Die Durchbiegung von ungleich starken Wellen. Von Max Ensslin, Privatdozent an der Technischen Hochschule in Stuttgart. Die Durchbiegung von ungleich starken Wellen. Die nachfolgenden Ausführungen entstanden gelegentlich einer Anfrage, welche an den Verfasser von einem in der Praxis stehenden Ingenieur gerichtet wurde, dem die Aufgabe vorlag, die Durchbiegung einer Welle mit ungleichem Querschnitt zu ermitteln. Da das Bedürfnis nach einer derartigen Ermittelung wohl kaum auf den erwähnten Fall beschränkt sein dürfte und die Aufgabe in den meisten bekannten Lehrbüchern nicht behandelt wird, so dürfte diese Mitteilung manchem Ingenieur willkommen sein. Das zur Lösung der Aufgabe verwendete Verfahren rührt von Mohr herIn dem Werk: Vorträge über Elastizitätslehre von Keck findet sich auf S. 37 ein Verfahren angedeutet, welches ebenfalls zur Lösung der vorliegenden Aufgabe verwendbar ist. Es erscheint aber nicht so einfach wie das Mohr'sche, kann jedoch nach entsprechender Umformung auf die im folgenden mitgeteilte Gestalt gebracht werden. Die rein analytische Berechnung der Durchbiegung ungleich starker Träger, wie sie sich z.B. in Weisbach, Theorethische Mechanik, findet, dürfte dem Geschmack des Ingenieurs weniger zusagen.. Es soll also im folgenden keineswegs ein neues Verfahren angegeben werden, sondern lediglich die Anwendung eines bekannten Verfahrens auf eine Aufgabe, welche für den ausführenden Ingenieur wichtig zu werden vermag. Langsam umlaufende Wellen, z.B. Wasserradwellen, werden lediglich mit Rücksicht auf die Grosse der in ihnen auftretenden Spannungen dimensioniert, die Deformation der Welle spielt dabei eine untergeordnete Rolle. Stellt man sich die Aufgabe, die Querschnitte der Welle so zu wählen, dass in jedem Querschnitt die grösste Anstrengung gleich gross ausfalle und einen bestimmten, als zulässig erachteten Wert besitze, so erhält die Welle ungleichen Querschnitt. Für den einfachen Fall, dass die Welle kreisrund, zweimal gelagert und zwischen den Lagern durch eine Einzelkraft belastet ist, ist das Profil der Welle bekanntlich eine kubische ParabelSiehe z.B. Bach, Elastizität und Festigkeit, 3. Aufl., S. 183.. Häufig findet man Achsen und Wellen, deren Profil in einer Achsialebene nach einer kubischen Parabel, bezw. in Anlehnung an eine solche, geformt ist. Dass die Durchbiegung bei einer derartigen Formgebung grösser ausfällt, als wenn die Welle durchwegs gleich stark gehalten wird, wie der grösste Durchmesser der kubischen Parabel, braucht kaum hervorgehoben zu werden, kommt jedoch, wie schon bemerkt, bei langsam laufenden Wellen im allgemeinen nicht in Betracht. Anders bei rasch laufenden Wellen, auf welche grosse biegende Momente einwirken. Diese letzteren haben zur Folge, dass die Welle schief durch die Lager hindurchläuft, dass die elastische Linie mit der ursprünglichen Richtung der unbelasteten Welle einen Winkel ϕ bildet. Hierdurch wird die Verteilung der Pressungen im Lager eine ungleichförmige; wenn der Winkel ϕ einen gewissen Betrag überschreitet, so wird das Lager heiss. Für die Dimensionierung rasch laufender Wellen, die starken biegenden Kräften unterworfen sind, ist daher diegrösste Materialanstrengung nicht mehr allein massgebend, es muss überdies die Formänderung der Welle beachtet werden, in erster Linie der Winkel ϕ, unter welchem die elastische Linie durch die Lagerstellen hindurchgehtVergl. hierzu die ausführlichen Darlegungen in Buch's Maschinenelementen, im Abschnitt: Achsen und Wellen.. Dieser Winkel muss um so kleiner gehalten werden, je rascher die Welle läuft und je länger das Lager ist, da offenbar die Ungleichförmigkeit der Pressungsverteilung im Lager mit der Länge des Lagers zunimmt. Ueber die zulässige Grosse des Winkels ϕ lassen sich keine allgemein gültigen Vorschriften geben. Bach gibt in den Maschinenelementen an, dass für Wellen, auf denen Kegelräder nicht sitzen, in den meisten Fällen die Forderung ausreiche, dass der Winkel ϕ den Wert 1/1000 nicht überschreite. Mit dem Winkel ϕ steht die grösste Durchbiegung der Welle in einem gewissen Zusammenhang, der sich in einfachen Fällen leicht angeben lässtSiehe Bach, Maschinenelemente, 8. Aufl., S. 433 ff.. Man findet daher zuweilen auch die Forderung, dass die grösste Durchbiegung der Welle (bezogen auf die Längeneinheit derselben) eine gewisse als zulässig erachtete Grosse nicht überschreiten soll. Es liegt aber auf der Hand, dass diese Forderung den Winkel ϕ, auf den es in erster Linie ankommtAuf die absolute Grösse der Durchbiegung ist z.B. Rücksicht zu nehmen, wenn der Anker einer Dynamomaschine auf der Welle sitzt und der Spielraum zwischen Anker und Magneten klein gehalten werden soll.), nicht eindeutig bestimmt. Er hängt ausser von der festgelegten Grosse der Durchbiegung noch von der Art der Belastung und, bei Wellen mit ungleichem Querschnitt, von dem Wellenprofil in einer Achsialebene ab. Es empfiehlt sich daher, zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten, stets vom Winkel ϕ auszugehen, wenn bei der Dimensionierung von Wellen auf die Formänderung zu achten ist, mit anderen Worten, wenn durch eine zu starke Deformation der Welle Heisslaufen zu befürchten ist. Häufig erhalten nun die Wellen von Motoren ungleiche Querschnitte, sei es weil Schwungräder u.a. aufgekeilt werden müssen, oder weil der Konstrukteur die Gewohnheit hat, seine Wellen nach einer kubischen Parabel zu formen. Bei raschlaufenden Maschinen stellt sich dann das Bedürfnis ein, die Formänderung der Welle kennen zu lernen. Zur Ermittelung der Formänderung besitzen wir nun in dem Satz von Mohr über die elastische Linie ein vortreffliches und einfaches Mittel, das, weil graphisch, für den Gebrauch des Ingenieurs ganz besonders geeignet ist. Da das schöne Verfahren von Mohr vielleicht nicht allerseits bekannt ist, so soll es hier in Kürze wiederholt werden. Die Gleichung der elastischen Linie eines sehr wenig gebogenen geraden Stabs lautet bekanntlich \frac{\Theta}{\alpha}\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}=M. Hierin bedeuten: x und y die Koordinaten eines Punkts der elastischen Linie, x in Richtung der Stabachse, y senkrecht dazu gemessen. Θ das Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf die zu x und y senkrechte Schwerpunktsachse. M das biegende Moment der belastenden Kräfte in Bezug auf den im Abstand x befindlichen Querschnitt. \frac{1}{\alpha}=E den reciproken Dehnungskoeffizienten oder Elastizitätsmodul des Materials. Wir schreiben die Gleichung der elastischen Linie in der Form E\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}=\frac{M}{\Theta} . . . . 1) und vergleichen mit ihr die Gleichung einer Seilkurve, die sich in der Richtung x erstreckt und in der Richtung y durchhängt. Der Koordinatenanfang liege im Scheitel der Seilkurve, so dass also die x-Achse Scheiteltangente ist (Fig. 2). Die Belastung des Seils sei q Kilogramm auf 1 cm der Länge und ändere sich in der Richtung x nach einem Gesetz, das durch den Linienzug ab in Fig. 1 dargestellt ist. Die senkrechten Ordinaten bedeuten in dieser Figur die Belastung q auf die Längeneinheit des Seils in den verschiedenen Abständen vom Koordinatenanfang. Textabbildung Bd. 316, S. 342 Zur Aufstellung der Differentialgleichung denken wir uns ein Stück aus dem Seil herausgeschnitten und betrachten das Gleichgewicht sämtlicher an ihm wirkenden Kräfte. Als Schnittstellen wählen wir den Koordinatenursprung und einen beliebigen Punkt (x, y). In den Schnittstellen haben wir nun zur Herstellung des ursprünglichen Gleichgewichtszustands die daselbst vor dem Durchschneiden thätigen Seilspannungen in der Richtung der Seiltangente anzubringen, das sind im Scheitel x = o der Horizontalzug II Kilogramm und im Punkt (x, y) die Seilkraft S Kilogramm. Die Vertikalbelastung des betrachteten Seilstücks ist durch die zwischen x = o und x = x liegende Fläche unterhalb der Belastungskurve F=\int\limits_0^x\,q\,d\,x dargestellt (in Fig. 1 schraffiert). Die Seilspannung S werde in eine Vertikalkomponente V und eine Horizontalkomponente H1, zerlegt. Die Gleichgewichtsbedingungen für die Horizontal- und Vertikalkräfte an dem Seilstück lauten: H=H_1\mbox{ und }V=\int\limits_0^x\,q\,d\,x und ferner liest man aus der Fig. 2 unmittelbar ab tg\,\varphi=\frac{V}{H}=\frac{\int\limits_0^x\,q\,d\,x}{H} . . . . 2) wofür man unter der Voraussetzung, dass die Seilkurve sehr flach ist, auch schreiben darf tg\,\varphi=\varphi=\frac{d\,y}{d\,x}=\frac{\int\limits_0^x\,q\,d\,x}{H} Leitet man die letzte Gleichung nach x ab, so hat man: H\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}=q als Differentialgleichung der Seilkurve. Dieselbe ist genau so gebaut, wie die Differentialgleichung der elastischen Linie, es entsprechen sich H und E, bezw. q und \frac{M}{\Theta}. Denkt man sich nun in der Fig. 1 statt q die Werte \frac{M}{\Theta} als senkrechte Ordinaten eingetragen und den Horizontalzug H durch E ersetzt, so folgt aus dem Vergleich der Gleichungen für die Seilkurve und die elastische Linie der Mohr'sche Satz: Die elastische Linie eines geraden Biegungsstabs darf als eine Seilkurve aufgefasst werden, deren Belastungsfläcke die Fläche unterhalb der Linie der\frac{M}{\Theta}, deren Horizontalzug = E ist. Ferner folgt aus den oben angeschriebenen Gleichgewichtsbedingungen, 1. dass die Horizontalkomponente H1 des Seilzugs an jeder beliebigen Stelle gleich gross ist, nämlich gleich dem Horizontalzug H, und 2. dass die Neigung der Seilkurve gegen die x-Achse gemäss Gleichung 2 durch tg\,\varphi=\frac{V}{H} bestimmt ist, worin der Wert V aus V-\int\limits_0^x\,q\,d\,x zu ermitteln ist. Durch Ziffer 2 ist gleichzeitig die Neigung der elastischen Linie gegenüber der ursprünglich geraden Stabachse festgelegt, wenn man nach Mohr die elastische Linie als Seilkurve auffasst. Endlich ist es in manchen Fällen von Interesse, den Ort der grössten Durchbiegung zu kennen. Auch diesen kann man mit Hilfe des Mohr'schen Satzes leicht finden. Denn fasst man wiederum die elastische Linie als Seilkurve auf, so entspricht dem Ort der grössten Durchbiegung der Scheitel der Seilkurve. Die Lage des Scheitels der Seilkurve ergibt sich aber sehr einfach aus der Bedingung, dass daselbst die Tangente horizontal gerichtet, die Vertikalkomponente V somit gleich Null ist. Man hat zur Bestimmung des Scheitels nur den Punkt der Seilkurve aufzusuchen, in welchem die Vertikalkomponente des Seilzugs verschwindet, was folgendermassen geschieht. Textabbildung Bd. 316, S. 342 Fig. 3. Fig. 3 zeigt eine Seilkurve und darüber ihre Belastungsfläche F samt dem Schwerpunkt, der sich im Abstand x vom Aufhängepunkt A des Seils befinden möge. In den Aufhängepunkten denken wir uns die dort wirksamen Seilzüge S0' und S0'' angebracht und in die Horizontalkomponenten und Vertikalkomponenten V und V'' zerlegt. V und V'' findet man aus den Gleichgewichtsbedingungen für die Vertikalkräfte und für die Momente um A oder B, d.h. aus V'  + V'' = F         und      V'' . l = F . x oder V'' . l = F (l – x). Nachdem man hieraus z.B. V' berechnet hat, hat man von der Belastungsfläche F durch eine Ordinate yy ein Flächenstück abzuschneiden, derart, dass der Flächeninhalt F1 desselben gleich dem Wert von V1 wird. Die Ordinate yy geht dann durch den Scheitel der Seilkurve. Bezeichnet man die Differenz zwischen der Vertikalkomponente des Seilzugs im Aufhängepunkt und dem Inhalt Fy eines Stücks der Belastungsfläche, welches sich vom Aufhängepunkt bis zu einer beliebigen Ordinate erstreckt, kurz als Transversalkraft, so kann man das soeben Dargelegte auch so ausdrücken: der Scheitel der Seilkurve liegt da, ivo die Transfersalkraft gleich Null ist. Textabbildung Bd. 316, S. 343 1. Beispiel: Für die Welle Fig. 4 ist die Durchbiegung in der Mitte und die Neigung der elastischen Linie in den Lagern zu berechnen. Da die Welle in der Mitte belastet und zu beiden Seiten der Mitte gleich geformt ist, so deformieren sich beide Wellenhälften gleich; es genügt daher, eine Hälfte zu betrachten. Die Belastung in der Mitte beträgt 20000 kg, der Lagerdruck daher je 10000 kg. Wir fassen nun die Welle als in der Mitte eingespannt und am freien Ende (in der Lagermitte) mit 10000 kg belastet auf und wenden jetzt den Mohr'schen Satz an. Zu diesem Ende haben wir zuerst die Kurve der Werte \frac{M}{\Theta} aufzuzeichnen. Die Werte von \frac{M}{\Theta} in den verschiedenen Punkten der Wellenachse sind in der folgenden Zusammenstellung enthalten: Abstandvon derLagermittecm Wellen-durch-messercm Mkgcm \Theta=\frac{d^4}{20}cm4 \frac{M}{\Theta}kgcm–3     0 28      0   30733   0   26 28   260000   30733 8,47   26 38   260000 104260 2,49   61 38   610000 104260 5,85   61 40   610000 128000 4,76   76 43   760000 170940 4,45   91 46   910000 223875 4,06   91 50   910000 312500 2,91 151 50 1510000 312500 4,83 Die Werte \frac{M}{\Theta} sind in Fig. 5 senkrecht zur Wellenachse in den entsprechenden Punkten der letzteren aufgetragenDas Vorzeichen von \frac{M}{\Theta} kann in jedem einzelnen Fall leicht aus der Anschauung bestimmt werden. Die Gestalt derelastischen Linie und damit auch der Mohr'schen Seilkurve kann man sich immer ohne Schwierigkeit vorstellen. Da nun \frac{M}{\Theta} die Fläche der die Belastung der Seilkurve darstellt, so sieht man unmittelbar, in welcher Richtung diese Belastung wirken muss, damit die Seilkurve die von Fall zu Fall bekannte Gestalt annimmt.. Die Form der elastischen Linie ist darunter inFig. 6 gezeichnet; sie besteht aus einzelnen Zweigen, die an den Stellen, in welchen die Querschnitte wechseln, mit gemeinschaftlicher Tangente ineinander übergehen. Wir fassen jetzt die elastische Linie nach Mohr als Seilkurve auf und bringen im Scheitel den Horizontalzug E, im Aufhängepunkt A die Seilspannung S0 bezw. deren Horizontalkomponente E und deren Vertikalkomponente V' an; die Vertikalbelastung ist durch die über der elastischen Linie gezeichnete Fläche der \frac{M}{\Theta} dargestellt. Bezeichnet man die Abscissen der einzelnen Zweige der elastischen Linie mit \overline{ab}\ \overline{bc}\ \overline{cd}\ \overline{de}; die zugehörigen Flächenstücke der Belastungsfläche mit F1 F2 F3 F4; den Abstand des Schwerpunkts der Fläche F1 von a mit x1, denjenigen der Fläche F2 von b mit x2 u.s.f., so lauten die Gleichgewichtsbedingungen für die Mohr'sche Seilkurve: V' = F1 + F2 + F3 + F4 E\,\cdot\,{y_m}'=F_1\,x_1+F_2\,(\overline{a\,b}+x_2)+F_3\,(\overline{a\,c}+x_3)+F_4\,(\overline{ad}+x_4)Das Vorzeichen von \frac{M}{\Theta} kann in jedem einzelnen Fall leicht aus der Anschauung bestimmt werden. Die Gestalt derelastischen Linie und damit auch der Mohr'schen Seilkurve kann man sich immer ohne Schwierigkeit vorstellen. Da nun \frac{M}{\Theta} die Fläche der die Belastung der Seilkurve darstellt, so sieht man unmittelbar, in welcher Richtung diese Belastung wirken muss, damit die Seilkurve die von Fall zu Fall bekannte Gestalt annimmt.. Die Zahlenwerte finden sich wie folgt: F_1=\frac{26\,\cdot\,8,47}{2}=110\ \ x_1=\frac{2}{3}\,\cdot\,26=17,33\mbox{ cm} F_2=35\,\frac{2,49+5,85}{2}=146\ \ x_2=\frac{35}{3}\,\frac{2,49+2\,\cdot\,5,85}{2,49+5,85}=19,8\mbox{ cm} F_3=30\,\frac{4,76+4,06}{2}=132\ \ x_3=\frac{30}{3}\,\frac{4,76+2\,\cdot\,4,06}{4,76+4,06}=14,6\mbox{ cm} F_4=60\,\frac{2,91+4,83}{2}=232\ \ x_4=\frac{60\,\cdot\,2,91+2\,\cdot\,4,83}{3\,\cdot\,2,91+4,83}=32,46\mbox{ cm} x_1=17,33;\ \overline{a\,b}+x_2=45,8;\ \overline{a\,c}+x_3=75,6;\ \overline{a\,d}+x_4=123,5. Somit wird gemäss der letzten Gleichung \begin{array}{rcl}{y_m}'&=&\frac{110\,\cdot\,17,33+146\,\cdot\,45,8+132\,\cdot\,75,6+232\,\cdot\,123,5}{2100000}\\&=&\frac{1906+6690+10000+28650}{2100000}=\frac{47246}{2100000}\\ &=&0,0225\mbox{ cm}\end{array} und die Neigung der elastischen Linie in der Lagerstelle, da V' = F1 + F2 + F3 + F4 = 620 tg\,\varphi=\frac{V'}{H}=\frac{V'}{E}=\frac{620}{2100000}=\frac{1}{3390}. Die hier berechnete Durchbiegung ist in Wirklichkeit noch etwas grösser, 1. wegen des Eigengewichts der Welle, 2. wegen der von den Schubkräften herrührenden Schiebungen. Das Eigengewicht der Welle zwischen den beiden Lagermitten beträgt ∾ 3000 kg, während das Schwungradgewicht 20000 beträgt. Das nur etwa 1/7 der Schwungradlast betragende Eigengewicht verteilt sich überdies stetig über die Welle hin, nach einem Gesetz, das durch das Profil der Welle in einer Achsialebene dargestellt ist. Die biegende Wirkung der kleinen und stetig verteilten Belastung durch das Eigengewicht fällt im vorliegenden Fall gegen die Wirkung der grossen in der Wellenmitte angreifenden Kraft nicht schwer ins Gewicht. Auch die Schiebungen sind bei der Kleinheit der Schubanstrengung klein. Immerhin ist es nicht ausgeschlossen, dass der eine oder andere der beiden genannten Einflüsse in manchen Fällen von Bedeutung wird und besonders berücksichtigt werden muss. Hervorzuheben ist die überaus niedere Biegungsanstrengung in der Welle; sie beträgt in der Wellenmitte: \sigma_b=\frac{M}{W}=\frac{1510000}{\frac{d^3}{10}}=\frac{1510000}{12500}=121^{\mbox{ kg}}/_{\mbox{qcm}}. Eine so niedere Anstrengung ist erforderlich, damit die Durchbiegung in der Wellenmitte so klein wird wie oben angegeben. Sobald die Rücksicht auf Formänderung massgebend wird, kann die Materialanstrengung nicht mehr als Ausgangspunkt für die Dimensionierung gewählt werden. Der Konstrukteur muss die Formänderung nachrechnen. 2. Beispiel: Für die Wasserradwelle Fig. 7 (Bach, Maschinenelemente, 8. Aufl., S. 446 und Tafel 16, Fig. 149) ist die grösste Durchbiegung und die Neigung der elastischen Linie in den Auflagern zu berechnen. Die Grosse der Belastung und die Lagerdrucke nebst den Angriffspunkten sind aus der Fig. 7 ersichtlich. Die Werte von \frac{M}{\Theta} sind in der folgenden Zusammenstellung enthalten und in Fig. 8 bildlich dargestellt, genau wie im vorigen Beispiel. Abstandvon derLagermittecm dcm Mkgcm \Theta=\frac{d^4}{20}cm4 \frac{M}{\Theta}kgcm–3 0 17       0   4176   0 15 17 163500   4176 39,2 15 21 163500   9724 16,8 30 22,625 327000 13107 25 45 24,25 490500 17287 28,4 60 25,875 654000 22410 29,2 75 27,5 817500 28600 28,6 75 30 817500 40500 20,2 95 30 1035500 40500 25,6 113 30 1088000 40500 26,8 113 32 1088000 52430 20,8 165 32,8 1238500 57890 21,4   Abstandvon derLagermittecm dcm Mkgcm \Theta=\frac{d^4}{20}cm4 \frac{M}{\Theta}kgcm–3     0 17       0   4176   0   15 17   189000   4176 45,3   15 21   189000   9724 19,6     22,5 22,5   283500 12815 22,1   30 24   378000 16590 22,8   30 27   378000 26570 14,2   50 27   630000 26570 23,7   68 27   729000 26570 27,4   68 29   729000 35360 20,6 100 30,8   885000 45000 19,65 130 32,48 1038000 55650 18,6 150 33,6 1140000 63730 17,9 210 33,6 1446000 63730 22,7 228 33,6 1389300 63730 21,8 Dann findet sich F_1=\frac{15\,\cdot\,45,3}{2}=340 F_2=15\,\frac{20,2+23}{2}=324 F_3=20\,\frac{14,2+23,7}{2}=379 F_4=18\,\frac{23,7+27,4}{2}=460 F_5=82\,\frac{20,6+17,9}{2}=1580 F_6=60\,\frac{17,9+22,7}{2}=1218 F_7=18\,\frac{22,7+21,8}{2}=400 F_8=104\,\frac{21,8+20,8}{2}=2226 F_9=18\,\frac{26,8+25,6}{2}=472 F_{10}=20\,\frac{25,6+20,2}{2}=458 F_{11}=30\,\cdot\,28,7=861 F_{12}=30\,\frac{30+19}{2}=735 F_{13}=\frac{15\,\cdot\,39,2}{2}=274 Hiernach ist ΣF= 9727. Der Schwerpunkt (mechanisch bestimmt) liegt 228 cm vom linken Auflager entfernt. Textabbildung Bd. 316, S. 344 Somit hat man V'+ V'' = F = 9727   V'' . l = F . x = 9727 . 228    V''=\frac{9727\,\cdot\,228}{t}=9727\,\cdot\,\frac{228}{445}=4990      V' = 4737. Sucht man den Ort der grössten Durchbiegung nach der oben angegebenen Weise, so findet er sich ganz in der Nähe des eben bestimmten Flächenschwerpunkts x, im Abstand von rund 230 cm vom linken Auflager; damit hat man, nachdem noch der Schwerpunkt der linksseitigen Fläche 4737 (zwischen dem linken Auflager und dem Ort der grössten Durchbiegung) ebenfalls auf mechanischem Wege im Abstand x1 = 113 cm vom linken Auflager gefunden wurde, durch Anwendung des Mohr'schen Satzes F . y' m = V' . x 1 {y'}_m=\frac{v'\,\cdot\,x_1}{F}=\frac{4737\,\cdot\,113}{2100000}=0,254\mbox{ cm}=2,54\mbox{ mm} tg\,\varphi_1=\frac{V'}{F}=\frac{4737}{2100000}=\frac{1}{443}. Zur Probe wird ym auch noch aus dem Gleichgewicht des rechten Stücks der Mohr'schen. Seilkurve berechnet, man findet auf mechanischem Wege x2 = 105 cm (Abstand vom rechten Auflager) \begin{array}{rcl}y_m'&=&\frac{V''\,\cdot\,x_2}{E}=\frac{4990\,\cdot\,105}{2100000}=0,249\mbox{ cm}=2,49\mbox{ mm}\\tg\, \varphi_2&=&\frac{V''}{E}=\frac{4990}{2100000}=\frac{1}{421}.\end{array} Die beiden auf verschiedene Weise bestimmten Werte von y'm stimmen gut miteinander überein; im Mittel hat man y_m'=\frac{2,54+2,49}{2}=2,515\mbox{ mm}; die Neigung der elastischen Linie gegen die Horizontale ist in den beiden Auflagern im vorliegenden Fall nicht ganz gleich. Sehr deutlich sieht man bei einem Vergleich der beiden Wellen, dass die erste für eine rasch laufende Maschine bestimmte Welle mit Rücksicht auf Formänderung, die zweite, einem langsam laufenden Wasserrad angehörige, lediglich mit Rücksicht auf die Anstrengung des Materials dimensioniert wurde. Während bei der rasch laufenden Welle die Neigung der elastischen Linie durch reichliche Bemessung auf \frac{1}{3390} beschränkt ist, beträgt sie bei der Wasserradwelle \frac{1}{420} bezw. \frac{1}{440}. Sollte das Bedürfnis entstehen, die Neigung der elastischen Linie in einem beliebigen Punkt der Welle kennen zu lernen, so kann diese Neigung ebenfalls nach der oben angegebenen Methode ermittelt werden, indem man die elastische Linie vom Auflager bis zu dem fraglichen Punkt ins Auge fasst und sie nach Mohr als Seilkurve ansieht. Die Werte der Durchbiegung in den Punkten bcd der Welle Fig. 3 sind wie hier angedeutet berechnet, ebenso die Neigung der elastischen Linie. Die Durchbiegungen sind in Fig. 5 in hundertfacher Vergrösserung eingetragen. Die zulässige Neigung der elastischen Linie hängt ausser von den schon erwähnten Umständen auch von der Frage ab, ob die elastische Linie während einer Umdrehung der Welle ihre Form ändert oder sie immer beibehält, mit anderen Worten, ob die Belastung der Welle bei einer Umdrehung nach Grosse und Richtung wechselt oder ungeändert bleibt. Im letzteren Fall sind auch grössere Neigungswinkel der elastischen Linie im Lager nicht unmittelbar bedenklich, da das Lager vom Monteur eingepasst und sich allmählich so einlaufen wird, dass die Pressungen in demselben sich mehr und mehr gleichmässig verteilen, besonders aber dann nicht, wenn die Lager einstellbar sind. Grosse Vorsicht ist erforderlich, wenn Kegelräder auf der Welle sitzen; auch falls ein Stirnrad auf der Welle aufgekeilt ist, wird der Eingriff fehlerhaft, wenn sich die Welle stark deformiert; der Fehler wird um so grösser, je grösser und breiter das Stirnrad ist. Wenn das Gegenrad, auf welches die Kraft übertragen wird, in derselben Höhe liegt, so treffen die Zähne eckend aufeinander, worauf vom Konstrukteur oder mindestens vom Monteur zu achten ist. Wenn aber die auf die Welle wirkenden Kräfte nach Grosse und Richtung wechseln, wie z.B. bei einer Kurbelwelle, so ändert sich die Gestalt der elastischen Linie fortwährend. Hat nun die Welle bei grösser Lagerentfernung eine grosse Masse in Gestalt eines Schwungrads oder elektrischen Generators zu tragen, so müssen hier Schwingungen auftreten, die einen Grösstwert erlangen, wenn die äusseren Kräfte die Welle in einem gewissen Zeitpunkt in derselben Richtung biegen, in welcher die Masse gerade schwingt; ein solcher Augenblick muss immer von Zeit zu Zeit wiederkehren. In diesem Fall ist starke Neigung der elastischen Linie nicht zulässig; die Welle muss sehr kräftig gehalten werden. Ist eine solche Welle zu schwach konstruiert worden, so kann auch der Monteur durch sorgfältigstes Einpassen der Welle in die Lager oder durch Nachstellen der letzteren den Schaden nicht mehr gut machen, da eben die Form der elastischen Linie sich fortwährend ändert. Solche Wellen müssen von vornherein kräftig dimensioniert und ihre Formänderung auf die beschriebene Weise nachgerechnet werden.