Maasstäbe aus Glas zu Dr. Hildebrandt's Kegelschnittzeichner. Mit Abbildungen. Maasstäbe aus Glas zu Dr. Hildebrandt's Kegelschnittzeichner. In unseren früheren AbhandlungenD. p. J. 1891 282 216; 1893 287 248. über die Theorie und den Gebrauch des hier genannten Instrumentes ist nicht jener Fälle gedacht worden, in welchen die Achsen der zu zeichnenden Ellipsen oder Hyperbeln bezieh. des Brennpunktes und der Directrix oder des Scheitels der Parabeln gegeben sind. Für diese am meisten auftretenden Fälle hatte der Erfinder erst später für jedes gelieferte Instrument einen besonderen Maasstab auf Carton hergestellt; rein empirisch, indem derselbe die Scala (bei senkrechter Stellung der Achse) durch den Zeichenstift selbst aufzeichnen liess. Textabbildung Bd. 302, S. 280 Fig. 1. Der Maasstab auf Glas (Fig. 1) wurde nun „absolut“, d.h. durch Rechnung: F\,A=r\,.\,ctg\,.\,\frac{x}{2} (Fig. 2) bestimmt und nicht auf das betreffende Instrument „geaicht“; daraus erklären sich Abweichungen, die wir gegenüber den auf Carton gezeichneten Maasstäben fanden; denn geringe Abweichungen im Bau des fertigen Zirkels von der idealen mathematischen Gestalt desselben lassen sich kaum vermeiden. Textabbildung Bd. 302, S. 280 Fig. 2. Ausdrücklich ist zu bemerken (vgl. Fig. 2), dass man für Ellipsen die durch β gegebene Achsenrichtung dadurch einstellt, dass der Zeichenstift des aufgestellten Apparates den Punkt B – nicht A – treffen muss. (Für Parabeln und Hyperbeln natürlich A.) An die obige Formel anschliessend, seien zunächst die folgenden Betrachtungen geknüpft: Es ist a – e = r. ctg. x und a + e = r. ctg. y ebenso 2x = α + β und 2y = α – β wonach α = x + y und β = x – y somit a-e=r\,.\,ctg\,.\,\frac{\alpha+\beta}{2} und a+e=r\,.\,ctg\,.\,\frac{\alpha-\beta}{2} wodurch a=\frac{r\,.\,sin\,.\,\alpha}{cos\,\beta-cos\,\alpha} und e=\frac{r\,.\,sin\,.\,\beta}{cos\,\beta-cos\,\alpha} werden. Auf dem Maasstabe liest man ab: für die Strecke (a – e) den Winkel 2x „ „ „ (a + e) „ „ 2y und erhält hieraus den Einstellungswinkel α als halbe Summe: \alpha=\frac{2\,x+2\,y}{2}=x+y Mit diesem Winkel wird der Bügel an der Kreistheilung festgestellt. Die durch β = x – y gegebene Achsenrichtung wird empirisch dadurch eingestellt, dass der Zeichenstift des aufgestellten Apparates den Punkt B treffen muss. Es lässt sich also mit Hilfe des Maasstabes (der durchsichtige Glasmaasstab wird eben einfach auf die Hauptachse des Kegelschnittes gelegt) bei gegebenen Dimensionen bezieh. in jedem einzelnen Falle der Winkel (CMD in unseren früheren bereits citirten Abhandlungen) bestimmen, unter welchem der Bügel festgestellt werden muss. Die Gebrauchsanweisung für den Maasstab ist die folgende: A. Parabeln. Textabbildung Bd. 302, S. 281 Fig. 3. Soll eine Parabel gezeichnet werden, deren Brennpunkt F und Scheitel B (Fig. 3) bekannt sind, so messe man mit Hilfe des Maasstabes die Brennweite FB, und zwar von F aus. Ergibt sich etwa FB = a – e = 120, so ist der gesuchte Winkel C\,M\,D=\frac{120}{2}=60^{\circ}. Auf diesen Winkel stelle man den Bügel fest, richte, nachdem der Zirkel auf bekannte Weise eingestellt ist, die Stabspitze auf den Scheitel B und ziehe das Scharnier an. B. Ellipsen. Textabbildung Bd. 302, S. 281 Fig. 4. Von einer Ellipse seien die drei Punkte A, F und B bekannt (Fig. 4). Man messe wieder von F aus die beiden Strecken FA = a + e und FB = a – e. Alsdann ist der gesuchte Winkel gleich \frac{2\,a}{2}=a. Beispiel: a + e = 140, a – e = 50; C\,M\,D=\frac{190}{2}=95^{\circ}. Um noch die Richtung der Kegelachse zu finden, richte man die Stabspitze nicht auf B, sondern auf A (d.h. stets auf denjenigen Scheitel, der von F am weitesten entfernt ist), ziehe das Scharnier an, führe den Stab nach B zurück und zeichne von da aus beide Längshälften nach einander. C. Hyperbeln. Textabbildung Bd. 302, S. 281 Fig. 5. Für den Fall einer durch die drei Punkte F, B und A bestimmten Hyperbel (Fig. 5) ist der gesuchte Winkel gleich \frac{2\,e}{e}=. Beispiel: a + e = 140, a – e = 50; C\,M\,D=\frac{90}{2}=45^{\circ}. Die Stabspitze richte man hier natürlich auf B ein und zeichne jeden Zweig für sich von A und B aus. Schliesslich sei bemerkt, dass die bedeutenden Grenzen, innerhalb denen das Instrument Curven zu zeichnen gestattet, sich mit Hilfe des Maasstabes leicht bestimmen lassen. München, im October 1896. Ernst Fischer.