ μ und v, aus welcher der Werth von τ₂, und mit BeziehungBeiziehung der Gl. (21) das Verhältniß von Φ und sec β abgeleitet werden kann, für welches das gleichzeitige Nullwerden von N und v statt hat, welches also die Grenze bildet für die Fälle, in denen N vor v und in denen v vor N Null wird. Die beiden Bedingungen (36) und (37) führen auf die ziemlich einfache Gleichung: (1 + μ) tang τ₂ – (1 – μ) τ₂ = μπ,      (38. und diese gibt für μ = 1, tang τ₂ = π/2, τ₂ = 57°31', für μ = 0, τ₂ = 0; es muß demnach und zufolge der Gl. (21), welche nach Φ aufgelöst den Ausdruck: Textabbildung Bd. 173, S. 175 gibt, und wenn darin v = 1 gesetzt wird, Φ zwischen oder nahe 2/3 sec β und sec β liegen, wenn für alle Werthe von μ zwischen 1 und 0 die Geschwindigkeit v vor N Null werden, die Bewegung der Pfahlspitze also mit dem vierten Zeitabschnitt endigen soll. Für die in der Anwendung vorkommenden Materialien lassen sich aber die Grenzen von μ viel enger ziehen und auf 1/3 und 2/3 fest setzen, wo durch μ² zwischen 1/9 und 4/9 beschränkt wird, und diese Werthe des Verhältnisses h : H der Gleichung (4) genügen offenbar der Erfahrung. Führen wir dann die Werthe μ = 1/3 und μ = 2/3 in die Gl. (38) und die sich ergebenden τ₂ in (39) ein, so wird: μ = 1/3, 4 tang τ₂ – τ₂ = π, τ₂ = 50°52', Φ = 0,755 sec β, μ = 2/3, 5 tang τ₂ – τ₂ = 2π, τ₂ = 55°24', Φ = 0,698 sec β. Um nun aber auch den Einfluß von v auf die eben bestimmte Grenze kennen zu lernen, wollen wir auch die Gleichung (35) mit (37) verbinden, aber in der etwas vereinfachten Form: cos (τ₂ + τ₄) = – v cos τ₂, τ₂ + τ₄ = π – ang cos (v cos τ₂), in welcher noch 1 + v neben v Φ vernachlässigt ist, aus welcher dann sin (τ₂ + τ₄) = √(1 – ν²cos²τ₂) folgt und die mit (37) auf die Bedingungsgleichung führt:      (40. μπ = μ ang cos (ν cos τ₂) + μ sec τ₂ √(1 – ν² cos²τ₂) + tang τ₂ – τ₂. In diese Gleichung wollen wir dann neben den oben festgesetzten Grenzwerthen von μ auch zwei für die Anwendung zulässige Grenzwerthe von v (als welche v = 2 für P = 1/2 Q und v = 1/2 für P = 2 Q anzunehmen genügen dürfte) einführen, und werden damit und mit den früheren Ergebnissen für τ₂ und Φ folgende Werthe finden: μ = 1/3, v = 1/2, τ₂ = 44°36', Φ cos β = 0,775.., = 1, = 50 52, = 0,754.., = 2, = 61 19, = 0,687.., μ = 2/3, v = 1/2, τ₂ = 49°16', Φ cos β = 0,725.., = 1, = 55 24, = 0,698.., = 2, = 64 24, = 0,638.., Diese Tabelle dürfte hinreichen, um für alle in der Anwendung vorkommenden Fälle schon von vorn herein zu erkennen, ob die Bewegung der Pfahlspitze mit dem vierten Zeitabschnitt endet oder nicht. Integriren wir nun das erste Integral der Gleichung (32) noch einmal und setzen den Werth von v₃ ein, so erhalten wir als Eintreibung der Pfahlspitze am Ende des vierten Zeitabschnittes oder nach der Zeit t₄ = (μ/γ) τ₄ Textabbildung Bd. 173, S. 176 und man hat in diesen Ausdruck für τ₄ entweder den aus Gl. (34) oder den aus Gl. (35) folgenden Werth einzuführen, je nachdem der vierte Zeitabschnitt mit v₄ = 0 oder mit N₄ = 0 endigt. Fünfter Zeitabschnitt. Wenn der vierte Zeitabschnitt mit N₄ = 0 endigt, ohne daß v₄ = 0 ist, so bewegt sich die Pfahlspitze nach dem Ende dieses Zeitabschnittes noch eine kurze Zeit t₅ fort, und zwar mit einer gleichförmig verzögerten Bewegung, deren Gleichungen sind: Textabbildung Bd. 173, S. 177 und welche demnach mit den Werthen: Textabbildung Bd. 173, S. 177 ihr Ende erreichen muß. Anwendungen. Mit diesen letzten Ergebnissen hat unsere Aufgabe ihre vollständige Lösung gefunden, indem entweder z₄ oder z₅ die ganze Eintreibung des Pfahles durch einen Schlag der Ramme angibt, je nachdem die fortschreitende Bewegung des Pfahles mit dem vierten oder fünften Zeitabschnitt endet. Es erübrigt uns demnach noch, von unserer Untersuchung und den entwickelten Formeln einige Anwendungen zu machen. Dazu und um die verwickelte Beziehung zwischen der Arbeit des Rammklotzes, der Größe des Widerstandes und der Eintreibung des Pfahles leichter durchschauen zu können, wollen wir jene Beziehungen für zwei Rammen berechnen, durch welche die Fallhöhen H = 1,8 und = 3,6 Meter erzielt werden können, und bei deren jeder 2 Rammblöcke von 300 und 600 Kilogr. Gewicht zur Anwendung kommen, so daß wir folgende drei Arbeitsgrößen erhalten: QH = 300 × 1,8 =   540 Meter Klgr. , = 600 × 1,8 = 300 × 3,6 = 1080 „ „ , = 600 × 3,6 = 2160 „ „ . Daraus berechnet sich der größte Widerstand Wm, welcher noch mit dieser Arbeit bewältigt werden kann, nach der einfachen Gleichung (15): LWm² = 2 QH . Ea²      (43. wenn die Länge L und der Querschnitt a² des Pfahles bestimmt sind. Diese Größen stehen aber auch in nothwendigem Zusammenhang mit der Tragfähigkeit des Pfahles; wir müssen also, ehe wir weiter rechnen, noch Beziehungen für die ebengenannten Größen aufstellen. Für diese Beziehungen gehe ich von der Annahme aus, 1) daß die durch die Belastung des Pfahles erzeugte Stauung die sogenannte Elasticitätsgrenze nicht überschreiten soll, d.h. diejenige Größe der relativen Stauung, bei welcher eine auch nach Wegnahme der Belastung noch fortdauernde Einwirkung fühlbar zu werden anfängt, daß demnach die Beziehung: Wm = δ Ea²      (44. besteht, in welcher δ ein jene Grenze bestimmender Bruch ist; 2) daß die Länge des Pfahles nur drei Viertel derjenigen Länge seyn soll, welche derselbe mit dem Querschnitt a² und dem Biegungsmoment B erhalten darf, damit er ganz freistehend unter der Belastung Wm, nur eine einfache Biegung annehmen kann, also 3/4 der Länge, welche sich aus der Beziehung L² Wm = π ²B ergibt, so daß man auch die Gleichung hat: L²Wm = 9/16 π ² B;      (45. 3) daß der Querschnitt des Pfahles, wenn auch nicht genau ein Kreis oder ein Quadrat, doch eine diesen nahekommende Figur ist und daher B = 0,08 Ea⁴      (46. genommen werden kann.Für ein Quadrat hat man bekanntlich B = 1/12 Ea⁴, für einen Kreis B = 1/4 πr⁴; macht man aber πr² = a², so wird für letzteren, wenig abweichend von jenem, B = 1/(4π) a⁴ = 1/12,56 a⁴. Die Gleichung (44) gibt dann den Werth von a² und damit und mit (46) folgt aus (45) der Werth von L, für welchen man mit hinreichender Genauigkeit π² = 10 und Textabbildung Bd. 173, S. 178 nehmen kann, und welcher zeigt, daß unter den obigen Annahmen die Länge L in einem constanten Verhältniß zu der mittleren Dicke a des Pfahles steht, übereinstimmend mit den von Woltmann angenommenen Normal-Pfählen (Prechtl's technologische Encyklopädie Bd. XI). Führt man nun die aus (44) und (47) folgenden Werthe von a² und L in die Gleichung (43) ein, so zieht man daraus Textabbildung Bd. 173, S. 178 zuletzt findet man noch für das Gewicht des Pfahles den Werth: Textabbildung Bd. 173, S. 178 worin p das Gewicht der Volumen-Einheit des Pfahles bezeichnet, und das Verhältniß v wird sofort: ν = Q/P = 2pH/δ²E.     (50. Wir wählen nun als besondere dem Meter und Kilogramm als Längen- und Gewichtseinheit entsprechende Werthe: E = 900000000, δ = 1/500 = 0,002, p = 800 und erhalten damit die besonderen Beziehungen Textabbildung Bd. 173, S. 179 mit welchen sich aus unseren oben angenommenen Werthen für Q und H folgende Tabelle berechnet. QKilogr. HMeter. QHMeterkilogr. WmKilogr. a²Quadrtmet. LMeter. PKilogr. v 300 1,8 540 132620 0,0737 4,07 240 5/4 300600 3,61,8 1080 210530 0,1171 5,13 480 5/85/4 600 3,6 2160 334200 0,1857 6,46 960 5/8 Für die weitere Berechnung wollen wir nun aber die Länge der Pfähle etwas vergrößern, da dieselben nach dem Einrammen immer um etwas abgenommen werden, und mit Belassung der eben berechneten Gewichte folgende Maaße zu Grunde legen: a = 0,m26 , = 0,m33 , = 0,m42 , a² = 0,□m0676 , = 0,□m1089 , = 0,□m1764 , L = 4,m40 , = 5,m50 , = 6'm80 , P = 240 Kgr. , = 480 Kgr. , = 960 Kgr. , ferner wollen wir durchaus μ = 0,4 setzen und für den Widerstand folgende Scala annehmen. W =       540Kgr. , =   60000Kgr. , =   60000Kgr. , =   30000 , =   90000 , = 120000 , =   60000, , = 120000, , = 180000, , =   90000 , = 150000 , = 240000 , = 120000 , = 160000 , = 300000 , = 122740, , = 196970= 197270 ,, = 319140 . Mit diesen Werthen berechnen sich die in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellten Zahlen, aus deren Vergleichung man leicht entnehmen wird, wie wenig die bisher angenommene Proportionalität der Arbeit des Rammklotzes und der Eintreibung des Pfahles bei gleichem Widerstande des Erdreiches oder dieses Widerstandes bei gleichem Eindringen des Pfahles mit den wirklich stattfindenden Verhältnissen übereinstimmt; man wird sich namentlich durch Vergleichung der in der 2ten und 3ten horizontalen Abtheilung enthaltenen Ergebnisse, welche sich auf einen und denselben Pfahl beziehen, überzeugen, daß es für die Eintreibung desselben nicht allein auf die Arbeit des Rammklotzes ankommt, sondern wesentlich auf das Gewicht des letzteren und daß der schwerere Rammklotz bei kleinerer Fallhöhe eine wesentlich größere Wirkung ausübt, als der kleinere Rammklotz bei größerer Fallhöhe, wenn auch die Arbeiten beider gleich sind. Construirt man endlich die Ergebnisse der directen Rechnung nach den Gleichungen (23), (30), (41) und (42), indem man die Werthe von W als Abscissen und die von z₄ oder z₅ = Z in einem vergrößerten Maaßstabe als Ordinaten nimmt (wie es in Bezug auf unsere Tabelle in Fig. 12, worin die verticalen Ordinaten die 10fache Eintreibung des Pfahles für einen Schlag darstellen, geschehen ist) so hat man nicht nur ein anschauliches Bild von dem Gesetze, welches zwischen dem Widerstande und der Eintreibung der Pfahlspitze bei einerlei Arbeit eines Rammklotzes von gegebenem Gewichte stattfindet, sondern auch ein einfaches und für die Anwendung genaues Mittel zur Lösung der umgekehrten Aufgabe: Aus der beobachteten Eintreibung die Größe des Widerstandes zu finden. In Betreff jenes Gesetzes zeigt unsere Figur eine unverkennbare Aehnlichkeit je der beiden Curven, für welche das Verhältniß v denselben Werth hat, und die Durchschnitte der 4 Curven mit der ersten Parallelen zur W-Achse geben für eine Eintreibung = 10mm durch 10 Schläge die Widerstände W = 88500, = 137400 = 150000 und = 228300 Kgr. Will man dagegen die Größe des Widerstandes für eine Eintreibung = 10mm durch 25 Schläge wissen, so wird man zur W-Achse eine Parallele in der Entfernung = 4mm ziehen, weil dann 10 Schläge nur eine Eintreibung von 4mm bewirken können, und die Abstände der Schnittpunkte dieser Parallelen mit den Curven von der z-Achse werden in dem entsprechenden Maaßstabe die zugehörigen W angeben. Textabbildung Bd. 173, S. 181 Gewicht; Fallhöhe; des Rammklotzes; Länge; Querschnitt; Gewichtsverhältn. zu Q; Compression durch Q; des Pfahles; Größe; Verhältniß; Winkel; des Widerstandes; Eintreibung der Pfahlspitze im; Zeitabschnitt; Ganze Eintreibung des Pfahles durch; 1 Schlag; eine Hitze von 25 Schlägen