Beiträge zur Kenntniſs der Mechanik weicher Körper; von Prof. Friedrich Kick und Ferdinand Polak. Mit Abbildungen. Kick und Polak, zur Kenntniſs der Mechanik weicher Körper. Den ersten Artikel (*1877 224 463) schlossen wir mit der Bemerkung, daſs das analoge Verhalten aller weichen Körper, trotz ihrer substanziell so verschiedenen Natur, den Schluſs zuläſst, daſs die Deformationsgesetze bei allen jenen Körpern, bei welchen ein Verschieben oder Flieſsen der Theilchen durch Druck erzielbar ist, die gleichen sind. Auch weitere Versuche, welche theilweise im Folgenden besprochen werden sollen, haben die Richtigkeit dieses Satzes dargethan, welchen in ähnlicher Weise bereits Tresca in seinen Mémoires sur l'écoulement des corps solids (vgl. Savants étrangers, Bd. 13 S. 756 und Bd. 20 S. 169), wie wir nachträglich lasen, ausgesprochen hat. Aus diesen sehr umfangreichen Berichten, welche mit theoretischen Betrachtungen versetzt sind, deren Annahmen wir nicht durchwegs für richtig halten, ist gleichfalls zu ersehen, welche Schwierigkeiten die verwickelten Erscheinungen der Abstraction darbieten. Das Vorschreiten auf diesem Gebiete kann nur langsam geschehen, und so wird es sich rechtfertigen, wenn das Nachfolgende als ein fernerer kleiner Beitrag zur Lösung der gestellten Aufgabe den Fachgenossen vorgelegt wird. In praktischer Beziehung am verwendbarsten dürfte wohl der nachstehende Satz, ein Ergebniſs sehr verschiedenartiger Versuche sein: Die Arbeitsgröſsen, welche zu gleichartiger und mit gleicher Geschwindigkeit erfolgender Formänderung zweier geometrisch ähnlichen und materiell gleichen Körper erfordert werden, verhalten sich wie die Volume oder Gewichte dieser Körper. Der Begriff der geometrischen Aehnlichkeit ist allgemein bekannt, und wird es daher zur näheren Erklärung dieses Satzes genügen, wenn bemerkt wird, daſs unter gleichartiger Formveränderung jene verstanden ist, wobei die beiden deformirten Körper in den einzelnen in Vergleich gezogenen Stadien der Deformation geometrisch ähnlich bleiben. Seien die Abmessungen eines prismatischen Körpers durch die Breite b1, Länge l1 und Höhe h1, die eines zweiten geometrisch ähnlichen Körpers durch b2, l2, h2 gegeben, so verhält sich b1 : b2 = h1 : h2 = l1 : l2 = 1 : a. Dann ist, wenn der Cubikinhalt (das Volum) des ersten Körpers mit V1, jener des zweiten mit V2 bezeichnet wird, V2 = a3 V1 was für geometrisch ähnliche Körper ganz allgemein gilt. Es sei nun z.B. die Arbeitsgröſse, welche erforderlich ist, den ersten Körper 1/n seiner Höhe zusammenzudrücken, gleich A1 und jene Arbeitsgröſse, welche die Zusammendrückung des zweiten Körpers auf 1/n von h2 bewirkt, gleich A2, so verhält sich A1 : A2 = V1 : V2 = 1 : a3 oder, auf die Gewichte der Körper bezogen, A1 : A2 = G1 : G2 = 1 : a3. Vergleicht man mit dem ausgesprochenen Satze die bekannten und erprobten Formeln für die Arbeitsgröſse bei Dehnung, Biegung, Torsion u. dgl., wie sie z.B. Redtenbacher in seinen Principien der Mechanik S. 66 angibt, so findet man denselben bestätigt.Für die Dehnung ist (a. a. O. S. 66) A=\frac{1}{2}\,\varepsilon\,\frac{q\lamda^2}{l}, wobei q die Querschnittsfläche, l die ursprüngliche Länge, λ die Dehnung ist. Für materiell gleiche Probestücke ist ε constant und es wird A_1:A_2=\frac{q_1{\lambda_1}^2}{l_1}:\frac{q_2{\lambda_2}^2}{l_2} und vermöge der vorausgesetzten Proportionalität der Abmessungen A_1:A_2=1:a^3, Redtenbacher hat sogar selbst schon (a. a. O. S. 67) obige Formel in der Form A=\frac{1}{2}\,\frac{p^2}{\varepsilon}\,V geschrieben, wobei p die auf die Querschnittseinheit entfallende Spannung bedeutet. Nachdem nun diese bei der vorausgesetzten proportionalen Formveränderung der beiden geometrisch ähnlichen Körper nothwendig dieselbe sein muſs, der Coefficient ε der materiellen Gleichheit wegen auch gleich bleibt, so folgt aus der letzten Gleichung unmittelbar A_1:A_2=V_1:V_2=1:a^3. Für die Biegung stellt Redtenbacher (a. a. O. S. 69) folgende Formeln auf:Fürdenparallelepipedischen StabA=\frac{1}{18}\,\frac{p^2}{\varepsilon}\,V„„runden oder elliptischen StabA=\frac{1}{24}\,\frac{p^2}{\varepsilon}\,V„„im Querschnitt dreieckigen StabA=\frac{1}{12}\,\frac{p^2}{\varepsilon}\,Valso der Form nach identisch der oben angeführten. In der allgemeinen Formel A=\frac{1}{6}\,\frac{p^2}{\varepsilon}\,\frac{El}{z} ist \frac{El}{z} stets eine Function von drei Dimensionen und für geometrisch ähnliche Körper kann daher stets \frac{E_1l_1}{z_1}:\frac{E_2l_2}{z_2}=V_1:V_2=1:a^3 abgesetzt werden. Es gilt daher unser Satz auch für die Biegung ganz allgemein, d.h. für geometrisch ähnliche Körper gleicher Masse von beliebigem Querschnitte.Für die Torsion finden sich in Redtenbacher's Resultaten S. 34 ganz analoge Formeln und lieſsen sich dieselben für geometrisch ähnliche Körper auch für Knickfestigkeit u. dgl. aufstellen.Der von Dr. Emil Winkler ausgesprochene Satz, daſs die Senkung von Gitterträgern bei gleicher Spannweite nahe proportional dem Volum ist (vgl. Technische Blätter, 1876 S. 185), fällt mit unserem Satze nicht zusammen. Redtenbacher hat in seinen Resultaten (1. Auflage S. 34) die Bemerkung gemacht, „daſs die Widerstandsfähigkeit der Körper gegen Wirkungsgröſsen, also auch gegen die Einwirkung von lebendigen Kräften, bei allen einfacheren Körperformen dem Volum proportional ist, daſs es also nur auf dieses letztere und nicht auf die einzelnen Dimensionen ankommt.“ Er sagt ferner: „Genau ist jedoch dieses Gesetz nur dann, wenn die Formänderungen der Körper nicht zu rapid erfolgen, so daſs die Einwirkung der lebendigen Kraft Zeit findet, sich über den ganzen Körper zu verbreiten.“ Hiernach wäre der gegebene Satz einerseits eine Einschränkung, andererseits eine Erweiterung des Satzes von Redtenbacher; eine Einschränkung, indem wir ihn auf geometrisch ähnliche Körperformen, welche auch bei der Deformation geometrisch ähnlich bleiben, beschränken; eine Ausdehnung hingegen, weil wir einerseits die Körperform nicht einfach, sondern beliebig voraussetzen, andererseits eine Formveränderung durch Flieſsen der Theile annehmen, eine bleibende Aenderung der Gestalt, während Redtenbacher der Natur der ganzen Entwickelung nach solche Formänderungen im Auge hatte, wie sie an die Dauer der Einwirkung geknüpft, also vorübergehend in beanspruchten Maschinentheilen, Trägern o. dgl. vorkommen. Die Widerstandsfähigkeit im Maschinenbau ist durch die gleiche specifische Spannung und den Bruch bestimmt bezieh. begrenzt; die Formveränderungen der Körper, deren Theilchen sich unter Einwirkung von Kräften verschieben (flieſsen), weisen eine solche Grenze nicht auf; daher kann der Redtenbacher'sche Satz in seiner Allgemeinheit auf sie auch nicht angewendet werden. Es bedarf keines Beweises, daſs ein und dasselbe Körpervolum ganz verschiedene Arbeitsgröſsen bei seinen Formänderungen erheischen kann, daſs sich also Redtenbacher's Satz auf bleibende Formänderungen, welche ganz verschiedenen Grades sein können, nicht bezieht. Durch den ausgesprochenen Satz ist eine Handhabe zur Bestimmung von Arbeitsgröſsen mittels Versuchen im Kleinen geboten. Hätte man z.B. die Maſse eines Dampfhammers zur Bearbeitung groſser Stahlstücke zu bestimmen, so geben die bekannten Dimensionen der Hämmer für kleine Arbeitsstücke mit Benutzung des obigen Satzes die erforderlichen Anhaltspunkte. Wäre für das Schmieden eines Stahlstückes S1 eine bekannte Schlagarbeit (Gewicht mal Hubhöhe) erforderlich, so würde für das Schmieden eines in den linearen Abmessungen fünfmal gröſsern Stahlstückes gleicher Qualität eine 5 × 5 × 5= 125 mal gröſsere Schlagarbeit erforderlich sein. Wollte man den Dampfhammer in seinen linearen Dimensionen auch fünfmal gröſser bauen, so wäre sein Fallgewicht 125mal und die Fallhöhe 5 mal gröſser, die Schlagarbeit betrüge das 625fache, wäre also entschieden zu groſs. Würde man die erforderliche 125 mal gröſsere Schlagarbeit nur durch ein 125 mal gröſseres Gewicht des Hammerbären bei gleicher Fallhöhe erzielen wollen, so würde man zu wenig rationellen Cylinderdimensionen kommen. Man muſs also die Hubhöhe auch vermehren; dadurch wächst aber die Geschwindigkeit des Schlages und mit wachsender Geschwindigkeit wird auch ein gröſserer Arbeitsverbrauch eintreten; man wird sich daher gezwungen sehen, die Zahl 125 nach aufwärts abzurunden, z.B. auf 160 zu erhöhen, die Hubhöhe doppelt, das Fallgewicht 80fach zu nehmen. Ein theoretisch genaues Vorgehen wird hier erst dann möglich sein, wenn der Einfluſs der Geschwindigkeit auf den Arbeitsaufwand festgestellt sein wird; aber einen nicht zu unterschätzenden Anhaltspunkt gewährt unsere Regel schon jetzt. Man läſst auch thatsächlich die Hubhöhe langsamer wachsen als das Fallgewicht; so haben Massey's Hämmer: bei einem Bärgewichte von 1000 1500 2000 3000 4000 5000k eine Fallhöhe von 0,825 0,975 1,125 1,35 1,5 1m,65. Aber in der Regel ist die auf kleine Schmiedestücke aufgewendete Schlagarbeit verhältniſsmäſsig weit gröſser als die auf groſse Schmiedestücke verwendete. Wenn auf ein 10k schweres Schmiedestück ein Schlag von 200mk fällt, so müſste einem 1000k schweren Schmiedestücke ähnlicher Form mindestens ein 20000mk Schlag gegeben werden, um mit derselben Intensität zu wirken, und dies geschieht meist nicht, daher auch groſse Schmiedestücke, namentlich Bessemerachsen u. dgl., nicht selten Hohlräume aufweisen. Handelt es sich um die Bestimmung der Pressungen in den einzelnen Stadien der Formänderung, oder um die Bestimmung der Maximalpressung etwa zum Zwecke der Wahl einer hydraulischen Presse, dann kann man den obigen Satz auch so aussprechen: Die Drücke, welche zur gleichartigen Formänderung zweier geometrisch ähnlichen und materiell gleichen Körper erfordert werden, verhalten sich wie die correspondir enden Querschnitte der gepreſsten Körper, Hier ist P1 : P2 = 1 : a2. Es ist leicht einzusehen, daſs dieser Satz nur eine andere Form des ersten ist; denn für zwei correspondirende Stufen der Formänderungen beider Vergleichskörper ist die Pressung mal dem Wegelemente (Differential des Weges) gleich der Arbeit. Die Wegelemente stehen auch im Verhältnisse 1 : a, daher ∫ P1 ds1 : ∫ P2 ds2 = A1 : A2 = 1 : a3. Wir gehen nun zur Darlegung einiger Versuche über, welche die Richtigkeit des gegebenen Satzes erhärten, bemerken aber im vorhinein, daſs es schwierig ist, zwei materiell ganz gleiche Körper zu erlangen, und daſs weiche Massen, wie Thon, Porzellanerde u. dgl., unter hohem Drucke Wasser abgeben und hierdurch das Resultat einigermaſsen beeinträchtigen. Tresca's umfangreiche Versuchsreihen bieten leider für die vorstehende Frage äuſserst wenig, weil unter den von ihm der Formänderung unterworfenen Körpern, so weit dieselben uns aus seiner oben angezogenen Veröffentlichung bekannt sind, sich keine solchen von genauer geometrisch ähnlicher Form bei gleicher Masse befinden, welche wesentlich abweichende Dimensionen aufwiesen und wobei zugleich die Druckverhältnisse angegeben wären. Immerhin wird es aber der Mühe verlohnen nachzusehen, wie Daten, welche annähernd den zu stellenden Anforderungen nachkommen, sich zu unserem Satze verhalten. In Bd. 20 S. 743 der Savants étrangers findet sich eine Tabelle verschiedener Lochungsproben von Blei, aus welchen zwei für unsern Fall noch am ehesten vergleichbare Proben herausgehoben werden sollen: Nr. 2 Scheibe DurchmesserDicke   60mm  24 StempeldurchmesserMaximalpressung 20mm2665k Nr. 8 Platte langbreitdick 124mm124  51 StempeldurchmesserMaximalpressung 50mm13 627k. Nach den Dimensionen der gelochten Platten betrüge das Verhältniſs nahezu 1 : 2, daher P : P' = 1 : 4 sein müſste, was die Pressung im zweiten Falle zu 10 660k ergäbe. Nach dem Verhältniſs des Stempeldurchmessers wäre P : P' = 4 : 25 oder die Pressung im zweiten Falle 16 656k; es liegt also, wie es sein muſs, die von Tresca gefundene Zahl zwischen diesen beiden. Auf S. 754 a. a. O. sind Lochungsproben von Zink in einer Tabelle angegeben; auch hier sind geometrisch ähnliche Probestücke nicht vorhanden; die gelochten Zinkplatten hatten wohl verschiedene Dicke, aber fast gleiche Länge und Breite. Halbwegs zur Vergleichung sind geeignet: Nr. 1 Durchmesser des LochstempelsBlockdicke 30mm35 Länge 117mmBreite 120 Widerstand bei 3mmEinpressung 25178k. Nr. 2 Durchmesser des LochstempelsBlockdicke 40mm45 Länge 120mmBreite 120 Widerstand bei 4mmEinpressung 38645k. Man sieht, daſs die linearen Abmessungen nahe wie 3 : 4 sich verhalten. Genau wäre dies der Fall, wenn die Blockdicke in Nr. 2 statt 45mm 46mm,6 und die Länge und Breite 160mm betragen würde. Es muſs also die Zahl 38 645k kleiner sein als jene Zahl, welche wir durch Anwendung unseres Satzes aus dem ersten Versuche erhalten würden, also kleiner wie 16/9 × 25178 = 44761, und dies bestätigt sich. Unter Tresca's zahlreichen Ausfluſsproben fanden sich zu unserem Zwecke vergleichbare nicht vor. Erwähnenswerth ist ferner, daſs die von Prof. K. Keller in der Zeitschrift des österreichischen Ingenieur- und Architectenvereines, 1879 S. 166 abgeleitete Formel für das Lochen von Eisen, welche lautet: A=D^3\pi\,40\left[\left(\frac{\delta}{D}\right)^2-0,21\right], für geometrisch ähnliche Körper zur Proportion A1 : A2 = D13 : D23 = 1 : a3 führt, also gleichfalls unseren Satz bestätigt, nachdem diese Formel als mit den Versuchen gut stimmend gefunden wurde. (D = Stempeldurchmesser, δ = Blechdicke.) Von den Verfassern durchgeführte Versuche sind folgende anzugeben. 1) Druckproben. Zwei Cylinder I und II aus weicher Porzellanmasse zwischen horizontalen Platten gedrückt: I) d1 = 51mm, h1 = 66mm; II) d2 = 35mm und h2 = 44mm; es verhält sich 51 : 66 = 35 : 45,3; beide Cylinder sind also sehr nahe geometrisch ähnlich. Bei der Deformation ergaben sich die aus folgender Tabelle ersichtlichen Werthe: Cylinder I Cylinder II Belastung Q1 Zusammen-drückung s1 Belastung Q2 Zusammen-drückung s2 k mm k mm     0,5    0,5      0,5   1   1 2   1     2,8   2   3,3   2     5,5   3   5,5   3   10,0   4   7,8   4   14,3   5 10,0   5   18,6   6 12,8   6   21,9   7 –   7   23,0   8 18,5   8   24,0   9 22,9   9 – 10 25,0 10 27 12 31,5 15 35,5 20 39,8 Aus diesen Versuchsdaten lassen sich die Arbeitsdiagramme construiren. Wir tragen für den ersten Versuch die Zusammendrückungen als Abscissen und zwar in doppelter Gröſse, als Ordinaten die Pressungen für je 1k mit 4mm auf; hierdurch erhält man die Linie I in Fig. 1. Fig. 1., Bd. 234, S. 262 Das Diagramm für den zweiten Versuch wird in der Hauptsache ebenso construirt; nur werden alle s2 noch mit dem Verhältnisse 51/35 und alle Q2 mit dem Quadrate dieses Verhältnisses multiplicirt, z.B. unter Anwendung des Proportionalwinkels. Man erhält hierdurch die Linie II in Fig. 1. Man ersieht, daſs diese beiden Curven sich so vollkommen decken, als dies bei derlei Versuchen nur immer erwartet werden kann; mangelnde Uebereinstimmung findet erst gegen Schluſs des Versuches statt, wobei das Auftreten von Rissen in der Masse und die Abnahme des Wassergehaltes in den stärker gedrückten mittleren Partien die Ergebnisse etwas unsicher machen. Die von der Abscissenachse und der Curve I begrenzte Fläche entspricht der zur Formänderung des Cylinders I gebrauchten Arbeit A1 und die durch Curve II begrenzte Fläche der Arbeit A2 × (51/35)3. Da beide namentlich bis zur Ordinate mn gleich gesetzt werden können, so erhalten wir A1 : A2 = 1 : (35/51)3 = 1 : a3 oder P1 : P2 z= 1 : a2. Geht man mit der Zusammendrückung zwischen parallelen Platten noch weiter als in den vorstehenden Versuchen, so werden die Unregelmäſsigkeiten, einerseits herrührend von den auftretenden Rissen, andererseits von der Wasserabnahme, in den zumeist gedrückten centrischen Partien, noch gröſser. Die erste Fehlerquelle läſst sich dadurch beseitigen, daſs zwischen zwei Metallcylindern gleichen Durchmessers ein bildsamer Porzellan- oder Thoncylinder gepreſst wird, welcher durch öftere Abnahme der ausgepreſsten Partien (durch Verschiebung einer Blechhülle) stets möglichst auf demselben Durchmesser erhalten wird. Die zweite Fehlerquelle läſst sich aber bei diesen Materialien gar nicht beseitigen. Wird z.B. der das Wasser ziemlich gut haltende Modellirthon etwa von 25 auf 2mm Höhe in der angedeuteten Weise zusammengedrückt, so wächst die erforderliche Pressung bei einem Durchmesser von 50mm von etwa 7 auf 100k, und untersucht man die zwischen den Preſscylindern verbliebene Thonschicht, so ist sie um das Centrum sehr hart, fast trocken und nimmt gegen auſsen an Weichheit und Feuchtigkeit zu. Wachs zeigt andere Störungen, es ist ungleich und verändert seine Widerstandsfähigkeit mit Aenderungen der Temperatur zu sehr. Ein innerhalb der Dauer der Versuche sehr constanter Körper ist gut geknetetes Brot. (Frisches Brot von der Rinde befreit, geknetet.) Mit dieser Masse wurden zwei Versuche gemacht, deren Resultate in nachfolgender Tabelle eingetragen sind. Zu den Zahlen ist zu bemerken, daſs zwar der Weg des Preſskolbens, sowie die drückende Kraft sich an dem Apparate ziemlich genau ablesen lieſs, indem der Fehler in den Wegablesungen unter 0mm,2 und jener der Kraft bei den höheren Pressungen in Folge der zusätzlichen Reibung etwa 3 Proc. betragen mochte, daſs aber die Preſsplatten nicht ganz genau parallel blieben, so daſs bei den geringen Endabständen von nur 0mm,4 die verbliebene I) Durchmesser möglichst con-stant 50mm erhalten.Ursprüngliche Höhe 38mm,3 II) D2 = 30mm       h2 = 22mm,7 Belastung Q1 Entfernung derDruckplatten h1 Q 2 h 2 Q2 × 25/9 h2 × 5/3 k mm k mm     6 30,5   2 21,0        5,5 35     6 24,0   2 17,8        5,5    29,6    7 19,0   2 13,0        5,5    21,6     7 17,0   2,7 11,9        7,5    18,2     7 14,0   3   9,0        8,2 15         9,25 11,0   3,1   8,0        8,6    13,3   10   8,9   2,9   7,0        8,2    11,7   11   7,7   3,2   6,0        9,0    10,0        12,25   6,2   3,5   5,0        9,7      8,3   16   5,0   4,2   4,0      12,0      6,6   17   4,0   6,5   3,0      18,1      5,0   18   3,4 10,0   2,0      27,7      3,3      21,5   3,0 13   1,5      36,1      2,5      26,0   2,5 20   1,0      55,5      1,7      31,0   2,0 25   0,8      69,4      1,3   36   1,7 30   0,6      83,3   1   46   1,3 37   0,4 103      0,6   56   1,1   66   0,9   86   0,6 106   0,4 Materialschicht doch nicht ganz gleich dick war, wenn auch die Differenz kaum 0mm,2 überschritten hat. Durch graphische Darstellung erhält man die beiden Diagramme I und II in Fig. 2, welche sich wieder nahezu decken. Ein völliges Zusammenfallen ist bei derartigen Versuchen selbst bei aller Sorgfalt unerreichbar; zudem sind beide Versuchskörper nicht ganz genau geometrisch ähnlich; aber auch dies ist bei solchen Massen nicht zu erzielen. Fig. 2., Bd. 234, S. 264 Bei Versuchen über die Fortpflanzung des Druckes im Sande, welche für eine Aufgabe der Ingenieurwissenschaft unternommen wurden, fanden die Verfasser gleichfalls die Giltigkeit des ausgesprochenen Gesetzes bestätigt, wenn es auch zu weit führen würde, diese Versuche hier näher zu besprechen. (Schluſs folgt.)