Maschinenelemente.Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äusserer Verzahnung. Von Emil Herrmann, Oberbergrath, Prof. in Schemnitz. Mit Abbildungen. Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äusserer Verzahnung. Bei den Zahnrädern mit cykloidischen oder evolventischen Zahnflanken kann man die Eingriffsdauer mit sehr grosser Annäherung ganz allgemein berechnen und daraus praktisch werthvolle Schlüsse ziehen. Die Rechnung gestaltet sich etwas einfacher, wenn man die sogen. Durchmessertheilung statt der Bogentheilung benutzt. Es sei t die Bogentheilung, d.h. die Länge desjenigen Theilkreisbogens, welcher zwischen den Mittellinien zweier unmittelbar auf einander folgender Zahnprofile liegt, und s die Durchmessertheilung oder sogen. Stichzahl.Reuleaux,„Der Constructeur“, IV. Aufl. S. 518. Zwischen t und s besteht die Beziehung: t=3,1416\ s=\pi\,s,\ d.\,h.\ s=\frac{t}{\pi}=0,3183\ t. Sind R und R1 die Halbmesser, Z und Z1 die Zähnezahlen der Räder, dann ist \frac{2\,\pi\,R}{Z}=\frac{2\,\pi\,R_t}{Z_1}=t, somit \frac{2\,R}{Z}=\frac{2\,R_1}{Z_1}=s, woraus 2 R = Zs und 2 R1 = Z1 s, d.h. das Product aus der Zähnezahl und der Stichzahl ist dem Durchmesser des Rades gleich. A. Cykloidenräder. 1) Die Eingriffsdauer cykloidischer Zahnflanken. Wir nehmen an, dass der Erzeugungs-(Roll- oder Wälzungs-)Kreis der Flanke des Zahnkopfes und jener des Zahnfusses verschieden sind. Es sei das Rad mit dem Halbmesser R das Rad I, jenes mit R1 das Rad II. Alle unsere Untersuchungen beziehen sich auf die äussere Verzahnung, es unterliegt aber keiner Schwierigkeit, dieselbe für die Innenverzahnung umzugestalten. Der Radius des Wälzungskreises, welcher die Flanke des Zahnkopfes vom Rade I und des Fusses vom Rade II erzeugt, sei ρ = is. Der Radius des anderen Rollkreises ist ρ1 = i1 s; dieser erzeugt die Flanke des Zahnkopfes auf dem Rade II, sowie den Fuss auf dem Rade I. Wir setzen voraus, dass R < R1, somit können wir das Rad I das kleinere, das Rad II das grössere nennen. Es sei nun (Fig. 1) T bezw. T1 der Theilkreis des kleineren bezw. grösseren Rades; K der Kopfkreis des ersteren und W der Wälzungskreis, welcher die Zahnkopfflanke des kleineren Rades erzeugt. Textabbildung Bd. 310, S. 28 Fig. 1. Rollt man den Bogen AB des Wälzungskreises von B an auf den Theilkreis ab, so erhält man den EingriffsbogenReuleaux,„Der Constructeur“, IV. Aufl. S. 523., wobei der Zahnkopf des kleineren Rades mit dem Fusse des grösseren im Eingriffe steht. Das Verhältniss dieses Bogens AB zur Theilung t nenne ich die Eingriffsdauer ε des kleineren Rades. Dementsprechend ist \varepsilon=\frac{\varrho\,\varphi}{t}=\frac{i\,\varphi}{\pi} . . . 1) In dem Dreiecke ACD sind alle drei Seiten bekannt, nämlich A\,C=\left(\frac{Z}{2}+\zeta\right)s,\ A\,D=i\,s, C\,D=\left(\frac{Z}{2}+i\right)\s, deren halbe Summe ist S=\left(\frac{Z+\zeta}{2}+i\right)\s. Nach einem bekannten Satz der Trigonometrie ist sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{(S-A\,D)\,(S-C\,D)}{A\D\cdot C\,D}}, oder wenn man die betreffenden Werthe einsetzt sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{(Z+\zeta)\,\zeta}{2\,i\,(Z+2\,i)}} Der Winkel \frac{\varphi}{2} ist genügend klein, dass man dessen Sinus für den Bogen setzen kann, dabei berechnet man die Eingriffsdauer etwas zu klein, aber der Unterschied ist nicht der Rede werth. Z.B. in dem allerungünstigsten Falle, wenn i = 0,875 t = 2,75 s, Z = 11, ζ = 0,94, wird sin\,\frac{\varphi}{2}=0,3516,\ \frac{\varphi}{2}=0,3733, d.h. \frac{\varphi}{2}=1,061\,sin\,\frac{\varphi}{2}. Schreibt man in Gl. 2) statt sin\,\frac{\varphi}{2} nur \frac{\varphi}{2}, dann wird \varphi=\sqrt{\frac{2\,\zeta\,(Z+\zeta)}{i\,(Z+2\,i)}} . . . . 3) Setzt man diesen Werth in die Gl. 1), dann ist die Eingriffsdauer des kleinen Rades \epsilon=\frac{1}{\pi}\,\sqrt{\frac{2\,i\,\zeta\,(Z+\zeta)}{Z+2\,i}} . . . . 4) Hieraus ergibt sich die Eingriffsdauer des grösseren Rades, wenn man statt Z und i, Z1 und i1 schreibt: \epsilon_1=\frac{1}{\pi}\,\sqrt{\frac{2\,i_1\,\zeta\,(Z_1+\zeta)}{Z_1+2\,i_1}} . . . . 5) [Bei der inneren Verzahnung findet man \epsilon_1=\frac{1}{\pi}\,\sqrt{\frac{2\,i_1\,\zeta\,(Z_1-\zeta)}{Z_1-2\,i_1}}.] Die Summe von 4) und 5) gibt die ganze Eingriffsdauer ε2 für die betrachteten Räder \epsilon_2=\frac{1}{\pi}\,\left[\sqrt{\frac{2\,i\,\zeta\,(Z+\zeta)}{Z+2\,i}}+\sqrt{\frac{2\,i_1\,\zeta\,(Z_1+\zeta)}{Z_1+2\,i_1}}\right] 6) 2) Die Eingriffslänge cykloidischer Zahnflanken. Die Dauerhaftigkeit der Räder hängt ganz wesentlich von der Länge der Fussflankenstücke ab, welche zum Eingriffe gelangen. Bei dem Kopfe vertheilt sich die Abnutzung auf dessen ganze Länge, während dieselbe sich beim Fusse auf ein bedeutend kürzeres Stück beschränkt und deshalb hier viel grösser ist. Die Länge des betreffenden Theiles der Fussflanke unterscheidet sich in normalen Fällen wenig von jener des radialen Stückes AF = h1 s in Fig. 1. Dieses aber ergibt sich zu A\,F=C_1F-C_1A=\frac{s\,Z_1}{2}-C_1A. C_1A=\sqrt{A\,E^2+C_1\,E^2}=\sqrt{A\,E^2+(C_1B-B\,D+D\,E^2)}. Mit Rücksicht auf den Winkel ϕ ist C_1\,A=\sqrt{i^2s^2sin^2\varphi+\left(\frac{s\,Z_1}{2}-i\,s+i\,s\,cos\,\varphi\right)^2}. Statt -i\,s+i\,s\,cos\,\varphi=-i\,s\,(1-cos\,\varphi)=-i\,s\,2\,sin^2\,\frac{\varphi}{2} gesetzt A\,F=s\,h_1=\frac{s\,Z_1}{2}-\sqrt{s^2i^2sin^2\varphi+\left(\frac{s\,Z_1}{2}-2\,i\,s\,sin^2\,\frac{\varphi}{2}\right)^2}. Daraus h_1=\frac{Z_1}{2}-\left(\frac{Z_1}{2}-2\,i\,sin^2\,\frac{\varphi}{2}\right)\,\sqrt{1-\frac{i^2sin^2\varphi}{\left(\frac{Z_1}{2}-2\,i\,sin^2\,\frac{\varphi}{2}\right)^2}} Die Wurzel entwickeln wir nach der binomischen Reihe, begnügen uns aber mit den zwei ersten Gliedern und setzen zugleich sin^2\varphi=4\,sin^2\,\frac{\varphi}{2}\,cos^2\,\frac{\varphi}{2}; dann ist h_1=2\,i\,sin^2\,\left(1-\frac{i\,cos^2\,\frac{\varphi}{2}}{\frac{Z_1}{2}-2\,i\,sin^2\,\frac{\varphi}{2}}\right). Dieser Werth ist aber etwas zu gross, wir müssen deshalb den negativen Theil etwas vergrössern und zwar setzen wir im Zähler cos\,\frac{\varphi}{2}=1 und im Nenner sin\,\frac{\varphi}{2}=0, dann wird h_1=2\,i\,sin^2\,\frac{\varphi}{2}\,\left(1-\frac{2\,i}{Z_1}\right). Setzt man für sin^2\,\frac{\varphi}{2} den Werth aus Gl. 2), dann ist h_1=\frac{(Z+\zeta)\,\zeta}{Z+2\,i}\,\left(1-\frac{2\,i}{Z_1}\right) . . . . 7) Für die Eingriffslänge des kleineren Rades erhält man h=\frac{(Z_1+\zeta)\,\zeta}{Z_1+2\,i_1}\,\left(1-\frac{2\,i_1}{Z_1}\right) . . . . 8) 3) Die Eingriffsdauer und -länge der Einzelräder. Macht man die Radien der Wälzungskreise von jenen der Räder abhängig, so erhält man Einzelräder, welche nur mit einander richtig arbeiten können. Die Beziehung zwischen den Radien der Theil- und der Wälzungskreise kann selbstverständlich beliebig gewählt werden, es fragt sich nur, welche ist zweckmässig. Prof. C. Bach„Die Maschinenelemente“, II. Aufl. S. 171 und 181. sagt diesbezüglich: „was die Grösse der Rollkreise anbelangt, so sprechen zunächst verschiedene Gründe dafür, sie möglichst gross zu machen“. Ferner: „ruhiger Gang fordert möglichst grosse Rollkreise u.s.w. Daher soll mit dem Durchmesser des Rollkreises nicht über den Radius des Theilkreises hinausgegangen werden“. Dementsprechend nehme ich hier an, dass der Radius des Rollkreises die Hälfte des Radius desjenigen Theilkreises ist, auf welchem der Rollkreis die Fussflanke des Zahnes erzeugt, weshalb diese eine radial gerichtete Gerade wird. Dann ist aber i=\frac{Z_1}{4} und i_1=\frac{Z}{4}. Bei normalen Zähnen ist die Länge des Kopfes ζs = 0,3 t, somit ζ = 0,3 × π = 0,94248, wofür wir abgekürzt ζ = 1, also die Länge des Kopfes 0,32 t nehmen. Setzen wir die Werthe von i, i1 und ζ in die Gl. 6), 7) und 8) ein, so kommt die Eingriffsdauer und -länge: \left{{\epsilon_2=0,3183\,\left[\sqrt{\frac{Z_1(Z+1)}{2\,Z+Z_1}}+\sqrt{\frac{Z\,(Z_1+1)}{2\,Z_1+Z}}\right]}\atop{h=\frac{Z_1+1}{2\,Z_1+Z};\ h_1=\frac{Z+1}{2\,Z+Z_1}}}\right\}\ 9) Es sei noch ü=\frac{Z_1}{Z} das Uebersetzungsverhältniss, dann wird \epsilon_2=0,3813\,\left[\sqrt{\frac{ü\,(Z+1)}{2+ü}}+\sqrt{\frac{ü\Z+1}{2\,ü+1}}\right] h=\frac{ü\,Z+1}{Z\,(2\,ü+1)};\ h_1=\frac{Z+1}{(2+ü)\,Z}. Aus dem Werthe von ε2 kann man bei gegebenem Uebersetzungsverhältnisse die Zähnezahl Z des kleineren Rades so bestimmen, dass die Eingriffsdauer eine gegebene wird. Zunächst wird \epsilon=0,3183\,\sqrt{\frac{ü\,(Z+1)}{2\,ü+1}}\,\left[\sqrt{\frac{2\,ü+1}{2+ü}}+\sqrt{\frac{ü\,Z+1}{ü\,(Z+1)}}\right] \frac{ü\,Z+1}{ü\,(Z+1)}=1-\frac{ü-1}{ü\,(Z+1)}. Lässt man hier das zweite Glied fort, so begeht maneinen kleinen Fehler, welcher aber deshalb nicht in Betracht kommt, weil der Ausdruck für ε ohnehin etwas zu klein ist und durch Fortlassen des negativen Gliedes etwas vergrössert wird. Damit erhält man \epsilon_2=0,3183\,\sqrt{\frac{ü\,(Z+1)}{2\,ü+1}}\,\left[1+\sqrt{\frac{2\,ü+1}{2+ü}}\right]. Hieraus bestimmt sich Z=\frac{9,87\,{\epsilon_2}^2\,(2\,ü+1)}{ü\,\left[1+\sqrt{\frac{2\,ü+1}{ü+2}}\right]}-1. Aus dieser Gleichung und den obigen Ausdrücken von h und h1 ist die nachstehende Tabelle berechnet. Tabelle I. ü Z Z 1 h h 1 1 66    66 0,338 0,338 1,5 55    83 0,380 0,290 2 49    98 0,404 0,255 3 43 129 0,432 0,205 4 40 160 0,447 0,171 6 37 222 0,464 0,129 8 35 280 0,472 0,103 ∞ 31 – 0,500 0,000 Wählt man die Rollkreise wie oben angegeben, die Zähnezahlen hingegen wie die Tabelle angibt, oder noch grösser, dann erhält man Räder, bei welchen nicht nur der Zahnfuss eine Gerade, somit die Zahnform eine höchst einfache ist, sondern es werden auch beständig drei Zähne jedes Rades im Eingriffe stehen, weshalb der Gang solcher Räder zuversichtlich ein sanfter sein wird. 4) Eingriffsdauer und -länge der Satzräder. Satzräder haben unleugbar gewisse Vorzüge, namentlich für solche Fabriken, deren Specialität in der Erzeugung von Transmissionsbestandtheilen besteht, wenngleich die Bedeutung dieser Räder in Folge der Einführung der Räderformmaschinen sehr zurückgegangen ist. Deshalb sind die Satzräder selbst für jene Klasse von Rädern nicht im vorherein zu verwerfen, welche Bach als Arbeitsräder, Reuleaux aber als Triebwerksräder bezeichnet. Freilich muss man von solchen Satzrädern verlangen, dass mindestens immer zwei Zähnepaare im EingriffeAuf S. 173 der erwähnten Auflage „Die Maschinenelemente“ verlangt Prof. Bach dies überhaupt von den Triebwerksrädern. sind. Um dessen sicher zu sein, bestimmen wir den Halbmesser des Wälzungskreises und die Zähnezahl des kleinsten Rades derart, dass auch dann, wenn zwei solche kleinste Räder mit einander arbeiten, die Eingriffsdauer gleich zwei sei; dabei nehmen wir an, dass beim kleinsten Rade (aber nur bei diesem) die Fussflanke eine Gerade werde. Die Eingriffsdauer ergibt sich dann aus der ersten der Gl. 9), wenn man Z = Z1 = Z0 setzt, \epsilon_2=\frac{1}{\pi}\,\times\,2\,\sqrt{\frac{Z_0+1}{3}}, woraus die Zähnezahl des kleinsten Rades Z_0=3\,\left(\frac{\epsilon_2\pi}{2}\right)^2-1=29,61\,\frac{{\epsilon_2}^2}{1}-1. Für ε2 = 2 wird Z0 = 28,61. Weil die Fussflanke eine Gerade ist, muss i=\frac{Z_0}{4} sein. Nehmen wir rund i = 7, dann ist der Radius des Wälzungskreises rund ρ = 7 s. Für Bogentheilung \rho=\frac{7,152\,t}{\pi}=2,25\ t. Da i und ρ nun etwas kleiner sind als der Werth aus obiger Gleichung, so kann die kleinste Zähnezahl nicht 28 sein, sondern wir nehmen sie Z0 = 30. Setzen wir nun in die Gl. 6) ζ = 1, Z = Z1 = 30, i = i1 = 7, dann wird \epsilon_2=\frac{1}{\pi}\,2\,\sqrt{\frac{14\,\times\,31}{44}}=\frac{2\,\times\,3,1406}{3,1416}=2. Setzen wir des weiteren i = 7 und ζ = 1 in die Gl. 6) ein, so erhalten wir die Eingriffsdauer für unsere Satzräder im Allgemeinen \epsilon_2=0,31831\,\left[\sqrt{\frac{14\,(Z+1)}{Z+14}}+\sqrt{\frac{14\,(Z_1+1)}{Z_1+14}}\right] oder \epsilon_2=1,191\,\left(\sqrt{\frac{Z+1}{Z+14}}+\sqrt{\frac{Z_1+1}{Z_1+14}}\right) . 10) Die Eingriffsdauer einzeln sind \epsilon=1,191\,\sqrt{\frac{Z+1}{Z+14}} und \epsilon_1=1,191\,\sqrt{\frac{Z_1+1}{Z_1+14}}. Hieraus ist ersichtlich, dass die Eingriffsdauer bei Cykloidensatzräder nur von der Zähnezahl des betreffenden Rades abhängt, somit ein Attribut des Rades ist. Die Eingriffslänge nach Gl. 7) und 8) ist \left{{h_1=\frac{1+Z}{14+Z}\,\left(\frac{Z_1-14}{Z_1}\right),}\atop{h=\frac{1+Z_1}{14+Z_1}\,\left(\frac{Z-14}{Z}\right)}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 11) 5) Die relative Dauerhaftigkeit der Zähne. Wir erwähnten schon, dass die Abnutzung des Zahnfusses grösser ist als jene des Zahnkopfes, weil sich der Eingriff bei ersterem nur auf einen kurzen Theil beschränkt. Unter gleichen Umständen wird die Abnutzung der Zähne direct proportional sein mit dem Drucke, welcher auf die Längeneinheit der Zahnbreite (Radbreite) entfällt, und mit der Anzahl der Umdrehungen, dagegen steht dieselbe im umgekehrten Verhältnisse mit der Eingriffslänge und der Eingriffsdauer, weil bei der grösseren Eingriffsdauer mehr Zähne zugleich eingreifen. Man sieht leicht ein, dass das letzte Verhältniss nur bei solchen RädeѲn ganz wahr ist, bei welchen immer eine ganze Anzahl von Zähnen eingreift, somit ε2 genau 1, 2 oder 3 ist, bei solchen Rädern, bei denen ε2 keine ganze Zahl, ist dieses Verhältniss nur angenähert richtig, aber immerhin brauchbar. Die Dauerhaftigkeit ist natürlich der Abnutzung umgekehrt proportional. Es sei D die Dauerhaftigkeit, P der Druck zwischen den Zähnen von der Breite b, ε2 die Eingriffsdauer, n die Umdrehungszahl in der Minute, hs die Eingriffslänge, C eine constante Zahl, dann ist D=\frac{C\,b\,\epsilon_2\,h\,s}{P\,n};\ D_1=\frac{C\,b\,\epsilon_2\,h_1\,s}{P\,n_1}. \frac{C\,b\,s}{P\,n}=\alpha gesetzt, wird, da \frac{n}{n_1}=ü ist, D = α ε2 h   und   D1 = α ε2 h1 ü. Daraus sehen wir, dass unter sonst ganz gleichen Umständen die Dauerhaftigkeit der Räder von demProducte ε2 h bezw. ε2 h1 ü abhängig ist. Damit sind wir aber in den Stand gesetzt, die Dauerhaftigkeit zweier Zahnconstructionen zu vergleichen. Bestimmen wir z.B. bei Satzrädern die Eingriffsdauer und -länge für die in der Tabelle I enthaltenen Zähnezahlen (nach Gl. 10 und 11), so finden wir die in der nachstehenden Tabelle enthaltenen Zahlen. Tabelle II. Satzräder, bei welchen i = 7. ü Z Z 1 ε 2 h h 1 1 66   66 2,18 0,660 0,660 1,5 55   83 2,19 0,645 0,675 2 49   98 2,18 0,632 0,681 3 43 129 2,19 0,614 0,688 4 40 160 2,19 0,601 0,695 6 37 222 2,19 0,588 0,698 8 35 280 2,19 0,574 0,699 ∞ 31 – 2,20 0,549 0,711 Die nachstehende Tabelle enthält sowohl für die Einzelräder (Tabelle I), als auch für die gleichzähnigen Satzräder die Producte hε2 und h1 ε2 ü. Tabelle III. ü Einzelrad Satzräder hε 2 h 1 ε 2 ü hε 2 h 1 ε 2 ü 1 1,01 1,01 1,44 1,44 1,5 1,14 1,31 1,41 2,23 2 1,21 1,53 1,38 2,97 3 1,31 1,85 1,34 4,51 4 1,34 2,05 1,32 6,06 6 1,39 2,32 1,28 9,15 8 1,43 2,47 1,26 12,22 ∞ 1,50 – 1,21 – Das grosse Rad ist demnach immer haltbarer, wenn es als Satzrad construirt ist, das kleine Rad aber ist nur dann als Satzrad dauerhafter, wenn die Uebersetzung kleiner als 4 ist. Aber selbst bei den wenig vorkommenden grossen Uebersetzungen ist die Dauerhaftigkeit des kleinen Satzrades nicht um sehr vieles geringer als jene des Einzelrades. Ganz besonders empfehlen sich Satzräder für Holz-Eisenräder, bei welchen man dem grossen Rade die Holzkämme gibt. 6) Die Ersatzbögen bei den Satzrädern. Die Satzräder bieten noch den Vortheil, dass man die Krümmungsradien solcher Kreisbögen ein für allemal bestimmen kann, welche die Epi- und Hypocykloidenbögen annähern. Der von mir eingeschlagene Weg ist von den bisher gebräuchlichen abweichend. Textabbildung Bd. 310, S. 31 Fig. 2. Ich bestimme einfach die Coordinaten dreier Punkte der Flanke und suche den Mittelpunkt desjenigen Kreisbogens, welcher durch diese drei Punkte hindurch geht. Dieses Verfahren ist umständlich, weil man für jedes Uebersetzungsverhältniss die Radien der Ersatzkreise besonders rechnen muss und die Resultate nur in eine empirische Formel zusammenfassen kann, aber sie hat den Vortheil, wirklich brauchbare Ersatzbögen zu liefern, wie man sich durch die Construction leicht überzeugen kann. Es sei (Fig. 2) T der Theilkreis und, weil wir der Bequemlichkeit halber s = 1 annehmen, \frac{Z}{2} dessen Halbmesser, DE = 1 der Radius des Wälzungskreises, B ein Punkt der Epicykloide, x und y dessen Coordinaten, dann ist nach Gl. 2) sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{(Z+\zeta)\,\zeta}{2\,i\,(Z+2\,i)}}. Für die Hypocykloide wird sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{(Z-\zeta)\,\zeta}{2\,i\,(Z-2\,i)}}. und es gilt in den nachstehenden Formeln das obere Zeichen für die Epicykloide, das untere aber für die Hypocykloide. Die Bögen AE und BE sind gleich lang, weshalb \frac{Z}{2}\,psi=i\,\varphi, woraus \psi=\frac{2\,i\,\varphi}{Z}.. Aus dem Dreiecke CBD folgt \frac{\frac{Z}{2}\,\pm\,\zeta}{sin\,\varphi}=\frac{i}{sin\,\vartheta}, d.h. sin\,\vartheta=\frac{2\,i\,sin\,\varphi}{Z\,\pm\,2\,\zeta}. Der Winkel (ψ – ϑ) ist so klein, dass man ohne weiteres cos (ψ – ϑ) = 1 setzen kann. Wirklich ist x=\left(\frac{Z}{2}\,\pm\,\zeta\right)\,cos\,(\psi-\vartheta)-\frac{Z}{2}, wofür wir einfach x = ζ schreiben. Endlich y=\left(\frac{Z}{2}\,\pm\,\zeta\right)\,\sin\,(\psi-\vartheta). Die Punkte, für welche y ausgerechnet wurden, sind durch x = ζ = 1 und x = ζ = 0,4 festgestellt. Da i = 7 ist, werden die Ausdrücke für den I. Punkt:     \zeta=1;\ sin\,\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{Z\,\pm\,1}{14\,(Z\,\pm\,14)}};\ \psi=\frac{14}{Z}\,\varphi;sin\,\vartheta=\frac{14\,sin\,\varphi}{Z\,\pm\,2};\ x=1;\ y=\left(\frac{Z}{2}\,\pm\,\1\left)\,sin\,(\psi-\vartheta)Für den II. Punkt:\zeta=0,4;\ sin\,\frac{\varphi_1}{2}=\sqrt{\frac{0,4\,(Z+0,4)}{14\,(Z\,\pm\,14)}};\ \psi_1=\frac{14}{Z}\,\varphi_1          sin\,\vartheta_1=\frac{14\,sin\,\varphi_1}{Z\,\pm\,0,8};\ x_1=0,4;          y_1=\left(\frac{Z}{2}\,\pm\,0,4\right)\,sin\,(\psi_1-\vartheta_1)       12) Der III. Punkt ist x2 = y2 = 0. Kennt man die Coordinaten, dann findet man diejenigen des Krümmungsmittelpunktes auf folgende Art. Wir errichten in Fig. 3 im Halbirungsmittelpunkte A der Sehne I-III eine Senkrechte AM; diese geht durch den Krümmungsmittelpunkt, ihre Gleichung ist: b-\frac{y}{2}=-\frac{x}{y}\,\left(a-\frac{x}{2}\right) . . . α) Ebenso verfahren wir mit der Sehne II-III und erhalten für die Gerade BM die Gleichung: b-\frac{y}{2}=-\frac{x}{y}\,\left(a-\frac{x}{2}\right) . . . β) Bestimmt man aus der Gl. α) und β) die Werthevon a und b, so erhält man mit Rücksicht auf x1 = 0,4, x = 1 \left{{a=\frac{y_1+\frac{0,16}{y_1}-\left(y+\frac{1}{y}\right)}{2\,\left(\frac{0,4}{y_1}-\frac{1}{y}\right)}}\atop{b=\ \ \frac{0,6+y^2-2,5\,{y_1}^2}{2\,(y-2,5\,y_1)}}}\right\}\ .\ .\ .\ 13) Textabbildung Bd. 310, S. 32 Fig. 3. Aus den Formeln 12) und 13) ist die folgende Tabelle für die Epicykloide berechnet. Auf Grundlage der in der Tabelle enthaltenen wahren Werthe habe ich für die Epicykloide die nachstehenden empirischen Formeln aufgestellt: \left{{a=-\left(0,319+\frac{0,201}{Z-13}\right)\,s}\atop{b=\left(4,585+\frac{94,4}{Z+26,84\right)\,s}}}\right\}\ .\ .\ .\ .\ 14) Tabelle IV. Für die Epicykloide. Z Wahre Werthe Werthe nach Gl. 14 – a/s b/s –a/s b/s   30 0,3302 2,9247 0,331 2,924   35 0,3281 3,0589 0,328 3,059   40 0,3267 3,1733 0,326 3,174   50 0,3248 3,3569 0,324 3,357 100 0,3214 3,8416 0,321 3,841 200 0,3200 4,1694 0,320 4,169 ∞ 0,3190 4,5855 0,319 4,585 Die Gl. 14) geben somit die Coordinaten des Krümmungsmittelpunktes des Epicykloidenbogens mit genügender Genauigkeit. Für die Hypocykloide fand ich aus den untenstehend berechneten Werthen die folgenden empirischen Regeln: -a_1=\left(0,319-\frac{0,365}{Z+43}\right)\,s . . . 15) Für die Coordinate b1 musste ich zwei Formeln aufstellen. \left{{a)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Z\,<\,35,\ b_1=\left(4,586+\frac{90,66}{Z-28}\right)\,s}\atop{b)\ Z\,>\,35,\ b_1=\left(4,586+\frac{96}{Z-27,7}-\frac{416}{1530-Z}\right)\,s}}\right\}16) Aus den vorstehenden Formeln ist die folgende Tabelle berechnet. Tabelle V. Für die Hypocykloide. Z Wahre Werthe Angenäherte Werthe –a1/s b1/s –a1/s b1/s   30 0,314 49,846 0,314 49,92   35 0,314 17,556 0,314 17,54   40 0,314 12,116 0,315   12,112   50 0,315   8,615 0,315     8,590 100 0,317   5,622 0,317     5,623 200 0,317   4,830 0,318     4,830 ∞ 0,319   4,586 0,319     4,586 Demnach ist die Uebereinstimmung auch hier eine genügende. Bei der Verzeichnung der Zahnflanken hat man a, b und a1, b1 folgendermaassen aufzutragen. Es sei in Fig. 4 T der Theilkreis. Auf AC errichtet man die Senkrechte BF. Ferner hat man AB = b zu machen und durch B BD || AC zu ziehen, endlich die Länge BD = a zu machen. Ferner ist AF = b1, FG || CA und FG = a1. D ist der Mittelpunkt der Kopfflanke AE, G der Mittelpunkt der Fussflanke AH. In den Kreisen, welche von C aus durch D und G gezogen werden, liegen dann die Mittelpunkte der Flanken sämmtlicher Zähne. Textabbildung Bd. 310, S. 32 Fig. 4. 7) Räder für kleinere Kräfte (Kraft- oder Krahnräder). Bei diesen ist die kleinste Zähnezahl Z = 30 viel zu gross, man muss oft bis Z = 10 ... 12 herabgehen. Solche Räder kann man entweder als Einzelräder mit der Eingriffsdauer ε2 = 1,8 ... 2 construiren, oder als Satzräder mit einem Rollkreise, dessen Radius, wie Reuleaux für alle Satzräder angibt, ρ = 0,8 t oder für Durchmessertheilung ρ = 2,5 s ist. Für diese Räder ist die kleinste Zähnezahl Z0 = 10 und die Eingriffsdauer \epsilon_2=0,712\,\left(\sqrt{\frac{Z+1}{Z+5}}+\sqrt{\frac{Z_1+1}{Z_1+5}}\right) . 17) Die allerkleinste Eingriffsdauer ergibt sich, wenn zwei kleinste Räder mit einander arbeiten, dann ist Z1 = Z = 10 und die Eingriffsdauer ε2 = 1,22. Dieser kleinen Eingriffsdauer wegen können diese Räder nur bei kleiner Umfangsgeschwindigkeit angewendet werden, bei schnell gehenden ist der Gang nicht ruhig genug. (Schluss folgt.)