Construction der Parabel über eine gegebene Spannweite und Pfeilhöhe. Mit Abbildungen auf Taf. IV [c.d/1]. Thallmayer's Construction der Parabel. Ich erlaube mir hier eine Constructionsart mitzutheilen, nach welcher Punkte einer Parabel einfach und scharf bestimmt werden können. Ist (Fig. 14) p die Pfeilhöhe und l die halbe Spannweite, so verfahre man, um Punkte der Parabel zu erhalten, wie folgt. Man theile den rechten Winkel YXO in eine Anzahl gleicher Theile, markire sich die Durchschnittspunkte der Fahrstrahlen mit der Peripherie des über die Pfeilhöhe als Durchmesser geschlagenen Kreises und ziehe durch die so erhaltenen Punkte Parallele zu XY. Nun trage man von X nach rechts und links die Werthe l sin α, l sin α₂, l sin α₃... auf der Linie XY ab und errichte in den erhaltenen Punkten Senkrechte auf diese Linie. Die Durchschnittspunkte dieser Senkrechten mit den correspondirenden, vorher parallel zu XY gezogenen Linien geben die Punkte der Parabel. Hat man Raum genug, um über die Spannweite als Durchmesser einen Halbkreis beschreiben zu können, so erhält man die Werthe von l sin α durch einfaches Herabprojiciren, wie auch aus Figur 14 zu ersehen. Der Beweis für die Richtigkeit der Construction ist leicht geführt. Es ist r ein auf die beschriebene Weise bestimmter Punkt der Curve; nun ist, wenn O als Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems betrachtet wird, On = x, nr = y. Nun ist x = p sin² α₂ und y = l sin α₂, daher y² = l²/p x die Gleichung einer Parabel. Ist die Pfeilhöhe p klein und l groß, so muß man constructiver Schwierigkeiten halber zur Berechnung der Coordinatenpaare schreiten, was leicht auszuführen ist. Denkt man sich den rechten Winkel OXY in n gleiche Theile getheilt, so sind, wenn Xr₁ = l sin α₂, gleichzeitig auch rr₁ = p cos² α₂, die zusammengehörigen Coordinatenpaare für X als Coordinatenursprung und Xr₁ als Abscissenachse: x₀ = 0 y₀ = p x₁ = l sin (90/n) y₁ = p cos² (90/n) x₂ = l sin (2 90/n) y₂ = p cos² (2 90/n) ...................... ...................... xn = l yn = 0 Diese Gleichungen sind unmittelbar für logarithmische Berechnung geeignet, und sie geben bei großem 1 und kleinem p auch die Coordinaten des der Sehne 21 und der Bogenhöhe p zukommenden Kreisbogens mit ganz genügender Genauigkeit. Manchmal wird, um über eine gegebene Pfeilhöhe und Spannweite einen Bogen zu verzeichnen, ein Verfahren befolgt, welches darin besteht, daß man den über p als Halbmesser beschriebenen Quadranten, sowie auch 1 in eine gleiche Anzahl gleicher Theile theilt und bei der Bestimmung der Curvenpunkte, wie aus Figur 15 ersichtlich, vorgeht. Die aus dieser Construction entspringende Curve kann ohne weiters eine verlängerte Sinuslinie genannt werden; denn ihre Gleichung in Bezug auf 0 als Coordinatenursprung ist y = p sin x/mp, wobei m = 21/πp ist. Diese Curve weicht bei großem l und kleinem p von der Parabel wohl nicht sehr ab, denn die Fläche Oab ist gleich Textabbildung Bd. 223, S. 150 während die Hälfte der Parabelfläche nämlich YXO correspondirend ausgedrückt π/3 mp² = 1,047 mp² ist; doch verläuft die Parabel schöner. Victor Thallmayer. Ungarisch-Altenburg, December 1876.