Die Deformationsarbeit elastischer fester Körper, Flüssigkeiten und Gase; von Dipl. Ingenieur Friedrich Steiner, o. ö. Professor an der deutschen k. k. technischen Hochschule zu Prag. Mit Abbildungen. Steiner, über die Deformationsarbeit. Wird ein aus elastischen Stäben gebildetes festes System äuſseren Kräften P1, P2 u.s.w. (Fig. 1) unterworfen, welche bei der Deformation in Richtung der Kräfte die Wege p1, p2 ... zurücklegen, und sind S1, S2 ... die Spannungen, welche hierbei in den einzelnen Stäben von der Länge l1, l2 ...., den Querschnitten F1, F2 .., den Elasticitätsmoduli E1, E2 ... entstehen, so muſs die Deformationsarbeit A der äuſseren Kräfte P gleich jener der inneren S werden, d.h. es müssen die Gleichungen bestehen: A=\frac{P_1\,p_1}{2}+\frac{P_2\,p_2}{2}+....=\frac{{S_1}^2\,l_1}{2\,E_1\,F_1}+\frac{{S_2}^2\,l_2}{2\,E_2\,F_2} . . . (1) oder kurz: A=\Sigma\,\frac{P\,p}{2}=\Sigma\frac{s^2\,l}{s\,E\,F} . . . . . . . . . . . . (2) Die in den festen und beweglichen Auflagern entstehenden Reactionen D', D'', D''' u.s.w. leisten bei starrer Unterlage keine Arbeit. Fig. 1., Bd. 251, S. 289 Fig. 2., Bd. 251, S. 289 Wir wollen nunmehr zwei einander geometrisch ähnliche Systeme I und I' untersuchen und alle auf I' bezüglichen Gröſsen wie oben bezeichnen, jedoch mit einem Striche versehen und annehmen, daſs die Längen des Systemes I' n mal gröſser als jene des Systemes I sind. Unter der Voraussetzung, daſs die Körper auch nach der Deformation einander geometrisch ähnlich bleiben, wird: \frac{\Delta\,l'}{\Delta\,l}=\frac{S'\,l'}{E\,F}\,:\,\frac{S\,l}{E\,F}=n, woraus sich S' = n2S findet, da F' : F = n2 sein muſs. Für die Deformationsarbeit von I' ergibt sich: A'=\Sigma\,\frac{S'^2\,l'}{2\,E\,F'}=n^3\,\Sigma\,\frac{S^2\,l}{2\,E\,F} . . . . . . (3) In ganz analoger Weise hat man für einen massiven Stab (Fig. 2), wenn die Ebene der Kräfte in einer Hauptebene des Stabes bleibt und mit J das Trägheitsmoment des Stabquerschnittes von der Gröſse F, mit M das Biegungsmoment, mit N die Achsialkraft in einem beliebigen Normalschnitte bezeichnet wird, für die Deformationsarbeit: A=\Sigma\,\frac{P\,p}{2}=\int\frac{M^2\,d\,s}{2\,E\,J}+\int\frac{N^2\,d\,s}{2\,E\,F} . . . . . . (4) Vergleichen wir wieder zwei geometrisch ähnliche Stäbe I und I', so tritt ds' an Stelle von V in unserer früheren Untersuchung. Soll auch nach der Deformation noch Aehnlichkeit herrschen und sind Δ ds sowie Δ ds' die Verkürzungen der Elemente in der Schwerpunktsachse gemessen, so muſs: \frac{\Delta\,d\,s'}{\Delta\,d\,s}=n=\frac{N'\,d\,s'}{E\,F'}\,:\,\frac{N\,d\,s}{E\,F}, woraus N' = n2 N, da F' : F = n2 ist. Ebenso erhält man für die Verdrehung zweier unendlich naher Querschnitte: \frac{\Delta\,d\,\varphi}{d\,s'}\,:\,\frac{\Delta\,d\,\varphi}{d\,s}=1\,:\,n=\frac{M'}{E\,J'}\,:\,\frac{M}{E\,J}. Dies gibt, da J' : J = n4 ist, M' = n3M; mithin wird die Deformationsarbeit: A'=\int\frac{M'^2\,d\,s'}{2\,E\,J}+\int\frac{N'^2\,d\,s'}{2\,E\,F'}=n^3\,\int\frac{M^2\,d\,s}{2\,E\,J'}+n^3\,\int\frac{N^2\,d\,s}{2\,E\,F}. Erwägt man nun, daſs in beiden Fällen V : V = 1 : n3 ist, wenn V und V die Volumen der Systeme I' und I bezeichnen, und dieselbe Relation für das Verhältniſs der Gewichte gilt, so hat man: Die Deformationsarbeiten, welche nothwendig sind, um geometrisch ähnliche elastische Stabsysteme oder beliebig gekrümmte Stäbe innerhalb der Elasticitätsgrenze so zu deformiren, daſs sie auch nach der Deformation geometrisch ähnlich bleiben, verhalten sich wie die Volumen bezieh. Gewichte der Systeme. Bezeichnet k die specifische Spannung in irgend einem Stabe des Systemes bezieh. die specifische Spannung in einem beliebigen Querschnitte des massiven Stabes für ein Flächenelement im Abstande v von der Schwerpunktsachse, so wird für das Stabsystem k=\frac{S}{F} und k'=\frac{S'}{F}=\frac{S}{F}, da S'=n^2S ist; für den massiven Stab: k=\frac{N}{F}+\frac{M\,v}{J} und k'=\frac{N'}{F'}+\frac{M'\,v'}{J'}=\frac{N}{F}+\frac{M\,v}{J}; d.h. die specifischen Spannungen in homologen Punkten beider Systeme bleiben dieselben. Da A=\Sigma\,\frac{P\,p}{2} und A'=n^3\,A=\Sigma\,\frac{P'\,p'}{2} ist, so findet sich leicht unter Beachtung des Umstandes, daſs p' : p = n sein muſs, daſs sich die deformirenden äuſseren Kräfte wie die Quadrate homologer Seiten der ähnlichen Körper verhalten müssen. Die vorgeführten Sätze ermöglichen, den Zusammenhang zwischen Modell und Ausführung zu überblicken. Wollen wir die Deformationsverhältnisse eines Balkens I' an einem Modelle I, dessen Abmessungen den n ten Theil von I' betragen, studiren, so haben wir, um analoge Deformationen zu erzielen, die Belastung n2 mal kleiner zu machen.Für n = 100 z.B. tritt an Stelle von 1 Tonne des Originales 0,1 Kilogramm im Modelle.Man hat sich jedoch wohl zu hüten, die Deformationsarbeit, welche z.B. das eigene Gewicht des Brückenmodelles bei seiner Aufstellung leistet und welche meſsbare Durchbiegungen erzeugt, mit der Deformationsarbeit der ausgeführten Brücke aus demselben Materiale nach obigem Gesetze vergleichen zu wollen, da in diesem Falle die angreifenden äuſseren Kräfte (die Eigengewichte) den dritten Potenzen homologer Seiten proportional sind. Viel interessanter jedoch noch gestalten sich die erhaltenen Sätze, wenn wir sie mit den Resultaten vergleichen, welche Prof. Kick in Prag aus zahlreichen Versuchen entwickelte und ihn zur Aufstellung des Satzes führtenVgl. D. p. J. 1879 234 257. 260. 1883 247 5. 250 * 141. : Körper bestimmten Materials und bestimmter Form bedürfen zu einer bestimmten Formänderung oder Theilung einer Arbeitsgröſse, welche gleich ist dem Producte aus dem Körpergewichte in die für die Gewichtseinheit desselben Materials bei geometrisch ähnlicher Grundform und gleicher Formveränderung oder Theilung benöthigte Arbeitsgröſse, oder 1) Die Arbeitsgröſsen, welche zu gleichartiger und mit gleicher Geschwindigkeit erfolgender Formänderung zweier geometrisch ähnlichen und materiell gleichen Körper erfordert werden, verhalten sich wie die Volumen oder Gewichte dieser Körper; also A : A1 = V : V1 = 1 : a3. Hierbei ist unter gleichartiger Formänderung jene verstanden, bei weicher die beiden deformirten Körper in den einzelnen in Vergleich gezogenen Stadien der Deformation geometrisch ähnlich bleiben. 2) Die Drücke, welche zur gleichartigen Formänderung zweier geometrisch ähnlichen und materiell gleichen Körper erfordert werden, verhalten sich wie die correspondirenden Querschnitte der gepreſsten Körper, also Q : Q1 = F : F1 = 1 : a2, unter a das Verhältniſs der linearen analogen Abmessungen verstanden.In Bauschinger's Mittheilungen, 1876 Heft 6 heiſst es: „Prismen geometrisch ähnlicher Gestalt, wenn sie aus dem gleichen Materiale hergestellt sind, besitzen gleiche Druckfestigkeit“; es ist dies ein specieller Fall des obigen Satzes. Wir erkennen leicht, daſs dieses Gesetz, welches Kick auf experimentellem Wege für bleibende Deformationen gefunden hat, auch für elastische Formveränderungen von Stäben und Stabsystemen innerhalb der Elasticitätsgrenze Gültigkeit besitzt, was auch schon von Kick (vgl. 1879 234 258) ausgesprochen wurde. Diese Thatsache führt zur Frage, ob und in wie weit auch Flüssigkeiten und Gase dem genannten Gesetze unterworfen sind. Es sei dv = dx dy dz das Element eines festen Körpers und den sechs Normal- und Tangential-Spannungen σx, σy, σz bezieh. τx, τy, τz unterworfen, welche inneren Kräfte mit den gegebenen äuſseren, am Körper angreifenden Kräften im Gleichgewichte stehen. Die innere Deformationsarbeit des isotropen Körpers wird dann, wenn wir sie durch die Spannungen im Zustande der groſsten Deformation ausdrücken: A=\frac{1}{2\,E}\,\int\left[{\sigma_x}^2+{\sigma_y}^2+{\sigma_z}^2-\frac{2}{m}\,\left(\sigma_y\,\sigma_z+\sigma_z\,\sigma_x+\sigma_x\,\sigma_y\right)\right]\,d\,V+\frac{1}{2\,G}\,\int({\tau_x}^2+{\tau_y}^2+{\tau_z}^2)\,d\,V, wobei E den Elasticitätsmodul für Normalelasticität, G denjenigen für Schubelasticität bedeutet und \frac{1}{2}\ \frac{m}{m+1}\ E=G ist. Das erste der beiden Integrale bringt die Compressionsarbeit, das zweite die Verschiebungsarbeit zum Ausdrucke; auſserdem wird bei jeder Deformation der elastische Körper eine Aenderung seines Wärmezustandes erleiden, welche bei festen und flüssigen Körpern vernachlässigt werden kann. CastiglianoTheorie de l'équilibre des systèmes élastiques. Turin 1879. hat im J. 1873 und unabhängig von ihm 1882 FränkelZeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, 1882 S. 63. gezeigt, daſs die obige Deformationsarbeit stets ein Minimum wird, und dadurch die Möglichkeit geboten, bei statisch unbestimmten Belastungsfällen und Systemen die Gröſsen der Spannungen zu berechnen, worauf jetzt hier nicht näher eingegangen werden soll. Für vollkommene Flüssigkeiten werden die Tangentialspannungen sämmtlich Null, da die Theilchen der Verschiebung keinen Widerstand entgegensetzen. Das Integral der Verschiebungsarbeit verschwindet. (Vgl. auch Kick 1883 250 143.) Wird auf eine Flüssigkeit, die in einem starren cylindrischen Gefäſse I eingeschlossen ist, mittels zweier Kolben von der Fläche F, die einander gegenüberstehen, je ein Druck P ausgeübt, so pflanzt sich dieser nach allen Richtungen gleichmäſsig fort; es wird σx = σy = σz = σ. Die äuſseren Kräfte erzeugen keine Ortsveränderung der Flüssigkeitsmasse; diese wird lediglich verdichtet und die Deformationsarbeit erscheint durch den Ausdruck gegeben: A=\frac{3}{2\,E}\ \frac{m-2}{m}\,\int\sigma^2\,d\,V=\frac{3}{2\,E}\ \frac{m-2}{2m}\,\sigma^2\,V. Für ein dem ersteren geometrisch ähnliches Gefäſs I' erhält man also: A'=\frac{3}{2\,E}\ \frac{m-2}{2\,m}\,\sigma^2\,V'. Die Deformationsarbeiten verhalten sich auch hier nach dem Gesetze der proportionalen Widerstände, wie es Kick genannt hat; sie bleiben für gleiche specifische Spannungen direkt dem Volumen proportional und werden nicht zu einem relativen, sondern zu einem absoluten Minimum. Fig. 3., Bd. 251, S. 292 Für Gase gestaltet sich die Untersuchung folgendermaſsen: In einem cylindrischen Gefäſse I vom Querschnitt F und der Länge l1 werde mittels eines Kolbens, auf welchen der Druck P wirkt, das Gasvolumen V vom Gewichte G und der absoluten Temperatur T1 im Gleichgewichte erhalten (Fig. 3). Durch allmähliches Aufbringen eines Gewichtes Q werde das Gas adiabatisch zusammengepreſst, so daſs die Höhe der deformirten Gassäule auf l2 sinkt. Ganz denselben Vorgang denken wir uns mit einem Gase gleicher specifischer Spannung und Temperatur in dem zu I geometrisch ähnlichen Gefäſse I' eingeschlagen und die entsprechenden Gröſsen mit l1', P', V', T1, Q', l2' bezeichnet. Wir wollen uns nun F in so viele (m) Flächenelemente ΔF zerlegt denken, als das Gefäſs Volumengröſsen v1 vom Gewichte 1 besitzt. Ist A1 die Arbeit, welche die Gewichtseinheit leistet, indem sie von der Gröſse v1 und der Temperatur T1 in die Volumengröſse v2 von der Temperatur T2 übergeht, so wird, da die Arbeit der äuſseren Kraft A = ½ Q (l1 – l2) gleich jener der inneren Kraft sein muſs: A = ½ Q (l1 – l2) = mA1 da jedes der m Flächenelemente des Kolbens die Arbeit A1 zu überwinden hat und m = G ist. Nach dem Poisson'schen Gesetze wird bei adiabatischer Compression: A_1=\frac{R\,T_1}{\varkappa-1}\,\left[{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^{\varkappa-1}-1\right], wenn R die Constante des Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetzes, x das Verhältniſs der Wärmecapacitat bei constantem Druck zu jener bei constantem Volumen ist. Ferner wird in unserem Falle: v_1=\Delta\,F\,l_1=\frac{F\,l_1}{G} und v_2=\frac{F\,l_2}{G}; mithin \frac{v_1}{v_2}=\frac{l_1}{l_2}. Da nun für das Gefäſs I' analog v1' : v2' = l1' : l2' sein muſs und, wenn die Gasvolumen V und V' auch nach der Deformation ähnlich bleiben sollen, l1 : l2 = l1' : l2' wird, so ergibt sich A1' = A1, mithin A = GA1 und A' = G'A1, d.h. die Deformationsarbeiten sind den Gewichten der Gasmengen direkt proportional. Da nach dem Poisson'schen Gesetze: A_1={A_1}'=\frac{R}{\varkappa-1}\,\left(T_2-T_1\right)=\frac{R}{\varkappa-1}\,\left({T_2}'-T_1\right) sein muſs, so ergibt sich, daſs nach erfolgter Deformation in beiden Gefäſsen dieselbe absolute Temperatur herrscht, was sich auch aus den Prinzipien der mechanischen Wärmetheorie erklären läſst, da die Gewichtseinheiten der beiden Gasmengen denselben Zuwachs an Energie erhalten haben und diese dem Zuwachsen der Temperatur proportional sind. Da die specifische Spannung in beiden Gasvolumen dieselbe ist, verhalten sich die deformirenden Kräfte Q,, Q' wie die Kolbenflächen oder wie die Quadrate homologer Seiten der ähnlichen Körper. Es erscheint mithin das von Kick auf experimentellem Wege für bleibende Formveränderungen gefundene Gesetz auch für elastische Formveränderungen fester, flüssiger und gasförmiger Körper aufrecht und mithin als der Ausdruck eines allgemeinen Naturgesetzes. Ob, wie mit groſser Wahrscheinlichkeit vermuthet werden darf, unter der Einwirkung äuſserer Kräfte stets jene Deformationsweise eintritt, für welche die Deformationsarbeit ein Minimum wird, was bisher nur für elastische Formveränderungen fester und flüssiger Körper erwiesen ist, müssen weitere Untersuchungen lehren. Prag, im December 1883.