Die Ermittelung der Stufenscheibenverhältnisse für Werkzeugmaschinen. Von Prof. Pregél in Chemnitz. Mit Abbildungen. Die Ermittelung der Stufenscheibenverhältnisse für Werkzeugmaschinen. Von grösster Wichtigkeit ist die Ausmittelung der für jede Arbeitsmaschine sachgemässen Geschwindigkeitsverhältnisse; welche durch drei Factoren bedingt ist, nämlich von den in Verwendung stehenden Räderübersetzungen, von den Verhältnissen der beiden Stufenscheiben an der Maschine und am Vorgelege und von den Umlaufszahlen des Deckenvorgeleges. Da diese letzteren am leichtesten abzuändern gehen, so bleibt für den Betriebstechniker, der mit bereits vorhandenen Maschinen sich befassen muss, bloss die Abänderung der Umlaufszahlen des Deckenvorgeleges zu seiner Verfügung. Weil aber die Werkzeugmaschinen mit Stufenscheiben ausgerüstet sind, deren Durchmesserverhältnisse sowohl einer arithmetischen Reihe entsprechen, als auch Umlaufszahlverhältnisse ergeben, die nach einer geometrischen Reihe sich ändern, so müssen mit Rücksicht darauf, dass die Durchmessersummen von je zwei zusammenlaufenden Scheiben stets gleich sein sollen, auch beide Rechenverfahren eine entsprechende Berücksichtigung finden. Zudem soll möglichst allgemein auch ein beliebiges Uebersetzungsverhältniss beider Stufenscheiben eingeführt werden, so dass die Gleichheit beider Stufenscheiben als ein Sonderfall anzusehen ist. Auch dürfte die Vorführung eines vom Verfasser entwickelten neuen graphischen Verfahrens zur unmittelbaren Bestimmung der Stufenscheibenverhältnisse nicht unwillkommen sein, welches sich auf die geometrische Reihe der Umlaufszahlverhältnisse gründet, wobei aber auch auf die Uebersetzung zwischen den beiden Stufenscheiben Bedacht genommen ist. In neuerer Zeit ist von Prof. Fischer in Hannover in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1892 Bd. 36 Nr. 20 * S. 577, eine höchst dankenswerthe Mittheilung über die Berechnung der Stufen Scheiben gemacht worden, auf welche hingewiesen wird. A. Die Stufenscheiben mit gleichmässigem Durchmesserzuwachs. Ist q = (D2 – D1) = (D3 – D2) = .... (Da – Da–1) u.s.w. (Fig. 1) der stetige Zuwachs der Nachbarscheibendurchmesser und ist a die Anzahl der Riemenläufe, so wird nach einer arithmetischen Reihe sein: D 1 = D 1 D 2 = (D1 + q) D 3 = (D2 + q) = (D1 + 2 q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D a = [D1 + (a – 1) q  . . . . . . . . . . 1) der Durchmesser der grössten Scheibe, wenn D1 derjenige der kleinsten ist. Daraus folgt: (Da – D1) = (a – 1) q bezieh. \left(\frac{D_a}{D_1}\right)\,D_1=(a-1)\,q und \left(\frac{D_a}{D_1}\right):(a-1)=\frac{q}{D_1}=x . . . . . . . . . 2) Wird das Verhältniss zwischen der grössten und kleinsten Scheibe (Da : D1) = c bezeichnet, so folgt aus Gl. 2) \frac{c-1}{a-1}=x . . . . . . . . . . 3) d. i. das auf die kleine Scheibe D1 bezogene Verhältniss des stetigen Zuwachses q an Durchmesser. Wird nun, um die Formelmenge zu beschränken, die Entwickelung nur auf das letzte Glied der Reihe beschränkt, so würde nach Gl. 1 auch D_a=D_1\,\left[1+(a-1)\,\frac{q}{D_1}\right] oder D_a=D_1\,[1+(a-1)\,x] . . . . . . . 4) bezieh. D_{a-1}=D_1\,[1+(a-2)\,x] u.s.w. werden. Hiernach wäre z.B. für a = 5 \frac{D_3}{D_1}=(1+2\,x) u.s.w. So ergibt die Einsetzung des x-Werthes aus Gl. 3) in Gl. 4) den Werth \frac{D_a}{D_1}=\left[1+(a-1)\,.\,\frac{(c-1)}{(a-1)}\right] . . . . . . . 5) und \frac{D_{a-1}}{D_1}=\left[1+\frac{(a-2)}{(a-1)}\,.\,(c-1)\right] u.s.w., woraus die Aenderung dieser Verhältnisse ersichtlich ist. Nun muss ferner für die Stufenscheibe am Deckenvorgelege der stetige Zuwachs der Scheibendurchmesser q1 wegen der Bedingung der gleichbleibenden Durchmessersumme zusammenlaufender Scheiben, also q1 = q sein. Es ist beispielsweise D2 + d3 = D3 + d2 also d3 – d2 = D3 – D2 oder q 1 = q. Hingegen wird das Verhältniss \frac{d_a}{d_1}=c_1 bezieh. \frac{q}{d_1}=x_1 sein, so dass der Werth x_1=\frac{c_1-1}{a-1} in die Gl. 4) entsprechend eingeführt das Verhältniss \frac{d_a}{d_1}=[1+(a-1)\,x_1] . . . . . . . . 6) u.s.w. gibt. Nun ist die Uebersetzung zusammenlaufender Scheiben wegen Gleichheit der Umfangsgeschwindigkeit π D 1 n 1 = π da n D 1 n 1 = da n \frac{n_1}{n} =\frac{d_a}{D_1} . . . . . . . . . 7) sofern n die Umlaufszahl der Deckentrommel ist. \frac{d_a}{D_1}=\frac{n_1}{n}=\frac{d_1}{D}\,.\,[1+(a-1)\,x_1] \frac{d_{a-1}}{D_2}=\frac{n_2}{n}=\frac{d_1}{D_1}\,.\,\frac{[1+(a-2)\,x_1]}{(1+x)} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \frac{d_1}{D_a}=\frac{n_a}{n}=\frac{d_1}{D_1}\,.\,\frac{1}{[1+(a-1)\,x]} . . . . . . 8) Die Division der ersten durch die letzte Gl. 8) bestimmt das Verhältniss der grössten zur kleinsten Umlaufszahl der Spindel \frac{n_1}{n_a}=[1+(a-1)\,x_1]\ .\ [1+(a-1)\,x] . . . . . . . . . 9) welcher durch den ausschliesslichen Betrieb der Stufenscheiben erhalten wird. Auch ist nach dem Vorhergehenden q = x . D1 und     q 1 = x1 d1 und weil q = q1 ist, so wird x 1 d 1 = x D1 also x 1 = \left(\frac{D_1}{d_1}\right)\,x sein. Wird dieser Werth in Gl. 9) eingeführt und entsprechend ausgerechnet, sowie für (a – 1) x = (c – 1) gesetzt, so entsteht das Verhältniss der beiden kleinen Scheiben \frac{D_1}{d_1}=\left[\frac{1}{c}\,.\,\frac{n_1}{n_a}-1\right]:(c-1) . . . . . 10) oder das Verhältniss der beiden Stufenscheiben zu einander bei gegebenem Verhältniss in der Stufenscheibe c=\frac{D_a}{D_1} und gegebenen \frac{n_1}{n_a}. Sonderfall: Für die Gleichheit der beiden Stufenscheiben ist: \frac{D_1}{d_1}=1 also nach Gl. 10) (c-1)=\frac{1}{c}\,\frac{n_1}{n_a}-1 somit c^2=\frac{n_1}{n_a} und da c=\frac{D_a}{D_1} ist \frac{D_a}{D_1}=\sqrt{\frac{n_1}{n_a}}, was für x1 = x auch aus Gl. 9) folgt. Hiernach ist nach Gl. 8) \frac{n_1}{n}=[1+(a-1)\,x] \frac{n_2}{n}=\frac{1+(a-2)\,x}{(1+x)} . . . . . . . . . . . . . . . . . und \frac{n_a}{n}=\frac{1}{[1+(a-1)\,x]} sowie nach Gl. 4) und 5) \frac{D_a}{D_1}=\frac{d_a}{d_1}=[1+(a-1)\,x]. Hiernach können die verschiedensten Aufgaben leicht gelöst werden, wobei nur eine Unbestimmtheit bezüglich der Rädervorgelege übrig bleibt. Da aber diese Bestimmung des Rädervorgeleges mit dem nunmehr zu entwickelnden Rechenverfahren sich theilweise deckt, so kann dies jetzt, um Wiederholungen zu vermeiden, zurückgestellt bleiben. B. Die Stufenscheiben, welche ein stetiges Verhältniss der Nachbarumlaufszahlen ergeben. Sei a die Anzahl der Riemenläufe, b = 1, 2, 3 . . . . ein Factor, welcher die Vervielfältigung der Stufenscheibenumläufe durch Räderübersetzungen angibt, und sei n1 > n2 . . . . > na . . . . > nab, also n1 die grösste, und na die kleinste Umlaufszahl der Stufenscheibe, sowie nab die kleinste gegebene Umlaufszahl der Maschinenspindel, und ist ferner p = \frac{n_1}{n_2}=\frac{n_2}{n_3}=.\ .\ .\ .=\frac{n_{a-1}}{n_a}=.\ .\ .\ .\frac{n_{ab-1}}{n_{ab}}  das stetige Verhältniss der Nachbarumlaufszahlen, so wird demzufolge die Ab- oder Zunahme der Umlaufszahlen nach den Gliedern einer geometrischen Reihe verlaufen. Hiernach ist n1 = n1 : p0 n2 = n1 : p1 n3 = n1 : p2 . . . . . . . . na = n1 : pa–1 . . . . . . . . und nab = n1 : pab–1 . . . . . . . 12) Aus dieser Gl. 12) folgt aber auch p(ab–1) = n1 : pab–1 also p=\sqrt[ab-1]{(n_1:n_{ab})} . . . . . . . 13) der Werth für das stetige Verhältniss p. Nun ist, wenn y das Räderübersetzungsverhältniss ist, nab = na : y . . . . . . 14) Hiernach folgt, wenn der Werth aus Gl. 12) eingeführt wird (n1 : pab–1) = (na : y) und hieraus y=\frac{n_a}{n_1}\,.\,p^{ab-1} . . . . . . 15) Nun ist aber \frac{n_a}{n_1} nichts weiter als das Verhältniss der kleinsten zur grössten Umlaufszahl der Stufenscheibe, welches aus Gl. 15) für den Werth b = 1 und y = 1 zu ermitteln ist. Es ist hiernach \frac{n_a}{n_1}\,.\,p^{a-1}=1 \frac{n_a}{n_1}=\frac{1}{p^{a-1}} welcher Werth, in die Gl. 15) eingesetzt; gibt y = pab–1 : pa–1 oder woraus y = pab–a= pa(b–1) . . . . . 16) die gesuchte Räderübersetzung ist. Wenn aber diese gegeben sein sollte, so kann daraus ohne weiteres das stetige Verhältniss p berechnet werden. p=\sqrt[a(b-1)]{y} . . . . . . 17) Wird jedoch die Spindel, wie es bei grossen Planscheibendrehbänken vorkommt, ausschliesslich durch Rädersätze y1 bis yb von der Stufenscheibe mit a Läufen betrieben, so ist statt y in Gl. 17) das Verhältniss (yb : y1) = y einzuführen, wobei b die Anzahl der selbständigen Rädersätze, yb aber die Gesammtübersetzung derselben angibt, so dass p=\sqrt[a(b-1)]{y_b:y_1} . . . . . . 17a) zu schreiben wäre. Für die Gleichheit der Umfangsgeschwindigkeit zusammenlaufender Scheiben folgt dann d a n = D1n1 d 1 n = Dana multiplicirt –––––––––––––––––– d 1 d a n 2 = D1Dan1na woraus n^2=\left(\frac{D_1}{d_1}\,.\,\frac{D_a}{d_a}\right)\,n_1\,.\,n_a. Für na = (n1 : pa–1) aus Gl. 12) eingestellt, folgt \left(\frac{n}{n_1}\right)^2=\left(\frac{D_a}{d_1}\,.\,\frac{D_1}{d_a}\right)\,.\frac{1}{p^{a-1}} . . . . . . . 18) Nun ist aber D_1n_1=d_an, also \frac{D_1}{d_a}=\frac{n}{n_1} u. \frac{n}{n_1}=\frac{D_a}{d_1}\,.\,\frac{1}{p^{a-1}} woraus n=\frac{D_a}{d_1}\,.\,\frac{n_1}{p^{a-1}} . . . . . . . 19) die Umlaufszahl des Deckenvorgeleges folgt. Es ist aber auch \frac{D_a}{d_1}=p^{a-1}\,.\,\left(\frac{n}{n_1}\right)=i_a. ebenso \frac{D_3}{d_{a-2}}=p^2\left(\frac{n}{n_1}\right)=i_3 und \frac{D_2}{d_{a-1}}=p^1\left(\frac{n}{n_1}\right)=i_2 endlich \frac{D_1}{d_a}=p^0\,.\,\frac{n}{n_1}=i_1 . . . . . . 20) wird, das ist das Uebersetzungsverhältniss der einzelnen zusammenlaufenden Scheiben. Nun muss als fernere Bedingung die Summe der Durchmesser zusammenarbeitender Scheiben unter allen Umständen gleich bleiben, also (D1 + da) = (D2 + da–1) = ..... = e . . . . . . . 21) sein. Da aber D1 = i1 . da D2 = i2 . da–1 . . . . . . . . Da = ia . d1 ist, so wird (D1 + da) = da (i1 + 1) = e werden, woraus d a = e : (i1 + 1) d a–1 = e : (i2 + 1) d a–2 = e : (i3 + 1) . . . .   . . . . . . . . d 1 = e : (ia + 1) . . . . . . . 21) die gesuchten Scheibendurchmesser der Deckentrommel sind. C. Die zeichnerische Ermittelung der Stufenscheibenverhältnisse. Werden die in den Gl. 12) bis 21) angegebenen Berechnungen graphisch durchgeführt, so hat man ein Mittel gewonnen, verschiedene Aufgaben über Stufenscheiben bequem, übersichtlich und rasch zu lösen. Textabbildung Bd. 287, S. 250Fig. 1. Die Genauigkeit dieser Ergebnisse, sowie der Grad der Uebereinstimmung mit der Rechnung ist selbstredend durch die Sorgfalt der Zeichnung bedingt und von der Grosse des Maasstabes abhängig. Gegebene Bestimmungsgrössen können sein: 1)\frac{n_1}{n_{ab}} das Verhältniss der grössten zur kleinsten Spindelumlaufszahl, oder 2)\frac{n_1}{n_2}=p das stetige Verhältniss der Nachbarumlaufszahlen, oder 3)y die Räderübersetzungen, und 4)a und b allemal die Anzahl der Riemenläufe und die Anzahl der Vervielfältigung der Spindelumlaufszahlen durch Rädervorgelege, wobei (b – 1) die Anzahl der Rädervorgelege ist, welche eine stetige Folge von Spindelumlaufszahlen hervorbringen.        Endlich kann noch 5) die Annahme der Umlaufszahlen n, n0 des Deckenvorgeleges in Betracht gezogen werden. Die Ermittelung des stetigen Verhältnisses p bei gegebenen \frac{n_1}{n_{ab}} folgt aus Gl. 13) p=\sqrt[ab-1]{n_1:n_{ab}} log\,p=\left(\frac{1}{ab-1}\right)\,.\,log\,\left(\frac{n_1}{n_{ab}}\right) und bei gegebener Räderübersetzung y aus Gl. 17) p=\sqrt[a(b-1)]{y} wobei log\,p=\frac{1}{a\,(b-1)}\,.\,log\,y ist. Textabbildung Bd. 287, S. 251Fig. 2. Graphisch können diese Werthe bei Verwendung einer logarithmischen Spirale (Fig. 2) gefunden werden, indem man den zwischen den Fahrstrahlen n1 und nab = n10 liegenden Bogenwinkel in (ab – 1) Theile eintheilt, so ist das Verhältniss zweier Nachbarfahrstrahlen das gesuchte p, bestimmt durch den Winkel α. (Vergl. 1892 286 7). Ebenso wird bei gegebener Räderübersetzung y=\frac{y}{1} zum Fahrstrahl 1 der Fahrstrahl y in der logarithmischen Spirale bezeichnet und der Bogenwinkel zwischen beiden in a (b – 1) Theile getheilt, so ist das Verhältniss zwischen zwei Nachbar fahr strahlen das gesuchte p. Textabbildung Bd. 287, S. 251Fig. 3. Doch mag hier vorbemerkt sein, dass für die Bestimmung von p die logarithmische Rechnung der Ermittelung mit der Spirale den Vorzug verdient, weil Curven und Bogeneintheilungen das Ergebniss manchmal doch nachtheilig beeinflussen können. Hat man p ermittelt, so kann man ohne weiteres im Verhältnisswinkel YAF = α für eine gegebene Umlaufszahl n1 maasstäblich die weiteren Umlaufszahlen n2, n3 bis na u.s.w. abstechen, wie es in Fig. 3 gezeigt ist. Ist nun p bestimmt, so entwickelt man die Potenzen von p, also p2, p3.... pa für eine beliebig zu wählende Einheitsgrösse, die jedoch für spätere Rechnungen streng beizubehalten ist. Textabbildung Bd. 287, S. 251Fig. 4–5. Auf die Geraden AE (Fig. 4) und AF wird (am besten verhältnissmässig grösser) p0 = 1 und p1 = p aufgetragen, also der Verhältnisswinkel α = FAE gezeichnet, so wird \frac{p^5}{p^4}=\frac{p^4}{p^3}=\ ....\ =\frac{p^1}{p^0}=p sein, also auch beispielsweise nach Gl. 16) y = pa(b–1) für a = 5, und b = 2, also für a (b – 1) = 5, p5 = y die Räderübersetzung sein. Hierauf wird für eine grösste Umlaufszahl n1 der Spindel und für eine angenommene Umlaufszahl n der Deckenwelle maasstäblich der Verhältnisswinkel EAH gezeichnet, so folgt daraus nach Gl. 20) ia : pa–1 = n : n1 woraus die Werthe i der einzelnen Uebersetzungsverhältnisse gefunden werden. Zieht man im Abstande AB = 1 eine Parallele BG zu AE, so können die Werthe (ia + 1) abgestochen werden. Wird nun der Gl. 21) entsprechend ein Abstand \frac{e}{2} (Fig. 5), welcher der Summe der Halbmesser zusammenlaufender Scheiben (bezieh. der Achsenentfernung zusammenarbeitender Stufenräder) entspricht, und werden für die verschiedenen (ia + 1) Werthe Verhältnisswinkel von C aus gebildet, welche einzeln wieder in Verhältnissdreiecke r_1:1=\frac{e}{2}:(i_a+1) zergliedert werden, so wird r1 Halbmesser der Scheibe, welche n Umläufe macht, also auch der Halbmesser R5 der Scheibe, welche n5 Umlaufszahlen erhält, u.s.w. gefunden. Ist dagegen das Verhältniss (r1 : R5) gegeben, so kann (ia + 1) gefunden, also auch n : n1 ermittelt werden. Für die Gleichheit beider Stufenscheiben wird r3 = R3, also dementsprechend die Umlaufszahl n für ein gegebenes n1 zu finden sein. Sollen jedoch die Uebersetzungsverhältnisse der einzelnen Scheiben eines gegebenen Trommelpaares ermittelt werden, um hierauf für ein bestimmtes n1 das zugehörige n bezieh. das Verhältniss p zu gewinnen, so wird die Gl. 20) angewendet \frac{D_a}{d_1}=\frac{R_a}{r_1}=i_a was durch Verhältnissdreiecke Da : d1 = ia : 1 (Fig. 6) ausgedrückt werden kann. Textabbildung Bd. 287, S. 252Fig. 6. Sind nun die Stufenscheiben nach irgend einem willkürlichen oder bekannten Gesetze ausgebildet, z.B. nach einer arithmetischen Reihe bezieh. stetigem Zuwachs an Durchmesser, so folgen verschiedene Werthe für p, also verschiedene Verhältnisswinkel FAH (Fig. 7). Textabbildung Bd. 287, S. 252Fig. 7. Aus den Verhältnissdreiecken Da : d1 = ia : 1 (Fig. 6) folgen für eine bestimmte Umlaufszahl n der Deckenwelle die entsprechenden Umlaufszahlen n1 n2 .... na der Stufenscheibe. Sollen nun Zwischenumlaufszahlen dadurch erhalten werden, indem mit einer zweiten Riemenscheibe am Deckenvorgelege derselben die Umlaufszahl n0 ertheilt wird, so handelt es sich, die Grösse dieser Zahl zu ermitteln. Wird gewünscht, dass die höheren Zwischenumlaufszahlen möglichst sich dem arithmetischen Mittel nähern, macht man also u_1=\frac{n_1+n_2}{2} so wird sofort n0 gefunden, indem man durch den Schnittpunkt des Fahrstrahls AF mit der Parallelen durch u1 eine Senkrechte E zieht. Ihr Abstand von Ay ist die gesuchte Umlaufszahl n0 im Verhältniss zu n. Ist dies auch wieder bestimmt, so können nach den angegebenen Verfahren die Durchmesser der Antriebsstufenscheiben an der Hauptantriebwelle m (Fig. 1) und dem Vorgelege mit den Umlaufszahlen n und n0 für gleiche Riemenlänge ermittelt werden. Bemerkenswerth ist noch die durch eine Wahl verschiedener Umlaufszahlen n bedingte Uebersetzung zwischen den beiden Stufenscheiben und der Einfluss derselben auf die Verhältnisse der Zwischenscheiben. Der Schnitt der Potenzlinie (pa-1) mit den Richtungslinien AH für die angenommenen Umlaufszahlen n des Vorgeleges gibt für eine Umlaufszahl n1 die Uebersetzungen ia. Werden nun die entsprechenden Verhältnissdreiecke \frac{e}{2}:(1+i_a)=r_1:1 von C aus gezeichnet, so können daraus die verschiedenen Werthe für r1 und weil (r_1+R_a)=\frac{e}{2} ist, auch die zugehörigen Ra ermittelt werden. Textabbildung Bd. 287, S. 252Fig. 8–9 Aus Fig. 8 und 9 ist nun leicht der Einfluss erkennbar, welchen die Umlaufszahlen des Deckenvorgeleges n = 80, 100, 150 und 200 auf die Verhältnisse der Stufenscheiben ausüben. So ist für das Verhältniss n1 : n = 350 : 200 die Richtungslinie AH2 (Fig. 8) bestimmend für die Grösse (i5 + 1), welche auf der Parallele p4 zwischen BG und AH2 liegt. Wird nun diese Strecke (i5 + 1) mit \frac{e}{2} in Fig. 9 in bekannter Art verbunden, so schneidet die im Abstande CE = 1 gezogene Parallele E die Strecken r1 + R5 auf der \left(\frac{e}{2}\right) ab. Ebenso folgt für das Verhältniss n1 : n = 350 : 80 die Richtungslinie H0,8 (Fig. 8), welche den kleineren Werth (i5 + 1) gibt, welcher, in Fig. 9 aufgetragen, die zweiten Werthe für (r1 + R5) zum Ergebniss hat. Hiernach kann mit geringem Aufwand von Zeit und Mühe der Einfluss der Umlaufszahl der Deckenwelle auf das Stufenscheibenverhältniss (r1 : R5) nachgewiesen werden.