Ueber die Berechnung der Dimensionen von Fabrikschornsteinen; von Prof. L. Pinzger in Aachen.Vom Verfasser im Auszug aus der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1876 S. 577 gef. mitgetheilt.Die Red. Mit Abbildungen auf Taf. IV [b/2]. Pinzger, über die Berechnung der Dimensionen von Fabrikschornsteinen. Die zur Berechnung der Schornsteinhöhe h bisher noch häufig angegebene Formel Textabbildung Bd. 223, S. 139 worin u a die Ausströmungsgeschwindigkeit der Gase aus der Schornsteinmündung, T₀ = 273 + t₀ die absolute Temperatur der äußern Luft, Tm = 273 + tm die mittlere absolute Temperatur der Schornsteingase (unter t₀:₀ und tm die betreffenden Temperaturen in Graden Celsius verstanden), g = 9m,81 die Beschleunigung der Schwerkraft und φ einen Coefficienten bedeutet, welcher den Einfluß der Bewegungswiderstände der Heizgase auf die Größe von u a angeben soll, ist für die praktische Verwendung so gut wie werthlos und hauptsächlich deshalb, weil sie über die wirklich vorhandenen Vorgänge, welchen die Verbrennungsproducte auf ihrem Wege vom Roste bis zur Schornsteinmündung unterliegen, gar keinen Aufschluß gibt, und ferner, weil durch den Coefficienten φ sämmtliche Widerstände in Rechnung gebracht werden sollen, woraus folgt, daß diesem Werthe φ eine große Dehnbarkeit innewohnt, die wiederum zu einer großen Unsicherheit über die Wahl der Größe von φ in diesem oder jenem gegebenen Falle führen muß. Bereits im J. 1866 sind von Prof. Grashof durch die von demselben in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 10 S. 431 veröffentlichte „Theorie der Zugerzeugung durch Schornsteine“, welche auch in die von Grashof in neuester Zeit herausgegebene „Theoretische Maschinenlehre“, Bd. 1 S. 955 bis 970 in gedrängter Form aufgenommen worden ist, die Bewegungsverhältnisse der Verbrennungsproducte in den Feuerzügen und dem Schornsteine mit erreichbar größter mathematischer Schärfe behandelt worden, und es ist in der That zu bedauern, daß die dort aufgestellten Principien bislang noch nicht überall für die Praxis Anwendung gefunden haben. Der Grund hierfür ist vielleicht darin zu suchen, daß man sich noch nicht allgemein daran gewöhnt hat, für die Bewegung der Gase die Grundsätze der mechanischen Wärmetheorie zu benutzen, und daß die Endformel, welche schließlich Grashof aufstellt, naturgemäß etwas complicirt ausfällt und ihre Durchsichtigkeit hinsichtlich der Abhängigkeit zwischen Schornsteinhöhe h, Ausflußgeschwindigkeit der Gase aus der Schornsteinmündung ua und Temperatur dieser Gase am Fuße und am Gipfel des Schornsteins T₄ und Ta eingebüßt hat. Auch gestattet die Structur der genannten Formel eine directe Entwicklung der gesuchten Schornsteinhöhe h aus andern gegebenen Größen gar nicht, so daß man schließlich gezwungen ist, mittels Näherungsverfahren das erstrebte Ziel zu erreichen. Durch nachstehende Berechnungsmethode läßt sich indeß für die Schornsteinhöhe h eine Formel aufstellen, welche mit ziemlicher Durchsichtigkeit die verschiedenen auf diese Höhe influirenden Verhältnisse übersehen läßt und auch mittels einer leicht ausführbaren Näherungsmethode zu möglichst genauen Resultaten führt. Bekanntlich besteht die Wirkung eines Schornsteins darin, durch das auf einem Rost oder in anderer Weise aufgeschichtete Brennmaterial die zur Verbrennung desselben erforderliche Luftmenge hindurchzutreiben, die hierbei entwickelten Verbrennungsgase durch ein Canalsystem zu leiten, wo sie einen Theil ihrer Wärme an andere Körper zu übertragen haben, und schließlich diese Gase mit einer so großen Geschwindigkeit in die Atmosphäre austreten zu lassen, daß schräg abwärts gerichtete Windströmungen die Wirkung des Schornsteins möglichst wenig zu beeinträchtigen vermögen. (Führen diese Gase gesundheitsschädliche und der Vegetation nachtheilige Bestandtheile mit sich, so sind sehr bedeutende Schornsteinhöhen erforderlich, um die Gase möglichst zu verdünnen, bevor dieselben Gelegenheit haben, auf den Erdboden wieder herabzusinken.) Die Ursache dieser Vorgänge ist nun einzig und allein zu suchen in dem Unterschiede, welcher zwischen der Pressung der Gase in dem Feuerraum, den Heizcanälen, dem Fuchs und dem im Fuße des Schornsteins befindlichen Raume einerseits und derjenigen der äußern atmosphärischen Luft im Niveau des Rostes bezieh. Schornsteinfußes anderseits herrscht. Bezeichnet man z.B. mit p₀ die specifische Pressung (Kilogramm pro Quadratmeter) der äußern atmosphärischen Luft im Niveau des Rostes, mit p₁, p₂, p₃ und p₄ die Pressungen der Verbrennungsproducte im Feuerraum, am Anfang des Heizcanales, am Ende desselben bezieh. im Fuchs und im Fuße des Schornsteins, so muß p₀ > p₁ > p₂ > p₃ > p₄ sein, damit die oben erwähnte Strömung der Luft durch den Rost bezieh. der Verbrennungsproducte von dem Feuerraum bis in den Schornsteinfuß erfolgen kann. Es kommt also darauf an, 1) im Fuße des Schornsteins einen solchen Werth für die specifische Pressung p₄ hervorzurufen und während des Betriebes zu erhalten, daß die beabsichtigte Strömung der Luft bezieh. der Verbrennungsproducte veranlaßt wird, und 2) die in den Schornsteinfuß gelangten Gase zu zwingen, sich auf die Schornsteinhöhe h zu erheben und aus der Mündung des Schornsteins mit der erforderlichen Geschwindigkeit auszutreten. Der Pressungsunterschied p₀ – p₁ läßt sich am zuverlässigsten durch directe Messungen mittels Wassermanometer feststellen, und zwar entspricht bei stationären Feuerungsanlagen dem Werthe p₀ – p₁ eine Wassersäule von 5 bis 20mm, je nach der geringern oder größern Dicke der Brennmaterialschicht (bei Locomotiven sogar eine solche bis 100mm); d.h. es ist p₀ – p₁ = 5 bis 20k pro Quadratmeter. Bezeichnet nun h₀ die Höhe einer Luftsäule von der äußern Temperatur T₀, der Grundfläche = 1qm und einem Gewichte = p₀ – p₁, so ist nach dem bekannten Gesetz der atmosphärischen Druckabnahme h₀ = RT₀ logn (p₀/p₁),         (1) unter R die Constante der Zustandsgleichung der Gase pv = RT verstanden; für mittelfeuchte atmosphärische Luft ist R = 29,3. Wird z.B. für einen Mittlern Barometerstand p₀ = 10000k (pro 1qm) und T₀ = 273 + 17 = 290° angenommen, so entspricht den oben angegebenen Wassersäulen eine Luftsäule von h₀ = 4,25 bis 17m,0. Die Werthe der Pressungsdifferenzen p₁ – p₂, p₂ – p₃ und p₃ – p₄ lassen sich auf Grundlage der speciellen Verhältnisse der Feuerungsanlagen und der Heizcanäle mit annähernder Sicherheit durch Rechnung verfolgen, und es ergibt sich schließlich Textabbildung Bd. 223, S. 141 RT₀ logn (p₁/p₄) bezeichnet aber wiederum die Höhe h₁ einer Luftsäule von der Außentemperatur T₀, in deren unterer bezieh. oberer Begrenzungsebene die Pressungen p₁ bezieh. p₄ herrschen, deren Gewicht also der Pressungsdifferenz p₁ – p₄ bezogen auf 1qm Grundfläche entspricht, so daß Textabbildung Bd. 223, S. 141 In dieser Gleichung bezeichnet u₀ die Geschwindigkeit, mit welcher die Heizgase den Querschnitt f der Heizcanäle durchströmen würden, wenn sie die Temperatur T₀ besäßen, T₂ und T₃ die absoluten Temperaturen der Heizgase am Anfang und Ende des Heizcanales, Tk die absolute Temperatur der zu erwärmenden Flüssigkeit (z.B. Kesselwasser) unter der Voraussetzung einer einfachen Stromheizfläche, l die Länge der Heizcanäle, d ihren Mittlern Durchmesser bezieh. den Werth 4f/P (P Umfang der Fläche f), F die Heizfläche des Kessels, Q die durch dieselbe pro Stunde transmittirte Wärmemenge, k den Wärmeleitungscoefficienten (bei Dampfkesseln im Mittel = 20), ζ₂ und ζ₃ Coefficienten, welche den Einfluß plötzlicher Querschnitts- und Richtungsänderungen angeben (für Dampfkesselfeuerungen ζ₂ = 1,5 bis 2,5, ζ₃ = 00,8 bis 1,0), λ den Reibungscoefficienten für die Bewegung der Gase in den Heizcanälen (λ = 0,08). Zwischen F, Q, T₂, T₃ und Tk bestehen folgende Beziehungen: Textabbildung Bd. 223, S. 142 worin G das Gewicht der pro Stunde durch jeden Querschnitt des Heizcanales strömenden Gasmenge und c deren specifische Wärme bedeutet; für Steinkohlenfeuerung kann im Mittel c = 0,25 gesetzt werden. Unzweifelhaft können die Schornsteingase nur unter der Bedingung aus der Schornsteinmündung ausströmen, daß die specifische Pressung in der betreffenden Luftschicht höchstens gleich ist der specifischen Pressung der Gase in der Schornsteinmündung, und die Höhenlage dieser Luftschicht über dem Niveau des Rostes wird die gesuchte Schornsteinhöhe h sein. Bezeichnet man nun mit u₄, T₄ und p₄ Geschwindigkeit, absolute Temperatur und Pressung der Gase im Fuße des Schornsteins, mit ua, Ta und p dieselben Werthe im Ausflußquerschnitte, mit Tm = 1/2 (T₄ = Ta) die mittlere Schornsteintemperatur, mit um = 1/2 (u₄ + ua) die mittlere Geschwindigkeit der Schornsteingase, so ergibt sich mit Hilfe der bekannten Gleichung der lebendigen Kraft: Textabbildung Bd. 223, S. 142 Anderseits ist die Höhe h einer Luftsäule von der Außentemperatur T₀, in deren unterer und oberer Begrenzungsebene die specifischen Pressungen p₀ und p herrschen, h = RT₀ logn (p₀/p), woraus durch Vereinigung mit der vorigen Gleichung folgt: Textabbildung Bd. 223, S. 143 der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen ist aber nichts anderes als h₀ + h₁, so daß endlich für die Schornsteinhöhe h die Formel erscheint: Textabbildung Bd. 223, S. 143 Der Einfluß der Aenderung der specifischen Pressung p auf die Aenderung von u ist nun so gering gegenüber den Einflüssen der Temperatur- und Querschnittsänderungen, daß mit hinreichender Genauigkeit gesetzt werden darf: u₄/ua = T₄/Ta fa/f₄ und um/ua = 1/2 (u₄/ua + 1); wenn also über die Werthe fa, f₄ und fm nach zweckmäßig erscheinenden Gesichtspunkten verfügt ist, und durch eine vorläufige Abschätzung von T₃ nach Maßgabe von T₄ und dem Material der Schornsteinwandung auch Tm, sowie u₄/ua und um/ua festgestellt ist, so kann aus Gleichung (3) ein erster Näherungswerth für h berechnet werden. h in dem Gliede h/d m wird vorläufig nach dem Werthe (h₀ + h₁) Tm/(Tn – T₀) abgeschätzt. Mit Hilfe desselben läßt sich dann ein genauerergenauer Werth von Ta aus der Gleichung Textabbildung Bd. 223, S. 143 finden, in welcher ks den Wärmeleitungscoefficienten für die Schornsteinwandung, Fs die innere Oberfläche derselben, Gs das Gewicht der in der Stunde durch jeden Querschnitt des Schornsteins fließenden Gasmenge, c = 0,25 die specifische Wärme dieses Gasgemisches bezeichnet. Bei gemauerten Schornsteinen darf je nach der Wandstärke ks = 1,4 bis 2, bei Eisenblech-Schornsteinen ks = 6 angenommen werden. Gs = 22 Ba, unter Bn das Gewicht der pro Stunde auf sämmtlichen Rosten, deren Gase durch einen gemeinschaftlichen Schornstein abgeführt werden sollen, gleichzeitig verbrannten Steinkohlen u.s.w. verstanden. Aus diesem Werthe Ta ergibt sich alsdann leicht ein genauer Werth von Tm, von u₄/ua und um/ua und dadurch ein zweiter Annäherungswerth für h, welcher gewöhnlich schon mit genügender Zuverlässigkeit als definitiver Werth von h beibehalten werden kann. Die Größe fa der Schornsteinmündung ergibt sich aus der Gleichung fa = 0,0620,662 Ta/ua Bn/3600          (4) Bei der Bestimmung von fa/f₄ sind drei Fälle zu unterscheiden: A) Der lichte Querschnitt des Schornsteins nimmt von unten nach oben ab, fa < f₄ (Fig. 9). B) Der lichte Schornsteinquerschnitt ist durchweg gleich fa = f₄ (Fig. 10). C) Derselbe nimmt von unten nach oben zu, fa > f₄ (Fig. 11). A) Für fa < f₄ liegt bei gemauerten und bei Eisenblech-Schornsteinen je nach der Schornsteinhöhe das Verhältniß fa/f₄ zwischen 0,4 bis 0,64, so daß der Mittelwerth zu 0,52 angenommen werden darf. B) fa = f₄ gibt fa/f₄ = 1, C) Für den Fall, daß fa > f₄, soll fa/f₄ = 1,5 angenommen werden. Für das Verhältniß der absoluten Temperaturen T₄ und Ta dürfen für mittlere Schornsteinhöhen bei gemauerten Schornsteinen T₄/Ta = 1,06, bei Eisenblech-Schornsteinen T₄/Ta = 1,10 als erste Werthe in die Rechnung eingeführt werden. Für die Geschwindigkeit ua, mit welcher die Gase die Schornsteinmündung verlassen sollen, ist ein um so größerer Werth zu wählen, je näher die Befürchtung liegt, daß durch schräg abwärts gerichtete Windströmungen der Zug des Schornsteins beeinträchtigt werden kann; kleiner als 2m sollte ua niemals gewählt werden. Soll nun beispielsweise ein gemauerter Schornstein berechnet werden, bei welchem vorläufig T₄/Ta = 1,06 gesetzt werden darf, so ergeben sich folgende Werthe. A) Für die Kaliberform Figur 9: Textabbildung Bd. 223, S. 144 B) Für die Kaliberform Figur 10: Textabbildung Bd. 223, S. 145 C) Für die Kaliberform Figur 11: Textabbildung Bd. 223, S. 145 Setzt man für die drei genannten Kaliberformen den Werth von u₄ unter übrigens gleichen Verhältnissen der Temperaturen und Pressungen als gleich groß voraus, so wird bei dem Schornstein Figur 9 u a = 1,82 u₄ „ 10 u a = 0,94 u₄ „ 11 u a = 0,63 u₄. Ist z.B. bei dem Schornstein Figur 9 u a = 4m, also u₄ = 2m,2, so wird   „     „           „            „ 10 u a = 2m,07      und    „     „          „            „ 11 u a = 1m,39. Bei dieser sehr geringen Ausflußgeschwindigkeit können sehr leicht Zugstörungen durch Windströmungen hervorgerufen werden. Es sei z.B. ein gemauerter Schornstein zu construiren, welcher die Verbrennungsproducte von drei gleich großen Kesselsystemen abführen soll. Jedes Kesselsystem habe 60qm Heizfläche und erfordere einen stündlichen Brennmaterialaufwand von 100k Steinkohlen. Die Länge der Feuerzüge sei 1 = 30m, der mittlere Querschnitt derselben f = 0qm,2, mithin d = 4f/P = 0m,25d = 4f/P 0m,25. Es sei ferner T₂ = 1300°, Tk = 420°, G = 2200k, so wird nach (a) und (b): Textabbildung Bd. 223, S. 145 (in diesem Betrage ist diejenige Wärmemenge nicht enthalten, welche dem Kessel durch directe Einstrahlung zugeführt wird). Für eine äußere Lufttemperatur T₀ = 280° ergibt nun Gleichung (2), Textabbildung Bd. 223, S. 145 oder gleich 11m3. Setzt man h₀ = 5m,5, so wird h₀ + h₁ = 16m,8. Da die Heizgase bei dem Durchströmen des Fuchses eine weitere Abkühlung erfahren, möge die absolute Temperatur T₄ im Schornsteinfuße nur zu 500° angenommen werden; mithin sei vorläufig Ta = 500/1,06 = 470° und Tm = 0,5 (500 + 470) = 485°. Die Ausflußgeschwindigkeit ua der Gase soll zu 6m angenommen werden, damit diese Geschwindigkeit auch dann noch ca. 2m betrage, wenn nur ein Kesselsystem im Betriebe befindlich ist, also ua²/2g = 1m,835; demnach ergibt sich nach Gleichung (4): fa = 0,062 470/6 300/3600 = 0qm,405, daraus der Durchmesser da = 0m,718 oder abgerundet 0m,72. Um eventuell noch ein viertes Kesselsystem mit dem Schornstein verbinden zu können, sei f₄ = 4f = 4 × 0,2 = 0qm,8; mithin d₄ = 1m,0, also dm = 0,5 (1,0 + 0,72) = 0m,86. Hiernach wird u₄/ua = 500/470 0,405/0,800 = 0,54 und um/ua = 0,77, folglich ergibt sich als erster Näherungswerth: h  = 16,8 485/(485 – 280) + 1,835 (0,08 × 0,593 46/0,86 + 0,708) 280/(485 – 280) = 39,665 + 8,133 = 47m,798 oder abgerundet 48m. Hiermit erhält man genauer Textabbildung Bd. 223, S. 146 dieser Werth stimmt so nahe mit dem oben für Ta eingeführten Werths 470° überein, daß eine Correctur der berechneten Schornsteinhöhe h = 48m unnöthig erscheint. Die Geschwindigkeit u₄, mit welcher sich die Gase bei diesem nach oben hin verengten Schornstein (Fig. 9) im Schornsteinfuße bewegen, ist u₄ = 0,54 × 6 = 3m,24. Wollte man nun das Schornsteinkaliber cylindrisch machen (Fig. 10), wobei dann die Ausströmungsgeschwindigkeit ua = 0,94 × 3,24 = 3m,046, so würde sich die Höhe h reduciren auf rund 42m. Bei einem nach oben hin erweiterten Schornstein endlich (Fig. 11), für welchen fa/f₄ = 1,5, würde ua = 0,63 × 3,24 = 2m,04 und h nahezu 41m. Hiernach ergibt sich allerdings bei Anwendung der Kaliberformen Fig. 10 und 11 eine Höhenreduction von 6 bezieh. 7m, aber gleichzeitig werden die Ausflußgeschwindigkeiten von 6m auf 3m bezieh. 2m verringert, was besonders dann von nachtheiligem Einflusse sein kann, wenn statt dreier Kesselsysteme nur eines derselben im Betriebe ist, da z.B. bei der Kaliberform Figur 11 alsdann die Ausflußgeschwindigkeit nur etwa 2/3 Meter betragen würde. Zur Abschwächung der Wirkung schräg abwärts wehender Windströme empfiehlt sich eine kegelförmige Abdachung des Schornsteingipfels. Viele Constructeure verwerfen überhaupt die Anbringung einer capitälartigen Bekrönung des Gipfels; jedoch bietet anderseits eine solche Bekrönung das Mittel dar, die kegelförmige AbdachungAbdrehung recht breit ausfallen zu lassen, was für die kräftige Ablenkung des den Schornsteingipfel treffenden Luftstromes von Werth ist.