Ueber den Wärmeaustausch zwischen Dampf und Metall eincylindriger Dampfmaschinen. Ueber den Wärmeaustausch zwischen Dampf und Metall eincylindriger Dampfmaschinen. Um den Einfluss des Wärmeaustausches zwischen Dampf und dem Metall der Cylinderwände auf den Dampfverbrauch festzustellen, sind bereits seit längerer Zeit zahlreiche theoretische und praktische Untersuchungen von hervorragenden Fachmännern angestellt worden, unter denen die bezüglichen Veröffentlichungen von Dwelshauvers-Dery, Fliegner, Grashof, Hirn, Kirsch, Unwin, Willans und Zeuner in erster Linie zu nennen sind. Nichtsdestoweniger ist es noch nicht gelungen, die im Inneren eines Dampfcylinders vor sich gehenden Erscheinungen vollständig klarzulegen, weshalb E. Cavalli, Professor der Ingenieurschule zu Rom, vor Kurzem, allerdings unter Zugrundelegung verschiedener Annahmen, über die hier in Betracht kommenden Wärmebewegungen weitere theoretische Untersuchungen anstellte, welche, in Revue universelle des mines, 1890 S. 280, veröffentlicht, das über diese wichtige Frage bereits vorhandene Material um einen weiteren Beitrag bereichern. Denkt man sich einen homogenen festen Körper von unbestimmter Dicke, welcher auf der einen Seite von einer ebenen Fläche (α) begrenzt ist, und nimmt man an, dass diese Fläche in Folge steter Wärmezufuhr eine constante Temperatur beibehält, so lässt sich, da die Wärme nach und nach in die Masse des Körpers eindringt, die Temperatur irgend einer Schnittfläche (μ) parallel zur Endfläche (α) unter Benutzung der von Cauchy auf Grund vorausgegangener Untersuchungen von Laplace und Fourier aufgestellten Formel berechnen. Bezeichnet c, k0 und γ bezieh. die specifische Wärme, das Wärme-leitungsvermögen und das Gewicht des Körpersfür den Cubikmeter in Kilo; ϑ die anfängliche gleichmässige Temperaturin der ganzen Masse; y die Temperatur der Schnittfläche μ nach einerZeit von z Stunden, gezählt vom ersten Augen-blicke der Erwärmung an; t die Temperatur, auf welche die Fläche α durchstete Wärmezufuhr erhalten wird (ϑ, y und tin Graden nach Celsius); x die Entfernung der beiden Flächen μ und αin Meter; und setzt man ausserdem \varphi=x:2\,\sqrt{\frac{k_0\,.\,z}{c\,\gamma}},\ L=\frac{2}{\sqrt\pi}\int\limits^\varphi_0l^{-\varphi^2}\,.\,d\,\varphi . . . (1) so ist nach der Formel von Cauchy y-\vartheta=(t-\vartheta)\,(1-L) . . . . . . . (2) Das Integral L, bekannt unter dem Namen des Integrals von Laplace, lässt sich innerhalb endlicher Zeiten nicht auf irgend welche Formen bringen, da es weder in Reihen noch in fortgesetzten Brüchen entwickelt werden kann. In Anbetracht seiner grossen Bedeutung für wissenschaftliche Beobachtungen hat man deshalb numerische Tafeln aufgestellt, unter denen diejenigen von Meyer (Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig 1879, S. 545) die Werthe dieses Integrals bis zur siebenten Decimalstelle angeben. Man findet hier, für \varphi=2,30, L=0,9988568, woraus 1-L=0,0011432, und erhält, wenn t-\vartheta=100^{\circ}\ \mbox{C.} gesetzt wird, y=\vartheta+0,11432^{\circ}. Setzt man für \varphi=2,30 mit genügender Annäherung y=\vartheta, so ergibt sich der entsprechende Werth für x=\delta aus \delta=4,60\,\sqrt{\frac{k_0}{c\,\gamma}\,z} . . . . . (3) Diese Entfernung δ bestimmt die Lage derjenigen Fläche des Körpers, in welcher sich die während der Zeit z fortgepflanzte Wärmemenge q' aufhält. Der algebraische Ausdruck für die Wärmemenge q' lässt sich leicht ermitteln. Betrachtet man in dem Körper ein gerades Prisma von 1 qm Grundfläche und einem Gewichte von y . dx Kilo, welches zwischen den Flächen μ und μ' von unendlich kleiner Entfernung gelegen ist, so erhält man die der Temperaturzunahme y – ϑ entsprechende Anzahl von Calorien zu: d\,q'=\gamma\ .\ c\,(y-\vartheta)\,d\,x und für die gesammte während der Zeit z in das Innere des Körpers übergeströmte Wärmemenge q' für den Quadratmeter der Fläche α: q'=c\,\gamma\int\limits^\delta_0\,(y-\vartheta)\,d\,x=c\,\gamma\,(t-\vartheta)\int\limits^\delta_0\,(1-L)\,d\,x\ \mbox{Calorien.} Diese Wärmemenge q' lässt sich auch geometrisch darstellen. Denkt man sich durch den Körper, rechtwinklig zur Fläche α, eine Gerade x und durch diese eine Fläche π gelegt, welche die Flächen α und μ in den Geraden a und m schneidet, trägt von der Geraden x auf m das Stück M0M = (t – ϑ) (1 – L), dessen Grösse sich mit Hilfe der Tabellen von Meyer ermitteln lässt, auf, so gehört das äusserste Ende M dieses Abschnittes einer Curve an, deren einzelne Punkte man erhält, indem man der Grosse x verschiedene Werthe innerhalb der Grenzen 0 bis δ beilegt. Diese in der Fläche π liegende Curve bildet mit der Grundlinie x und der Geraden a eine Fläche, deren Grösse sich nach der Simpson'schen Regel bestimmen lässt. Man erhält: F=(t-\vartheta)\int\limits^\delta_0\,(1-L)\,d\,x=0,2452\,(t-\vartheta)\,\delta also q'=0,2452\,(t-\vartheta)\,\delta\,.\,c\,.\,\gamma und unter Berücksichtigung der Gleichung (3) q'=1,128\,(t-\vartheta)\,\sqrt{k_0c\,.\,\gamma\,.\,z} . . . . . . (4) Die vorstehende Entwickelung beruht auf der Annahme, dass die Temperatur der Fläche α constant ist; dies ist in Wirklichkeit nicht der Fall, da dieselbe ursprünglich die Temperatur ϑ besitzt, welche erst allmählich in Folge von Wärmezufuhr nach z Stunden in die Temperatur t übergeht. Es lässt sich demnach die in das Innere des Körpers übergeströmte Wärmemenge nur annähernd nach Gleichung (4) bestimmen und es wird sich der genaue Werth derselben, den wir mit q bezeichnen wollen, etwas niedriger stellen, als aus der genannten Gleichung hervorgeht. Wie aber auch immer der Werth von q ausfallen mag, so muss man doch zugeben, dass die Temperatur der Fläche α während eines der Zeit z folgenden kurzen Zeitaugenblickes dz den constanten Werth t beibehält, und erhält daher stets d\,q=d\,q'=\frac{(t-\vartheta)\,\sqrt{k_0\,c\,\gamma}}{1,773\,\sqrt{z}}\,d\,z . . . . . (5) Andererseits folgt nach dem Newton'schen Gesetz, wenn T die constante Temperatur der zugeführten Wärme und k das äussere Wärmeleitungsvermögen bezeichnet: d\,q=k\,(T-t)\,d\,z . . . . . (6) Eliminirt man den Werth \frac{dq}{dz} aus Gleichung (6) und setzt denselben in Gleichung (5) ein, so erhält man nach Transformation: t=\frac{1,773\,k\,.\,T\sqrt{z}+\vartheta\sqrt{k_0\,c\,\gamma}}{1,773\,k\sqrt{z}+\sqrt{k_0\,c\,\gamma}} und setzt man \frac{1,773\,k}{\sqrt{k_0\,c\,\gamma}}=\a_0 so erhält man die sehr einfache Formel: t=T-\frac{T-\vartheta}{a_0\sqrt{z}+1} . . . . . . . (7) aus welcher sich die Temperatur der Fläche α am Ende derjenigen Zeit z bestimmen lässt, innerhalb welcher sie der Einwirkung der Wärmequelle ausgesetzt war. Für Schmiedeeisen und mit genügender Annäherung auch für Gusseisen kann man \sqrt{k_0\,c\,\gamma}=226,5 setzen (hierbei ist c= 0,113,\ k_0=58,82 und \gamma=7730 angenommen); demnach a_0=0,00783\ k . . . . . . (8) Hieraus lässt sich nun leicht der genaue Werth für die während der Zeit z in den Körper für das Quadratmeter erwärmter Fläche übergeströmte Wärmemenge berechnen. Man erhält: q=k\int\limits^z_0\,(T-t)\,d\,z =\frac{2\,k}{a_0}\,(T-\vartheta)\,\left\{\sqrt{z}-\frac{1}{a_0}\ log\ nat\,(a_0\sqrt{z}+1)\right\} oder mit Berücksichtigung des Werthes der Constanten a0: q=255,5\,(T-\vartheta)\,\left\{\sqrt{z}-\frac{1}{a_0}\ log\ nat\,(a_0\sqrt{z}+1)\right\} . . . (9) Wir wollen nun dazu übergehen, das Vorgehende auf die mit Expansion und Condensation arbeitenden eincylindrigen Dampfmaschinen in Anwendung zu bringen. In dem Cylinder einer derartigen Maschine findet bei jedem Hube die Einströmung frischen Dampfes auf derjenigen Seite statt, welche beim vorausgegangenen Hube mit dem Condensator in Verbindung stand; beim Beginne der Dampfeinströmung ist die Temperatur dieser Seite gleich oder nur wenig höher als diejenige des Wasser- und Dampfgemisches, welches in den Condensator übergetreten ist. Der mit einer höheren Temperatur vom Kessel ankommende Dampf verliert deshalb beim Eintritte in den Cylinder einen Theil seiner latenten Wärme und erwärmt die Wandungen, mit denen er in Berührung kommt. Wenn dieser Dampf gesättigt ist, so erfolgt eine theilweise Condensation, welche mit derjenigen in den Dampfzuleitungsrohren und dem Schieberkasten zusammen das auf den mittels Indicator abgenommenen Diagrammen ersichtliche Sinken der Dampfspannung verursacht. Beim Beginne der Einströmung steht das in den schädlichen Räumen eingeschlossene kleine Dampfvolumen mit verhältnissmässig grossen Oberflächen in Berührung und der energische Wärmeaustausch zwischen Dampf und Mantel verursacht eine nicht unbeträchtliche Condensation; in dem Masse jedoch, als der Kolben mit zunehmender Geschwindigkeit seinen Hub zurücklegt, wird der Wärmeaustausch theils wegen des allmählichen Warmwerdens der Wandungen, theils wegen der Abnahme des zwischen Oberfläche und eingetretenen Dampfvolumens anfänglich bestehenden Verhältnisses geringer, hört jedoch während der ganzen Einströmperiode nicht auf, in ein und derselben Richtung vor sich zu gehen. Der Cylinderdeckel, die vordere Kolbenflüche, sowie die Innenfläche des schädlichen Raumes bleiben während der ganzen Dauer der Einströmung mit dem Dampfe in beständiger Berührung, und es wird ihre Gesammtwirkung für die Flächeneinheit jedenfalls eine andere sein als diejenige der erst im Verlaufe der Kolbenbewegung allmählich mit dem Dampfe in Berührung kommenden inneren Mantelfläche des Cylinders. Deshalb ist es behufs Ermittelung der übergeströmten Wärmemenge erforderlich, eine Transformation der Gleichungen (7) und (9) vorzunehmen. Die Zeit z, gerechnet als Bruchtheil einer Stunde, welche der Kolben aus der Anfangsstellung zum Durchlaufen eines beliebigen Theiles seines Hubes braucht, lässt sich auch durch den Winkel α, um welchen sich die Kurbel von ihrer Todtpunktlage aus gedreht hat, und die Anzahl der minutlichen Umdrehungen der Schwungradwelle ausdrücken. Man hat z=\frac{\alpha}{120\,\pi\,u} Setzt man ausserdem a=\frac{a_0}{\sqrt{120\,\pi\,n}}=0,0004\,\frac{k}{\sqrt{u}} . . . . . (10) so gehen die Gleichungen (7) und (9) über in: t=T-\frac{T-\vartheta}{a\sqrt{\alpha}+1} . . . . . (11) und q=13,158\,\frac{T-\vartheta}{\sqrt{n}}\,\left\{\sqrt\alpha-\frac{1}{a}\ log\ nat\,(a\sqrt\alpha+1)\right\} . . . (12) in denen T die Temperatur des Einströmdampfes und ϑ die Temperatur der Wand beim Beginne der Einströmung bezeichnet. Die für das Quadratmeter erwärmter Fläche ermittelte Wärmemenge q dringt in die Wandungen bis auf eine Dicke d derselben, deren Werth in Meter sich aus Gleichung (3) ermitteln lässt. Setzt man \sqrt{\frac{k_0}{c\,\gamma}}=0,26, so wird \delta=0,06\,\sqrt{\frac{\alpha}{n}} Arbeitet die Maschine mit Volldruck, ohne Expansion, so wird \alpha=\pi und \delta=\frac{0,106}{\sqrt{n}} Diese Tiefe fällt hiernach um so geringer aus, je grösser n ist, und wird nie die äussere Fläche des Cylinders erreichen, solange dessen Wandstärke nicht unverhältnissmässig dünn ist. Der Wärmeaustausch an der inneren Cylinderfläche, welche nur allmählich beim Vorwärtsschreiten des Kolbens mit dem Dampfe in Berührung kommt, ist natürlich geringer, als wenn der letztere bereits vom ersten Augenblicke des Kolbenhubes an mit der während der Einströmperiode erst nach und nach frei werdenden Fläche in Berührung gewesen wäre. (Schluss folgt.)