Maschinenelemente.Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äusserer Verzahnung. Von Emil Herrmann, Oberbergrath, Prof. in Schemnitz. (Schluss des Berichtes S. 28 d. Bd.) Mit Abbildungen. Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äusserer Verzahnung. B. Evolventenräder. 8) Die Eingriffsdauer der Evolventenflanken. Es seien T und T1 in Fig. 5 die Theilkreise, DD1 die Eingriffslinie, K1 der Kopfkreis des einen Rades. Wo derselbe die Eingriffslinie in D schneidet, ist das Ende des Eingriffes für das kleinere Rad. Fällt man aus dem Mittelpunkte C dieses Rades eine Senkrechte CB auf die Eingriffslinie DD1 so erhält man CB, den Halbmesser des Grundkreises. Dieser ist demnach C\,B=\frac{Z\,s}{2}\,cos\,\alpha Die Länge AD = e1 s der Eingriffslinie ist demjenigen Bogen gleich, welcher sich vom Grundkreise während desEingriffes abwickelt. Vom Theilkreise wickelt sich ein im Verhältnisse der Radien grösserer Bogen ab. Nennen wir denselben b . s, dann ist \frac{b\,\cdot\,s}{e_1\,s}=\frac{\frac{Z}{2}\,s}{\frac{Z}{2}\,s\,sin\,\alpha}=\frac{1}{sin\,\alpha}, daher b\,\cdot\,s=\frac{e_1\,s}{sin\,\alpha}. Das Verhältniss dieses Bogens zur Theilung gibt die Eingriffsdauer des grossen Rades ε1. Da t = πs, so wird \varepsilon_1=\frac{e_1\,s}{sin\,\alpha\,\cdot\,\pi\,s}=\frac{e_1}{\pi\,sin\,\alpha} . . . . 18) Ein häufig vorkommender Fehler der Evolventenräder ist, dass der Schnittpunkt D des Kopfkreises K1 mit der Eingriffslinie über den Fusspunkt der Senkrechten CB, d.h. über B hinausfällt. In diesem Falle wird der Zahnkopf des grösseren Rades so lang, dass der Eingriff über die Evolvente hinaus auch noch mit dem radialen Theile der Fussflanke fort dauert. Textabbildung Bd. 310, S. 52 Fig. 5. Eigentlich schneidet die Bahn des Kopfendes des Zahnes an dem grösseren Rade in den radialen Fuss des Zahnes an dem kleineren Rade ein, weshalb nach Beendigung des richtigen Eingriffes die Kopfkante des Zahnes an den radialen Fuss anschlägt, so dass sich dieselbe in der kürzesten Zeit abrundet, am Zahnfusse aber eine Rille entsteht, was man namentlich an den Kammwalzen (Krausein) der Walzwerke beobachten kann. Eine unerlässliche Bedingung für das richtige Zusammenarbeiten der Evolventenräder ist demnach, dass der Punkt D zwischen A und B liege. Da AD = e1 s und A\,B=\frac{Z\,s}{2}\,cos\,\alpha ist, folgt, dass e_1\,\geq\,\frac{Z\,cos\,\alpha}{2} . . . . 19) sein müsse. Der Werth von e1 lässt sich aber auch aus dem Dreiecke AC1 D bestimmen, und zwar ist \left(\frac{Z_1}{2}+\zeta\right)^2\,s^2=\left(\frac{s\,Z_1}{2}\right)^2+(e_1\,s)^2-2\,\left(\frac{Z_1}{2}\,s\right)\,(e_1\,s)\,cos\,(180-\alpha). Wenn wir auch bei diesen Rädern die Kopflänge statt 0,3 t, gleich der Stichzahl s nehmen, was einer Kopflänge von rund 0,32 t entspricht, dann ist aus obigem Ausdrucke e12 + Z1 e1 cos α = Z1 + 1 . . . 20) Diese Gleichung nach e1 aufgelöst gibt e_1=\frac{\sqrt{{Z_1}^2\,cos^2\,\alpha+4\,(Z_1+1)}-Z_1\,cos\,\alpha}{2} . 21) Für das andere (kleinere) Rad erhält man e=\frac{\sqrt{Z^2\,cos^2\,\alpha+4\,(Z+1)}-Z\,cos\,\alpha}{2} . 21a) Setzt man diese Werthe in die Gl. 18) ein, so erhält man die Eingriffsdauer des Räderpaares \varepsilon_2=\varepsilon_1+\varepsilon=\frac{e_1+e}{\pi\,sin\,\alpha} \varepsilon_2=\frac{\sqrt{Z_1^2\,cos^2\,\alpha+4\,(Z_1+1)}}{2\,\pi\,sin\,\alpha} \frac{+\sqrt{Z^2\,cos^2\,\alpha+4\,(Z+1)}-(Z_1+Z)\,cos\,\alpha}{2\,\pi\,sin\,\alpha} 22) 9) Die Eingriffslänge. In Fig. 5 ist DE = h . s die Eingriffslänge des kleineren Rades. Aus dem Dreiecke ACD ist C\,D=\sqrt{\left(\frac{Z\,s}{2}\right)^2+(e_1\,s)^2-2\,\left(\frac{Z\,s}{2}\right)\,(e_1\,s)\,cos\,\alpha} daher, wenn man e1 2 cos 2 α – e1 2 cos 2 α = 0 zu dem Ausdrucke unter dem Wurzelzeichen hinzugibt, C\,D=s\,\sqrt{\left(\frac{Z}{2}\right)^2-Z\,e_1\,cos\,\alpha+{e_1}^2\,cos^2\,\alpha+{e_1}^2-{e_1}^2\,cos^2\,\alpha}. Es ist aber s\,h=\frac{s\,Z}{2}-C\,D, woraus h=\frac{Z}{2}-\sqrt{\left(\frac{Z}{2}-e_1\,cos\,\alpha\right)^2+{e_1}^2\,sin^2\,\alpha} oder h=\frac{Z}{2}-\left(\frac{Z}{2}-e_1\,cos\,\alpha\right)\,\sqrt{1+\left(\frac{e_1\,sin\,\alpha}{\frac{Z}{2}-e_1\,cos\,\alpha}\right)^2}. Die Wurzel entwickeln wir nach dem binomischen Lehrsatze, wobei wir uns mit den zwei ersten Gliedern der unendlichen Reihe begnügen; dadurch bestimmen wir die Eingriffslänge kaum merkbar zu klein. Für das kleine Rad ist h=e_1\,\left(cos\,\alpha-\frac{e_1\,sin^2\,\alpha}{Z-2\,e_1\,cos\,\alpha}\right) . . . 23) Für das grosse Rad wird h_1=e\,\left(cos\,\alpha-\frac{e\,sin^2\,\alpha}{Z_1-2\,e\,cos\,\alpha}\right) . . . 23a) 10) Einzelräder. Diese entstehen, wenn man den Winkel ec der Eingriffslinie mit der Centrallinie CC1 in Fig. 5 für jedes Paar so bestimmt, dass die Eingriffsdauer möglichst grosswerde. Dies ist der Fall, wenn für das grössere Rad nach Gl. 19) e_1=\frac{Z\,cos\,\alpha}{2} ist. Diesen Werth in die Gl. 20) eingesetzt, kommt \frac{Z^2\,cos^2\,\alpha}{4}+\frac{Z_1\,Z\,cos^2\,\alpha}{2}=Z_1+1. Es sei auch hier \frac{R_1}{R}=\frac{Z_1}{Z}=\mbox{ü} das Uebersetzungsverhältniss, also Z1 = Zü. Dieses in obigen Ausdruck eingesetzt, wird \frac{Z^2\,cos^2\,\alpha}{4}\,\left\{1+2\,\mbox{ü}\right\}=\mbox{ü}\,Z+1, woraus cos\,\alpha=\frac{2}{Z}\,\sqrt{\frac{\mbox{ü}\,Z+1}{2\,\mbox{ü}+1}} . . . . 24) Für das kleine Rad wird der Gl. 20) entsprechend e2 + Zecos α = Z + 1. Nach Gl. 19) aber Zcos α = 2 e1, daher e2 + 2e e1 = Z + 1. Durch Ergänzung mit {e_1}^2=\frac{Z^2\,cos^2\,\alpha}{4}=\frac{\mbox{ü}\,Z+1}{2\,\mbox{ü}+1} gibt {e_1}^2+2\,e\,e_1+e^2=\frac{\mbox{ü}\,Z+1}{2\,\mbox{ü}+1}+Z+1, somit e_1+e=\sqrt{\frac{\mbox{ü}\,Z+1}{2\,\mbox{ü}+1}+Z+1}. Nach Gl. 22) ist dies \varepsilon_2\,\pi\,sin\,\alpha=\sqrt{\frac{\mbox{ü}\,Z+1}{2\,\mbox{ü}+1}+Z+1}. Hierin kann man den Werth von sin α aus Gl. 24) bestimmt ersetzen, nämlich sin\,\alpha=\sqrt{1-\frac{4\,(\mbox{ü}\,Z+1)}{Z^2\,(2\,\mbox{ü}+1)}}. Dies in obigen Ausdruck eingesetzt, gibt \varepsilon_2=\frac{Z}{\pi}\,\sqrt{\frac{(3\,\mbox{ü}+1)\,Z+2\,(\mbox{ü}+1)}{(2\,\mbox{ü}+1)\,Z^2-4\,\mbox{ü}\,Z-4}} . . 25) Wenn man diesen Ausdruck nach Z ordnet, kommt \left.{{Z^3-\frac{(\varepsilon_2\,\pi)^2\,(2\,\mbox{ü}+1)-2\,(\mbox{ü}+1)}{3\,\mbox{ü}+1}\,Z^2}\atop{+Z\,\frac{4\,\mbox{ü}\,(\varepsilon_2\,\pi)^2}{3\,\mbox{ü}+1}+\frac{4\,(\varepsilon_2\,\pi)^2}{3\,\mbox{ü}+1}=0}}\right\}\ .\ 26) Hieraus kann man die Zähnezahl des kleineren Rades bestimmen, wenn das Uebersetzungsverhältniss und die Eingriffsdauer gegeben sind. Sollen z.B. immer drei Zähne jedes Rades eingreifen, also ε = 3 sein, dann müssen die Zähnezahlen die in der nachfolgenden Tabelle enthaltenen sein. Tabelle VI. ü 1 2 4 8 ∞ Z 65   61   59   58 57 Z 1 65 122 236 464 – Man wird die Bedingung ε = 3 nur ausnahmsweise erfüllen können, weil eine zu grosse Zähnezahl der Räder daraus resultirt. Sehr geeignet sind Einzelräder als Krauseln oder Kammwalzen der Walzwerke, weil die Stellung der Räder nicht so vollkommen genau eingehalten werden muss, wie bei den Cykloidenrädern. Hier ist die Uebersetzung ü = 1, d.h. die Räder sind gleich gross. Dies in Gl. 24) und 25) eingesetzt, wird \left.{{cos\,\alpha=\frac{2}{Z}\,\sqrt{\frac{Z+1}{3}}}\atop{\mbox{und}\ \ \ \varepsilon_2=\frac{Z}{\pi}\,\sqrt{\frac{4\,(Z+1)}{3\,Z^2-4\,(Z+1)}}}}\right\}\ .\ .\ 27) Letzteres kann man auch schreiben \varepsilon_2=Z\,\sqrt{\frac{0,405}{\left(\frac{3\,Z^2}{Z+1}\right)-4}} . . . 28) Die nachstehende Tabelle enthält einige zusammengehörige Werthe von Z, cos α und ε2. Tabelle VII. Für Krauseln. Z cos α ε 2 Z cos α ε 2 Z cos α ε 2   9 0,406 1,25 14 0,320 1,50 19 0,272 1,71 10 0,383 1,32 15 0,308 1,54 20 0,265 1,75 11 0,364 1,37 16 0,298 1,59 21 0,258 1,78 12 0,347 1,41 17 0,289 1,63 22 0,252 1,82 13 0,333 1,46 18 0,280 1,67 23 0,246 1,86 Man kann übrigens die Eingriffslinie auch durch Construction bestimmen. In Fig. 6 sind T und T1 die Theilkreise, K1 der Kopfkreis des einen Rades. Ueber dem Halbmesser des zweiten Rades beschreiben wir aus B den Halbkreis ADC. In D, wo dieser den Kopfkreis K1 schneidet, ist der Fusspunkt des Perpendikels, welches auf die Eingriffslinie AD aus C gefällt werden kann, und CD ist zugleich der Halbmesser des Grundkreises für die Construction der Zahnflanke, der zweite Grundkreis ist aus C1 zu ziehen und berührt die Eingriffslinie AD. Wenn die zwei Räder ungleiche Halbmesser haben, ist der Halbkreis ADC über dem Halbmesser des kleineren Rades zu verzeichnen. Textabbildung Bd. 310, S. 53 Fig. 6. 11) Satzräder. Für Triebwerke sind die Satzräder mehr zu empfehlen als die Einzelräder, jedoch müssen bei jenen wenigstens zwei Zahnpaare im Eingriffe stehen, und überdies muss die Construction eine solche sein, dass auch das mindestzähnige Rad mit der Zahnstange richtig arbeiten könne. Wir haben deshalb in der Gl. 24) zunächst statt Z die kleinste Zähnezahl Z0 einzusetzen, damit wird cos\,\alpha=\frac{2}{Z_0}\,\sqrt{\frac{\mbox{ü}\,Z_0+1}{2\,\mbox{ü}+1}}=\frac{2}{Z_0}\,\sqrt{\frac{Z_0+\frac{1}{\mbox{ü}}}{2+\frac{1}{\mbox{ü}}}}. Für die Zahnstange wird ü = ∞, \frac{1}{\mbox{ü}}=0 und damit ergibt sich cos\,\alpha=\sqrt{\frac{2}{Z_0}}\mbox{ und }sin\,\alpha=\sqrt{\frac{Z_0-2}{Z_0}} . 29) Um cos α rational zu erhalten, nehmen wir Z0 = 32, d.h. das kleinste Rad, welches mit der Zahnstange richtig arbeitet, muss 32 Zähne haben. Dann ist cos\,\alpha=0,25;\ sin\,\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}=0,96825 . 30) Wenn nun die zwei kleinstzähnezahligen Räder mit einander arbeiten, so ist die Eingriffsdauer nach Gl. 22) \varepsilon_2=\frac{\sqrt{\left(\frac{32}{4}\right)^2+4\,\cdot\,33}-\frac{32}{4}}{\pi\,\cdot\,0,96825}=1,9724. Weil die zwei kleinsten Räder ohnehin fast nie zusammenarbeiten, können wir uns mit der Zahl Z0 = 32 begnügen, obgleich die Eingriffsdauer vorkommendenfalls nicht ganz 2 ist. Die Eingriffsdauer für Satzräder, bei welchen cos α = 0,25, findet man allgemein nach Gl. 22) \left.{{\varepsilon_2=0,411\,\left[\sqrt{\left(\frac{Z_1}{10}+3,2\right)^2-9,6}\right}\atop{\left+\sqrt{\left(\frac{Z}{10}+3,2\right)^2-9,6}-\frac{Z_1+Z}{10}\right]}}\right\}\ .\ 31) Die Eingriffsdauer der einzelnen Räder sind für das kleine Rad \varepsilon=0,411\,\left[\sqrt{\left(\frac{Z}{10}+3,2\right)^2-9,6}-\frac{Z}{10}\right] . 31a) und für das grosse Rad \varepsilon_1=0,411\,\left[\sqrt{\left(\frac{Z_1}{10}+3,2\right)^2-9,6}-\frac{Z_1}{10}\right] . 31b) Aus diesen Ausdrücken geht hervor, dass die Eingriffsdauer der Evolventensatzräder nur von der Zähnezahl des Rades abhängt, daher ebenso wie bei den Cykloidensatzrädern ein Attribut des Rades ist. Die Eingriffslänge für das grosse Rad ist nach Gl. 23a), wenn man für e = επsin α = 3,042 ε setzt, h_1=3,042\,\varepsilon\,\left(0,25-\frac{3,042\,\varepsilon\,\frac{15}{16}}{Z_1-6,084\,\varepsilon\,\cdot\,0,25}\right), somit für das grössere Rad h_1=0,76\,\varepsilon\,\left(1-\frac{11,4\,\varepsilon}{Z_1-1,52\,\varepsilon}\right) . 32a) Für das kleinere Rad hingegen h=0,76\,\varepsilon_1\,\left(1-\frac{11,4\,\varepsilon_1}{Z-1,52\,\varepsilon_1}\right) . 32b) Die Eingriffslänge des Rades ist demnach von dessen Zähnezahl und der Eingriffsdauer des anderen Rades abhängig. Nach diesen Formeln ist die nachstehende Tabelle berechnet. Tabelle VIII. ü Z Z 1 ε ε 1 h h 1 1 66   66 1,109 1,109 0,677 0,677 2 49   98 1,066 1,161 0,635 0,707 4 40 160 1,026 1,211 0,587 0,722 8 35 280 1,003 1,243 0,558 0,730 Die Summe von ε und ε1 gibt die Eingriffsdauer der zwei Räder ε2 = ε + ε1. 12) Die relative Dauerhaftigkeit der Triebwerkssatzräder. Wenn wir von der Verschiedenheit der Abnutzung absehen, welche sich nach Prof. Bach herausstellt, wenn die sich berührenden Oberflächen entweder convex-convex oder convex-concav sind, weil dieselbe nach meinem Dafürhalten keine ausschlaggebende sein kann, dann können wir aus dem Producte ε2 h bezw. ε2 h1 ü die Dauerhaftigkeit der zwei Arten von Triebwerkssatzrädern vergleichen. Für die Cykloidenräder entnehme ich die betreffenden Producte der Tabelle III, für die Evolventenräder aber können sie aus der Tabelle VIII berechnet werden. Die Resultate sind in der nachstehenden Tabelle enthalten. Tabelle IX. Bei beiderlei Cykloidenräder Evolventenräder ü Z Z 1 ε 2 ε 2 h ε 2 h 1 ü ε 2 ε 2 h ε 2 h 1 ü 1 66   66 2,18 1,44   1,44 2,22 1,50   1,50 2 49   98 2,18 1,38   2,96 2,23 1,42   3,15 4 40 160 2,19 1,32   6,08 2,24 1,31   6,47 8 35 280 2,19 1,26 12,64 2,22 1,25 13,14 Aus der Tabelle ist zu ersehen, dass zwischen den zwei Arten von Satzrädern kein wesentlicher Unterschied in der Dauerhaftigkeit sein kann. 13) Die Ersatzbögen für Evolventenflanken. Der Evolventenbogen der Zähne bei Satzrädern lässt sich durch zwei Kreisbögen sehr gut annähern, und zwar ist die Annäherung um so vollkommener, je mehr Zähne das Rad hat. Der erste (kleinere) Kreisbogen ersetzt die Evolvente des Zahnfusses, der zweite (grössere) Bogen jene des Zahnkopfes. Textabbildung Bd. 310, S. 54 Fig. 7. Es sei in Fig. 7 T der Theilkreis, bO die Centrale. Ueber Ob ist ein Halbkreis zu beschreiben, welcher von b aus mit der Zirkelöffnung gleich \frac{O\,b}{4} in d zu schneiden ist. Die Gerade bd ist die Eingriffslinie, auf welcher die Krümmungsmittelpunkte der Zahnflankenersatzbögen liegen. Der Krümmungsradius des Fusses ist a\,f=b\,f=9,37\,\left(\frac{Z\,s}{100}\right) . . . 33) und diesen Werth kann man für alle Zähnezahlen beibehalten. Den Krümmungsradius des Zahnkopfes kann man der Zähnezahl entsprechend abändern und erhält Kreisbögen, welche die Evolventenbögen um so genauer annähern, je mehr Zähne das Rad hat. Es ist der Krümmungsradius b\,k=c\,k=\left(12,5+\frac{126}{Z+7}\right)\,\left(\frac{Z\,s}{100}\right) . 34) 14) Satzräder für Drehbänke. Die vorher behandelten Satzräder eignen sich nicht für Sätze bei Drehbänken, welche zum Schraubenschneiden dienen, weil die Zähnezahl des kleinsten Rades viel zu gross ist. Gewöhnlich ist bei solchen Sätzen die kleinste Zähnezahl Z0 = 13 oder 14. Nehmen wir Z0 = 13 und wählen den Grundkreis, so dass auch dieses Rad mit der Zahnstange desselben Satzes richtig eingreife, dann muss nach Gl. 29) cos\,\alpha=\sqrt{\frac{2}{13}}=0,3924 und sin\,\alpha=\sqrt{\frac{11}{13}}=0,919866 sein. Nehmen wir rund sin α = 0,92, dann ist der Radius des Grundkreises r, durch den Radius R=\frac{Z\,s}{2} des Theilkreises ausgedrückt, r=R-4\,\left(\frac{Z\,s}{100}\right) . . . . . 35) Die Eingriffsdauer desjenigen Rades, dessen Zähnezahl Z ist, \varepsilon=0,678\,\left[\sqrt{\left(\frac{Z}{10}\right)^2+2,6\,\left(\frac{Z+1}{10}\right)}-\frac{Z}{10}\right]. Summirt man die Eingriffsdauer zweier Räder, so erhält man die gesammte Eingriffsdauer, wenn diese zwei Räder in einander eingreifen. Für das kleinste Rad ist Z = 13 und ε = 0,683. Wenn die zwei kleinsten Räder mit einander arbeiten, ist demnach die ganze Eingriffsdauer ε2 = 2 . 0,683 = 1,366, woraus ersichtlich, dass abwechselnd ein oder zwei Zähne jedes Rades eingreifen, was bei der Uebertragung grösserer Arbeitsmengen nicht ganz genügend erscheint. Diese Art Satzräder ist somit nur für jene Klasse von Rädern zulässig, welche Prof. Bach Krafträder nennt.