Der Holländer. Von Professor Alfred Haussner in Brünn. (Fortsetzung von S. 474 d. Bd.) Der Holländer. 3. Krümmungs- und Kontraktionswiderstände. Nachdem nunmehr die Gesetze für die Reibung, in bestimmte Formeln gefasst, als ermittelt gelten können, auch für sehr verschiedene Stoffgehalte und Geschwindigkeiten, erübrigt noch die Bestimmung des Gesetzes für die Krümmungs-, sowie die Kontraktionswiderstände. Wir finden in den Tabellen über die Versuche eine grosse Zahl von Werten für das Strömen durch die Rohrkombination E + B, worin B der Krümmer ist. Wenn wir von den Werten für E + B die bezüglichen für E allein abziehen, was ja nach dem Vorangegangenen ohne weiteres ausführbar ist, so erhalten wir Zahlen, in welchen nur der Krümmungs-, der Reibungs- und der Kontraktionswiderstand für B allein enthalten ist. Den Reibungswiderstand daraus auch zu eliminieren, unterliegt nach dem eben Vorausgegangenen keinen Schwierigkeiten; somit sind Werte, welche den Krümmungs- und Kontraktionswiderstand zusammen enthalten, unschwer zu bekommen. Wie sollen nun diese getrennt werden? Wenn die einschlägigen, soeben beschriebenen Rechnungen mit den Zahlen aus den Tabellen ausgeführt werden, so zeigt sich sofort, dass für den Krümmer Widerstandshöhen erhalten werden, die verhältnismässig klein sind. Ueberdies ist nicht zu zweifeln, dass durch das Kombinieren mehrerer Versuchswerte, von denen ja jeder mit einem gewissen unvermeidlichen Fehler behaftet ist, die bezüglichen Widerstandshöhen, welche für den Krümmer allein sich ergeben (ohne Reibung), weniger genau sind als die bezüglichen Einzelwerte, welche für den Krümmer benutzt worden sind. Weiters mag hervorgehoben werden, dass sich die Kontraktionserscheinungen beim Krümmer am meisten dem beobachtenden Auge zeigten, und zwar desto auffallender, je dicker der Stoff wurde. Möglicherweise sind trotz der eigentümlichen Form von E in dem Widerstand für Rohr E allein auch, nach dem Folgenden aber jedenfalls geringe Kontraktionswiderstände, besonders für die dickeren Stoffe, enthalten. Doch ganz unvergleichlich mehr war Kontraktion beim Krümmerausfluss zu bemerken. Somit dürfen wir einen nicht ganz unbedeutenden Teil des Widerstandes, welcher summarisch für Krümmungswiderstand, vermehrt um den Kontraktionswiderstand, sich ergibt, der letztgenannten Ursache zuschreiben. Dann ist aber auch zu erkennen, dass der Krümmungswiderstand für die gangbaren Stoffgattungen sich nicht sehr bedeutend über jenen bei reinem Wasser erhebt. Folgende Betrachtung dürfte geeignet sein, diese aus den Versuchswerten folgende Thatsache näher zu begründen und zu einer für die vorliegenden Bedingungen brauchbaren Formel für den Krümmungswiderstand zu führen. Der Krümmungswiderstand rührt von einer fortwährenden Ablenkung der Stoffteilchen aus der Geraden her. Bei unseren Papierstoffen im Holländer haben wir so viel Wasser, dass ein gegen Biegung, selbst bei ausserordentlich hohen Stoffprozenten, ungemein wenig widerstandsfähiger Körper entsteht, so dass wir gewiss anders zu schliessen haben, als für die Biegung fester Körper. Bei der Krümmung findet aber eine innere Verschiebung der Teilchen, also auch innere Reibung statt, welche sich je nach Faserart und Konzentration verschieden gross gezeigt hat. Das was diesbezüglich auf das Wasser allein zu rechnen ist, haben ja bereits andere, ältere Untersuchungen klargestellt. Nur das für das Fliessen der Fasern im Stoffe Zuzufügende zu ermitteln, ist hier unsere Aufgabe. Es sei in Fig. 9A – D ein gekrümmter Kanal, in welchem Stoff fliessen soll. Denken wir uns irgend eine, mit den Kanalwänden konzentrische Stoffschichte, welche vom mittleren Radius r die Entfernung x besitzen und mit der der Widerstandshöhe entsprechenden Druckhöhe gepresst werden soll. Dann ist für den Zentriwinkel β die Länge, an welcher die Stoffteilchen beim Fliessen in dieser Schichte im Krümmer sich reiben: \frac{\beta^{\circ}}{180^{\circ}}\,\cdot\,\pi\,\cdot\,(r+x). Die zugehörige Stoffgeschwindigkeit sei vx. Textabbildung Bd. 316, S. 490 Fig. 9. Die um dx entfernt liegende Nachbarschichte hat eine um dvx davon verschiedene Geschwindigkeit, so dass die beiden Nachbarschichten relativ aneinander sich verschieben mit der Geschwindigkeit dvx längs eines Weges l=\frac{\beta^{\circ}}{180}\,\cdot\,\pi\,\cdot\,(r+x). Benutzen wir nun diesen Weg und diese Geschwindigkeit, um mit Hilfe der allgemeinen, den Stoffgattungen bereits angepassten Gleichung 1** für die Reibungswiderstandshöhe die Grösse der inneren, durch die Krümmung veranlassten Reibung zu finden. Die Gleichung 1** lautet nun allgemein: h_r=\left[\frac{A\,p^2}{v^2}+\zeta_r\right]\,\cdot\,l\,\cdot\,\frac{u}{F}\,\cdot\,\frac{v^2}{2\,g}. Was haben wir nun in unserem Falle für die in dieser Gleichung vorkommenden Grössen zu setzen? A und p sind gewiss ohne weiteres, wie sie bereits erklärt worden sind, zu verwenden. ζr wäre wohl abzüglich des für Wasser folgenden Wertes, weil wir nur das für die Fasern Zusätzliche bestimmen wollen, also statt ζr... ζr – 0,00593 zu setzen. Statt l kommt (r+x)\,\pi\,\cdot\,\frac{\beta^{\circ}}{180}. Für u...2y, wenn wir sogleich die unendlich kleine Breite dx an der Stelle x vernachlässigen und nur die eine Kanalhälfte berücksichtigen, einerseits einen offenen Kanal im Auge habend, andererseits deshalb, weil durch Berücksichtigung der zweiten Hälfte, wie sofort erprobt werden kann, kein anderes Schlussresultat erreicht wird. F muss gesetzt werden y . dx. Somit bleibt nur noch v. In der Formel 1** ist wohl v an beiden Orten, wo es vorkommt, als dieselbe Grosse gedacht. Geht das aber auch hier an? In dem Gliede mit A und ζr hat v die Aufgabe, den Einfluss der allgemeinen Strömungsgeschwindigkeit auf die Lagerung der Fasern auszudrücken, somit wird es hier angezeigt sein, für v in dem Gliede mit A den Wert vx einzusetzen. Anders aber in dem Schlussfaktor. Dort hat v die Aufgabe, den durch das Vorübergehen mit der Geschwindigkeit v entstehenden Widerstand festzulegen. In diesem Sinne ausgelegt, haben wir aber dann für das Vorübergehen zweier Nachbarschichten im Krümmer offenbar dvx zu nehmen. Unter diesen Voraussetzungen wird dann die durch innere Verschiebung sich als zusätzlich ergebende Widerstandshöhe für den Krümmer und für mit Fasern versetztes Wasser: h_r'=\left[\frac{A\,p^2}{v^2}+\zeta_r-0,00593\right]\,\cdot\,\pi\,(r+x)\,\cdot\,\frac{\beta^{\circ}}{180}\,\cdot\,\frac{2\,y}{y\,\cdot\,d\,x}\,\cdot\,\frac{(d\,v_x)^2}{2\,g}. In dieser Gleichung sehen wir nun auf den ersten Blick, mag vx nach irgend einem Gesetz von x abhängig sein, sofern es nur eine stetige Funktion ist, die wohl vorausgesetzt werden darf, so ist deshalb, weil dvx im Zähler im Quadrat, dx im Nenner nur in der ersten Potenz vorkommt, die auf diese Weise für die zusätzliche innere Reibung ermittelte Widerstandshöhe unendlich klein. Somit können wir wohl ausreichend genau für die vorkommenden Stoffe dieselbe Widerstandshöhe in den Krümmungen annehmen, wie für Wasser: Gleichung 2. Was nun die noch in Frage kommenden Kontraktionswiderstände anbelangt, so ist es wohl angezeigt, nochmals auf die Entstehungsweise der bisher ermittelten Koeffizienten zurückzukommen. Wir haben die Reibung in dem geraden Rohr C u. dergl. bestimmt dadurch, dass wir von der Widerstandshöhe für die Rohrkombination E + B + C jene für E + B abgezogen haben. Bei B haben wir Kontraktion ebensowohl wie beim Ausfluss aus C. Weil nun die bezüglichen Ausflussöffnungen nahe übereinstimmen, darf wohl in beiden Fällen die Kontraktion nahe gleich genommen werden, weshalb bei dem geschilderten Vorgang zur Bestimmung der Reibungswiderstandshöhe, also schematisch: (E + B) + C – (E + B), die Kontraktion eliminiert worden ist. Wenn wir dagegen den Ausfluss durch E und B bezüglich miteinander vergleichen, so tritt sofort ein Unterschied zu Tage, wie schon berührt worden ist. Bei Wasser fanden wir für den Ausfluss aus E gar keinen, also auch keinen Kontraktionswiderstand, was bei der eigentümlichen Gestalt des Rohres JE nicht ungereimt ist. Auch bei den Stoffausflüssen konnte durch den unmittelbaren Augenschein Nennenswertes an Kontraktion nicht beobachtet werden. Bei dem Ausfluss aus der Mündung von B hingegen war Kontraktion unverkennbar vorhanden. Wenn somit nach dem schematischen Vorgang: (E + B) – E die für B summarisch in Betracht kommenden Widerstandshöhen gerechnet werden, so sind in den so erhaltenen Werten zweifellos die Kontraktionswiderstände enthalten. Was deren Grösse anlangt, so unterliegt es keinem Anstände, für die Kontraktion auf analogen Wegen, wie sie nunmehr bereits wiederholt benutzt worden sind, Werte aus den Versuchsresultaten zu finden, nachdem sämtliche Widerstände ausser dem Kontraktionswiderstand nach dem Vorangegangenen bestimmbar sind. Thun wir dies für die verschiedenen Stoffe wirklich, so finden wir Werte, die, an und für sich nicht besonders gross, auch bei dicken Stoffen sich von jenen für den Kontraktionswiderstand beim Ausfluss von Wasser kaum unterscheiden. Kleinere Unterschiede kommen um so weniger in Betracht, als zweifellos infolge der wiederholten Subtraktionen von Werten, welche für sich mit kleinen Fehlern behaftet sind, naturgemäss merklichere Fehler in den errechneten, wenn auch aus den Versuchswerten abgeleiteten Kontraktionswiderständen vermutet werden müssen. Bedenken wir auch noch, dass ein Grund für die Vergrösserung des Kontraktionswiderstandes bei den Stoffen gegenüber dem Wasser nur darin zu suchen wäre, dass eine innere Verschiebung der Fasern statthat infolge der Kontraktion, dass aber die hierfür aufzuwendende Widerstandshöhe, wie wir aus einem ganz ähnlichen Grunde bei dem Krümmungswiderstand gesehen haben, nur sehr klein sein kann und infolgedessen gegen die relative Grösse des Kontraktionswiderstandes für Wasser vernachlässigbar ist bei unseren Rechnungen, die von vornherein im praktischen Anwendungsfalle absolute Genauigkeit ausschliessen, so dürfte es als zulässig anerkannt werden, dass bei unseren Papierstoffen, wie sie im Holländer (mit etwa 93 bis 97% Wasser, um einen häufigeren Fall herauszugreifen) laufen, die Kontraktionswiderstände so wie bei Wasser bemessen werden. Damit wird man auch für die verschiedenen Formen der Ausflussöffnungen leicht, gemäss den für Wasserbereits bekannten Versuchsresultaten, annähernd richtig vorzugehen in der Lage sein. d) Das Querprofil der günstigsten Trogformen. Bevor die für verschiedene Fälle gefundenen Widerstandskoeffizienten benutzt werden, seien jene Schlüsse gezogen, welche als allgemein gültig aus Formel 1 sich ziehen lassen. Wir bemerken in Formel 1, dass unter sonst gleichen Umständen das Verhältnis \frac{u}{F} die Widerstandshöhe h beeinflusst, so dass, um durch genügend rasches Fliessen den Stoff nicht zum Absetzen kommen zu lassen, bei bestimmter Geschwindigkeit v, also bestimmter in der Zeiteinheit fortzuschaffender Stoffmenge, bestimmtem Trogmaterial und bestimmter Länge des zu durchfliessenden Weges, h, also auch der Arbeitsaufwand zur Ueberwindung der Reibung ein Minimum wird, wenn \frac{u}{F} ein Minimum wird. Weil der Arbeitsaufwand zur Ueberwindung dieses Nebenwiderstandes gar nicht unwesentlich ist, wie die besonderen Zahlen in den Tabellen über die Stoffströmung darthun, so empfiehlt sich die Trogform, welche aus der obigen Bedingung für \frac{u}{F} sich ergibt, ganz von selbst, weil man damit bedeutend Arbeit spart, ohne dass es sozusagen etwas kostet. Es sei in Fig. 10 AB irgend eine krummlinige Begrenzung eines Trogquerschnittes und mit Rücksicht auf Polarkoordinaten mit dem Ursprung 0 die dreieckige Fig. OAB ein Flächenelement ΔF. Dann ist: O\,A\,B=\Delta\,F=O\,A\,C+A\,C\,B=\frac{\varrho^2}{2}\,\cdot\,\Delta\,\varphi+\varrho\,\cdot\,\Delta\,\varphi\,\cdot\,\Delta\,\varrho, wenn OA = ϱ und OB = OC + CB = ϱ + Δϱ gesetzt wird. Wir sehen, dass das Flächenelement deshalb, weil Fläche ACB = ϱ . Δϕ . Δϱ als kleine Grösse zweiter Ordnung gegen Fläche O\,A\,C=\frac{\varrho^2}{2}\,\cdot\,\Delta\,\varphi als kleine Grösse erster Ordnung verschwindet, gleichzusetzen ist: \Delta\,F=\frac{\varrho^2}{2}\,\cdot\,\Delta\,\varphi. Der zugehörige Umfang ist aber A B. Während nun in dem Flächenelement OAB gegenüber dem Kreissektor OAC das sehr kleine Flächenstück ACB nicht zur Geltung kommt, bewirkt dieses doch, dass das Kurvenelement AB (Hypothenuse in dem als rechtwinkeliges Dreieck zu betrachtenden Flächenstück ABC) grösser ist, als AC (Kathete). Dies gilt solange, als die Ursache nicht beseitigt, d.h. AB mit AC zusammenfällt oder, anders gesagt, aus der allgemeinen Kurve ein Kreis mit dem Mittelpunkt O wird. Die Nutzanwendung für uns liegt darin, dass für eine gegebene Fläche die Kreislinie den kleinsten Umfang besitzt, ein Satz, der ja nicht neu ist, aber doch beim Holländerbau, abgesehen von einzelnen, ganz neuen und ganz vereinzelten Konstruktionen, nicht angewendet wird. Textabbildung Bd. 316, S. 491 Fig. 10. Textabbildung Bd. 316, S. 491 Fig. 11. Die vorteilhafteste Querschnittsform für die Trogkanäle ist somit zweifellos der Kreis, bei offenen Kanälen der Halbkreis mit Rücksicht auf die Ausführung und die Bedienung, bei geschlossenen Kanälen der volle Kreis. Für eine gegebene Querschnittsgrösse, durch welche in der Zeiteinheit eine bestimmte Stoffmenge strömen soll, ist es aber deshalb keineswegs gleichgültig, ob ein Halb- oder voller Kreis angewendet wird. Denn bedeutet r den Halbmesser des vollen Kreises, B jenen des Halbkreises für die Fläche F, so muss sein: r^2\,\pi=F=\frac{1}{2}\,R^2\,\pi, also auch r^2=\frac{1}{2}\,R^2oder R = √2r. Die bezüglichen Umfange sind dann: für den Vollkreis: 2rπ, „ „ Halbkreis: Rπ = √2rπ = 1,4rπ, so dass der offene Halbkreis rund 30% günstiger gegen das geschlossene Rohr sich stellt. Sehen wir uns noch die bei Holländerkanälen gangbarste Querschnittsform, die rechteckige, etwas näher an. Für einen gegebenen Querschnitt F, durch welchen in der Zeiteinheit eine bestimmte Stoffmenge fliesst, bekommen wir Fig. 11: F = x . y. Der benetzte Umfang ist: u = x + 2y. Aus der Gleichung, für F den Wert für x gesetzt, folgt: u=\frac{F}{y}+2\,y. Weil das eine Glied mit wachsendem y sich vermindert, das andere aber mit y gerade proportional ist, so muss ein gewisser Wert von y für gegebenes F vorhanden sein, der den benetzten Umfang u zu einem Minimum macht. Suchen wir den ersten Differentialquotienten von u nach y und setzen wir diesen dann gleich Null, so folgt: \frac{d\,u}{d\,y}=\frac{F}{y^2}+2=0, also 2y2= F oder y=\sqrt{\frac{F}{2}}. Weil aber auch F = x . y, so ist auch 2y2 = x . y, also 2y = x oder y=\frac{x}{2}, ein ebenfalls schon für Wasser bekanntes, nichtsdestoweniger aber für unsere Zwecke hochinteressantes und ganz wertvolles Resultat. Für offene rechteckige Holländerkanäle ist also womöglich die wagerechte Breite des Stoffstromes doppelt so gross wie die Tiefe zu halten. Das geschieht aber vieler Orten durchaus nicht, trotzdem fast nur Vorteile damit verknüpft sind. Nehmen wir an, dass für dieselbe Stoffmenge in der Zeiteinheit, also für denselben Querschnitt F und unter sonst ganz gleichen Umständen in einem Holländer x : y = 2 : 1, in einem anderen x = y gemacht werde, so folgen die benetzten Umfänge für x = 2y u = x + 2y = 2x, für x = y U = x + 2y = 3x. Durch die Fläche ausgedrückt, folgt in beiden Fällen: F = x . y. Aber für x = 2y ist F=x\,\cdot\,\frac{x}{2}=\frac{x^2}{2}, also x2 = 2 F und x = √2 F, somit u = 2x – 2√2 F= 2,8 F. Und für x = y ist F = x2, somit x = √F, also: U = 3x = 3√F. Durch Vergleich der beiden letzterhaltenen Resultate erkennen wir einen Unterschied von fast 7% zu Gunsten des Seitenverhältnisses x = 2y. Ausserdem wird aber auch das Gewicht des Troges im selben Verhältnis kleiner, wenn x = 2y, indem das Gewicht rund gleichzusetzen ist: u. δ. 1. γ, wenn δ die Dicke, y das spezifische Gewicht und l die aufgewickelte Länge des Trogmaterials bedeutet, also das absolute Gewicht sich als proportional zum Umfange darstellt. Nur die Bodenfläche, welche für x = 2y beansprucht wird, ist grösser als für x = y, indem in dem einen Fall x = √2F = 1,4 F, in dem anderen Fall x = √F,, somit hier etwa 30 % kleiner als im ersten Fall wird. Etwas anders liegt es bei ganz geschlossenen, rechteckigen Kanälen. Da ist wohl auch F = x . y, aber u = 2x + 2y = (x + y). Setzen wir hier für x den Wert ausgedrückt durch F, so folgt: u=2\,\left(\frac{F}{y}+y\right). Auf das Minimum untersucht, kommt: \frac{d\,u}{d\,y}=2\,\left(-\frac{F}{y^2}+1\right)=0, somit y2 = F und y = √F = √x.y, also x = y. Geschlossene und ganz gefüllte rechteckige Kanäle erhalten also am besten quadratischen Querschnitt. Annäherungen an diese Form wurden von mir beobachtet. Fragen wir uns nun aber auch, wie sich unter sonst gleichen Umständen, also besonders für gleichen Querschnitt, der offene rechteckige Querschnitt mit dem kleinsten Umfang und der quadratische, geschlossene Kanal sich verhalten, weiters beide zum Kreisquerschnitt. Beim günstigsten, offenen Rechtecksquerschnitt ist nach früher: u = 2x und x = √2F, somit u = 2√2F = 2,8√F. Beim geschlossenen Quadratkanal ist: u = 4x und x = √F, somit u = 4√F. Es zeigt sich auch hier wieder, dass der offene Rechteckskanal dem geschlossenen (beide mit Minimumumfang) hinsichtlich des Reibungswiderstandes um 30% überlegen ist, ganz ähnlich wie es für die Kreisform gefunden worden ist. Darin liegt meiner Ansicht nach für viele Konstruktionen der Untergrundholländer ein höchst bedenkliches Moment, das schwerlich als genügend kompensiert durch den geringeren Raumbedarf erachtet werden kann. In dem verhältnismässig grossen Reibungswiderstand im geschlossenen und voll gefüllten Untergrundkanal ist die Ursache für das Steckenbleiben des Stoffs bei vielen derartigen Konstruktionen, für den grossen Arbeitsaufwand für die Stoffbewegung bei anderen zu suchen. Dass in Untergrundholländern geeigneter Konstruktion gut gemischt werden kann, besser als in vielen Holländern mit wagerechtem Stoffumlauf, sei an dieser Stelle nur andeutungsweise berührt. Der Vergleich zwischen kreisrunden und rechteckigen Kanälen stellt sich so: Beim Halbkreis ist R2π = 2F, also: R=\sqrt{\frac{2\,F}{\pi}}, somit: U = Rπ = √2πF = 2,5√F. Beim Vollkreis ist r2π = F, also r=\sqrt{\frac{F}{\pi}}, somit: u = 2rπ = 2√πF = 3,5√F. Beim offenen Rechteck (mit Minimumumfang) nach oben: u = 2,8√F. Beim geschlossenen Quadrat nach oben: U = 4√FVergl. Papierzeitung 1895, S. 3310.. Der Halbkreis ist zweifellos allen anderen Querschnitten überlegen. Hierauf folgt aber sofort das offene Rechteck, dann der Vollkreis mit bedeutendem Unterschied gegen die vorigen und endlich am ungünstigsten erscheint das geschlossene Quadrat. Dabei sei ausdrücklich hervorgehoben, dass nur die relativ günstigsten jeder Querschnittsart verglichen worden sind. Obwohl sich auch so schon teilweise sehr bedeutende Unterschiede zeigen, würden diese noch ungleich grösser sein, wenn andere Verhältnisse, die nach. dem Vorangegangenen für unsere Zwecke von vornherein ungünstig liegen, herausgegriffen würden. Nur. um die Sache vollständig deutlich zu beleuchten, sei, obwohl es aus dem bereits Gesagten herausgelesen werden kann, bemerkt, dass die Bodenfläche, welche der allergünstigste, der halbkreisförmige, Querschnitt beansprucht, noch etwas grösser als beim günstigsten rechteckigen ist. Denn nach Obigem ist beim rechteckigen Querschnitt die Bodenbreite x = √2F = 1,4√F, beim Halbkreis aber 2\,R=2\,\sqrt{\frac{2\,F}{\pi}}=1,6\,\sqrt{F}, so dass also die Bodenfläche des Holländers mit Rechteckskanal um etwa 12% kleiner als jene für den Halbkreiskanal ausfällt, trotzdem aber das Troggewicht etwas kleiner im letzteren Falle sich ergibt, weil eben der benetzte Querschnittsumfang beim Halbkreis kleiner als beim flächengleichen Rechteck ist. Was das Querprofil in der Krümmung anlangt, so lassen sich folgende allgemeine Schlüsse ziehen. Nach der Formel 2 schliessen wir, dass ein thunlichst kleiner Ablenkungswinkel vorteilhaft ist. Leider ist beim Holländer ein kleiner Winkel β nicht erreichbar, von Ausnahmsfällen abgesehen, kommen beim wagerechten sowohl, wie beim lotrechten Stoffumlauf durch das System begründete Krümmungen um 180° vor, so dass \frac{\beta^{\circ}}{90^{\circ}}=2 die Regel ist. Die Geschwindigkeit v hängt mit der Stoffbewegung überhaupt zusammen, ist also hier als eine gegebene Grösse anzusehen. Weil auch die Abmessung a, wie schon nachgewiesen, von der Rücksicht auf die zu bewegende Stoffmenge beherrscht wird, bleibt nur der Krümmungsradius r oder das Verhältnis a : r, dessen Grösse den obwaltenden Umständen noch angepasst werden kann. Ganz allgemein können wir, wie wohl ohne weiteres eingesehen werden dürfte, sagen: je grösser r, desto kleiner der Krümmungswiderstand. Aber nicht bloss praktische Ausführungsrücksichten stehen der Nutzbarmachung dieser Erwägung entgegen, sondern auch Gründe theoretischer Natur. Textabbildung Bd. 316, S. 493 Fig. 12. Es sei in Fig. 12 A – F die innere, F – K die äussere Trogbegrenzung an einer Krümmung, L – Q der mittlere Flüssigkeitsfaden, O der Krümmungsmittelpunkt. Der Stoff fliesse nach der durch die Pfeile angedeuteten Richtung. Indem wir die Bewegung des mittleren Flüssigkeitsfadens, also die Bewegung in der Linie LQ vorerst betrachten, ist OM = ON= OP = r, während die Kanalbreite a aus der bezüglichen Cote ersehen werden kann. Die Vergrösserung von r lässt deutlich die Vergrösserung des gekrümmten Weges MNP erkennen. Mit diesem wächst aber für dieses Wegstück nach dem weiter oben Gesagten die Reibung, andererseits jedoch sinkt mit grösserem r der Krümmungswiderstand, woraus der Schluss zu ziehen ist, dass ein gewisser Krümmungshalbmesser die Summe von Krümmungs- und Reibungswiderstand zu einer kleinstmöglichen macht. Dass dann dieser Halbmesser, sofern nicht besondere Gründe dagegen sprechen, gewählt werden soll, ist klar. Betrachten wir zuerst den Fall, dass der Querschnitt für den Stoffstrom in der Krümmung nicht geändert werden soll. Dann ist a als gegeben anzusehen und es ist die Summe von Reibung und Krümmungswiderstandshöhe: S={\zeta^\ast}_r\,l\,\frac{u}{F}\,\frac{v^2}{2\,g}+\left(A+B\,\left[\frac{a}{2\,r}\right]^{\frac{7}{2}}\right)\,\cdot\,\frac{\beta^{\circ}}{90}\,\cdot\,\frac{v^2}{2\,g} 13) auf das Minimum zu untersuchen. Denken wir uns den gemeinsamen Faktor mit v herausgehoben, so muss für das Minimum von S auch der zweite Faktor ein Minimum werden, d.h. es genügt zu untersuchen: \begin{array}{rcl}S_1&=&{\zeta^\ast}_r\,l\,\frac{u}{F}+\frac{\beta^{\circ}}{90}\,\cdot\,\left(A+B\,\left[\frac{a}{2\,r}\right]^{\frac{7}{2}}\right)\\&=&{\zeta^\ast}_r\,\cdot\,l\,\cdot\,\frac{u}{F}+2\,\left(A+B\,\cdot\,\left[\frac{a}{2\,r}\right]^{\frac{7}{2}}\right)\end{array} wenn für β um so eher der wohl meist vorkommende Wert = 180° gesetzt wird, weil doch der Weg, welcher für einen anderen Fall zu nehmen ist, vollständig offen vorliegt. Bezeichnen wir den Halbmesser r für das Minimum von S1 mit x, drücken wir weiters l als Halbkreisumfang durch x aus, so kommt: S_1={\zeta^\ast}_r\,\pi\,\frac{u}{F}\,x+2\,\left(A+B\,\cdot\,\left[\frac{a}{2\,x}\right]^{\frac{7}{2}}\right) . 14) Zur Auffindung des Minimums den ersten Differentialquotienten gleich Null gesetzt, folgt: \frac{d\,S_1}{d\,x}={\zeta^\ast}_r\,\pi\,\frac{u}{F}-7\,\cdot\,B\,\left(\frac{a}{2}\right)^{\frac{7}{2}}\,\cdot\,x^{-\frac{9}{2}}=0, oder: {\zeta^\ast}_r\,\pi\,\frac{u}{F}\,\cdot\,x^{\frac{9}{2}}=1,14\,a^{\frac{7}{2}} somit: x=\left(\frac{0,364\,\cdot\,a^{\frac{7}{2}}}{{\zeta^\ast}_r\,\cdot\,\frac{u}{F}}\right)^{\frac{2}{9}} . . . . . 15) Für den Halbkreis als Kanalquerschnitt ist: \frac{u}{F}=\frac{4}{a},\ F=\frac{\pi}{8}\,a^2, somit wird dann: x=\left(\frac{0,364\,a^{\frac{9}{2}}}{4\,{\zeta^\ast}_r}\right)^{\frac{2}{9}}=\left(\frac{0,364}{4\,{\zeta^\ast}_r}\right)^{\frac{2}{9}}\,\cdot\,a=\left(\frac{0,091}{{\zeta^\ast}_r}\right)^{\frac{2}{9}}\ a =0,94\,\left(\frac{1}{{\zeta^\ast}_r}\right)^{\frac{2}{9}}\,\sqrt{F} . . . . . 16) Für den günstigsten rechteckigen Querschnitt (Seitenverhältnis x : y = 1 : 2) wird: F=\frac{a^2}{2},\ \frac{u}{F}=\frac{4}{a}, somit auch hier: x=\left(\frac{0,091}{{\zeta^\ast}_r}\right)^{\frac{2}{9}}\,\cdot\,a=0,83\,\left(\frac{1}{{\zeta^\ast}_r}\right)^{\frac{2}{9}}\,\cdot\,\sqrt{F} . 17) wobei aber nicht zu übersehen ist, dass a in Gleichung 16 für gegebenes F einen anderen Wert besitzt, wie a in Gleichung 17. Bevor die Versuchsangaben für ζ*r zu ganz bestimmten Werten für die günstigsten Krümmungshalbmesser benutzt werden, sind wir doch schon in der Lage allgemein zu sagen, dass unter sonst gleichen Umständen der rechteckige Kanal den kleineren Krümmungshalbmesser bedingt. Auf den ersten Blick sieht das vielleicht etwas befremdlich aus. Wenn wir aber überlegen, dass der rechteckige Querschnitt grössere Reibung als der Halbkreis verursacht, so ist einzusehen, dass beim Rechteck das Minimum für die Summe aus Krümmungs- und Reibungswiderstand früher als beim Halbkreis erreicht wird. Solcherart würde hinsichtlich des beanspruchten Platzes gewiss, wie schon für die Reibung bemerkt, der Rechteckskanal dem mit Halbkreis voranzustellen sein. Doch, was die Kleinheit der für die Ueberwindung der Nebenwiderstände verbrauchten Arbeit anbelangt, bleibt der Halbkreisquerschnitt allen anderen überlegen. Gehen wir auf besondere Fälle ein, unsere Versuchsresultate benutzend, so sehen wir auf den ersten Blick, dass für jeden Stoff, ja bei demselben Stoff für jede bestimmte Konzentration ein anderer günstigster Krümmungshalbmesser sich ergibt, woraus schon hier der Schluss zwingend folgt, dass nicht jeder (an und für sich noch so gut gebaute) Holländer für jeden Stoff gleich gut verwendbar, dass Spezialisierung zu empfehlen ist. Ein dunkles Gefühl mag allerdings manche Holländerkonstrukteure, manche Holländermüller bei der Arbeit geleitet habenVergl. z.B. Papierzeitung 1896, S. 194.. Allerdings verwischen sich die Unterschiede vielfach deshalb, weil in der Papiermacherpraxis Stoffmischungen die Regel bilden. Nehmen wir nur zwei besondere Fälle heraus. Nach Gleichung 9* ist ζ*r, für 3% Stoff (Cellulose) = 2,63, für 2% Stoff ist ζ*r = 1,17, wenn 0 = 0,1 m. Daraus ergibt sich der günstigste Krümmungshalbmesser im ersten Falle x = 0,48 a, im zweiten Falle x = 0,57 a, somit noch kennbar verschieden. Es ist das ja auch keineswegs unnatürlich, indem im ersten Falle der Reibungswiderstand (für gleiche Wege) weitaus grösser ist infolge höherer Konzentration, und daher mehr auf kleineren Weg zu sehen ist. Die verschieden hohe Stoffkonzentration und damit in der Regel langsames Fliessen sind es in erster Linie, welche diesen Krümmungshalbmesser stark beeinflussen, weil bei höheren prozentuellen Fasergehalten und kleinen Geschwindigkeiten ζ*r sehr rasch wächst. Aber erst bei den höheren Stoffgehalten werden die Verschiedenheiten in den verschiedenen Fasermaterialien etwas fühlbarer, weil wegen des Exponenten 2/9 in der Formel für den günstigsten Krümmungsradius nur grössere Unterschiede in dem Wert für ζ*r die Grösse von x merklich beeinflussen, wie die beiden ausgerechneten Beispiele unmittelbar erkennen lassen. Uebrigens lassen die beiden besonderen Werte für den günstigsten Krümmungshalbmesser deutlich erkennen, dass für die gewöhnlichen Fälle, so wie es die tastende Erfahrung herausgefunden und so wie es in einer ungeheueren Zahl von Holländerkonstruktionen wirklich gemacht wird, Krümmungshalbmesser näherungsweise gleich der halben Kanalweite, thatsächlich für die einfachen Fälle und die hohen Konzentrationen noch gut entspricht. Es ist eben das Glied mit A in ζ*r, welches die Krümmungsradien infolge ausserordentlichen Anwachsens des Reibungswiderstandes so sehr herabdrückt, wenn die Stoffgeschwindigkeit relativ niedrig ist. Damit ist aber auch ein Fingerzeig gegeben, um womöglich Abhilfe zu bringen, denn Abhilfe wäre mit Rücksicht auf die zu leistende Arbeit sehr zu wünschen. Infolge des kleinen Krümmungsradius ergibt sich nämlich an der inneren Seite des Kanals ein hohes relatives Gefälle und infolge desselben eilen die inneren Stoffpartien den aussen liegenden nicht bloss wegen des an der inneren Seite kürzeren Weges, sondern auch infolge bedeutend grösserer Geschwindigkeit ungemein vor, gelangen solcherart öfter unter die Walze, werden mehr zerschabt und die Folge ist ungleichmässiger Stoff, wenn nicht besondere Gegenmittel angewendet werden. Abhilfe scheint nun nach den vorliegenden Versuchen, wie schon kurz angedeutet, durch höhere Stoffgeschwindigkeit in der Krümmung erzielbar. Sei es, dass durch irgend eine mechanische Vorrichtung grössere Stoffgeschwindigkeit erzwungen wird, was bis zu einem gewissen Grade, wie bei der Betrachtung des Längenprofils dargethan werden soll, vorteilhaft sein kann, sei es, dass durch Verengung des Kanals in der Krümmung höhere Stoffgeschwindigkeit örtlich veranlasst werde. Darauf ist diezaghafte, in Fig. 2 bei LVergl. Max Schubert, Die Praxis der Papierfabrikation. Berlin 1898. punktiert angedeutete Abrundung zurückzuführen, wie auch die aus der Praxis gemachten Vorschläge, den Kanal aussen nicht nach einem Kreise, dessen Mittelpunkt am Ende der Trogscheidewand liegt, zu begrenzen, sondern etwa so, wie die Fig. 13Vergl. Papierzeitung, 1896 S. 194, dann Hofmann's Papierfabrikation z.B. und Dingler, S. 235 d. Bd., wo Ereky mit dem Anschein, thatsächlich aber ohne Begründung, diese alte Erfahrungsregel wiedergibt. erkennen lässt. Allerdings kann da nicht verhehlt werden, dass ein solcher Vorgang auch sein Bedenkliches hat, indem notgedrungen, um die grössere Geschwindigkeit in der Verengung herauszubringen, wenn sie auch allmählich gegen den Kanal, in welchem' sich die Fig. 13. Walze nicht befindet, vorgenommen wird, eine gewisse Anstauung vorher eintreten muss, wodurch das Seitenverhältnis im Querschnitt ins Ungünstige geändert, grösserer Reibungswiderstand hervorgerufen wird. Textabbildung Bd. 316, S. 494 Fig. 13. Gleichmässige Erhöhung der Stoffgeschwindigkeit bis an ein gewisses Mass, auf welches noch im folgenden zurückzukommen ist, dürfte somit das einzige Mittel sein, welches wirkliche Abhilfe bis zu einem gewissen Grade verspricht. Denken wir uns, es wäre möglich, die Stoffgeschwindigkeit auf 0,3 m zu bringen. Dann wird für die übrigen oben angegebenen Bedingungen der günstigste Krümmungsradius x = 0,77 a (3% Stoff), 0,92 a (2% Stoff). Diese Resultate sehen nun wesentlich günstiger aus. Es folgt dann an der Mittelwand auch schon ein ganz merklicher Bogen mit 0,27 bezw. 0,42 Kanalbreite Radius, somit auch kein so ausserordentlich grosses relatives Gefälle und damit im Zusammenhang nicht so rasches Voreilen der Fasern, welche in der Nähe der Mittelwand fliessen. (Fortsetzung folgt.)