Ergänzungen zur Theorie der Heiſsluftmaschinen; von Joh. Engel in Hamburg. (Fortsetzung des Berichtes S. 511 d. Bd.) Mit Abbildungen. Engel, Ergänzungen zur Theorie der Heiſsluftmaschinen. A. Offene Maschinen. In den offenen Maschinen ist der Zustand 1 constant und durch den Zustand der atmosphärischen Luft bestimmt; p1 und T1 sind also bekannt. Läſst man V4 zunächst noch unbestimmt und nimmt dagegen für V1 , das Volumen der Luftpumpe des älteren Ericsson'schen Systemes, eine gewisse Gröſse an, so ist auch G, das Gewicht der thätigen Luftmenge damit festgesetzt, nach der oben erwähnten Gleichung G=\frac{V_1\,p_1}{R\,T_1} Die höchste im Kreisprozesse vorkommende Temperatur T3 ist durch die constructiven Verhältnisse der Maschine gegeben. Nimmt man zunächst auch m2 als gegeben an, so bleibt in Gl. 10 als einzige veränderliche Gröſse T2. Unter Fortlassung constanter Factoren geht Gl. 10 über in \frac{L}{V_4}\ \mbox{proportional}\ \frac{T_1+T_3-T_2-T_1\,T_3\,{T_2}^{-1}}{T_2^{\frac{m_2-1}{1}}} . . . (10a) und -\frac{1}{m_2-1}=a gesetzt \frac{L}{V_4}\ \mbox{proportional}\ (T_1+T_3)\,{T_2}^a-{T_2}^{a+1}-T_1\,T_3T_2\,a-1 (11) Dieser Werth wird in Bezug auf die Veränderliche T2 ein Maximum, wenn a\,(T_1+T_3)\,{T_2}^{a-1}-(a+1)\,{T_2}^a-(a-1)\,T_1\,T_3\,{T_2}^{a-2}=0 das heiſst, wenn T_2=\frac{a}{2\,(a+1)}\,(T_1+T_3)+\sqrt{\frac{1-a}{1+a}\,T_1\,T_3+\frac{a^2}{4\,(a+1)^2}\,(T_1+T_3)^2} oder wieder -\frac{1}{m_2-1} gesetzt, wenn T_2=\frac{T_1+T_3}{2\,(2-m_2)}+\frac{1}{2-m_2}\,\sqrt{m_2\,(m_2-2)\,T_1\,T_3+1/4\,(T_1+T_3)^2} (12) Eine offene Maschine leistet also nur dann das gröſste Maſs von Arbeit für ein bestimmtes Volumen V4, wenn die Compression und Expansion nach der adiabatischen Curve dem für T2 in Gl. 12 gefundenen Werthe entsprechen. Ein Gleiches gilt überhaupt für alle aus zwei Curvenpaaren gebildeten Kreisprozesse mit constantem Zustande 1, d.h. auch für geschlossene Maschinen ohne Luftersatzpumpe und solche Maschinen, bei denen der niedrigste Druck immer dem atmosphärischen gleich erhalten wird. Was nun den noch nicht besprochenen Werth von m2 anbelangt, also der Gröſse, von welcher die Art der Curven 2–3 und 4–1 abhängt, so kommen für offene Motoren eigentlich nur zwei der zu untersuchenden Kreisprozesse in Betracht, nämlich derjenige mit Erhitzung und Abkühlung der Luft bei constantem Volumen (m2 = – ∞) und derjenige mit Erhitzung und Abkühlung der Luft bei constantem Drucke (m2 = 0). Für m2 = – ∞ wird in Gl. 12 T_2=\sqrt{T_1\,T_3}. Hier fallen Maximum der Gewichtsarbeit und Maximum der Raumarbeit zusammen. Für m2 = 0 wird in Gl. 12 T2 = ½ (T1 + T3). Letzterer Werth für T2 wurde in dem zweiten der obigen numerischen Beispiele angenommen. Weil aber in diesem Beispiele nur eine 2 bis 3 Proc. gröſsere Raumarbeit erreicht wurde als im ersteren, so bleibt die Kenntniſs der Maximal-Raumarbeit für die offenen Motoren und solche mit niedrigem Drucke überhaupt nur von mehr theoretischem Interesse. Wichtiger wird die Kenntniſs der Raumarbeit allerdings für die Construction geschlossener Heiſsluftmaschinen mit höherem Drucke, wovon weiter unten die Rede sein wird. In nachfolgender Tabelle sind nach Gl. 12 die Werthe von T2 berechnet, für welche ein Kreisprozeſs mit dem beigesetzten Werthe von m2 die Maximal-Raumarbeit leistet, vorausgesetzt, daſs m1 = 1,41 ist, also 1–2 und 3–4 adiabatische Curven sind. Für die höchste und niedrigste Temperatur wurden je drei verschiedene Werthe angenommen. Tabelle A Kreisprozesse mit constantem Zustande 1; m1 = 1,41; die Werthe von T2 und \frac{V_4}{V_1} entsprechen dem Maximum der Raumarbeit für die betreffenden Werthe von m2. Werthe vonm2 T3 = 573 undT1 = 288 T3 = 473 undT1=303 T3 = 380 undT1 =350 T2 \frac{V_4}{V_1} T2 \frac{V_4}{V_1} T2 \frac{V_4}{V_1}     – ∞ 406,2   1 378,6   1 364,7   1     – ½ 422,5   1,225 384,9   1,147 364,9   1,004        0 430,5   1,331 388   1,219 365   1,041     + ½ 452,4   1,604 397   1,420 365,3   1,082     + ¾ 484,4   1,958 412,2   1,734 365,9   1,163     + 0,9 526,1   2,350 437,3   2,191 367,7   1,390     + 0,999 572,4280   2,717 472,5281   2,711 379,6239   2,698     + 1 573      ? 473      ? 380       ? Es ist wohl zu beachten, daſs die hier mit einander verglichenen Kreisprozesse in der höchsten Temperatur und dem Zustande 1 übereinstimmen. Der höchste Druck ist bei den verschiedenen Kreisprozessen ungleich. Aus den für T2 gefundenen Werthen geht zunächst hervor, daſs bei den aus einem adiabatischen und einem anderen Curvenpaare zusammengesetzten Kreisprozessen bei constantem Zustande 1 und gleicher höchster Temperatur das Maximum der Gewichtsarbeit nur dann mit dem Maximum der Raumarbeit zusammenfällt, wenn die Erhitzung der Luft bei constantem Volumen stattfindet. Erfolgt dagegen bei Erwärmung der Luft (auf der Curve 2–3) eine Volumenvergröſserung, so muſs, damit das Maximum der Raumarbeit erreicht werde, die Compression auf der adiabatischen Curve (1–2) höher ausfallen als erforderlich für das Maximum der Gewichtsarbeit, und zwar um so höher, je niedriger die Curve 2–5 verläuft. Der Werth von \frac{V_4}{V_1} steigt mit zunehmenden Werthen von m2; geht aber für solche Curven, die ganz nahe der isothermischen verlaufen, durchaus nicht ins Unendliche über, sondern nähert sich einer ganz bestimmten Gröſse = etwa 2,7. Ebenso ist bemerkenswerth, daſs das Verhältniſs der Temperaturen T1 und T3 immer weniger Einfluſs auf den Werth von \frac{V_4}{V_1} ausübt, je mehr die Linie 2–3 der isothermischen Curve nahe kommt. Daraus muſs geschlossen werden, daſs auch für die isothermische Curve ein Maximum der Raumarbeit existirt, worüber in Nachfolgendem noch näherer Aufschluſs gegeben werden soll. Für die isothermische Curve würde die Temperaturensumme der allgemeinen Leistungsformel gleich Null und der Werth von s2 gleich unendlich werden, so daſs die allgemeine Leistungsformel nicht auf den Carnot'schen Kreisprozeſs angewandt werden kann. Die Leistungsformel ist vielmehr, wie bekannt: L=\left(1-\frac{T_1}{T_3}\right)\,.\,V_2\,.\,p_2\,.\,lnat\,\frac{V_3}{V_2} . . . . . . (13) und, weil G=\frac{V_2\,.\,p_2}{R\,T_3}=\frac{V_4\,.\,p_4}{R\,T_1}, so ist V_2\,.\,p_2=V_4\,.\,p_4\,.\,\frac{T_3}{T_1}. Setzt man diesen Werth von V2 . p2 in (13) ein, so wird L=\left(\frac{T_3}{T_1}-1\right)\,.\,V_4\,.\,p_4\,.\,lnat\,\frac{p_1}{p_4} . . . . . . (14)                                                                          \left(\mbox{NB}.\ \frac{V_3}{V_2}=\frac{p_1}{p_4}\right) Die Raumarbeit für den Carnot'schen Kreisprozeſs ist also \frac{L}{V_4}=\left(\frac{T_3}{T_1}-1\right)\,.\,p_4\,.\,lnat\,\frac{p_1}{p_4} . . . . . . (15) oder \frac{L}{V_4} direkt proportional p_4\,.\,lnat\,\frac{p_1}{p_4}. Dieser Werth wird mit Bezug auf die Veränderliche p4 ein Maximum, wenn lnat\,p_1-lnat\,p_4-1=0, d.h., wenn oder p1 = e . p4V4 = e . V1 . . . . . . . . (16) wird. Die Zahl, auf welche die Tabelle A hinführt, ist also die Basis der natürlichen Logarithmen, e = 2,71828 . . . . . Die Maximal-Raumarbeit für den Carnot'schen Kreisprozeſs (dessen Curvenpaare bezieh. isothermische und adiabatische Linien sind) wird immer geleistet, wenn \frac{V_4}{V_1} oder \frac{p_1}{p_4}=e ist. Dieses Verhältniſs bleibt unabhängig von der Compression auf der adiabatischen Curve, also unabhängig von den Temperaturen T1 und T3 . B. Geschlossene Motoren. Die Maximalleistung der mit erhöhtem Luftgewichte betriebenen geschlossenen Heiſsluftmaschinen wird auſser durch die höchste und niedrigste Temperatur im Kreisprozesse auch durch den höchsten zulässigen Druck bestimmt, und eben wegen der Abhängigkeit zwischen Leistung und Druck muſs dieser höchste Druck in allen zu vergleichenden Kreisprozessen als eine constante Gröſse angenommen werden. Der Zustand 1 wird demnach veränderlich je nach dem Kreisprozesse und zwar wird bei constanter Temperatur T1 das Luftgewicht G um so gröſser, je gröſser der Druck p1 und das Volumen V1 werden, bei unverändert gedachtem Volumen V4. Mit einer solchen Vergröſserung des Luftgewichtes steigt auch die Leistung der Maschine, jedoch geschieht das nur bis zu einem bestimmten Grade. Von da an nimmt die Leistung wieder ab, wenn, wie vorausgesetzt, ein bestimmter höchster Druck nicht überschritten werden soll. Es sollen hier zunächst wieder diejenigen Kreisprozesse untersucht werden, in denen 1–2 und 3–4 adiabatische Curven sind. Die Raumarbeit ist allgemein: \frac{L}{V_4}=\frac{G\,.\,\frac{1}{A}\,.\,s_2\,(T_1+T_3-T_2-T_4)}{V_4} . . . . (17) Hierin ist, wie definirt, auſser T2 (und also T4) noch G veränderlich, hingegen V4 constant. Zur Erleichterung der Rechnung soll indessen zunächst V4 als veränderlich und V1 als constant gelten, so daſs vom Zustande 1 nur p1 veränderlich bleibt, wobei ein für alle Kreisprozesse constanter höchster Druck, der mit pn bezeichnet werden möge, vorausgesetzt wird. Hiernach ist es wiederum erlaubt, zunächst p1 und somit G als constant und dafür pn als veränderlich anzunehmen. Multiplicirt man nun die Leistung mit der constanten Gröſse pn und dividirt durch den jeweiligen höchsten Druck (entweder p3 oder p2 so würde man wieder die Leistung für den constanten Maximaldruck pn und ein veränderliches Luftgewicht erhalten. Für ein veränderliches G bei höchstem constanten Drucke pn ist also die rechte Seite der Gl. (17) noch mit \frac{p_n}{p_3} oder \frac{p_n}{p_2} zu multipliciren. Zunächst mögen die Kreisprozesse, in denen p3 höchster Druck ist (m2 zwischen – ∞ und 0), untersucht werden. Es sind bekanntlich G=\frac{V_3\,p_3}{R\,T_3},\ \mbox{ferner}\ V_4=V_3\,\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{1}{k-1}} Diese Werthe in Gl. (17) eingesetzt und beachtet, daſs die rechte Seite der Gleichung noch mit \frac{p_n}{p_3} zu multipliciren ist, gibt \frac{L}{V_4}=\frac{\frac{p_n}{p_3}\,.\,\frac{V_3\,.\,p_3}{R\,T_3}\,.\,\frac{1}{A}\,.\,s_2\,(T_1+T_3-T_2-T_1\,T_3\,{T_2}^{-1})}{V_3\,\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{1}{k-1}}} . . . (18) Faſst man in Gl. (18) die constanten Factoren zusammen, so erhält dieselbe folgende Form: \frac{L}{V_4}=\frac{p_n\,.\,{T_1}^{\frac{1}{k-1}}}{A\,R\,T_3}\,.\,s_2\,.\,\frac{T_1+T_3-T_2-T_1\,T_3\,{T_2}^{-1}}{T_2^{\frac{1}{k-1}}} . . . (19) also \frac{L}{V_4} direkt proportional s2 und ferner „ „ „ \frac{T_1+T_3-T_2-T_1\,T_3\,{T_2}^{-1}}{T_2^{\frac{1}{k-1}}} Der Werth von \frac{L}{V_4} wird (Entwickelung wie bei Gl. 12) ein Maximum, wenn T_2=\frac{T_1+T_3}{2\,(2-k)}-\frac{1}{2-k}\,\sqrt{k\,(k-2)\,T_1\,T_3-1/4(T_1+T_3)^2}   (20) (NB. Hier gilt für die Wurzel das negative Vorzeichen.) Setzt man T1 = 303 und T3 = 473, so wird T2 = 357,68. Die Compression muſs hier also geringer werden als diejenige für die Maximal-Gewichtsarbeit. (Schluſs folgt.)