Ueber Berechnung hydraulischer Hebevorrichtungen. Von Herm. Fahlenkamp in Hoerde i. W. Ueber Berechnung hydraulischer Hebevorrichtungen. Beim Entwerfen hydraulischer Hebevorrichtungen mit wagerechtem Treibkolben kann man sich, ohne einen erheblichen Fehler zu begehen, die Annahme gestatten, dass dieselben mit constanter Druckhöhe arbeiten. Es werden dabei die durch den höheren oder tieferen Stand des Accumulators bewirkten Druckschwankungen vernachlässigt. Diese Voraussetzung ist auch dann noch zulässig, wenn der Treibkolben senkrecht angeordnet, der Hub aber klein ist. Unter dieser Annahme lassen sich nun sehr übersichtliche Formeln für die Bewegungsverhältnisse herleiten. Es wird zwar jedem mit derartigen Rechnungen vertrauten Constructeur nicht schwer fallen, diese Gleichungen zu entwickeln. In der Praxis ist aber häufig für derartige Arbeiten wenig Zeit übrig und dürfte daher das Nachstehende nicht ganz ohne Interesse sein. Bezeichnet P die auf den Treibkolben reducirte Belastung inclusive Stopfbüchsen- und Lagerreibung u.s.w., M alle die mit dem Treibkolben sich bewegenden und ebenfalls auf ihn reducirten Massen, F seinen Querschnitt, v seine veränderliche Geschwindigkeit, f den Querschnitt der Rohrleitung, l deren Länge, C die Wassergeschwindigkeit in derselben, so ist F . v = f . C oder C=\frac{F}{f}\,.\,v=\beta\,.\,v. Ausserdem bezeichne \xi=1+\xi_1+.\ .\ .+\lambda\,.\,\frac{l}{d} den Coëfficienten der Bewegungswiderstände des Wassers in der Rohrleitung, so dass \xi\,\frac{C^2}{2\,g} die hierzu verwandte Druckhöhe ergibt und \lambda=0,01989+\frac{0,0005078}{d} den Darcy'schen Reibungscoefficienten. Nach Eröffnung des Einlasschiebers wird die hier also als constant vorausgesetzte Druckhöhe H wie folgt verwandt: 1) Zur Erzeugung von P, so dass ist: h_1=\frac{P}{F\,.\,\gamma}. 2) Auf die Beschleunigung der Massen, daher h_2=\frac{p\,.\,M}{F\,.\,\gamma}. 3) Auf die Bewegung des Wassers in der Rohrleitung, oder: h_3=\xi\,.\,\frac{C^2}{2\,g}=\xi\,.\,\beta^2\,.\,\frac{v^2}{2\,g}. Man hat daher: H=h_1+h_2+h_3=\frac{P}{F\,.\,\gamma}+\frac{p\,.\,M}{F\,.\,\gamma}+\xi\,.\,\beta^2\,.\,\frac{v^2}{2\,g} oder: p=\frac{F\,.\,\gamma}{M}\,\left(h-\xi\,.\,\beta^2\,.\,\frac{v^2}{2\,g}\left) wenn noch H-\frac{P}{F\,.\,\gamma} mit h bezeichnet wird. Setzt man nun für p den Werth \frac{\delta\,v}{\delta\,t}, so ist: \delta\,t=-\frac{M}{F\,.\,\gamma}\ \frac{\delta\,v}{h-\xi\,.\,\beta^2\,.\,\frac{v^2}{2\,g}} und diese Gleichung auf beiden Seiten mit v=\frac{\delta\,s}{\delta\,t} multiplicirt: \delta\,s=-\frac{M}{F\,.\,\gamma}\ \frac{v\,.\,\delta\,v}{h-\xi\,.\,\beta^2\,.\,\frac{v^2}{2\,g}} folglich wird die Zeit t und der Weg s erhalten aus t=-\frac{M}{F\,.\,\gamma}\,\int\frac{\delta\,v}{h-\xi\,.\,\beta^2\,.\,\frac{v^2}{2\,g}} . . (1) und s=-\frac{M}{F\,.\,\gamma}\,\int\frac{v\,.\,\delta\,v}{h-\xi\,.\,\beta^2\,.\,\frac{v^2}{2\,g}} . . (2) oder es wird sein: t=-\frac{M}{F\,.\,\gamma}\ \frac{1}{2\,.\,\sqrt{h}\,.\,sqrt{\frac{\xi\,.\,\beta^2}{2\,g}}} .\,logn\,.\,\frac{\sqrt{h}+v\,.\,\sqrt{\frac{\xi\,.\,\beta^2}{2\,g}}}{\sqrt{h}-v\,.\,\sqrt{\frac{\xi\,.\,\beta^2}{2\,g}}}+C . . (3) s=\frac{M}{F\,.\,\gamma}\ \frac{g}{\xi\,.\,\beta^2}\,.\,logn\,.\,\left(h-\frac{\xi\,.\,\beta^2}{2\,g}\,.\,v^2\right)+C . . (4) Diese Integrale sind in den Grenzen h2 = h bis h2 = 0, oder von v = 0 bis v=\frac{1}{\beta}\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,.\,h}{\xi}} zu nehmen. Gleichung (3) ergibt für v = 0 auch C = 0 und (4) für v = 0: C=\frac{M}{F\,.\,\gamma}\ \frac{g}{\xi\,.\,\beta^2}\,.\,logn\,h, beide aber für die obere Grenze von v den Werth ∞, oder in Worten: „Bei constanter Druckhöhe wird die Bewegung des Treibkolbens erst nach unendlicher Zeit zu einer gleichförmigen.“ Trotz dieses Resultates kann man doch t und s aus diesen Formeln mit jeder erwünschten Genauigkeit erhalten. Werden die Integrale nur bis zu einer Geschwindigkeit v genommen, die der Druckhöhe φh entspricht wo φ eine Zahl zwischen 0 und 1 bedeutet, so kann man t und s durch Veränderung von φ nach und nach ermitteln. Nach Einführung des Werthes: v=\frac{1}{\beta}\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,.\,h}{\xi}}\,.\,\sqrt{\varphi} . . . (5) wird t=\frac{M}{F\,.\,\gamma}\ \frac{\sqrt{g}}{\beta\,.\,\sqrt{2\,h\,.\,\xi}}\,.\,logn\,\frac{1+\sqrt{\varphi}}{1-\sqrt{\varphi}} . (6) und unter Berücksichtigung der oben ermittelten Constante: s=\frac{M}{F\,.\,\gamma}\ \frac{g}{\xi\,.\,\beta^2}\,.\,logn\,\frac{1}{1-\varphi} . . . (7) Die jedem Werth φ entsprechende Geschwindigkeit v ist durch Gl. (5) gegeben. Zur Berechnung dieser Werthe kann nachstehende kleine Tabelle benutzt werden. Diese Gleichungen sind nun für Accumulatoren ohne Massen richtig. Bei Gewichtsaccumulatoren bedürfen sie aber noch einer Correction wegen der Accumulatormasse. Ist F1 der Querschnitt des Accumulators, M1 seine Masse, v1 seine Geschwindigkeit, so ist F1 . v1 = F . v oder, da die Geschwindigkeiten sich wie die Beschleunigungen verhalten: F1 . p1 = F . p p_1=\frac{F}{F_1}\,.\,p=\beta_1\,.\,p. Folglich ist die auf die Beschleunigung der Accumulatormasse verwandte Druckhöhe: h_4=p\,.\,\beta_1\,.\,\frac{M_1}{F_1\,.\,\gamma} oder, noch M1 = q . M gesetzt: h_4=p\,.\,q\,.\,{\beta_1}^2\,.\,\frac{M}{F\,.\,\gamma}. Diese Druckhöhe ist ebenfalls von H abzuziehen und sind die Formeln nunmehr folgende: t=-\frac{M}{F\,.\,\gamma}\,.\,(1+q\,{\beta_1}^2)\,.\,\frac{\sqrt{g}}{\beta\,.\,\sqrt{2\,h\,.\,\xi}}\,.\,logn\frac{1+\sqrt{\varphi}}{1-\sqrt{\varphi}} . . . (8) s=\frac{M}{F\,.\,\gamma}\,.\,(1+q\,{\beta_1}^2)\,.\,\frac{g}{\xi\,.\,\beta^2}}\,.\,logn\frac{1}{1-\varphi} . . . (9) Dividirt man die Gl. (8) durch (9), so ist auch t=s\,.\,\frac{\beta\,.\,\sqrt{\xi}}{\sqrt{2\,g\,.\,h}}\,.\,m . . . (10) m kann ebenfalls der Tabelle entnommen werden. φ √φ logn\,.\,\frac{1+\sqrt{\varphi}}{1-\sqrt{\varphi}} logn\,.\,\frac{1}{1-\varphi} m 0,1 0,3162 0,6549 0,1054 6,215 0,2 0,4472 0,9624 0,2232 4,313 0,3 0,5477 1,2303 0,3567 3,449 0,4 0,6325 1,4911 0,5108 2,919 0,5 0,7071 1,7628 0,6932 2,543 0,6 0,7746 2,0644 0,9163 2,253 0,7 0,8367 2,4198 1,2039 2,010 0,8 0,8944 2,8873 1,6094 1,794 0,9 0,9487 3,6370 2,3026 1,580 0,95 0,9747 4,3565 2,9957 1,454 0,99 0,9950 5,9870 4,6052 1,300 Als Beispiel sei eine Hebevorrichtung nach folgenden Daten zu berechnen: P = 4000 k, M = 580, F = 0,01767 qm, f = 0,001964 qm, d = 50 mm, l = 10 m,  l/d  = 200, ξ = 7,52, β = 9; ferner H = 25 at = 250 m, F1 = 0,1590 qm, M1 =4052, β1 = 0,111 q = 6,98 und h = 23,63 m. Textabbildung Bd. 303, S. 252 Man erhält: v=0,8674\,.\,\sqrt{\varphi} t=0,6583\,.\,logn\frac{1+\sqrt{\varphi}}{1-\sqrt{\varphi}} s=0,5742\,.\,logn\frac{1}{1-\varphi} oder auch: t = 1,1541 s. m. Die Werthe von v und s sind in Fig. 1 als Ordinaten zu t aufgetragen. Die ausgezogenen Curven sind mit Berücksichtigung der Accumulatormasse, die punktirten ohne diese gezeichnet. Man sieht, wie die Geschwindigkeit von (φ= 0,98 bis 0,99 sich nur noch wenig ändert und der nachfolgende Theil der Bewegung als gleichförmig angesehen werden kann. Wie nun die Formeln auch für die Rückwärtsbewegung des Treibkolbens, unter gleichen Voraussetzungen wie im Vorstehenden, verwandt werden können, wird sich jeder Constructeur selbst zurechtlegen.