Ventilspiel bei Pumpen und Gebläsen. Von Karl Rudolf in Bochum. Ventilspiel bei Pumpen und Gebläsen. Die Ventilfrage hat von jeher das Interesse der Fachkreise wachgehalten, weil das Pumpen- und Gebläseventil wegen seiner umfangreichen Verwendung eines der wichtigsten maschinellen Organe ist. Die derzeit bestehende Mannigfaltigkeit in der Ventilkonstruktion, die sich einesteils ja häufig nach dem besonderen Zwecke richten muss, deutet anderenteils auf einen Mangel an einheitlichen Gesichtspunkten bei der Beurteilung der Ventilbewegung hin. Die diesbezügliche Litteratur ist durchaus nicht so umfangreich, wie es der Bedeutung des Gegenstandes entsprechen sollte. Hier sind zu nennen die gründlichen Versuche von BachC. Bach; Zur Klarstellung der Bewegung selbstthätiger Pumpenventile. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure 1886 und 1887., welche zwar nur für Gewichtsventile durchgeführt wurden, aber trotzdem als Thatsachenmaterial bis heute ihre Bedeutung behielten. Hierauf griff WestphalM. Westphal: Beitrag zur Grössenbestimmung von Pumpenventilen. Daselbst 1893, S. 381. die Ventilfrage auf rein theoretischem Wege erfolgreich an, indem er wohl als erster für das möglichst masselose und konstant federbelastete Ventil unter vereinfachenden Annahmen die Differentialgleichung der Bewegung aufstellte, welche sich leicht integrieren lässt. Das letztgenannte Ventil erfreut sich für passende Drücke derzeit grosser Beliebtheit und es ist daher zu verwundern, dass die wertvolle Westphal'sche Abhandlung so wenig gewürdigt wurde; es mag dies wohl zum Teil mit dem bekannten Grauen vor aller Theorie zusammenhängen. Es ist das Verdienst O. H. Müller'sO. H. Müller: Das Pumpenventil. Leipzig 1900. A. Felix. des Jüngeren, die Westphal'schen Darlegungen in letzter Zeit auf den wünschenswerten praktischen Zuschnitt gebracht zu haben, wodurch der Ventilfrage in Fachkreisen wieder ein lebhafteres Interesse zugewendet wurde. Aus diesem Grunde sucht Verfasser, auf Westphal und Müller fussend, im nachfolgenden die Gesetze des Ventilspiels in einfacher Weise darzulegen und in verschiedenen Punkten weiter auszuführen. Dabei soll zum Schlusse auch das Gebläseventil berücksichtigt werden, welches bis jetzt sowohl in experimenteller als auch in theoretischer Beziehung noch viel stiefmütterlicher behandelt wurde, als das eigentliche Pumpenventil. Die nachfolgenden Betrachtungen erstrecken sich nur auf Pumpen und Gebläse mit Kurbeltrieb, wobei der Einfachheit wegen eine unendlich lange Lenkstange vorausgesetzt wird. Der Hub des Ventils soll nicht begrenzt werden; die hydraulischen Berichtigungsziffern, wie Geschwindigkeits-, Einschnürungs- und Ausflusskoeffizient, führen wir in unsere Gleichungen nicht ein; dieselben sind im Bedarfsfalle unschwer anzubringen, was aber keinen besonderen Wert hat, so lange nur der ideale Grenzfall des masselosen Ventils in Frage kommt, dessen Sitzbreite wir ausserdem gleich Null annehmen. Unter dem Gesichtswinkel dieser Vernachlässigungen möchte die vorliegende Arbeit behandelt sein; es handelt sich also um eine erste Annäherung, welche eine im gewissen Sinne ästhetisch-mathematische Entwickelung, zulässt. Der rauhen Wirklichkeit soll unter Beibringung von Versuchsmaterial in einem besonderen Aufsatz Rechnung getragen werden. a) Das Pumpenventil. 1. Das masselose Ventil. Nach beifolgender Fig. 1 bedeute F die Kolbenfläche, C  „   Kolbengeschwindigkeit, S der Kolbenweg, von einer Totlage aus gerechnet, B  „   Kurbelradius, a den Kurbelwinkel, von einer Totlage gezählt. Ferner werde bezeichnet mit f die untere Fläche des Ventiltellers, welche wir gleich dem lichten Querschnitt im Ventilsitz annehmen, c die Ventilgeschwindigkeit, h der Ventilhub, gerechnet von der geschlossenen Lage, l   „   Umfang der Ventilfläche f, u die Wassergeschwindigkeit im Umfangsspalt, x   „   zugehörige Weglänge. Textabbildung Bd. 316, S. 309 Fig. 1.entschädlicher Raum; variables Volumen zwischen Kolben und Ventil Denken wir uns nun den in beliebiger Stellung sich befindlichen Kolben um eine unendlich kleine Strecke, z.B. nach links gerückt, so muss bei Ventilaufgang das vom Kolben verdrängte Wasservolumen gleich sein dem Raum, welchen das Druckventil f schreibt, vermehrt um die Wassermenge, welche gleichzeitig durch den Ringspalt weicht, was die Gleichung ergibt: F . dS = f . dh + lh . dx, aus welcher durch Division mit dem Zeitdifferential dt folgt F . C = f . c + lh . u . . . .  . 1) Ist U die Geschwindigkeit im Kurbelkreis, ω die Winkelgeschwindigkeit der Kurbelwelle, so ist C = U . sin α = U . sin . ωt, wenn für ω = 0 auch t = 0 ist. Weil ferner c=\frac{d\,h}{d\,t}, so folgt aus Gleichung 1 \frac{d\,h}{d\,t}+\frac{l\,u}{f}\,\cdot\,h=\frac{E}{f}\,U\,\cdot\,sin\,\omega\,t . . . . 2) Soll nun aus dieser Gleichung h als Funktion von t bestimmt werden können, so muss zuvor die Spaltgeschwindigkeit u als Funktion von t bekannt sein, und die Gleichung 2 wäre dann eine allgemein lösbare lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Der einfachste Fall ist nun der, wo u konstant ist. Wendet man nun mit Westphal auf die Spaltgeschwindigkeit u die bekannte Ausflussformel Toricelli's an, und wird der flächeneinheitliche Druck unterhalb des Ventiltellers mit p bezeichnet, so ist u=\sqrt{2\,g\,\cdot\,\frac{p}{\gamma}} . . . . . 3) worin noch y das Gewicht pro Raumeinheit Wasser bedeutet. Um die Bedingungen zu ermitteln, unter welchen p konstant ist, stellen wir die allgemeine Bewegungsgleichung des Ventils nach d'Alembert's Prinzip auf. Ist p1 der Federdruck pro Quadrateinheit, m die Ventilmasse und b=\frac{d\,c}{d\,t} die Ventilbeschleunigung, so ist bei Ventilaufgang fp = fp1 + m . b, oder p=p_1+\frac{m}{f}\,\cdot\,b . . . . . 4) Soll nun p konstant sein, so muss bei konstanter Federbelastung p1 das offenbar im allgemeinen veränderliche zweite Glied rechts verschwinden, also m = 0 sein, was ein masseloses Ventil bedingt. Damit wird u=\sqrt{2\,g\,\cdot\,\frac{p_1}{\gamma}} . . . . . 5) Letztere Gleichung gilt also nur für ein masseloses Ventil, während die Kontinuitätsgleichung 2 auch für Gewichtsventile bestehen bleibt. Die beiden Gleichungen 1 und 3 bilden den Hebel zur angenäherten Lösung des Ventilproblems; dieselben wurden zuerst von Westphal in der glücklichsten Weise hierzu verwendet, welcher daher als der eigentliche Begründer der nachfolgenden Theorie gelten muss. Bei den üblichen geringen Ventilhüben wird die Ventilbelastung, vorläufig abgesehen von Massenwirkungen, auch ziemlich konstant sein. Angenommen, die Spaltgeschwindigkeit u wäre z.B. direkt proportional der Kolbengeschwindigkeit C, so wäre das Ventilerhebungsdiagramm bezogen auf den Kolbenweg eine gerade Linie; durch die von Bach veröffentlichten Ventildiagramme, welche eine ellipsenartige Form haben, wird der konstante Charakter der Spaltgeschwindigkeit schon deutlich angezeigt. Die unsymmetrische Form dieser Diagramme: sanftes Ansteigen, steiles Abfallen, rührt von den Massenwirkungen des Ventils und des Wassers her (vgl. Fig. 2). Textabbildung Bd. 316, S. 310 Fig. 2. Für das masselose Ventil ist also in jeder Ventilstellung der unter dem Ventil herrschende Druck p gleich dem belastenden Federdruck p1. Der Druck p rührt offenbar her einesteils von dem Druck, den das durch den Sitzquerschnitt f mit der Geschwindigkeit \frac{F}{f}\,C strömende Wasser auf den die Ablenkung nach dem Spaltumfang bewerkstelligenden Ventilteller ausübt; dieser sogen. Strahldruck s drückt sich bekanntlich aus durch s=\gamma\,\frac{\left(\frac{F}{f}\,C\right)^2}{g} . . . . . 6) Anderenteils wird durch weitere Kompression des Wassers zwischen Kolben und Ventil ein gewisser Druck p2 erzeugt, so dass s + p2 = p1 . . . . . 7) In Worten besagt diese Gleichung, dass für das masselose Ventil in allen Stellungen der Strahl druck plus Kornpressionsdruck gleich ist dem Federdruck. Gleichung 7 regelt also das Verhalten der beiden. variablen Teildrucke s und p2, welche sich zu p1 zusammensetzen. Im Momente der. Ventileröffnung ist der Strahldruck Null, daher der Kompressionsdruck am grössten, während dies im Augenblicke der grössten Ventileröffnung umgekehrt ist, falls der geringe Einfluss der verspäteten Ventileröffnung dabei unberücksichtigt bleibt. Es ist wichtig, auf den Umstand hinzuweisen, dass der Strahldruck s, abgesehen von der nur geringen Ventilgeschwindigkeit, einzig und allein von der Sitzgeschwindigkeit C_1=\frac{F}{f}\,\cdot\,C abhängt, also ganz unabhängig von dem gewählten Federdruck p1 ist. Je kleiner also der Ventilquerschnitt zum Kolbenquerschnitt ist, desto grösser wird auch der Strahldruck s ausfallen. Dagegen erscheint nun der Kompressionsdruck oder auch Ergänzungsdruck p2 wesentlich bestimmt durch den gewählten Federdruck und den durch die Sitzgeschwindigkeit festgelegten Strahldruck. Der Reaktionsdruck des Strahls, wir wollen ihn den Strahlgegendruck nennen, bedingt an und für sich schon eine gewisse Kompression des Wassers unter dem Ventil, so dass der obige Ergänzungsdruck der zusätzlichen Kompression vom Strahlgegendruck bis zum Federdruck entspricht. Der Sitzgeschwindigkeit C1 entspricht ein Druck \gamma\,\cdot\,\frac{{C_1}^2}{2\,g}; beim dynamischen Prozess des Ausströmens wirken aber die ausströmenden und zurückbleibenden Flüssigkeitspartikeln wechselseitig drückend aufeinander und erzeugen auf diese Weise die Geschwindigkeit. Dieser wechselseitige Druck kann daher nur aus der entwickelten Bewegungsgrösse abgeleitet werden; es muss der pro Sekunde wirkende Druck gleich sein der pro Sekunde erzeugten Bewegungsgrösse. Pro Sekunde fliesst durch die Quadrateinheit des Ventilsitzes die Wassermasse \frac{\gamma}{g}\,\cdot\,C_1\,\cdot\,1, entsprechend der Bewegungsgrösse \frac{\gamma}{g}\,\cdot\,C_1\,\cdot\,C_1=\frac{\gamma}{g}\,{C_1}^2. Der hierzu nötige Antrieb ist s\,\cdot\,1=\frac{\gamma}{g}\,\cdot\,{C_1}^2, woraus folgt, dass der Strahlgegendruck das Doppelte des Druckes \gamma\,\frac{{C_1}^2}{2\,g} ist, wobei von hydraulischen Berichtigungsziffern abgesehen wurde. Da p2 stets positiv sein muss, so muss das konstant vorausgesetzte p1 grösser als der grösste Wert von s sein, d.h. p_1\,>\,s_{max}=\gamma\,\frac{\left(\frac{F}{f}\,C_{max}\right)^2}{g} . . . . 8) Dabei ist zu betonen, dass Gleichung 6 nur gilt, wenn die Ventilplatte ruhend gedacht wird; letztere bewegt sich aber mit der Geschwindigkeit c, so dass für den Strahldruck die Geschwindigkeitsdifferenz C – c in Betracht zu ziehen ist, wodurch mit \frac{F}{f}\,C=C_1 bei Ventilaufgang folgt s=\frac{\gamma}{g}\,C_1\,(C_1-c) . . . . 6a) Nachdem aber c im allgemeinen sehr klein gegen C ist, so kann man Formel 6 verwenden. Wir könnten nunmehr das allgemeine Integral von Gleichung 2 anschreiben, doch gewähren solch allgemeine Formeln nicht die für technische Zwecke wünschenswerte Einsicht und anschauliche Kontrolle; auch ist die nachherige Bestimmung der Integrationskonstanten unbequem. Müller hat diese Schwierigkeit durch ein recht glückliches Superpositionsverfahren umgangen, doch führt folgender Weg viel schneller zum gewünschten Ziele, wobei alle massgebenden Beziehungen mit einem Schlage erkannt werden. Wir verwenden die Kontinuitätsgleichung in der Form F . U . sin α = f . c + lu . h . . . . 9) und ermitteln den Wert von α = α0, für welchen h = 0 ist. Es folgt FU . sin α0= f . c0 . . . . 10) wo c0 der dem α0 entsprechende Wert von c ist. Nun setzen wir α = α0 + β . . . . . 11) wonach also β = 0 wird, wenn h = 0 ist. Damit folgt weiter aus Gleichung 9 F U . sin (α0 + β) = F U sin α0 . cos β + F U cos α0 . sin β = f . c + lu . h. Nach dem Wertigkeitsprinzip zerfällt nun letztere Gleichung in die beiden Teilgleichungen f . c = F U sin α0 . cos β . . . . 12) lu . h = F U cos α0 . sin β . . . 13) Denn während eines Ventilspiels, bestehend aus Auf- und Niedergang, ändern c und cos β als zweiwertige Grossen das Zeichen, während h und sin β als einwertige Grossen zeichenbeständig bleiben. Mittels der beiden letzten Gleichungen können wir nun den noch unbekannten Winkel α0 bestimmen. Durch Differenzieren von Gleichung 13 nach t folgt: lu . c = F . U . ω cos α0 . cos β. In Gleichung 12 dividiert, folgt: \frac{f}{l\,u}\,\omega=tan\,\alpha_0, . . . . 14) womit α0 bestimmt ist. Nun lässt sich hiermit aus Gleichung 13 auch h bequem als Funktion von α oder l ermitteln. Zunächst ist mit Gleichung 14 cos\,\alpha_0=\frac{1}{\sqrt{1+tan^2\,\alpha_0}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega\right)^2}}. Nach Gleichung 11 ist: \beta=\alpha-\alpha_0=\alpha-arctan\,\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega, sonach h=\frac{F\,U}{l\,u\,\sqrt{1+\left(\frac{f}{l\,u}\,\omega\right)^2}}\,\cdot\,sin\,\left(\omega\,t-arctan\,\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega\right) 15) Hieraus liesse sich durch Differenzieren nach t ohne weiteres c als Funktion von t bestimmen. Man kann aber auch Gleichung 12 dazu verwenden. Es ist sin\,\alpha_0=tan\,\alpha_0\,\cdot\,cos\,\alpha_0=\frac{\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega\right)^2}}, womit resultiert c=\frac{F}{f}\,U\,\frac{\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega\right)^2}}\,\cdot\,cos\,\beta, c=\frac{F\,U\,\omega}{l\,u\,\sqrt{1+\left(\frac{f}{l\,u}\,\omega\right)^2}}\,\cdot\,cos\,\left(\omega\,t-arctan\,\frac{f}{l\,u}\,\omega\right) 16) Durch Differenzieren lässt sich hieraus sofort b als Funktion von t erhalten, wir können jedoch auch durch Differentiation von Gleichung 12 dazu gelangen. Es folgt f . b = – F U ω sin α0 . sin β. Durch Gleichung 13 dividiert, ergibt sich b=-\frac{l\,u}{f}\,\omega\,\cdot\,tan\,\alpha_0\,\cdot\,h, woraus unter Verwendung von Gleichung 14 entsteht b = – ω2 . h . . . . . . 17) oder durch t ausgedrückt b=-\frac{F\,U\,\omega^2}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{l\,u}\,\omega\right)^2}}\,\cdot\,sin\,\left(\omega\,t-arctan\,\frac{f}{l\,u}\,\omega\right) 18) Gleichung 17 ist die Definitionsgleichung der harmonischen Schwingung, womit die Bewegung des masselosen, konstant federbelasteten Ventils sonach am einfachsten charakterisiert ist. Werden die Wege des Pumpenkolbens von Hubmitte aus gerechnet und mit H bezeichnet, und ist B die zugehörige Kolbenbeschleunigung, so ist bekanntlich B = – ω2 . H . . . . 19) Die durch ω bestimmte Schwingungsdauer ist daher in beiden Fällen die gleiche. Doch ist zu beachten, dass die Totlagen nicht gleichzeitig eintreten. Fassen wir die Eröffnung des Druckventils ins Auge, so öffnet dies erst, nachdem der Kolben von seiner letzten Totlage den Winkel α0 = ωt0 zurückgelegt hat. Demnach erreicht der Kolben seine Mittellage erst nach dem Winkel \frac{\pi}{2}-\alpha_0, oder die Mittellage des Druckventils eilt der Kolbenmittellage um die Zeitdauer \frac{\pi}{2\,\omega}-\frac{\alpha_0}{\omega} vor. Soll das Saugventil in demselben Momente schliessen, wo das Druckventil öffnet, so müssen nach Gleichung 14 in beiden Fällen die Ventilfläche, der Spaltumfang und die Spaltgeschwindigkeit bezw. Ventilbelastung den gleichen Wert haben. Trifft dies zu, so kann man sich das Spiel des Saug- und Druckventils auf derselben Pumpenseite durch das mechanische Bild zweier Pendel versinnlichen, die sich bei vertikaler Lage des Aufhängefadens eben berühren, nach nebenstehender Fig. 3. Textabbildung Bd. 316, S. 311 Fig. 3. Denkt man sich die unelastisch vorausgesetzte Kugel S, welche dem Saugventil entsprechen soll, nach S1 verschoben und dann frei gelassen, so wird sie in ihrer Ruhelage S die erlangte lebendige Kraft an die das Druckventil vergegenwärtigende Kugel D abgeben und selbst in Ruhe bleiben. D schwingt infolge der erlangten Geschwindigkeit bis nach D1, kehrt hier um und teilt die in D wieder erlangte Geschwindigkeit an S mit, worauf der Vorgang von neuem beginnt. Nachdem nun für kleine Ausschläge die Pendelschwingungen nahezu harmonisch sind, so wird durch diesen Mechanismus das Ventilspiel recht anschaulich illustriert. Die Gleichungen 12 und 13 führen zu einer sehr übersichtlichen graphischen Darstellung der Ventilgeschwindigkeit und des Ventilhubes nach Art der Schieberdiagramme. Der Verspätungswinkel α0 spielt dabei die Rolle eines Nacheilwinkels. Nach Gleichung 12 kann man sich die Ventilgeschwindigkeiten c durch Rotieren des maximalen Wertes F U sin α0, welchen wir die Geschwindigkeitsexzentrizität nennen wollen, erzeugt denken, und nach Gleichung 13 können die Ventilhübe h in gleicher Weise durch den Grösstwert F U cos α0 welcher als Hubexzentrizität angesprochen werden soll, hervorgebracht werden. Im nachfolgenden wurde ein bestimmter Fall zu Grunde gelegt, und zwar der Ventildurchmesser mit 20 cm angenommen, u = 200 cm, U = 200 cm, \frac{F}{f}=1, n = 60. Fig. 4 und 5 zeigen den Geschwindigkeitsriss als Polardiagramm bezw. Ordinatendiagramm. Fig. 6 und 7 stellen den polaren bezw. ordinalen Hubriss dar; die massgebenden Grossen sind in den Figuren eingeschrieben. Textabbildung Bd. 316, S. 312 Geschwindigkeitsriss. Textabbildung Bd. 316, S. 312 Hubriss. Die Beschleunigung b lässt sich nach Gleichung 17 besonders einfach darstellen, weil letztere ein Gradliniengesetz ausspricht, b behält sowohl für Aufgang als auch Niedergang des Ventils das gleiche Zeichen und wirkt stets nach der Schlusslage hin. Beim Ventilaufgang wird daher die Bewegung verzögert, beim Niedergang beschleunigt. Fig. 8 stellt diese Verhältnisse dar. Textabbildung Bd. 316, S. 312 Fig. 8. BeschleunigungsrissFig. 9. Geschwindigkeitsriss 2. Vereinfachung der Formeln. Nunmehr wollen wir die gewonnenen Ergebnisse auf ihre eigentliche Bedeutung etwas näher untersuchen und einzelne der erhaltenen Gleichungen durch passende Vernachlässigungen vereinfachen. Wir beginnen mit Gleichung 14, welche uns den Winkel α0 in einfacher Weise berechnen lehrt, um welchen das Ventil zu spät öffnet bezw. schliesst. Wegen der Kleinheit von a0 können wir letzteres für tan α0 setzen, so dass wir erhalten \alpha_0=\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega . . . . 20) Für ein bestimmtes Ventil, gegeben durch seine Abmessungen f und l, ist bei unveränderter Spaltgeschwindigkeitu, also gleichbleibender Federspannung p1, der Verspätungswinkel α0 der Winkelgeschwindigkeit \omega=\frac{\pi\,n}{30} direkt proportional. Je schneller die Pumpe läuft, desto später öffnet und schliesst das Ventil. Soll bei einer grösseren Tourenzahl n derselbe Verspätungswinkel erzielt werden, so muss bei gegebenem f und l die Federspannung p1 vergrössert werden. Aus Gleichung 20 folgt mit α0 = ω . t0 in einfacher Weise die Schluss Verspätung, welche auch gleich der Eröffnungsverspätung ist: t_0=\frac{f}{l\,u} . . . . 20a) Danach ist bei ein und demselben Ventil die Schlussverspätung t0 unabhängig von der Tourenzahl und den Abmessungen der Pumpe, so lange die Ventilbelastung nicht geändert wird; t0 ist daher eine dem Ventil eigentümliche Konstante. Setzen wir in Gleichung 12 an Stelle des Sinus den Winkel, so erhalten wir für die Ventilgeschwindigkeit c den einfachen Ausdruck c=\frac{F}{f}\,\cdot\,U\,\cdot\,\alpha_0\,\cdot\,cos\,\beta und unter Verwendung von Gleichung 20: c=\frac{F\,U}{l\,u}\,\omega\,\cdot\,cos\,\beta . 21) Die maximale Geschwindigkeit, welche zugleich Er-öffnungs- bezw. Schlussgeschwindigkeit ist, ergibt sich mithin für β = 0 bezw. β = π zu c_{max}=\pm\,\frac{F\,U}{l\,u}\,\cdot\,\omega 22) Gleichung 13 gestattet zunächst eine einfache Darstellung der Ventileröffnung h, indem man cos α0 mit 1 verwechselt: h=\frac{F\,U}{l\,u}\,\cdot\,sin\,\beta . . . . 23) Für \beta=\frac{\pi}{2} folgt hieraus der Grösstwert von h zu h_{max}=\frac{F\,U}{l\,u} . . . . 24) hmax lässt sich danach sehr bequem aus den gegebenen Pumpen- und Ventilabmessungen, der Tourenzahl und Federbelastung berechnen. Der zeitlichen Schluss Verspätung l0 nach Gleichung 21 entspricht eine gewisse Wegverspätung h0, welche wegen ihrer Kleinheit als mit der Schlussgeschwindigkeit c0 gleichförmig zurückgelegt aufgefasst werden darf. Diese ist angenähert h_0=c_s\,\cdot\,t_0=\frac{F\,U}{l\,u}\,\cdot\,\omega\,\cdot\,\frac{f}{l\,u} h_0=h_{max}\,\cdot\,\frac{f}{l\,u}\,\cdot\,\omega h0 = hmax · α0 . . . . 25) Letztere Beziehung lässt sich auch direkt aus dem Hubriss ablesen, indem die Ordinate mit dem zugehörigen Bogen vertauscht wird. 3. Ermittelung der Bach'schen Gesetze. Die von Bach experimentell aufgestellten Gesetze über den Zusammenhang von Umgangszahl, Kolbenhub, Kolbenfläche und Ventilbelastung an der Grenze des stossfreien Ventilspieles lassen sich in einfachster Weise aus den beiden Grundgleichungen 1 und 3, der Kontinuitätsformel bezw. Durchflussformel ermitteln, was eine willkommene Bestätigung der früher gewonnenen Resultate bedeutet. Durch Differenzieren von Gleichung 1 nach t folgt: F . B = f . b + lu . c . . . . . 26) wo B nach Gleichung 19 die Kolbenbeschleunigung bedeutet. Für c = cmax folgt b = 0, und mit B = BQ entsteht F . B0= lu . cmax . . . . 27) B0 kann nun mit grosser Annäherung durch Bmax ersetzt werden, welches ist Bmax= R . ω2 . . . . . 28) Damit erhalten wir für cmax nach Gleichung 27 c_{max}=\frac{F}{l\,\cdot\,u}\,\cdot\,R\,\omega^2 . . . . 29) Das gleiche Ergebnis können wir auch unmittelbar aus Gleichung 22 herleiten, wenn wir darin U = Rω setzen. Danach ist die maximale Ventilgeschwindigkeit, welche zugleich Schluss- bezw. Eröffnungsgeschwindigkeit ist, direkt proportional der maximalen Kolbenbeschleunigung (Totpunktbeschleunigung) und verkehrt proportional der Spaltgeschwindigkeit. Aus den Versuchen von Bach folgt, dass der Ventilschluss stossfrei erfolgt, wenn bei gegebener Kolbenfläche und unter sonst gleichen Umständen R1ω12 = Rω2 ist. Ist einmal durch Versuche eine solche Schlussgeschwindigkeit cmax ermittelt, bei welcher das Ventil schlagfrei schliesst, so muss nach Gleichung 29 sein R\,\omega^2=\frac{l\,u}{F}\,\cdot\,c_{max}, . . . . 30) womit zugleich die Konstante des ersten Bach'schen Gesetzes, welches die Variation von Hub und Tourenzahl betrifft, gegeben ist. Das zweite Bach'sche Gesetz bezieht sich auf die Ventilbelastung und fordert, dass an der Grenze des stossfreien Ventilschlusses die wirksame Belastung p direkt proportional ist dem Produkte aus Kolbenhub und Quadrat der Tourenzahl. Aus Gleichung 29 folgt u=\frac{F}{l\,\cdot\,c_{max}}\,\cdot\,R\,\omega^2 . . . . 31) Unter Berücksichtigung der Durchflussformel u=\sqrt{2\,g\,\frac{p}{\gamma}} ist dies zweite Gesetz dahin zu korrigieren, dass an die Stelle der einfachen Ventilbelastung zu setzen ist die Quadratwurzel aus der Ventilbelastung. Für ein gegebenes cmax können wir aus Gleichung 31 zunächst u und damit aus Gleichung 3 die Ventilbelastung p berechnen; es ergibt sich p=\frac{\gamma}{2\,g}\,\cdot\,\left(\frac{F}{l\,\cdot\,c_{max}}\right)^2\,\cdot\,(R\,\omega^2)^2 . . . . 32) Das dritte Bach'sche Gesetz betrifft die Variation der Kolbenflächen, und muss auch hier die Berichtigung eintreten, dass an die Stelle der einfachen Ventilbelastung die Quadratwurzel derselben zu treten hat. Soll nach Gleichung 29 cmax dasselbe bleiben, so muss sein \frac{F_1}{l\,u_1}\,\cdot\,R\,\omega^2=\frac{F_1}{l\,u}\,\cdot\,R\,{\omega_1}^2=\frac{F}{l\,u}\,\cdot\,R\,\omega^2=\frac{F_1}{l\,u_1}\,\cdot\,R\,{\omega_1}^2. Bei derselben Tourenzahl wächst die Quadratwurzel aus der Belastung direkt proportional mit der Kolbenfläche. Bei derselben Belastung ändert sich die Tourenzahl derart, dass F 1 ω 1 = F . ω 2 ist. Wird die Belastung und die Tourenzahl geändert, so muss \frac{F}{u}\,\cdot\,\omega^2=\frac{F_1}{u_1}\,\cdot\,{\omega_1}^2 sein. Die Verschiedenheit unserer Ergebnisse vom zweiten und dritten Bach'schen Gesetze wird sich wohl erklären teils aus dem Umstand, dass Bach seinen Versuchen nur Gewichtsventile zu Grunde legte, teils aus den zu engen Grenzen, innerhalb deren die Versuche vorgenommen wurden, endlich aus den obiger Theorie zu Grunde liegenden vereinfachenden Annahmen. 4. Einführung der Ventilmasse; Ventilschlag und Ventilüberdruck. Wir wenden uns nun der vielumstrittenen Frage des Ventilschlages und Ventilüberdruckes zu. Würde das Ventil im Kolbenwechsel öffnen und schliessen, so müsste nach der Kontinuitätsformel F . C = f . c + lhn wegen h = 0 für C = 0 auch c = 0 sein, während wir früher c = cmax für h = 0 ermittelt haben. Dabei ist für Ventilaufgang c positiv, für Ventilniedergang negativ zu setzen, so dass die Eröffnungsgeschwindigkeit + cmax, die Schlussgeschwindigkeit – cmax zu setzen ist. Die Ventil Verdrängung f . c ist also lediglich als Grund anzusehen, warum das Ventil nicht pünktlich im Hubwechsel mit der Geschwindigkeit Null öffnet und schliesst. So lange nun das Ventil masselos ist, wie wir es bisher vorausgesetzt haben, können Kraftäusserungen weder beim Schliessen noch beim Oeffnen entstehen, denn sowohl die Bewegungsgrösse, als auch die lebendige Kraft des Ventils ist Null, weil ja m = 0 ist. Nun geraten selbst beim masselosen Ventil die über ihm und unter ihm befindlichen schweren Wassermassen fast plötzlich zur Ruhe, kommen bezw. in Bewegung; die Massenwirkung dieser Wassermengen wird natürlich auch die Ventilbelastung beeinflussen. Wir müssen daher unsere früheren Annahmen noch dahin ergänzen, dass wir auch die über dem Ventil lagernde Wassermasse bezüglich ihrer Massenwirkung vernachlässigen. Doch ist damit nicht gesagt, dass die Pumpflüssigkeit überhaupt masselos gedacht ist; das ist ganz unzulässig, weil wir dann die Toricelli'sche Ausflussformel nicht anwenden könnten, welche neben der Kontinuitätsformel den Grundpfeiler der obigen Ventiltheorie bildet. Denn diese Ausflussformel ist weiter nichts als der Satz der lebendigen Kraft, angewendet auf die Masseneinheit der Pumpflüssigkeit, wie aus der folgenden Gleichungsform \frac{1\,\cdot\,u^2}{2}=g\,\cdot\,\frac{p}{\gamma} hervorgeht. Ich kann die Gleichung auch in der Form \frac{\gamma}{g}\,\cdot\,\frac{u^2}{2}=p\,\cdot\,1 schreiben, wo dann die linke Seite die lebendige Kraft der volumeinheitlichen Masse oder die Dichtigkeit bedeutet, während die rechte Seite als das Produkt aus flächeneinheitlicher Spannung mal der Rauminhalt, also als Arbeitsgrösse, gedeutet werden muss. Führen wir nun trotzdem in unsere vorigen Gleichungen, welche nur für den idealen Grenzfall der Masselosigkeit von Ventil und darauf ruhender Flüssigkeit gelten, die Ventilmasse und Wassermasse ein, welche wir zusammen mit Σm bezeichnen wollen, so befinden wir uns bereits im Gebiete der Näherungsrechnung. Wir wären verpflichtet, die Schlussgeschwindigkeit cs zuvor aus der allgemeinen Differentialgleichung des Ventilproblems ermittelt zu haben, bevor die Bewegungsgrösse (Σm) . cs oder die lebendige Kraft \frac{1}{2}\,(\Sigma\,m)\,\cdot\,{c_s}^2 berechnet werden könnte. Diese allgemeinere Differentialgleichung werden wir später aufstellen; dieselbe ist aber in geschlossener Form nicht integrabel, weswegen wir den Wirklichkeitsfall auf den idealen Grenzfall dadurch beziehen, dass wir anfänglich vernachlässigte Grossen in die Gleichungen des letzteren einführen, dabei aber immer wieder bedenkend, dass die letzteren Gleichungen selbst wieder nur auf Grund idealer, der Wirklichkeit nur angenähert entsprechenden Voraussetzungen gewonnen wurden. Der ideale Beschleunigungsriss, bezogen auf den Ventilweg, stellt nach Fig. 8 eine Gerade dar. Der zugehörige Geschwindigkeitsriss lässt sich mit Hilfe der Gleichungen 21 und 24 leicht ermitteln; es folgt c = hmax ω · cos β \frac{c}{\omega}=h_{max}\,\cdot\,cos\,\beta . . . . 33) Diese Kosinuswerte lassen sich durch Kreisen der Ventilkurbel hmax leicht beschreiben, wie in Fig. 9 dargestellt. Eine plötzlich vernichtete lebendige Kraft müsste nun nach dem Energieprinzip eine unendlich grosse Kraft äussern, ebenso wie eine plötzlich zu erzeugende lebendige Kraft eine unendlich grosse Kraft erfordern würde. In Wirklichkeit gehört aber zu jeder Geschwindigkeitsänderung auch Zeit; das massehabende Ventil in einer schweren Flüssigkeit wird daher vermutlich in einer sehr kurzen Zeit, entsprechend einer sehr kleinen Wegstrecke Δs, mit der anhängenden Wassermasse von der Geschwindigkeit 0 auf die Geschwindigkeit cmax beschleunigt werden. Der Ventilaufgang besteht daher aus einer sehr rasch verlaufenden Beschleunigungsphase, welcher eine länger währende Verzögerungsphase folgt; die entsprechenden Arbeiten müssen einander gleich sein, weil ja die in der Beschleunigungsphase aufgespeicherte lebendige Kraft während der Verzögerungsphase wieder vollständig aufgezehrt wird. Der Ventilniedergang besteht aus einem länger dauernden Beschleunigungsabschnitt, welchem sich ein schnell verlaufender Verzögerungsabschnitt anschliesst. Halten wir für beide Bewegungsabschnitte das Gradliniengesetz des Idealfalles fest, so wird sich ein wirkliches Ventil beiläufig nach nebenstehendem Beschleunigungsriss (Fig. 10) und Geschwindigkeitsriss (Fig. 11) bewegen. Je allmählicher sich der Eröffnungsdruck ausbilden kann, je länger Zeit er dazu hat, desto kleiner wird er sein. Im Sinne einer solch allmählichen Druckausbildung wirkt die Ventilundichtheifc, die Elastizität des Wassers und der Wandungen, sowie besonders eingeschnüffelte Luft. Die Gleichheit von Beschleunigungs- und Verzögerungsarbeit in Fig. 10 fordert, dass die Anfangsbeschleunigung um so grösser ist, je kleiner der Wirkungsweg Δs ist. Für Δs = 0 müsste \frakfamily{B}=\infty werden. Fassen wir das Saugventil ins Auge, so muss die Summe aus Federdruck p, in welchen wir uns den Gewichtsdruckeingerechnet denken, und Beschleunigungsdruck \frakfamily{B} kleiner sein als der Atmosphärendruck. Abgesehen vom sogen. Sitzwiderstand, hervorgerufen durch breite adhärierende Sitzflächen, ist also der Ventileröffnungsdruck oder Ventilüberdruck nur eine Folge der Massenwirkung. Wir wollen nun auf Grund der Fig. 10, welche sich auf Ventilaufgang bezieht, eine Formel für den Ventilüberdruck S ermitteln; damit ist ja auch gleichzeitig der Ventilschlag bestimmt. Weil die Beschleunigungsarbeit gleich ist der erzeugten lebendigen Kraft, so ist \frac{S\,\cdot\,\Delta\,s}{2}=\frac{1}{2}\,(\Sigma\,m)\,\cdot\,{c_{max}}^2, entsprechend unserer früheren Annahme, dass S sich nach einem Gradliniengesetz bezüglich Δs ändern soll. Es folgt S=\frac{(\Sigma\,m)\,\cdot\,{c_{max}}^2}{\Delta\,s}. Wir machen nun die naheliegende Annahme, dass der Wirhungsweg Δs gleich ist der Weg Verspätung h0, welche der Ventilschlussverspätung t0entspricht. Nun ist näherungsweise Δs = h0 = cmax l0, also S=\frac{(\Sigma\,m)\,\cdot\,c_{max}}{t_0}. In dieser Gleichung erkennen wir den Satz vom Antriebe, wenn t0 die Wirkungszeit des Beschleunigungsabschnittes ist. Nun ist nach Gleichung 29 und 20a S=(\Sigma\,m)\,\cdot\,\frac{F}{l\,u}\,\cdot\,R\,\omega^2\,:\,\frac{f}{l\,u}, somit S=(\Sigma\,m)\,\cdot\,\left(\frac{F}{f}\right)\,\cdot\,R\,\omega^2 . . . . 34) Daher ist der Ventilüberdruck bezw. Ventilschlag gleich der nahezu plötzlich in Bewegung geratenden bezw. zur Ruhe kommenden Ventil- plus Wassermasse mal der auf die Ventilfläche reduzierten maximalen Kolbenbeschleunigung, ein Resultat, welches für ein nicht verspätet arbeitendes Ventil direkt einzusehen ist. Textabbildung Bd. 316, S. 314 Dabei ist immer zu bedenken, dass diese Näherungsgleichungen nur in dem Masse der Wahrheit entsprechen, als dies von den zu Grunde gelegten, vereinfachenden Annahmen gilt. (Schluss folgt.)