Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. Von Prof. W. J. Albitzky. (Fortsetzung der Abhandlung S. 156 d. Bd.) Mit Abbildungen. Ueber die Ermittelung der Zähnezahl bei kreisförmigen Stirnrädern. I. Abschnitt: Evolventenverzahnung. 2) Fall der Innenverzahnung von Evolventenrädern. Textabbildung Bd. 288, S. 178 Fig. 5. Es seien (Fig. 5) K_{1^t} und Kt die Theilkreise, K_{1^k} und Kk die Kopf kreise, welch letztere, behufs Verallgemeinerung der Lösung, in ungleichen Abständen x und x1 von den betreffenden Theilkreisen gezogen sind. Durch den Berührungspunkt b der Theilkreise sei eine Gerade BB1 gezogen, welche mit der Mittelpunktslinie CC1 einen willkürlichen Winkel ϕ einschliesst und die wir als Erzeugende betrachten wollen. Wir fällen nun aus den Mittelpunkten C und C1 die zur Erzeugenden Senkrechten ρ und ρ1 und beschreiben mit deren entsprechenden Längen als Halbmesser zwei Kreise; die Evolventen αbβ und α1bβ1 dieser Kreise werden, wie bekannt, entsprechend die Begrenzungslinien der Zähne des kleineren und des grösseren Rades bilden. Wie beim Fall der Aussenverzahnung wird auch hier die gegenseitige Berührung der Zähne stets auf der Geraden BB1 erfolgen. Es wird ferner, unter Annahme, dass in beiden Rädern die Zahnkopflängen in ihrer gesammten Ausdehnung bei der Verzahnung betheiligt erscheinen, der innerhalb der Kopfkreise liegende Abschnitt a c der Erzeugenden als Eingrifflinie dienen. Durch die im 1. Theil dieses Abschnittes für den Fall der Aussenverzahnung ausführlich angestellten, analogen Betrachtungen kann ohne weiteres gefunden werden, dass der analytische Ausdruck für die Bedingung der steten Verzahnung von n Zähnepaaren in unserem Fall der nämliche sein wird, wie bei dem Fall der Aussenverzahnung, d.h. durch die Gleichung geboten wird: σ = ab + bc = np . sin ϕ . . . . . . . . . . 30) in welcher p, wie früher, die Theilung bedeutet. Aus den Dreiecken abC1 und cbC ergeben sich die Gleichungen: \left{{(R_1-x_1)^2={R_1}^2+a\,b^2-2\,a\,b\,R_1\,cos\,\varphi}\atop{(R+x)^2}=R^2+b\,c^2+2\,b\,c\,R\,cos\,\varphi}\right\}\ .\ .\ 31) Daraus finden wir: \left{{a\,b=R_1\,cos\,\varphi-\sqrt{(R_1\,cos\,\varphi)^2-x_1\,(2\,R_1-x_1)}}\atop{b\,c=-R\,cos\,\varphi+\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)}\ \ \ \ }}\right\}32) In der ersten dieser Gleichungen wurde das Wurzelvorzeichen aus dem Grunde negativ angenommen, weil der Werth des Gliedes R1 cos ϕ (welcher die Länge von bB ausdrückt) stets grösser als ab sein wird, welches Glied aber nur positiv sein kann. In der zweiten Gleichung ist das Wurzelvorzeichen positiv, weil das Glied bc positiv sein muss. Nach Einführung des Uebersetzungsverhältnisses k=\frac{R_1}{R} und der Zähnezahl m des kleineren Rades, unter Benutzung der Gleichungen 32), nimmt unsere „Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung“ 30) die Gestalt an:             n\,p\,sin\,\varphi\,\leq\,\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\,(k-1)\,m\,p         +\sqrt{\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\,m\,p\right)^2+\frac{x}{\pi}\,(m\,p+\pi\,x)}         -\sqrt{\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\,k\,m\,p\right)^2-\frac{x_1}{\pi}\,(k\,m\,p-\pi\,x_1)} oder bei x = εp und x1 = ε'p             n\,.\,sin\,\varphi\,\leq\,\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\,(k-1)\,m         +\sqrt{\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\,m\right)^2+\frac{m}{\pi}\,\varepsilon+\varepsilon^2}         -\sqrt{\left(\frac{cos\,\varphi}{2\,\pi}\,k\,m\right)^2-\frac{k\,m}{\pi}\,\varepsilon'+\varepsilon'^2} . . 33) Wie bei dem Fall der Aussenverzahnung wird auch hier die Gleichmässigkeit der Bewegungsübertragung mit der Vergrösserung der Zähnezahl wachsen. Es sind somit die aus den Gleichungen 33) zu bestimmenden Zähnezahlen m als minimale Werthe für den erforderlichen Gleichmässigkeitsgrad zu betrachten. Es muss daher als Zähnezahl m des kleineren Rades diejenige, dem Wurzelwerthe der Gleichung am nächsten stehende ganze Zahl genommen werden, bei welcher der Werth von σ grösser wird als der Werth von np sin ϕ. Aus diesem Grunde findet sich, sowohl in der Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung 33), als auch in allen weiter unten angeführten Gleichungen, neben dem Zeichen der Gleichheit auch das Zeichen der Ungleichheit. Für den Winkel ϕ wird entweder eine gewisse constante Grösse, gewöhnlich 75°, angenommen, oder es wird die Grösse dieses Winkels unter Zugrundelegung der Bedingung bestimmt, dass auf dem kleineren Rade nur derjenige Theil der Zähne durch Evolventen zu begrenzen ist, welcher sich thatsächlich bei der Verzahnung betheiligen kann. Im letzteren Falle wird einem jeden Werthe von k auch ein specieller Werth von ϕ entsprechen. Die graphische Bestimmung dieses letzteren Werthes ist die nämliche, wie bei dem Falle der Aussenverzahnung:man zieht nämlich unter Benutzung des Halbmessers des kleineren Rades als Durchmesser einen Kreis und sucht den Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Kopf kreise des grösseren Rades; dieser Punkt bestimmt alsdann die Lage der Erzeugenden, daher auch den gesuchten Winkel. Den auf diese Weise ermittelten Winkel ϕ wollen wir als den günstigsten bezeichnen. Bei Benutzung einer derartigen Grösse von ϕ wird der Berührungspunkt a0 der Erzeugenden mit dem kleineren Evolventenkreise als Anfangspunkt der Eingrifflinie innerhalb des kleineren Rades dienen, wobei die Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung 30) eine einfachere Gestalt annehmen kann. In der That haben wir dann aus den Dreiecken a0bC und cbC: \left{{a_0\,b=R\,cos\,\varphi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\atop{b\,c=-R\,cos\,\varphi+\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)}}}\right\}.\ .\ 34) Die Eingrifflinie bestimmt sich daher zu: \sigma=\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)} und die Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung nimmt die Gestalt an: n\,p\,sin\,\varphi\,\leq\,\sqrt{(R\,cos\,\varphi)^2+x\,(2\,R+x)} . . . . . . . . . . 35) Zur Eliminirung von ϕ aus dieser Gleichung sei bemerkt, dass die Gleichungen 34) nur einen speciellen Fall der Gleichungen 32) darstellen; wir haben daher: R\,cos\,\varphi=R_1\,cos\,\varphi-\sqrt{(R_1\,cos\,\varphi)^2-x_1\,(2\,R_1-x_1)} oder: (k-1)\,cos\,\varphi=\sqrt{(k\,cos\,\varphi)^2-\frac{x_1}{R}\,\left(2\,k-\frac{x_1}{R}\right)}      =\sqrt{(k\,cos\,\varphi)^2-\frac{4\,k\,\pi\,x_1}{m\,p}+\left(\frac{2\,\pi\,x_1}{m\,p}\right)^2} woraus: cos^2\,\varphi=\frac{2\,\pi\,x_1}{m\,p}\,.\,\frac{2\,k}{2\,k-1}-\left(\frac{2\,\pi\,x_1}{m\,p}\right)^2\,\frac{1}{2\,k-1} . . . . . . . . . . 36) Setzen wir diesen Werth von ϕ in die Gleichung 35) ein, so erhalten wir folgende Endgestaltung für die der günstigsten Neigung der Erzeugenden entsprechende Gleichmässigkeitsbedingungsgleichung: n^2\,p^2\,\left[1-\frac{2\,\pi\,x_1}{m\,p}\,.\,\frac{2\,k}{2\,k-1}+\left(\frac{2\,\pi\,x_1}{m\,p}\right)\,\frac{1}{2\,k-1}\right]\leq\,\frac{x}{\pi}\,(m\,p+\pi\,x)+\frac{x_1}{\pi}\,\left(\frac{k\,m\,p-\pi\,x_1}{2\,k-1}\right) oder nach Ersatz von x durch εp bezieh. von x1 durch ε'p: n^2\,\left[1-\frac{2\,\pi\,\varepsilon'}{m}\,.\,\frac{2\,k}{2\,k-1}+\left(\frac{2\,k\,z'}{m}\right)^2\,\frac{1}{2\,k-1}\right] \leq\,\frac{\varepsilon}{\pi}\,(m+\pi\,\epsilon)+\frac{\varepsilon'}{\pi}\,\frac{k\,m-\pi\,\epsilon'}{2\,k-1} 37) Für k = ∞ wird die Gleichmässigkeitsbedingung in gleicher Weise Ausdruck finden wie bei dem Falle der Aussenverzahnung, wovon man sich ohne Mühe durch Einführung des Werthes k = ∞ in die Gleichungen 33) und 37) und Auflösung der sich dabei ergebenden Unbestimmtheiten überzeugen kann. Mittels dieser Gleichungen kann, unter Zugrundelegung von bestimmten Werthen für ε, ε', den Gleichmässigkeitsgrad n und den Winkel ϕ, für ein gegebenes Uebersetzungsverhältniss k die entsprechende Zähnezahl m ermittelt werden. Die Gleichungen 33) und 37) wurden unter der Voraussetzung abgeleitet, dass in beiden Rädern der ganze Zahnkopf in Verzahnung eingehen kann. Nun kann aber leicht bewiesen werden, dass eine derartige Voraussetzung bei weitem nicht immer Platz finden kann; es können daher die erwähnten Gleichungen nicht ohne weiteres in allen vorkommenden Fällen benutzt werden. Es können in der That die Evolventen αbβ und α1bβ1 , deren Anfangspunkte in β bezieh. β1 liegen, bis zu einer sehr beträchtlichen Grösse nach oben verlängert werden; es wird daher auf der den Zahn des grösseren Rades begrenzenden Evolvente β1bα1 stets ein Punkt zu finden sein, der dem Endpunkte α der den betreffenden Zahn des kleineren Rades begrenzenden Evolvente entspricht. Somit wird als Endpunkt der Eingrifflinie stets der Schnittpunkt der Erzeugenden mit dem Kopf kreise des kleineren Rades dienen. Was nun den Anfangspunkt der Eingrifflinie anlangt, so wird dieser nicht immer – wie das gewöhnlich angenommen wird und wie wir das früher gethan haben – sondern nur bei einem ganz bestimmten Verhältniss zwischen x1, x und k in dem Schnittpunkte der Erzeugenden mit dem Kopfkreise des grösseren Rades liegen. Es kann in der That ein Theil der Evolvente bβ1 nur mit einem bestimmten Theil der Evolvente bβ, nicht aber mit der in radialer Richtung gezogenen, einen Theil des Zahnfusses des kleineren Rades begrenzenden Geraden βγ in Berührung kommen. Es wird daher als erster Berührungspunkt auf der Zahnflanke des kleineren Rades entweder der Anfangspunkt β der Evolvente oder irgend einer der folgenden höher liegenden Punkte dieser Curve dienen. Im ersten Fall wird als Anfangspunkt der Eingriff Knie der Berührungspunkt a0 der Erzeugenden mit dem kleineren Evolventenkreise, im zweiten Fall ein gewisser, zu b näher liegender Punkt a1 dienen. Daraus folgt, dass die Zahnkopflänge x1 des grösseren Rades nur bis zu einer bestimmten Grösse wachsen darf, wonach jede weitere Vergrösserung nicht nur als zwecklos, sondern auch als entschieden schädlich zu bezeichnen wäre. Eine derartige Vergrösserung würde nämlich, ohne die Dauer der Verzahnungsphase zu vergrössern, die Zähne zu lang und daher auch zu schwach ausfallen lassen. Es ist nun ohne weiteres klar, dass dem in Rede stehenden Grenzwerth von x1, welchen wir als den grösstnützlichsten bezeichnen werden, alsdann Platz gegeben wird, wenn der Kopfkreis durch den Punkt a0 hindurchgeht. Bei jedem kleineren Werthe als dem Grenzwerth von x1 wird der Anfangspunkt der Eingrifflinie in dem Schnittpunkte der Erzeugenden mit dem Kopf kreise des grösseren Rades liegen; bei jedem grösseren als dem Grenzwerth von x1 wird dagegen der Anfangspunkt der Eingrifflinie mit dem Punkte a0 zusammenfallen. Bei dem Grenzwerthe von x1 wird der Anfangspunkt der Eingrifflinie ausserdem auch noch auf einem Kreise liegen, welcher zum Durchmesser den Halbmesser des kleineren Rades besitzt; es wird daher in diesem Falle auch die Neigung der Erzeugenden diejenige sein, welche wir im Obigen als die „günstigste“ bezeichnet haben. Nunmehr dürfte auch der Sinn dieser Bezeichnung klarliegen: bei dieser Neigung der Erzeugenden findet nämlich, unter sonst gleich bleibenden Verhältnissen, die grösste Berührungsdauer der Zähne, daher auch die grösste Gleichmässigkeit des Ganges der Räder statt. Aus den obigen Erläuterungen ist es begreiflich, dass man die maximale nützliche Grösse der Zahnkopflänge x1 (x1 max) aus der Gleichung 36) bestimmen kann, und zwar ist: x_{1^{max}}=\frac{k\,m\,p}{2\,\pi}-\sqrt{\left(\frac{k\,m\,p}{2\,\pi}\right)^2-(2\,k-1)\,\left(cos\,\varphi\,\frac{m\,p}{2\,\pi}\right)^2} . . . . . . . . . . 38) Hier wurde das Wurzelvorzeichen negativ angenommen, weil stets: \frac{k\,m\,p}{2\,\pi}=R_1\,>\,x_1 ist. Aus der Gleichung 38) kann auch diejenige Zähnezahl m bestimmt werden, bei welcher der ganze Zahnkopf in Verzahnung eingeht. Sie ist: \left{{m=\frac{2\,\pi}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{x_{1\,max}}{p}\,\left[\frac{k}{(2\,k-1)\,cos\,\varphi}\right}\atop{\left+\sqrt{\left(\frac{k}{(2\,k-1)\,cos\,\varphi}\right)^2-\frac{1}{2\,k-1}}\right]}}\right\}.\ .\ 39) Das Wurzelvorzeichen wurde hier deshalb positiv angenommen, weil unsere Gleichung nur unter dieser Bedingung, bei k = ∞, mit der Gleichung 22) des ersten Theiles dieses Abschnittes verschmelzen kann. Da die Grössen m und x1 gerade proportional sind, so ergibt sich, dass, wenn bei einem bestimmten, aus Gleichung 39) berechneten Werthe von m der ganze Zahnkopf des grösseren Rades in Verzahnung eingeht, bei jedem grösseren Werthe von m letzteres noch um so eher geschehen wird. Es wird daher die Zähnezahl, bei welcher der obigen Bedingung Genüge geleistet wird, durch die Gleichung bestimmt: \left{{m\,\geq\,\frac{2\,\pi}{cos\,\varphi}\,.\,\frac{x_1}{p}\,\left[\frac{k}{cos\,\varphi\,(2\,k-1)}\right}\atop{\left+\sqrt{\left(\frac{k}{cos\,\varphi\,(2\,k-1)}\right)^2-\frac{1}{2\,k-1}}\right]}}\right\}.\ .\ 40) Diese Ungleichheit muss neben der Ungleichheit 33) in solchen Fällen benutzt werden, wo die Grösse des Winkels ϕ vorgeschrieben ist; von den beiden dabei zu erhaltenden Werthen von m ist der grössere zu benutzen. Für den Fall des günstigsten Werthes von ϕ muss der Gleichung 39) unbedingt Genüge geleistet werden, es ist daher die Zähnezahl nach einer der Ungleichheiten 37) zu bestimmen. Für diejenigen Werthe von ϕ und x, welche bei der Aufstellung der Tabelle für den Fall der Aussenverzahnung benutzt wurden, nehmen die Ungleichheiten 33) und 40) folgende Gestalt an: 1) Für ϕ = 66°, x1 = x = 0,25p und n = 1: 0,1936\,\leq\,0,064\,(k-1)\,m +\sqrt{0,004186\,m^2+0,08\,m+0,0625} -\sqrt{0,004186\,(k\,m)^2-0,08\,(k\,m)+0,0625} m\,\geq\,3,83\,\left[\frac{k}{0,4\,(2\,k-1)}\right \left+\sqrt{\left(\frac{k}{0,4\,(2\,k-1)}\right)^2-\frac{1}{2\,k-1}}\right] 41) 2) Für ϕ = 75° und x1 = x = 0,3p: n\,.\,0,966\,\leq\,0,041\,(k-1)\,m +\sqrt{0,001681\,m^2+0,095\,m+0,09} -\sqrt{0,001681\,(k\,m)^2-0,095\,(k\,m)+0,09} m\,\geq\,7,288\,\left[\frac{k}{0,2588\,(2\,k-1)}\right \left+\sqrt{\left(\frac{k}{0,4\,(2\,k-1)}\right)^2-\frac{1}{2\,k-1}}\right] 42) 3) Für ϕ = 81,5°, x1 = x = 0,3p und n = 3: 2,967\,\leq\,0,0235\,(k-1)\,m +\sqrt{0,00055\,m^2+0,095\,m+0,09} -\sqrt{0,00055\,(k\,m)^2-0,095\,(k\,m)+0,09} m\,\geq\,12,755\,\left[\frac{k}{0,1478\,(2\,k-1)}\right \left+\sqrt{\left(\frac{k}{0,1478\,(2\,k-1)}\right)^2-\frac{1}{2\,k-1}}\right] 43) 4) Für ϕ = 75°, x1 = x = 0,45p und n = 3: 2,8978\,\leq\,0,041\,(k-1)\,m +\sqrt{0,001681\,m^2+0,137\,m+0,2025} -\sqrt{0,001681\,(k\,m)^2-0,137\,(k\,m)+0,2025} m\,\geq\,10,933\,\left[\frac{k}{0,2588\,(2\,k-1)}\right \left+\sqrt{\left(\frac{k}{0,2588\,(2\,k-1)}\right)^2-\frac{1}{2\,k-1}}\right] 44) 5) Für den „günstigsten“ Winkel ϕ und x1 = x = 0,3p: \left{{n^2\,\left[1-\frac{1,885}{m}\,.\,\frac{2\,k}{2\,k-1}+\left(\frac{1,885}{m}\right)^2\,\frac{1}{2\,k-1}\right]}\atop{\leq\,0,0954\,\frac{3\,k-1}{2\,k-1}\,m+0,18\,\frac{k-1}{2\,k-1}}}\right\}45) Die auf nächster Seite stehende Tabelle II ist unter Benutzung der Ungleichheiten 41) bis 45) zusammengesetzt. Dabei stammen die Zahlen der senkrechten Columnen: 2, 5 und 7 aus 45); 3 und 6 aus 42); 4 aus 41); 8 aus 43) und 9 aus 44). Von den beiden Zahlen, die man, mit Ausnahme der zweiten, in jeder dieser Columnen vorfindet, ist die erste aus den Gleichmässigkeitsbedingungsgleichungen (aus den ersten Ungleichheiten der Gruppen 41) bis 44), die zweite aus der Bedingung, dass der ganze Zahnkopf in Verzahnung eingehe (aus den zweiten Ungleichheiten der genannten Gruppen), erhalten worden. Die kleineren der beiden Zahlen sind, als für die Praxis untauglich, eingeklammert und kleingedruckt. In der zweiten Columne sind ferner sämmtliche aus der Ungleichheit 45) berechnete Zahlen durch die Zahl 4 ersetzt worden, und zwar aus dem nämlichen Grunde, wie für den Fall der Aussenverzahnung. In Bezug auf die Zahnkopflänge x und den Neigungswinkel ϕ der Erzeugenden führen die Zahlen dieser Tabelle zu den nämlichen Schlussfolgerungen, wie für den Fall der Aussenverzahnung, und zwar: Für den Gleichmässigkeitsgrad n = 1 erweisen sich die allgemein angenommenen Werthe ε = 0,3p und ϕ = 75° als allzugross und müssen dementsprechend verkleinert werden: ε bis zu 0,25, selbst bis zu 0,20, ϕ bis zu 70° bezieh. 66°. Umgekehrt sind die genannten Werthe bei n = 3 zu klein und müssen dementsprechend vergrössert werden: ε bis zu 0,40, selbst bis zu 0,45, ϕ bis zu 80,0° bezieh. 81,5°. Die Länge des innerhalb des kleineren Rades liegenden Abschnittes ab der Eingrifflinie wird, wie aus den Gleichungen 32) zu ersehen, imaginär, wenn: x1(2R1– x1) > (R1 cos ϕ)2 . . . . . . . . . . 46) Um den Sinn dieser Ungleichheit und der mit ihr verbundenen imaginären Bedeutung von ab bezieh. die Bedingungen, Tabelle II der minimalen Zähnezahl für den Fall der Innenverzahnung von Evolventen. Textabbildung Bd. 288, S. 181 Uebersetzungsverhältniss k; Zähnezahl m des kleineren Rades, bei welcher in steter Verzahnung bleiben; 1 Paar Zähne; 2 Paar Zähne; 3 Paar Zähne bei welchen diese letztere Platz findet, zu ergründen, wenden wir uns zur Fig. 6. Wenn hier BB1 die Erzeugende und der Punkt B den Fusspunkt einer auf diese aus dem Mittelpunkte C1 gefällten Senkrechten bedeutet, so ist offenbar: bB = R 1 cos ϕ und A\,D=\sqrt{x_1\,(2\,R_1-x_1)} Es kann in Folge dessen die Ungleichheit 46) in folgender Weise geschrieben werden: AD > bB . . . . . . . . . . 46') Nun ist aber AD die halbe Sehne des Theilkreises des grösseren Rades, welche den Kopf kreis des nämlichen Rades tangirt; ebenso ist bB eine halbe Sehne dieses Rades, welche den grösseren Evolventenkreis tangirt. Es ist daher die Ungleichheit 46) nur dann möglich, wenn die Erzeugende den Kopf kreis des grösseren Rades nicht schneidet, oder, mit anderen Worten, wenn der grössere Evolventenkreis grösser ist als der Kopfkreis des grösseren Rades. Textabbildung Bd. 288, S. 181 Fig. 6. Da nun die Ungleichheiten 33) unter der Voraussetzung abgeleitet worden sind, dass die Erzeugende den zuletzt genannten Kreis schneidet, so ist offenbar das Zustandekommen einer imaginären Lösung die Andeutung dafür, dass die obige Bedingung nicht erfüllt ist und dass also ein Theil des Zahnkopfes des grösseren Rades in Verzahnung nicht eingehen wird. Eine Beseitigung der imaginären Lösung kann dadurch erzielt werden, dass man die Grössen x1 und ϕ entweder einzeln für sich oder beide zusammen allmählich passend verkleinert. (Fortsetzung folgt.)