Ueber den Regulir- und Absperrapparat mit indirecter Uebertragung für hydraulische Motoren. Dr. R. Proell's Patent. Mit Abbildungen auf Tafel 11. (Fortsetzung von S. 20 dieses Bandes.) Pröll's Regulir- und Absperrapparat. Theorie des Apparates und der durch ihn veranlaſsten Regulirung des hydraulischen Motors. Theoretisches Regulirungsdiagramm. Wir machen in der Folge die Annahme, daſs die Veränderung der bewegenden Kraft durch den Apparat proportional dem vom rotirenden Massentheilchen im Abstande R der Hauptwelle zurückgelegten Wege s sei. Je gröſser die Gefällhöhe der den Motor beaufschlagenden Wassermasse und je niedriger die Höhe dieser ist, desto mehr stimmt diese Annahme mit der Wirklichkeit überein. Aber sie erscheint auch für die thatsächlich vorkommenden Höhen der Gefälle und beaufschlagenden Wassermassen anwendbar, wenn wir berücksichtigen, daſs eine genaue Feststellung des Gesetzes, wie sich die das Massentheilchen beschleunigende Kraft mit dem Wege ändert, nur in einzelnen Fällen möglich sein und sich jedesmal nach der speciellen Construction der Wasserzuführungstheile am hydraulischen Motor richten wird. Und dann auch werden sich der Bestimmung dieses Gesetzes erhebliche Schwierigkeiten in den Weg stellen, da der Nutzeffect des hydraulischen Motors wesentlich von der Gefällhöhe und der Menge der beaufschlagenden Wassermassen abhängig ist und dieser doch bei der Bestimmung der effectiven, auf die Hauptwelle kommenden und die träge Masse des hydraulischen Motors beschleunigenden Kraft berücksichtigt werden muſs. Andererseits lehrt aber auch die einfache Anschauung, daſs an Stelle der von uns angenommenen und der Proportionalität zwischen Kraft und Weg entsprechenden geraden Linie in WirklichkeitWirklichkait eine nur sehr flache, gekrümmte Curve treten wird, die insbesondere den weiteren Verlauf des theoretischen Regulirungsdiagrammes im Princip nicht ändern wird. Wir nehmen nun ferner an, der Apparat befinde sich in seiner mittleren Stellung, d.h. der Regulator halte die Kupplungshülse in der Mitte, also auſser Eingriff, der Schützen stehe demnach still und der Motor arbeite mit der halben Maximalkraft. Bezeichnen wir die der höchsten Stellung des Schützen, also der vollen Beaufschlagung entsprechende Anzahl Pferdestärken mit Nm, so würde also der Motor bei mittlerer Stellung des Schützen mit N_1=\frac{N_m}{2} Pferdestärken arbeiten. In Fig. 2 Taf. 11 bezeichne die Abscissenachse XX den rectificirten Weg des rotirenden Massentheilchens; es werde nun bei A Widerstand ausgerückt. Die dabei für jede Masseneinheit frei werdende beschleunigende Kraft p1, sei durch die Ordinate AD dargestellt. Die bis dahin constante Geschwindigkeit v des Motors, welche durch eine der X-Achse parallel gehende gerade Linie dargestellt werde, nimmt zu, so daſs im Diagramm von F ab eine Curve aufsteigt. In Folge dieser Geschwindigkeitsvermehrung im Gange des Motors veranlaſst der Regulator eine Hebung der Kupplungshülse im Apparat und führt, nachdem er eine hinreichend starke Friction erzeugt hat, bezieh. die Zähne in der Kupplung zur Berührung gelangt sind und der todte Gang in der Zahnradübertragung und dem Hebelwerk nach dem Schützen überwunden worden ist, ein Zuschützen herbei; dadurch wird die bewegende Kraft gemäſs unserer oben motivirten Annahme proportional dem Wege verkleinert. Die gerade Linie, welche diese Verminderung im Diagramm anzeigt, schneidet schlieſslich die X-Achse im Punkte O, die bis dahin erhaltene Fläche der aufgesammelten lebendigen Kraft setzt sich wie aus der Figur ersichtlich aus einem (vertical schraffirten) Rechteck und (horizontal schraffirten) Dreieck zusammen. Ueber dem Rechteck erscheint als Geschwindigkeitscurve ein Parabelbogen und über dem Dreieck der positiven lebendigen Kraft eine Ellipse, welche Curven beide tangential in einander übergehen. Wir stellen uns nun die Aufgabe, in das Diagramm die durch die Geschwindigkeitsänderung im Regulator hervorgerufene Energie ebenfalls als Curve einzutragen. Zu dem Ende setzen wir voraus, der Apparat sei mit einem Regulator unseres verbesserten patentirten Systemes versehen, wie derselbe in D. p. J. * 1878 227 13. 113. 216 beschrieben ist. Der daselbst gegebenen Theorie entnehmen wir die Gleichung: E=2\,hP\,\left(\frac{\omega^2-{\omega_0}^2}{g}\right),. . . . . . . . (1) worin ω0 die normale Winkelgeschwindigkeit der Regulatorspindel ω deren vermehrte Geschwindigkeit (\omega>\omega_0), P das Kugelgewicht, g die Beschleunigung der Schwere, h eine aus dem Mechanismus des Regulators leicht abzugreifende geometrische Strecke und E die bei der Vermehrung der Geschwindigkeit ω0 auf ω in der Regulatorhülse auftretende Energie bedeutet. Sind Ω0 und Ω die den Werthen ω0 und ω entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten der Hauptwelle des Motors, so ist \Omega R=v der Peripheriegeschwindigkeit des Massentheilchens m, welches durch die bewegende Kraft p in beschleunigte Geschwindigkeit versetzt wird, u die Tourenzahl der Regulatorspindel in der Minute, U diejenige des hydraulischen Motors, so ist \frac{\omega}{\Omega}=\frac{u}{U}, also folgt: \omega=\frac{u}{U}\,\Omega oder \omega=\frac{u}{U}\,\frac{v}{R}. . . . . . . . . (2) Setzen wir diesen Werth in Gleichung (1) ein, so folgt: E=\frac{2\,Ph}{g}\,\frac{u^2}{U^2}\,\frac{1}{R^2}\left(\frac{v^2-{v_0}^2}{2}\right). . . . . (3) oder setzen wir das Product: \frac{2\,Ph}{g}\,\frac{u^2}{U^2}\,\frac{1}{R^2}=\frac{1}{l}, . . . . . (4) so folgt: E=\frac{1}{l}\left(\frac{v^2-{v_0}^2}{2}\right). . . . . (5) Nach dem Princip der lebendigen Kräfte ist aber allgemein: \frac{v^2-{v_0}^2}{2}=\int\limits_0^sp\;ds. . . . . . (6) somit ist: E=\frac{1}{l}\int\limits_0^sp\;ds. . . . . . . . . . (7) Hat das Massentheilchen m in Fig. 2 den Weg s zurückgelegt, so ist das Integral \int\limits_0^sp\;ds der Inhalt der Fläche über dem Wege s, welche die aufgesammelte lebendige Kraft darstellt. Dabei ist es gleichgiltig, ob der Grenzwerth s < oder > DO ist. Da nun, wie leicht ersichtlich, von O ab die in ihrer Richtung weiter laufende gerade Linie BO die hinfort verzehrte lebendige Kraft darstellt, so folgt der wichtige Satz: Die Energie des Regulators ist proportional der Arbeitsfläche der aufgesammelten bezieh. verzehrten lebendigen Kraft. Stellen wir nun im Diagramm Fig. 2 die Veränderung der Energie E des Regulators durch eine Curve dar, die von A beginnt, deren Abscissen also in der Achse XX liegen, so ist leicht einzusehen, daſs nach obigem Satze im Diagramm über dem Rechteck bezieh. Dreieck der lebendigen Kräfte als Energiecurve eine gerade Linie bezieh. eine Parabel erscheinen wird, deren Achse die durch O gezogene Verticale ist. Die gerade Linie, mit welcher die Energiecurve beginnt, ist gleichzeitig Tangente an den Parabelbogen. Bezüglich des Gesetzes, nach welchem sich die Spannungen der Federn auf der Auslösungsstange mit dem Ausschlag des Zahnsectors im Apparat ändern, nehmen wir an, daſs diese Spannungen proportional der Verstellung des Schützen zu- bezieh. abnehmen. Es ist diese Annahme zulässig, da wir die Verschiebung der Auslösungsstange in Folge der mäſsigen Ausschläge des Zahnsectors und des Hebelwerkes proportional der Schützenbewegung setzen können. Combiniren wir diese Annahme mit unserer früheren, daſs auch der Schützen proportional dem Wege s des rotirenden Massentheilchens bewegt werde, so folgt, daſs wir die Veränderung der auf die Kupplungshülse reducirten Federspannungen T ebenfalls durch eine gerade Linie darstellen können, welche gegen die X-Achse um einen bestimmten. Winkel geneigt ist. Diese Gerade der Federspannungen würde überall da erscheinen, wo auch die Verstellungsgerade des Schützen ist. Erstere beginnt im Punkte F. Der Winkel, den sie mit der X-Achse einschlieſst, ist um so gröſser, je stärker die Federn sind. Das Diagramm zeigt nun, daſs die ansteigende Gerade der Federspannungen im Punkte H die Energiecurve schneidet, weil in Folge der fortgesetzten, noch über O hinaus währenden Verstellung des Schützen die Energiecurve, nachdem sie über O, entsprechend dem Maximum von angesammelter lebendiger Kraft, in G ihren höchsten Punkt erreicht hat, sich wieder der Abscissenachse nähert, während die Gerade der Federspannungen sich von derselben noch weiter entfernt. Somit müssen sich beide schneiden. Tritt dies ein, so heilst dies, die mit der Verstellung des Schützen wachsende Federspannung ist gleich der Energie des Regulators geworden. Der Regulator kann in seiner obersten Lage nun nicht mehr verbleiben. Unter dem Einfluſs der wachsenden Federspannung wird die Kupplungshülse ausgerückt und die fortgesetzte Verstellung des Schützen eingehalten. Die Ordinaten der Energiecurve über dem Anfangsweg AB stellen Energiewerthe dar, welche gewissermaſsen für die Regulirung verloren gehen, da die Verstellung des Schützen erst im Punkte B statt in A beginnt. Wir nennen daher die gröſste Ordinate BF den Energieverlust und setzen denselben = E1. Derselbe setzt sich aus mehreren Gröſsen zusammen, zunächst aus dem Energieverlust E0, welcher daher rührt, daſs in Folge von nicht zu vermeidenden Reibungen der Regulator nach erfolgter Geschwindigkeitsänderung nicht sofort die Kupplungshülse aus- bezieh. einrückt und sich erst ein wenig Energie E0 ansammeln muſs, bevor diese schädlichen Reibungen überwunden sind, ferner aus dem Energieverlust E2, daher rührend, daſs einerseits bei dem Frictionswendegetriebe erst die Energie des Regulators bis zu dem für die Bewegung des Schützen nothwendigen Frictionsdrucke anwachsen muſs, andererseits bei der Zahnkupplung (namentlich wenn nur ein Mitnehmerzahn vorhanden ist) todter Gang vorhanden ist. Mag E2 in diesem oder jenem Falle auch wesentlich verschiedene Werthe annehmen, so wird man doch allgemein E_1=E_0+E_2 setzen können. Nach der allgemeinen Gleichung (7) ist nun: E_1=E_0+E_2=\frac{1}{l}\int\limits_0^{s_1}p\;ds . . . (8) worin s1 = AB (Fig. 2) ist. Nun ist aber \int\limits_0^{s_1}p\;ds gleich dem Inhalt des Rechteckes ABCD, welchen wir mit \frac{J}{2} bezeichnen wollen, also folgt J=2\,l(E_0+E_2). . . . . . . . . . . (9) oder allgemein, wenn wir für l den Werth aus Gleichung (4) einsetzen: J=\frac{g}{Ph}\,\frac{U^2}{u^2}\,R^2\,(E_0+E_2). . . . . (10) Weiter ergeben sich für die die Masseneinheit beschleunigende Kraft p folgende Beziehungen. Ist N die Anzahl der in der Peripherie des Kreises R (Riemenscheibenumfang u.s.w. in Meter gemessen) an der Hauptwelle auftretenden Pferdestärken, so ist bekanntlich die Umfangskraft K nach der Gleichung bestimmt: K=\frac{716,2\,N}{UR}. . . . . . . . . . . . . . . . (11) Nun ist, wenn M die gesammte auf den erwähnten Kreis reducirte, in Rotation befindliche träge Masse des Motors mit der daran hängenden Transmission den nicht ausgerückten Arbeitsmaschinen u.s.w. bedeutet: p=\frac{K}{M}, also auch p=\frac{716,2\,N}{URM}. . . (12) Bezeichnen wir im Speciellen mit p1 die im Punkte A auftretende bewegende Kraft, mit N1, die ausgerückten Pferdestärken, so folgt: p_1=\frac{716,2\,N_1}{URM}. . . . . . . . . . . . . . . . . (13) Mit Hilfe der im Vorstehenden hergeleiteten Gleichungen und Beziehungen können wir nun das theoretische Regulirungsdiagramm wie folgt construiren. Gegeben seien die Werthe U, R, M und die ausgerückte Anzahl Pferdestärken. Dann berechnet sich zunächst nach Gleichung (13) die bewegende Kraft für die Masseneinheit p. Sind im Weiteren für den Regulator die Werthe P, h, u gegeben und für E0 und E2 bestimmte Werthe angenommen, so berechnet sich nach Gleichung (10) der Werth J. Da nun \frac{J}{2}=\int\limits_0^{s_1}p\;ds=p_1s_1 gesetzt wurde, so folgt: s_1=\frac{J}{2\,p_1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14) Der Weg s0 – s1, welchen das rotirende Massentheilchen von A bis zum Punkte J zurücklegt, ergibt sich aus der totalen Verstellungszeit tm des Apparates, wie folgt. Bezeichnet man letztere mit tm und mit v die mittlere lineare Geschwindigkeit des Massentheilchen m, so ist angenähert (wegen der im Allgemeinen geringen Geschwindigkeitsschwankungen): s_m=vt_m=\frac{R\,\pi\, U}{30}\,t_m. . . . . . . . . . . (15) Die totale Verstellungszeit tm setzen wir für den Apparat als bekannt, bezieh. gegeben voraus; dieselbe ist auſser durch die dem Apparat zu Grunde gelegten Dimensionswerthe auch durch die minutliche Tourenzahl des Regulators bestimmt. Aus Gleichung (15) berechnet sich der Werth sm. Ist Nm die Maximalpferdestärke, so ist: \frac{N_1}{N_m}=\frac{s_0-s_1}{s_m}, also s_0-s_1=s_m\,\frac{N_1}{N_m}. . (16) Aus den Gröſsen p1 Gleichung (13), s1 Gleichung (14) und s_0-s_1, Gleichung (16) können wir nun die Fläche der angesammelten lebendigen Kraft verzeichnen; die Verstellungsgerade des Schützen schlieſst mit der Abscisse einen Winkel φ ein, welcher sich aus der Gleichung tg\,\varphi=\frac{p_1}{s_0-s_1} bestimmt. Zur Construction der Energiecurve bestimmen wir zunächst nach Gleichung (4) den Werth \frac{1}{l}=\frac{2\,Ph}{g}\,\frac{u^2}{U^2}\,\frac{1}{R^2}. Setzen wir denselben in die allgemeine Gleichung (7) ein, so folgt: E=\frac{p_1s_0}{l}. Diesen Werth errichten wir als verticale Strecke JL in J (Fig. 3). Verbinden wir AL, so muſs offenbar diese Linie die Energiecurve über dem Wege s_0=AJ sein und nach dem Früheren die Tangente an die von F nunmehr beginnende Energieparabel. Nach den geometrischen Eigenschaften der Parabel gewinnen wir deren Scheitelpunkt, wenn wir durch F eine Horizontale ziehen und den Abschnitt LE in G halbiren. Die Ordinate GJ stellt dann die Energie des Regulators in der Kupplungshülse dar, wenn die Ansammlung von lebendiger Kraft ein Maximum geworden ist. Wir ziehen nun von B aus eine Gerade unter einem Winkel ψ, welcher der Spannung der Feder entspricht und durch die Gleichung: tg\,\psi=\frac{2\,T_m}{s_m}. . . . . . . . . . . . . (17) bestimmt ist, wenn mit Tm die Maximalspannung der Feder bezeichnet wird, welche eintritt, wenn der Zahnsector des Apparates von der Mitte ganz nach rechts oder links sich umgelegt hat und demzufolge der Schützen sich in seiner tiefsten bezieh. höchsten Lage befindet. Die Ordinate FB bedeutet im Diagramm den Energieverlust E1. Nehmen wir nun an, in Folge desselben höre die Bewegung des Schützen um eben so viel früher auf, als sie später angefangen hat (eine Annahme, welche bei der Frictionskupplung streng richtig und bei der Zahnkupplung angenähert ist), so endet im Diagramm die Verstellungsgerade des Schützen im Punkte H, wenn gerade MN-MK=E_1 geworden ist. Bis N reicht also auch nur die Energieparabel. Jetzt beginnt die Stillstandsperiode des Schützen, gekennzeichnet durch eine von H aus parallel zur X-Achse laufende Gerade. In N setzt sich als Fortsetzung der Energiecurve eine Gerade an, welche Tangente an die Energieparabel ist. Nachdem im Punkte S wieder SQ-SP=E_1 geworden ist, beginnt wieder die Verstellung des Schützen, jetzt aber im entgegengesetzten Sinne, dargestellt durch die Linie TO1. Ueber O1 erreicht die an P tangential ansetzende Energieparabel ein relatives Minimum, hinter welchem die Energieparabel wieder aufzusteigen beginnt, bis abermals die jetzt stetig sinkende Federspannung sich der anwachsenden Energie bis auf den Energieverlust E1 genähert hat. Es erfolgt dann abermals Ausrückung im Wendegetriebe und Stillstand des Schützen. Das Diagramm läſst in seinem Verlauf nun schon deutlich erkennen, welchen Einfluſs die Auslösungsvorrichtung auf die Tödtung der lebendigen Kräfte hat. Fassen wir die Abstände der Punkte B, H und R von der Geraden SS ins Auge, so sehen wir, daſs sich dieselben allmälig verkürzen. Die Abweichungen des Schützen von der Geraden SS, in welche er sich schlieſslich einstellen soll, werden immer kleiner. Da nun die Energiecurve als eine verzerrt gezeichnete Geschwindigkeitscurve zu betrachten ist (denn die Minima und Maxima beider Curven fallen in dieselben Verticalen), so ersehen wir aus dem Verlauf derselben, daſs auch eine Verflachung der Geschwindigkeitswellen eintritt und daſs schlieſslich bis auf den der Ausgleichung sich entziehenden Energieverlust E1 verhältniſsmäſsig schnell (im Diagramm nach 1½ Geschwindigkeitswellen) ein neuer Beharrungszustand für den Motor erzielt wird. Die dem Diagramm zu Grunde liegende Gesetzmäſsigkeit läſst sich besonders in dem Verlauf und der Art der einzelnen Curven erkennen. Die Fläche der lebendigen Kräfte setzt sich aus Rechtecken und Dreiecken zusammen, über deren Aufeinanderfolge und Gröſse im Weiteren noch eine besondere Untersuchung angestellt werden soll. Die Energiecurve setzt sich aus geraden Linien und Parabelbögen zusammen, und zwar befindet sich stets über dem Rechteck der lebendigen Kraft eine gerade Strecke, über dem Dreieck derselben ein Parabelbogen. Die Geschwindigkeitscurve setzt sich zusammen aus einzelnen Bögen der drei Kugelschnitte, und zwar erscheint über dem Rechteck der lebendigen Kräfte ein Parabelbogen und über dem Dreieck derselben ein Ellipsen bezieh. Hyperbelbogen, je nachdem sich die Verstellungsgerade des Schützen der Geraden SS nähert, oder sich von dieser entfernt. Die Veränderung der Federspannungen stellt sich durch einen gebrochenen Linienzug dar. Statt des Linienzuges BKQU.... können wir auch den in Fig. 3 punktirten Linienzug FNPV.... wählen, der gegen ersteren nur um den Energieverlust E1 nach oben bezieh. unten verschoben ist und sich mit den geraden Strecken NP.... der Energiecurve deckt. Dieser Linienzug löst sich von der Energiecurve, sobald eine Verstellung des Schützen stattfindet und deckt sich mit ihr in den Stillstandsperioden des Schützen. Fig. 4 stellt dasselbe Diagramm mit Hinweglassung der Hilfslinien dar; insbesondere ist der eben erwähnte transponirte Linienzug der Federdruckgeraden allein eingetragen. Ferner ist angedeutet, daſs die Neigungen φ der Verstellungsgeraden, sowie die Neigungen ψ der Federdruckgeraden, soweit dieselben nicht auf die geraden Strecken der Energiecurve fallen, gegen die Horizontale constant sind. Es bedarf dies kaum einer Begründung, da die Functionirung des Apparates genau in derselben Weise vor sich geht, mag derselbe den Schützen heben oder senken. Aus diesen und den vorhin erwähnten Eigenschaften der im Diagramm vorkommenden Curven bezieh. Linienzüge ergibt sich folgende hoch interessante und sehr vereinfachte Construction des theoretischen Regulirungsdiagrammes. Aus der Gleichheit der Winkel φ folgt, daſs die Parabelbögen FN, PV und XY sämmtlich einer Parabel angehören und daſs, wenn wir die Geraden PV und XY sich selbst parallel und in gleicher Gröſse in das erste Parabelsegment eintragen derart, daſs V1N ∥ PV und XY ∥ V1Y1, ist, FNV1Y1 einen gebrochenen Linienzug bildet und Bogen PV = Bogen NV1 ferner Bogen XY = Bogen V1Y1 ist. Statt das Diagramm in seiner ganzen Ausdehnung zu zeichnen, können wir demnach folgende vereinfachte Construction (Fig. 5) vornehmen: Wir verzeichnen auf Grund der früher gegebenen Beziehung die Energieparabel mit der ersten geradlinigen und dem Energieverlust E1 entsprechenden Anfangsstrecke AF, ziehen von F unter dem durch Gleichung (17) bestimmten Winkel ψ einen Linienzug FNV1Y1, von welchem wir zunächst annehmen wollen, daſs er im Scheitelpunkt der Parabel endet. Bezeichnen wir den Schnittpunkt der ersten Geraden FN mit der Parabelachse mit Z, so ist der Abstand ZJ gleich der Entfernung der in Fig. 4 von Y aus entsprechend dem neuen Beharrungszustand horizontal verlaufenden Energiegeraden. Dies erhellt sofort, wenn wir in Fig. 4 die Punkte P, V, X, Y auf die durch die Punkte N, V1 und Y1, gezogenen Verticalen projiciren und den in Fig. 4 punktirten und mit Pfeilen besetzten Linienzug NP2V2X2 bilden. Da NP2 = V2X2 = 2 E1 ist, so muſs die verticale Projection von Y nach Z fallen. Je weiter in Fig. 4 der Punkt Y als Anfangspunkt eines neuen Beharrungszustandes von der Abscissenachse zu liegen kommt, desto gröſser ist die Abweichung der neu gewonnenen Normalgeschwindigkeit von der ersten. Der Abstand ZJ läſst also in Fig. 5 sofort erkennen, wie groſs diese Abweichung sein wird. Wir nennen dem entsprechend die Strecke ZJ die unausgeglichene Energie Dieselbe erscheint aber nur in der gedachten Gröſse, wenn die Anzahl n der vom Linienzug in Fig. 5 eingeschlossenen und schraffirten Dreiecke eine ungerade ist. Je nach der Gröſse des Winkels ψ kann n ungerade oder gerade ausfallen. Der letztere Fall ist der Fig. 6 zu Grunde gelegt. Legen wir durch die Eckpunkte des gebrochenen Linienzuges Verticalen, so finden wir, wenn von N anfangend der den Energieverlust 2 E1 berücksichtigende Linienzug gebildet wird, daſs wir dann auf dem Wege NP2V2X2ZTQ nach Z1 kommen, wobei JZ1= 2 E1 ist. In diesem Falle ist also die Strecke Z1J die unausgeglichene Energie. Beide Fälle unterscheiden sich also nur dadurch, daſs wenn n gerade der Abstand ZJ noch durch das Maſs 2 E1, zu verkleinern ist. Nun ist auch ersichtlich, wie sich die Verhältnisse gestalten, wenn die Zickzacklinie nicht genau im Scheitelpunkt endet, welcher Fall in Wirklichkeit oft eintreten wird. In Fig. 7 ist derselbe dargestellt. Wir haben dann wieder durch die Eckpunkte der Zickzacklinie NV1Y1 (wobei jetzt Y1, nicht im Scheitelpunkt der Hyperbel liegt) Verticalen zu ziehen und im Abstande 2 E1 unter N beginnend den gebrochenen Linienzug P2V2X2ZZ1 zu bilden. Augenscheinlich ist nun die Strecke Z1J1 die unausgeglichene Energie; Fig. 8 stellt den letzteren der beiden allgemeinen Fälle dar, indem der letzte Punkt Y1 links von der Parabelachse zu liegen kommt. Der gebrochene Linienzug NP2V2X2TQZ1 endet auf der letzten durch Y1 gelegten Verticalen und die Strecke Z1J1 gibt die unausgeglichene Energie. Dieselbe kann, wie aus den Figuren hervorgeht, positiv oder negativ ausfallen. Im Folgenden sollen nun die Gröſsen, welche wir bis dahin in den Figuren 4 bis 8 durch Construction gefunden haben, rechnerisch bestimmt werden, wobei sich noch interessante Beziehungen für die Verminderung der Flächen der lebendigen Kräfte ergeben werden. Wir legen in Fig. 9 durch den Anfangspunkt F der Energieparabel ein rechtwinkliges Coordinatensystem, dessen Y-Achse parallel der Parabelachse geht, und zeichnen unter dem Winkel ψ in die Parabel die Zickzacklinie FABCD ein, wobei wir annehmen, daſs dieselbe im Scheitelpunkt D der Parabel endige. Die Abstände der Eckpunkte FABC von der Parabelachse bezeichnen wir der Reihe nach mit b1 bis b4. Gleichzeitig verzeichnen wir unter der X-Achse das der ersten Energieparabel entsprechende Dreieck der lebendigen Kräfte, dessen Hypotenuse als Verstellungsgerade des Schützen unter dem Winkel φ gegen die Horizontale geneigt ist. Es ist nun der Inhalt des schraffirten Trapezes auf ein zweites durch A gelegtes Coordinationssystem bezogen: \int\limits_0^sp\;ds=p_1s-s\,\frac{s\,tg\,\varphi}{2}, oder \int\limits_0^sp\;ds=b_1s\,tg\,\varphi-\frac{s^2}{2}\,tg\,\varphi. . . . (18) Nach Gleichung (7) ist aber E=\frac{1}{l}\int p\;ds, also E=\frac{s}{l}\,tg\,\varphi\left(b_1-\frac{s}{2}\right). . . . . . . . . . (19) Wir messen jetzt E und T vorübergehend von der durch F gehenden horizontalen Ordinatenachse. Andererseits folgt nach Fig. 8: T=s\,tg\,\psi . . . . . . . . . . . . . . . . . (20) Wenn s=b_1, so folgt nach Gleichung (19): J=E_{max}=\frac{{b_1}^2\,tg\,\varphi}{2\,l}. . . . . . . . . . (21) Es erfolgt Auslösung in der Kupplung, also Stillstellung des Schützen, wenn T=E wird, also wenn, unter Bezeichnung der horizontalen Projection von FA mit s0, nach Gleichung (20) und (19), s_0\,tg\,\psi=\frac{s_0}{l}\,tg\,\varphi\left(b_1-\frac{s_0}{2}\right) ist. Hieraus folgt: b_1=\frac{s_0}{2}+\frac{l\,tg\,\psi}{tg\,\varphi}. . . . . . . . . . . . . . (22) Aus der Figur 8 folgt nun b_2=s_0-b_1 oder auch b_2-b_1=s_0-2\,b_1. Führen wir auf der rechten Seite für b1 den Werth aus Gleichung (22) ein, so folgt: b_2-b_1=s_0-s_0-\frac{2\,l\,tg\,\psi}{\tg\,\varphi}=\frac{-2\,l\,tg\,\psi}{tg\,\varphi}. . . (23) Die Differenz zweier auf einander folgender Abstände der Eckpunkte der Zickzacklinie von der Parabelachse ist somit constant. Setzen wir: \frac{2\,l\,tg\,\psi}{tg\,\varphi}=a, . . . . . . . . . . . . . . . . . . (24) so folgt b_2=b_1-a. Ebenso folgt nun, wie leicht einzusehen, b_3=b_2-a=b_1-2\,a und b_4=b_3-a=b_1-3\,a, also allgemein: b_n=b_1-(n-1)\,a . . . . . . . . . . . . . (25) Wir können nun weiter bilden b_n-b_{n+1}=a. Setzen wir hier den Werth von bn aus Gleichung (25) ein, so folgt b_1-(n-1)\,a-b_{n+1}=a. Nun ist aber, da wir die Zahl der schraffirten Dreiecke ausdrücklich = n setzten, b_{n+1}=0, somit folgt: b_1-(n-1)\,a=a und b_1=n\,a . . . . (25a) Die Abstände b sind gleichzeitig auch die Basen der Beschleunigungsdreiecke (Dreiecke der lebendigen Kräfte); da nun p=b\,tg\,\varphi ist, so folgt auch nach Gleichung (25): p_n=b_n\,tg\,\varphi=[b_1-(n-1)\,a]\,tg\,\varphi . . . (26) oder wenn wir b_1\,tg\,\varphi=p_1 und a\,tg\,\varphi=e einer constanten Gröſse setzen: p_n=p_1-(n-1)\,e . . . . . . . . . . . . . . (27) Aus der Gleichung a=\frac{2\,l\,tg\,\psi}{tg\,\varphi} folgt: a\,tg\,\varphi=2\,l\,tg\,\psi=e . . . . . . . . . . . . . . (28) Aus Gleichung (25a) ergibt sich n=\frac{b_1}{a}=\frac{b_1\,tg\,\varphi}{2\,l\,tg\,\psi}. Nun ist aber b_1=\frac{p_1}{tg\,\varphi}, daher folgt: n=\frac{p_1}{2\,l\,tg\,\psi}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (28a) Beachten wir, daſs, wie aus Fig. 4 unmittelbar folgt, die Zahl n auch die Anzahl der Maxima und Minima der Energiecurve, also auch der Geschwindigkeitscurve ist, so erkennen wir in dem Werthe n die Anzahl Schwankungen, die im Gange des hydraulischen Motors vom Beginn der Gleichgewichtsstörung bis zur Wiedergewinnung des neuen Beharrungszustandes vorkommen. Aus Gleichung (25) und (27) folgt somit folgender Satz: Die Abstände b in dem gebrochenen Linienzug der Federdruckgeraden, sowie die beschleunigenden verzögernden Kräfte nehmen hinsichtlich ihrer absoluten Gröſse nach einer arithmetischen Progression ab. Die charakteristische Strecke ZJ bezieh. Z1J in Fig. 5 und 6 nannten wir die unausgeglichene Energie. Bezeichnen wir dieselbe mit Ez, so ist nach Gleichung (5): E_z=\frac{1}{l}\left(\frac{{v_z}^2-{v_0}^2}{2}\right); dividiren wir diese Gleichung beiderseits mit v02, so ist: \frac{E_z\,l}{{v_0}^2}=\frac{{v_z}^2-{v_0}^2}{2\,{v_0}^2}. . . . . . . . (29). Man bezeichnet bekanntlich den Quotienten \frac{{v_z}^2-{v_0}^2}{2\,{v_0}^2} mit i, wobei man i den Ungleichförmigkeitsgrad nennt. Hier haben wir wegen der Bedeutung von Ez die Gröſse v0 als die dem anfänglichen Beharrungszustande entsprechende Geschwindigkeit und die Gröſse vz als die nach der Gleichgewichtsstörung wiedergewonnene neue Normalgeschwindigkeit zu betrachten. Danach ist i der Ungleichförmigkeitsgrad, der nach erfolgter Regulirung noch im Motor zurückbleibt. Offenbar muſs i den kleinstmöglichen Werth erhalten. Es folgt aus Gleichung (29): \frac{E_z\,l}{{v_0}^2}=i. Setzen wir \frac{{v_0}^2}{l}=A einer constanten Gröſse, so folgt: i=\frac{E_z}{A} . . . . . . . . . . . . . . . (30) Daraus ergibt sich, daſs i um so kleiner wird, je kleiner E ausfällt. Nicht allein die Dreiecke der lebendigen Kräfte befolgen hinsichtlich ihrer allmäligen Verminderung eine gewisse Gesetzmäſsigkeit, sondern auch die Rechtecke derselben. Bezüglich dieser folgt auf Grund der Gleichung (10) der Satz: der Inhalt der Rechtecke der lebendigen Kräfte ist constant. Da nun die Höhen derselben gleich den in arithmetischer Progression abnehmenden Beschleunigungsordinaten sind, so ist damit auch das Gesetz bestimmt, wonach sich die Basen x der Rechtecke allmälig vergröſsern. Es folgt durch Verbindung von Gleichung (10) mit (27): x_n=\frac{J}{p_n}=\frac{J}{p_1-(n-1)\,e}=\frac{\frac{G}{Ph}\,\frac{U^2}{u^2}\,R^2\,(E_0+E_2)}{p_1-(n-1)\,2\,l\,tg\,\psi}. . . . . (31) Es bleibt nun noch ein Specialfall zu behandeln, welcher bei der Regulirung oft eintritt. (Schluſs folgt.)