Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. Von Prof. W. J. Albitzky. Mit Abbildungen. Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. In den Werken, welche der Theorie und Berechnung von Maschinenelementen gewidmet sind, findet man mitunter auch Angaben über die Zahl der Zähne, welche man in einzelnen Fällen den kreisförmigen Stirnrädern geben muss. Allein das sind nur sehr mangelhafte Angaben, welche uns entweder in Form von vereinzelt angeführten, nicht näher erörterten und gewöhnlich für beliebige Uebersetzungsverhältnisse empfohlenen Zahlen, oder in Form von Tabellen, die immer an Unvollständigkeit leiden und bei welchen man weder Angaben über die Ableitung, noch über den Gebrauch der angeführten Werthe in einzelnen Fällen finden kann, begegnen. Dank dem Bestehen dieser, für die Praxis der Construction von Maschinenelementen so empfindlichen Lücke wird bei der praktischen Ermittelung der Zähnezahlen gewöhnlich nach dem Gefühl, sozusagen aufs Gerathewohl, gehandelt. Kein Wunder daher, dass man dabei des öfteren Fehler begeht und sehr mangelhaft wirkende Constructionen zu Stande bringt. Eben diesem Sachverhalt ist auch der Umstand zuzuschreiben, dass die fabrikmässige Herstellung von gewissen Verzahnungsarten, wie z.B. die der sogen. „Triebstockverzahnung“, in Folge der mit Unrecht fest eingebürgerten Meinung, es könne bei Anwendung dieser Art von Verzahnung keine gleichmässige Bewegungsübertragung erzielt werden, fast gänzlich ausgeschlossen ist. Durch nachstehende Abhandlung soll nun die erwähnte Lücke in der technischen Literatur ausgefüllt werden. Die darin gegebenen Formeln und Tabellen sollen dem Maschinenconstructeur das Mittel zur genauen Ermittelung der für jeden speciellen Fall der Verzahnung erforderlichen Zähnezahlen in die Hand geben. In Anbetracht des Umstandes, dass die sogen. „Evolventenräder“ in die Praxis am meisten Eingang gefunden haben, wollen wir unsere Betrachtungen zunächst an dieser Art von Zahnrädern anstellen. I. Abschnitt: Evolventenverzahnung. 1) Fall der Aussenverzahnung von kreisförmigen Stirnrädern. Es bedeuten in Fig. 1 und folgenden: Kt und K_{1^t} die Theilkreise, Kk und K_{1^k} die Kopfkreise, R und R1 die Halbmesser der Theilkreise, CC1 die Verbindungslinie der Mittelpunkte dieser Kreise, BB1 die Erzeugende, welche mit der vorher erwähnten Geraden einen Winkel ϕ einschliesst, und x und x' die Zahnkopflängen. Das Stück ac der Erzeugenden BB1 stellt die sogen. Eingrifflinie, d.h. die Berührungslinie für ein jedes Zähnepaar, dar; wir wollen ihre Länge mit σ bezeichnen. Textabbildung Bd. 288, S. 157 Fig. 1. Construiren wir nun zwei Zähnepaare: Z und Z1, Zn und Z1n, deren gegenseitige Berührung in den Endpunkten a und c der Eingrifflinie stattfindet. Dann wird der zwischen den Zähnen Z und Zn liegende Bogen AA1 des Theilkreises, also der sogen. Eingriffbogen, den Weg darstellen, welcher von jedem Zahn des einen Rades während seiner Verzahnung mit dem betreffenden Zahn des zweiten Rades auf dem Theilkreise zurückgelegt wird. Nun wollen wir die Bedingungen ausfindig machen, bei welchen in unserem Zahnräderpaare nicht unter n Zähnepaare in steter Verzahnung bleiben. Zur Erfüllung dieser Bedingung ist es offenbar erforderlich, dass im Augenblick der Auflösung der Verzahnung des ersten Zähnepaares das n+ 1 Paar eben in Verzahnung einginge. Mit anderen Worten, es müssen in gewissen Augenblicken n + 1 Zähnepaare verzahnt sein, von welchen: das erste Paar vor Ende einer gegebenen, das letzte Paar bei Beginn einer neuen Phase der Verzahnung in Wirkung tritt. Haben wir daher nur zwei Zähnepaare, welche, wie in Fig. 1 angedeutet, an beiden Endpunkten der Eingrifflinie in Berührung stehen, so muss man solche, in Bezug auf ihre wirkliche gegenseitige Lage, entsprechend als das erste und bezieh. n + 1 Paar bezeichnen. Nennen wir die Theilung unserer Räder p, so erhalten wir die Länge des Eingriffbogens aus der Gleichung: ∾ AA1 = np . . . . . . . . . . 1) weil eben, nach obiger Bedingung, die Zähne Z und Zn als erster bezieh. n + 1 Zahn eines und desselben Rades zu betrachten wären. Somit dient die Gleichung 1) als analytischer Ausdruck für die Bedingung, dass in einem gegebenen Zahnräderpaare n Zähnepaare in steter Verzahnung bleiben. Nun ist bekannt, dass die Gleichmässigkeit der Bewegungsübertragung mittels Zahnräder von der Zahl der zur steten Verzahnung gelangenden Zähnepaare abhängig ist: je grösser diese Zahl, desto grösser auch die Gleichmässigkeit der Bewegungsübertragung. Der Quotient n in unserer Gleichung 1) kann in Folge dessen als Grad der Gleichmässigkeit, die Gleichung selbst als Bedingung der erforderlichen Gleichmässigkeit des Ganges der Räder benannt werden. Um nun die Dimensionen der Räder zu bestimmen, bei welchen die Bedingungen der Gleichung 1) erfüllt werden, müssen wir zunächst den Zusammenhang zwischen der Grösse der Eingrifflinie und der des Eingriffbogens ermitteln. Aus der Eigenschaft der Evolventen folgt, dass die Grösse des Abschnittes ac der Erzeugenden, welche wir mit σ bezeichnet haben, der Grösse des Bogenstückes a1c1 des Evolventenkreises gleich sein muss. Ist der Halbmesser dieses Kreises ρ, so erhalten wir: \smile\,a_1\,c_1=\smile\,D\,D_1\,\frac{\rho}{R}=\smile\,A\,A_1\,\frac{\rho}{R} Es ist daher: \smile\,A\,A_1=\sigma\,\frac{R}{\rho}=\frac{\sigma}{sin\,\varphi} und kann unsere „Bedingung der Gleichmässigkeit“ 1) auch in folgender Weise geschrieben werden: σ = np . sin ϕ . . . . . . . . . . 2) Die Grösse σ kann aber ohne weiteres in Function der Zahnkopflängen x und x1 und der Halbmesser der Zahnräder ausgedrückt werden. Zu diesem Behufe verbinden wir die beiden Endpunkte a und c der Eingrifflinie mit den Mittelpunkten der Theilkreise, und zwar: a mit C1 und c mit C. Aus den Dreiecken abC1 und bcC folgt: \left{{(R+x)^2=b\,c^2+R^2+2\,R\,.\,b\,c\,.\,cos\,\varphi}\atop{(R_1+x')^2=a\,b^2+{R_1}^2+2\,R_1\,.\,a\,b\,.\,cos\,\varphi}}\right\}\ .\ .\ 3) Aus diesen Gleichungen erhalten wir: \left{{a\,b=-R_1\,cos\,\varphi+\sqrt{(R_1\,cos\,\varphi)^2+x'\,(2\,R_1+x')}}\atop{b\,c=-R\,cos\,\varphi+\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)}\ \ \ \ \ \ }}\right\}\ .\ 3') Das Wurzelvorzeichen wurde deshalb positiv angenommen, weil der absolute Werth der Wurzel grösser ist als der der nicht unter Wurzelzeichen stehenden Glieder; die Grössen ab und bc aber, ihrer Natur entsprechend, nur positiv angenommen werden können. Da nun: ab + bc = σ, so kann die „Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung“ 2) auch in folgender Weise geschrieben werden: n\,p\,.\,sin\,\varphi=-(R+R_1)\,cos\,\varphi+\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)}+\sqrt{(R_1\,cos\,\varphi)^2+x'\,(2\,R_1+x')} Bezeichnen wir das Uebersetzungsverhältniss unserer Räder, also das Verhältniss des Halbmessers des grösseren Rades (R') zum Halbmesser des kleineren Rades (R), durch k, die Zähnezahl des Triebrades durch m und die Theilung der beiden Räder durch p. Dann erhalten wir folgende Hilfsgleichungen: mp kmp = 2πR= 2πR1 . . . . . . . . . . 4) Unter Benutzung dieser Gleichungen bringen wir die vorhergehende Gleichung zur Gestalt: n\,p\,.\,sin\,\varphi\,\leq\,-m\,p\,(k+1)\,\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi} +\sqrt{(m\,p)^2\,\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\right)^2+\frac{x}{\pi}\,(m\,p+\pi\,x)} +\sqrt{(k\,m\,p)^2\,\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\right)^2+\frac{x'}{\pi}\,(k\,m\,p+\pi\,x')} . . . . . . . . . . 5) Unter Zugrundelegung von bestimmten Grössen für die Zahnkopflängen x und x', Winkel ϕ und den „Gleichmässigkeitsgrad“ n kann für jedes gegebene Uebersetzungsverhältniss k die entsprechende Zähnezahl m des Triebrades ermittelt werden. Je grösser die Zähnezahl (m) dieses Rades, desto grösser wird die Zahl der Zähnepaare (n), die zum gleichzeitigen Eingriff gelangen, und desto grösser wird also die Gleichmässigkeit der Bewegungsübertragung. Es ist daher ohne weiteres klar, dass der aus Gleichung 5) ermittelte Werth von m das Minimum einer dem „Gleichmässigkeitsgrade“ n entsprechenden Zähnezahl ausdrückt. Selbstredend muss, falls man für m einen Bruch erhält, die nächsthöhere ganze Zahl angenommen werden. Aus diesem Grunde haben wir in Gleichung 5) ausser dem Zeichen = auch das Zeichen < eingeführt. In der Praxis werden gewöhnlich die Zahnkopflängen x und x' aus den Gleichungen ermittelt: x = εp und x' = ε'p . . . . . . . . . . 6) in welchen für den Quotienten ε und ε' meistens der Werth 0,3 angenommen wird. Was nun den Winkel ϕ anlangt; so geschieht dessen praktische Ermittelung unter Zugrundelegung der Bedingung, dass die Evolventencurve nur denjenigen Theil der Zähne des Triebrades zu begrenzen braucht, welcher thatsächlich mit den Zähnen des grösseren Rades in Berührung gelangt. Dagegen wird der übrige Theil der Zahnflanken durch in radialer Richtung gezogene Geraden begrenzt. Bei Erfüllung dieser Bedingung erhalten die Evolventenkreise die maximalen nothwendigen Dimensionen; in Folge dessen fallen die Zahnköpfe weniger spitz aus und es wird der grösste Theil des auf sie wirkenden Druckes zur Drehung der Räder verwendet. Daher können wir den unter diesen Bedingungen ermittelten Neigungswinkel ϕ als den günstigsten Winkel bezeichnen. Denjenigen Theil des Zahnes, welcher thatsächlich bei der Verzahnung betheiligt erscheint, wollen wir als activen Theil bezeichnen. Textabbildung Bd. 288, S. 158 Fig. 2. Es ist nicht schwer, für den Winkel ϕ, in Function des Halbmessers des kleinen Rades, diejenige Grösse zu ermitteln, bei welcher der obigen Bedingung Genüge geleistet wird. Es seien in Fig. 2 die Bezeichnungen der Fig. 1 beibehalten. Als erster bezieh. letzter Berührungspunkt der innerhalb des Triebrades eingreifenden Zähne wird, je nach dem Sinne der Drehung der Räder, der Berührungspunkt des äussersten Punktes des Zahnkopfes des grösseren Rades mit irgend einem Punkte der Zahnlücke des Triebrades dienen. Der gemeinte Punkt muss in Folge dessen auf dem Kopfkreise K_{1^k} liegen; es sei a dieser Punkt. Da nun a, nach der obigen Bedingung, als Anfangspunkt der Evolvente dienen soll, so muss auch die Gerade aC diese letztere tangiren, während die Gerade ab, welche den Berührungspunkt a der Zähne mit dem Berührungspunkte b der Theilkreise verbindet, bei einem jeden richtig verzahnten Räderpaar als gemeinschaftliche Normale zu den Zähnen dient. Genannte Linie muss daher auch als Normale für den Anfangspunkt a der Evolvente dienen. Nun wissen wir, dass für jeden Punkt einer flachen Curve Tangente und Normale unter einander einen Winkel von 90° bilden. Es muss daher, bei der von uns gestellten Bedingung, der Punkt a an der Spitze eines rechtwinkeligen Dreiecks liegen, dessen Hypotenuse durch den Halbmesser bC des Triebrades gebildet wird. Der erwähnte Punkt liegt somit auf einem Kreise, dessen Durchmesser der Halbmesser bC des Triebrades bildet. Daraus folgt aber, dass der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Kopf kreise des grösseren Rades den Punkt a, gleichzeitig also auch den Winkel ϕ, bestimmt. Aus dem rechtwinkeligen Dreiecke baC haben wir: cos\,\varphi=\frac{a\,b}{R} . . . . . . . . . . 7) Setzen wir diesen Werth für cos ϕ  in Gleichung 3) ein, so ergibt sich: x (2R + x) = bc2 + 2ab . bc. \frac{x'\,(2\,R_1+x')}{1+2\,\frac{R_1}{R}}=a\,b^2 und daraus: \sigma=a\,b+b\,c=\sqrt{x\,(2\,R+x)+\frac{x'\,(2\,R_1+x')}{1+2\,\frac{R_1}{R}}} oder: \sigma=\sqrt{\frac{x}{\pi}\,(m\,p+\pi\,x)+\frac{x'}{\pi}\,\frac{(m\,k\,p+\pi\,x')}{1+2\,k}} Dann haben wir als „Gleichmässigkeitsbedingung“: n\,p\,.\,sin\,\varphi\,\leq\,\sqrt{\frac{x}{\pi}\,(m\,p+\pi\,x)+\frac{x'}{\pi}\,.\,\frac{k\,m\,p+\pi\,x'}{2\,k+1}} Zur Eliminirung von ϕ aus der linken Hälfte dieser Gleichung setzen wir in Gleichung 7) die Grösse von ab aus Gleichung 3') ein. Wir erhalten: cos\,\varphi=-\frac{R_1}{R}\,cos\,\varphi+\sqrt{\left(\frac{R_1}{R}\,cos\,\varphi\right)^2+\frac{x'}{R}\,\left(2\,\frac{R_1}{R}+\frac{x'}{R}\right)} =-k\,cos\,\varphi+\sqrt{(k\,cos\,\varphi)^2+\frac{x'}{R}\,\left(2\,k+\frac{x'}{R}\right)} Ersetzen wir in dieser Gleichung R durch \frac{m\,p}{2\,\pi}; es ist alsdann; cos^2\,\varphi=\frac{4\,\pi\,x'\,(k\,m\,p+\pi\,x')}{(2\,k+1)\,(m\,p)^2} . . . . . . . . . . 8) und sin\,\varphi=\sqrt{1-\frac{4\,\pi\,x'\,(k\,m\,p+\pi\,x')}{(2\,k+1)\,(m\,p)^2}} Unter Benutzung dieser Gleichung und nach Ersatz von x durch εp und von x' durch ε'p erhalten wir für die „Gleichmässigkeitsbedingung“:               n^2\,p^2\,[1-\frac{4\,\pi\,x'\,(k\,m\,p+\pi\,x)'}{(2\,k+1)\,(m\,p)^3}]         \leq\,\frac{x}{\pi}\,[m\,p+\pi\,x]+\frac{x'}{\pi}\,\frac{k\,m\,p+\pi\,x'}{2\,k+1} bezieh. n^2\,\left[1-\frac{2\,\pi\,\epsilon}{m}\,\frac{2\,k}{2\,k+1}-\frac{(2\,\pi\,\epsilon)^2}{m^2}\,.\,\frac{1}{2\,k+1}\right]               \leq\,\frac{\epsilon}{\pi}\,(m+\pi\,\epsilon)+\frac{\epsilon'}{n}\,.\,\frac{k\,m+\pi\,\epsilon'}{2\,k+1} 9) Wie aus Gleichung 8) zu ersehen, wird die Grösse des Winkels ϕ bei Aenderung der Grösse des Uebersetzungsverhältnisses k sich ändern; sie wird um so kleiner, je grösser dieses letztere angenommen wird, und erreicht ihren minimalen Grenzwerth ϕ1, wenn k = ∾ (Fall der Verzahnung eines Zahnrades mit einer Zahnstange) nach der Gleichung: cos^2\,\varphi_1=\frac{4\,\pi\,.\,x'\,.\,m\,p}{2\,(m\,p)^2}=\frac{2\,\pi\,\varepsilon'}{m} . . . . . . . . . . 10) Textabbildung Bd. 288, S. 158 Fig. 3. Mit einem gegebenen Evolventenrad kann aber nur ein solches in richtiger Weise verzahnt werden, welches den nämlichen Winkel ϕ besitzt. Es ist daher klar, dass man mit einem Rad, dessen Zahnflanken durch Evolventen von günstigstgrossen Kreisen begrenzt sind, nur ein solches von ganz bestimmten Dimensionen in richtiger Weise verzahnen kann. Liegt uns daher der Fall vor, dass mit einem und demselben Rade mehrere verschieden dimensionirte Räder in Verzahnung gebracht werden müssen – wie das z.B. bei Anfertigung von Rädersätzen vorkommt – so muss, unter Verzicht auf die Benutzung der günstigsten Werthe von ϕ, für sämmtliche gegebene Räder eine entsprechende gemeinschaftliche Grösse dieses Winkels gewählt werden. Die Nothwendigkeit der Beibehaltung einer gemeinschaftlichen Grösse von ϕ für verschieden dimensionirte Räder kommt auch in Fabriken vor, die nicht auf Bestellung, sondern auf Lager arbeiten. Man pflegt als eine derartige Grösse für ϕ einen Winkel von 75° anzunehmen. Setzen wir den Grenzwerth k = ∞ in unsere Gleichungen 5) und 9) ein, so kommen wir in die Lage, auch die Zähnezahl bei der Verzahnung eines Zahnrades mit einer Zahnstange zu bestimmen. In diesem Fall werden die erwähnten Gleichungen Unbestimmtheiten von der Form: ∞ – ∞ bezieh. \frac{\infty}{\infty} enthalten, die jedoch mit Hilfe der allgemeinen Regeln der Differentialrechnung aufgelöst werden können. Zur directen Lösung der Gleichungen für den Fall, dass k = ∞, kann man in folgender Weise verfahren: Es seien in Fig. 3 Kt und K_{1^t} wieder die Theilkreise unserer Räder, von denen K_{1^t} einen unendlich grossen Halbmesser besitzt. Die Grösse des innerhalb des Theilkreises des kleineren Rades eingeschlossenen Theiles ab der Eingrifflinie ac bestimmt sich aus der Gleichung: a\,b=\frac{x'}{cos\,\varphi} während der andere Theil bc dieser Linie aus der Gleichung: b\,c=-R\,cos\,\varphi+\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)} gefunden wird. Die Gleichung 2) der „Gleichmässigkeitsbedingung“ kann daher auch in folgender Weise geschrieben werden: n\,p\,.\,sin\,\varphi\,\leq\,\frac{x'}{cos\,\varphi}-R\,cos\,\varphi+\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)} . . . . . . . . . . 11') oder, nach Eliminirung von x, x' und R, mittels der Gleichungen 4) und 6): n\,.\,sin\,\varphi\,\leq\,\frac{\varepsilon'}{cos\,\varphi}-\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\,m+\sqrt{\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\right)^2\,m^2+\frac{\varepsilon}{\pi}\,(m+\pi\,\varepsilon)} . . . . . . . . . . 11) Haben wir dem Winkel ϕ die günstigste Grösse gegeben, so wird, in Fig. 3, der Winkel baC ein Rechter sein, und wir haben daher: (ab + bc)2 = σ2 = (R + x)2 – (R sin ϕ)2 woraus: \sigma=\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)} Unsere „Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung“ wird daher die Form annehmen: n\,p\,.\,sin\,\varphi\,\leq\,\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)} oder n\,.\,sin\,\varphi\,\leq\,\sqrt{\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\right)^2\,m^2+\frac{\varepsilon}{\pi}\,(m+\pi\,\varepsilon)} Nach Eliminirung von ϕ, mittels der Gleichung 10), erhalten wir endlich: n^2\,\left(1-\frac{2\,\pi\,\varepsilon'}{m}\right)\,\leq\,\frac{\varepsilon}{\pi}\,(m+\pi\,\varepsilon)+\frac{\varepsilon'}{\pi}\,.\,\frac{m}{2} . . . . . . . . . . 12) Wie schon früher bemerkt, wird für ε gewöhnlich der Werth 0,3 angenommen; der Winkel ϕ bei Anfertigung von Rädersätzen gleich 75° gemacht. Bei diesen Werthen von ε, ε' und ϕ nehmen die Gleichungen 5) und 11), 9) und 12), welche zur Bestimmung der Zähnezahl des Triebrades dienen, folgende Endgestalt an: 1) Für die günstigste Grösse von ϕ und bei x' = x = 0,3p: 10,486\,.\,n^2\,\left[1-\frac{3,7699}{m}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}+\frac{3,553}{m^2}\,.\,\frac{1}{2\,k+1}\right]           \leq\,\frac{3\,k+1}{2\,k+1}\,m+1,885\,\frac{k+1}{2\,k+1} bezeih. für k = ∞       10,486\,.\,n^2\,[1-\frac{3,7699}{2\,m}]\,\leq\,1,5\,m+0,9425 13) 2) Bei ϕ = 75° und x' = x = 0,3p:             n\,.\,0,9659\,\leq\,-0,041\,(k+1)\,m         +\sqrt{0,001681\,m^2+0,095\,m+0,09}     +\sqrt{0,001681\,(km^2)+0,095\,(k\,m)+0,09} bezieh. für k = ∞:             n\,.\,0,9659\,\leq\,1,159-0,041\,m     +\sqrt{0,001681\,.\,m^2+0,095\,m+0,09} . . 14) Das erste Glied im zweiten Theil der zweiten Gleichung von Gruppe 14), d. i. 1,159, ergibt die Grösse des innerhalb des kleineren Rades liegenden Theiles des Eingriffbogens, und zwar in Theilen von p. Nun folgt aber aus Gleichung 3'), dass bei Evolventenrädern für jede Grösse von k das innerhalb des kleineren Rades liegende Stück ab der Eingrifflinie grösser sein muss als das innerhalb des grösseren Rades liegende Stück bc dieser Linie; und ferner, dass die Differenz zwischen diesen beiden Grössen mit Zunahme von k wächst. Daraus folgt wiederum, dass das Glied 1,159p \left(\mbox{d. i. }\frac{x'}{cos\,\varphi}\mbox{ in der allgemeinen Gleichung 11')}\right) grösser sein muss als die Hälfte der ganzen Eingrifflinie. Das bedeutet aber, dass nur bei einer unendlich grossen Zähnezahl m derjenige „Gleichmässigkeitsgrad“ hervorgebracht werden kann, welcher sich durch 3 oder eine grössere Zahl ausdrückt. Es ist, mit anderen Worten, bei ϕ = 75° und x' = x = 0,3p, nicht praktisch möglich, Evolventenräder anzufertigen, bei welchen drei oder mehr Zähnepaare zur steten Verzahnung gelangen. Diese für die Praxis hochwichtige Folgerung deutet darauf hin, dass in allen Fällen, wo wir eine grosse Gleichmässigkeit der Bewegungsübertragung benöthigen, die in den Fabriken für ϕ und x allgemein angenommenen Werthe untauglich erscheinen.Sie müssen daher durch solche ersetzt werden, bei welchen die Function \frac{x'}{cos\,\varphi} (d.h. das Maximum des innerhalb des kleineren Rades liegenden Theiles der Eingrifflinie) stets grösser – beispielsweise um 30 bis 40 Proc. – als die Hälfte des erforderlichen Eingriffbogens ist. Die Vergrösserung des Werthes der Function \frac{x}{cos\,\varphi} wird durch Vergrösserung der Werthe von x' und ϕ erreicht und umgekehrt. Für den „Gleichmässigkeitsgrad“ n = 1 kann z.B. angenommen werden: x' = x = 0,25p und ϕ = 66° Für den „Gleichmässigkeitsgrad“ n = 3, wenn also drei Zähnepaare in steter Verzahnung bleiben müssen, kann angenommen werden: x' = x = 0,3p und ϕ = 81,5° oder x' = x = 0,45p und ϕ = 75° u.s.w. Unter Zugrundelegung dieser neuen Werthe von x und ϕ erhalten wir für die „Gleichmässigkeitsbedingungsgleichungen“ die Endgestalt: 1) Für n = 1, x = 0,25p und ϕ = 66°:            0,9136\,\leq\,0,0647\,(k+1)\,m         +\sqrt{0,004186\,m^2+0,08\,m+0,0625}     +\sqrt{0,004186}\,(k\,m^2)+0,08\,(k\,m)+0,0625 bezieh. für k = ∞:            0,9136\,\leq\,0,61-0,0647\,m         +\sqrt{0,004186\,m^2+0,08\,m+0,0625} . . 15) 2) Für n = 3, x' = x = 0,3p und ϕ = 81,5°:            0,9136\,\leq\,0,0647\,(k+1)\,m         +\sqrt{0,004186\,m^2+0,08\,m+0,0625}     +\sqrt{0,004186\,(k\,m)^2+0,08\,(k\,m)+0,0625} bezieh. für k = ∞:            2,967\,\leq\,2,03-0,0235\,m         +\sqrt{0,00055\,m^2+0,095\,m+0,09} . . 16) 3) Für n = 3, x' = x = 0,45p und ϕ = 75°:            2,8978\,\leq\,-0,041\,(k+1)\,m         +\sqrt{0,001681\,m^2+0,137\,m+0,2025}     +\sqrt{0,001681\,(k\,m)^2+0,137\,(k\,m)+0,2025} bezieh. für k = ∞:            2,8978\,\leq\,1374-0,041\,m         +\sqrt{0,001681\,m^2+0,137\,m+0,2025} . . 17) Bei der Ableitung sämmtlicher obiger Gleichungen wurde stets, wie auch bislang allgemein üblich, der Voraussetzung Platz gegeben, dass der ganze Zahnkopf in beiden Rädern, ungeachtet dessen Grösse und der Grösse des Winkels ϕ, in Verzahnung eingehen kann. Nun kann aber nachgewiesen werden, dass einer derartigen Voraussetzung bei weitem nicht immer entsprochen werden kann; wir können daher unsere Gleichungen nicht ohne weiteres in allen Fällen anwenden. Und in der That kann ja die Evolvente eines Kreises vom Halbmesser ρ mit der Evolvente eines Kreises vom Halbmesser ρ1 nur dann in richtige Verzahnung eingehen, wenn der Bedingung: \frac{\rho}{\rho_1}=\frac{R}{R_1} . . . . . . . . . . 18) Genüge geleistet wird (vgl. Fig. 4). Dabei muss mit dem Theil ab der den Zahnfuss des kleineren Rades begrenzenden Evolvente nur der Theil bβ der den Zahnkopf des grösseren Rades begrenzenden Evolvente in Verzahnung eingehen. Dagegen werden die durch in radialer Richtung gezogene Geraden begrenzten Theile αγ und α1γ1 der Zahnfusslücken sich bei der Verzahnung überhaupt nicht betheiligen. Auf dem Zahnfusse kommen daher zunächst in Berührung: entweder die Anfangspunkte α und α1 der Evolventen, oder andere, von den Drehachsen der Räder am weitesten liegende Punkte dieser Curven. Es wird daher entweder der ganze Abschnitt aA oder ein Theil dieser Linie als Eingrifflinie dienen. Vergrössert man die Zahnkopflänge bis zu einer gewissen Grösse x2, bei welcher der Kopf kreis (in einem oder in beiden Rädern) die Erzeugende in einem, ausserhalb des Abschnittes aA liegenden Punkte a2 schneidet, so ist es klar, dass der ausserhalb des Kopfkreises Kk liegende Theil βd der Zahnflanke in Verzahnung überhaupt nicht treten kann und daher ganz entbehrlich bezieh. verwerflich erscheint. Daraus folgt, dass die maximale nützliche Zahnkopflänge bei einem gegebenen Zahnrad durch einen Kreis bestimmt wird, welcher durch den Berührungspunkt der Erzeugenden mit dem Evolventenkreise des mit ihm zu verzahnenden Rades gezogen ist. Wie aus Fig. 4 zu ersehen, ist die Grösse der Halbmesser dieser Kreise (K_{1^k} und Kk) sowohl von der Grösse des Winkels ϕ, als auch von der Grösse der Halbmesser der Räder abhängig; es muss daher auch die maximale nützliche Zahnkopflänge von diesen Factoren abhängig sein. Wir wollen nun das Gesetz dieser Abhängigkeit ausfindig machen. Textabbildung Bd. 288, S. 160 Fig. 4. Von den beiden Berührungspunkten a und A der Erzeugenden mit den Evolventenkreisen wird offenbar der innerhalb des kleineren Rades liegende Punkt a zum Berührungspunkt b der beiden Theilkreise am nächsten liegen. Es wird daher, bei gleicher Zahnkopflänge in beiden Rädern, und angenommen, dass die Zahnkopflänge des grösseren Rades die maximale nützliche Grösse nicht überschreitet, die Zahnkopflänge des kleineren Rades dieser Bedingung noch um so eher entsprechen müssen. Aus diesem Grunde werden wir in der Folge nur die Zahnkopflänge des grösseren Rades in Betracht ziehen. Für den Fall nun, dass die Zahnkopflänge des grösseren Rades die günstigste ist, wird als erster Berührungspunkt der Zähne der Grenzpunkt a selbst dienen; wir haben daher die Gleichung: cos\,\varphi=\frac{a\,b}{R} . . . . . . . . . . 19) welche mit der Gleichung 7) identisch ist. Nun finden wir aus dem Dreiecke bC1a: (R1 + x')2 = R12 + ab2 + 2R1 . ab . cos ϕ. Nach Eliminirung von ab, unter Benutzung der vorigen Gleichung und Einführung von Uebersetzungsverhältniss k und Zähnezahl m, erhalten wir den gesuchten Ausdruck für die Abhängigkeit der Zahnkopflänge x' von der Grösse des Winkels ϕ und den Dimensionen der Räder: \frac{2\,\pi\,x'}{m\,p}\,2\,k+\left(\frac{2\,\pi\,x'}{m\,p}\right)^2=(2\,k+1)\,cos^2\,\varphi . . . . . . . . . . 20) Die Zahnkopflänge muss entweder der Wurzel dieser Gleichung gleich sein oder einen kleineren Werth besitzen; im anderen Fall werden die äusseren Theile der Zahnflanken überhaupt nicht eingreifen können und finden daher sämmtliche Gleichungen von 9) bis 17), welche unter der Voraussetzung abgeleitet wurden, dass der ganze Zahnkopf in Verzahnung eingeht, in diesem Fall keine Verwendung. Die Benutzung der genannten Gleichungen soll deshalb nur dann erfolgen, wenn den Bedingungen der Gleichung 20) Genüge geleistet ist. Haben wir daher die Zähnezahl m nach einer der Gleichungen 9) bis 17) bestimmt, so müssen wir uns nachträglich davon überzeugen, ob der gefundene Werth die Gleichung 20) befriedigt. Lösen wir die Gleichung 20) nach m auf: m=\frac{2\,\pi}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{x'}{p}\,\left[\frac{1}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}+\sqrt{\left(\frac{1}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right)^2+\frac{1}{2\,k+1}}\right] Das Wurzelvorzeichen nehmen wir positiv, da der absolute Werth der Wurzel grösser ist als der Werth der übrigen Glieder, die Grösse m aber, ihrer Natur entsprechend, nur positiv sein kann. Wird bei der aus dieser Gleichung zu bestimmenden Zähnezahl m der ganze Zahnkopf in Verzahnung eingehen, so trittdieses bei jedem grösseren Werth von m selbstverständlich ein. Wir haben daher: m\,\geq\,\frac{2\,\pi}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{x}{p}\,\left[\frac{1}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}+\sqrt{\left(\frac{1}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right)^2+\frac{1}{2\,k+1}}\right] . . . . . . . . . . 21) Wie man sieht, ist diese Ungleichheit unabhängig von dem „Gleichmässigkeitsgrad“ n; sie kann daher für alle Fälle der Verzahnung von Evolventenrädern benutzt werden. Ist k = ∞, d.h. für den Fall der Verzahnung eines Zahnrades mit einer Zahnstange, so werden in zwei Gliedern Unbestimmtheiten von der Form: \frac{\infty}{\infty} auftreten. Der wahre Werth dieser Glieder wird dem Verhältnisse der Differentialquotienten des Zählers und Nenners gleich sein. Es kann übrigens die Auflösung der Unbestimmtheiten auch ohne Zuhilfenahme der Differentialrechnung bewerkstelligt werden. Zu diesem Behufe dividiren wir zunächst den Zähler und Nenner durch k und setzen erst dann den Werth k = ∞ ein. Wir erhalten auf diese Weise: m\,\geq\,\frac{2\,\pi}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{x'}{p}\,\left[\frac{1}{cos\,\varphi}\right] . . . . . . . . . . 22) Die Gleichungen 5), 9), 21) und 22) geben uns das Mittel in die Hand, für jeden praktisch vorkommenden Fall der Verzahnung von Evolventenrädern die minimale Zähnezahl zu bestimmen. Nun muss aber erwähnt werden, dass die Werthe von m, wie sie aus der „Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung“ 5) einerseits und aus den Gleichungen 21) und 22), welche zur Bedingung stellen, dass der ganze Zahnkopf in Verzahnung eingehen soll, andererseits erhalten werden, für einen und denselben Fall beträchtlich von einander abweichen können. In solchen Fällen muss man für die zu wählende Zähnezahl den grösseren der aus zwei Gleichungen erhaltenen Werthe annehmen. Für den Fall, dass ϕ die günstigste Grösse annimmt, ist es nicht nothwendig, die Gleichung 21) zu benutzen, da diese, in Folge der Identität der Gleichungen 7) und 19), offenbar mit der Gleichung 9) identisch sein wird. Für diejenigen speciellen Werthe von eo und x, welche zur Ableitung der obigen „Gleichmässigkeitsbedingungsgleichungen“ benutzt wurden, nehmen die Gleichungen 21) und 22) folgende Gestalt an: 1) Für ϕ = 66° und x = 0,25p:           m\,\geq\,3,83\,\left[\frac{k}{0,4\,(2\,k+1)}\right       \left+\sqrt{\left(\frac{k}{0,4\,(2\,k+1)}+\frac{1}{2\,k+1}\right)^2}\right] bezieh. bei k = ∞:           m\,\geq\,3,83\,\frac{1}{0,4}\,\geq\,9,6 . . 23) 2) Für ϕ = 75° und x = 0,30p:           m\,\geq\,7,288\,\left[\frac{1}{0,2588}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right       \left+\sqrt{\left(\frac{1}{0,2588}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right)^2+\frac{1}{2\,k+1}}\right] bezieh. bei k = ∞:           m\,\geq\,7,288\,\frac{1}{0,2588}\,\geq\,28,12 . . 24) 3) Für ϕ = 81,5° und x = 0,3 p:           m\,\geq\,12,755\,\left[\frac{1}{0,1478}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right       \left+\sqrt{\left(\frac{1}{0,1478}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right)^2+\frac{1}{2\,k+1}}\right] bezieh. bei k = ∞:           m\,\geq\,12,755\,\frac{1}{0,1478}\,\geq\,86,3 . . 25) 4) Für ϕ = 75° und x = 0,45p:           m\,\geq\,10,933\,\left[\frac{1}{0,2588}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right       \left+\sqrt{\left(\frac{1}{0,2588}\,.\,\frac{k}{2\,k+1}\right)^2+\frac{1}{2\,k+1}}\right] bezieh. bei k = ∞:           m\,\geq\,10,933\,\frac{1}{0,2588}\,\geq\,42,2 . . 26) Tabelle I der minimalen Zähnezahlen für den Fall der Aussenverzahnung von kreisförmigen Evolventenrädern. Textabbildung Bd. 288, S. 161 Uebersetzungsverhältniss k; Zähnezahl (m) des Triebrades, bei welcher in steter Verzahnung bleiben; Ein Zähnepaar; Zwei Zähnepaar; Drei Zähnepaar In obenstehender Tabelle findet sich die, unter Zugrundelegung der obigen Gleichungen berechnete minimale Zähnezahl für die in der Praxis am meisten vorkommenden Fälle der Verzahnung von Stirnrädern. Dabei sind, mit Ausnahme der Fälle, wo wir es mit den günstigsten Grössen von ϕ zu thun haben, in jeder senkrechten Columne für jede Grösse von k zwei Grössen angeführt: Die erste, links stehende, Zahl wurde aus den „Gleichmässigkeitsbedingungsgleichungen“, die zweite unter der Voraussetzung, dass die Gesammtoberfläche der Zahnflanken in Verzahnung eingeht, ermittelt. Die kleineren dieser Zahlen, weil eben für die Praxis untauglich, sind kleingedruckt und eingeklammert. Aus den einzelnen Gleichungen wurden die senkrechten Columnen der Tabelle in folgender Weise berechnet: Columne 2, 5 und 7 aus 13), 3 und 6 aus 14) und 24), 4 aus 15) und 23), 8 aus 16) und 25), 9 aus 17) und 26). Es ist nun klar, dass zur Erzielung einer ununterbrochenen Verzahnung die Zähnezahl des Rades zum mindesten gleich 2 sein muss. Daher wurde auch in der Tabelle als kleinste Zähnezahl 2 angenommen, obwohl für einige Werthe von k, bei n = 1, der Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung auch durch den Werth m = 1 entsprochen wird. Man kann sich aber leicht davon überzeugen, dass bei der allgemein angenommenen Grösse für die Zahnkopflänge, x = 0,25 bis 0,30p, die praktische Anfertigung der (geometrisch möglichen) Räder mit zwei Zähnen Sache der Unmöglichkeit ist. In der That haben wir aus Gleichung: 2πR = mp bei m = 2 für den Halbmesser des Rades R: R=\frac{1}{\pi}\,p=0,318\,p . . . . . . . . . . 27) Nehmen wir den Scheitelspielraum zu 0,1p an, so findet man für die Zahnfusslänge y: y = 0,35p bis 0,40p . . . . . . . . . . 28) Diese Länge übertrifft aber diejenige des Radhalbmessers; es sind daher auch Zahnräder mit zwei Zähnen nicht möglich. Nehmen wir m = 3 an, so berechnet sich die Grösse des Radhalbmessers R zu: R=\frac{3}{2\,\pi}\,p=0,477\,p . . . . . . . . . . 29) Ein derartiges Rad kann allerdings angefertigt werden, indess nur unter der Bedingung, dass es mit der Welle ein Ganzes bilde; sonst würde der innerhalb des Fusskreises freibleibende Raum zu klein ausfallen, um Welle und Spund anzubringen. Aus diesem Grunde darf die Zähnezahl in der Praxis unter keinen Umständen weniger als 4 betragen. Eben diese Zahl haben wir auch in der Tabelle an Stelle der aus der Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung sich berechnenden Zahl 2 eingesetzt. Die Zahlen der Tabelle zeigen recht anschaulich, dass die allgemein angenommene Kopflänge: x = 0,3p entschieden zu gross ist für solche Räder, bei welchen der „Gleichmässigkeitsgrad“ durch 1 ausgedrückt wird; hier kann dieser Werth unbesorgt bis zu 0,25p, ja sogar bis zu 0,20p erniedrigt werden. Bei Rädern, für welche der „Gleichmässigkeitsgrad“ 3 und darüber betragen soll, erscheint dagegen der allgemein angenommene Werth für x etwas zu klein und kann bis zu 0,40p, sogar bis zu 0,45p erhöht werden. Zu ähnlichen Ergebnissen gelangt man auch in Bezug auf die Grösse des Winkels ϕ, welcher, wie bereits mehrfach erwähnt, in der Praxis gewöhnlich zu 75° angenommen wird. Für einen „Gleichmässigkeitsgrad“ n = 2 erweist sich diese Winkelgrösse auch rechnerisch als vollkommen zutreffend. Dagegen ist bei n = 1 der Winkel zu gross und muss bis zu 70° bezieh. 66° verkleinert werden; für n = 3 muss er dagegen bis zu 80° bezieh. 81,5° vergrössert werden. (Fortsetzung folgt.)