Beitrag zur Beurteilung der Polytrope. Von Kurt Bräuer, Lehrer am Technikum Mittweida. Beitrag zur Beurteilung der Polytrope. In Wärmekraftmaschinen und Kompressoren geht die Zustandsänderung der Gase bekanntlich nach dem Poisson'schen Gesetz vor sich:Die Expansionslinien der Gasmotoren sind streng genommen allerdings Linien, die sich der Polytrope nähern. Für die Bedürfnisse der Praxis ist aber die Auffassung als polytropische Linie ohne Bedenken zulässig. p . vn= p1 . v1n . . . . . . 1) Die Grösse des Exponenten „n“ und damit der Charakter der Polytrope ist von äusseren Einflüssen abhängig, hauptsächlich von der Intensität des Wärmeaustausches zwischen Cylinderwandung und dem umgebenden Medium. Bei Kompressoren mit direkter Wassereinspritzung beeinflusst die Wärmeentziehung durch das Einspritzwasser die Grösse des Exponenten. Im folgenden soll nun die Polytrope der Explosionsmaschinen einer näheren Betrachtung unterzogen und ein Weg gezeigt werden, den Exponenten „n“ mit genügender Genauigkeit aus dem Diagramm zu bestimmen. Die bisher angewendeten Verfahren setzen voraus, dass der Kompressionsraum v1 bekannt ist. Das Wesentliche des von mir eingeschlagenen Weges ist in der Elimination von v1 bei der Bestimmung von „n“ zu erblicken. Es sei (Fig. 1): v0 das vom Kolben durchlaufene Volumen, v1 das Kompressionsvolumen, v = v0 + v1 das gesamte Arbeitsvolumen der Maschine, p der Anfangsdruck, p1 der Kompressionsdruck, p2 der Explosionsdruck, p3 der Auspuffdruck, nc der Exponent der Kompressionskurve, ne der Exponent der Expansionskurve, dann gilt für die Kompression: p\,\cdot\,v^{n_e}=p_1\,\cdot\,{v_1}^{n_e} . . . . . . 2) und für die Expansion: p_3\,\cdot\,v^{n_e}=p_2\,\cdot\,{v_1}^{n_e} . . . . . 2a) Von den in diesen Gleichungen vorkommenden Grössen sind bekannt bezw. aus dem Diagramm zu entnehmen: p, p1, p2 und p3. v1 dagegen muss experimentell oder rechnerisch bestimmt werden. Die rechnerische Ermittelung nach etwa vorhandenen Zeichnungen ist stets sehr unsicher, einesteils wegen der mehr oder weniger verwickelten Form des Kompressionsraumes, anderenteils weil die innere Form an der ausgeführten Maschine selten genügend genau mit der gezeichneten übereinstimmt. Allgemein wird der Inhalt des Kompressionsraumes durch Ausfüllen desselben mit Wasser ermittelt. Obgleich dieses Verfahren an sich einfach ist, so wird seine Genauigkeit oft wesentlich beeinträchtigt durch Bildung von Luftsäcken im Inneren der Maschine. Ferner hat dieses Verfahren den Nachteil, dass man zur Untersuchung von Diagrammen entweder an den Standort der Maschine gebunden ist, oder dass der Beurteilende, wenn er sich aneinem räumlich von der Maschine getrennten Ort befindet, sich auf die Zuverlässigkeit dritter Personen bei der Feststellung von „v1“ verlassen muss. Ich bin bei der Bearbeitung von Diagrammen schon des öfteren in der genannten Lage gewesen. Erst kürzlich sind mir von einer der ersten Gasmotorenfabriken, die mir Diagramme zur Bearbeitung überlassen hat, über das Verhältnis \frac{v_0}{v_1} Angaben gemacht worden, bei deren Zugrundelegung der Exponent der Kompression ne = 1,68 sich ergab. Dieses Resultat ist offenbar falsch. Bei den Versuchen r1 zu umgehen, bin ich auf ein Verfahren gestossen, das im folgenden entwickelt und begründet werden soll. Es sei noch (Fig. 1): Textabbildung Bd. 316, S. 501 Fig. 1. vx ein veränderlicher Teil des Ansaugvolumens, gemessen vom hinteren Hubende. px und p'x die zu v1 + vx gehörenden augenblicklichen Gasdrücke bei der Kompression und Expansion, dann ist für die Kompression: (v_1+v_x)^{n_e}\,\cdot\,p_x=(v_1+v_0)^{n_e}\,\cdot\,p . . . 3) und für die Expansion: (v_1+v_x)^{n_e}\,\cdot\,p'_x=(v_1+v_0)^{n_e}\,\cdot\,p_3 . . 3a) Die Grösse von p richtet sich nach der Art der Gemischzuführung. Erfolgt diese ohne wesentliche Drosselung des Luftzutritts, so ist p = 1 kg. Bei bedeutenderer Drosselung wird p < 1. Dieser Fall tritt zuweilen bei Maschinen ein, die mit flüssigen Brennstoffen arbeitenLuftdrosselung bei voll belasteter Maschine ist stets fehlerhaft und lässt auf schlechte Gemischbildung schliessen. (Benzin, Petroleum, Naphtha, Gasolin). Die Gleichungen 2 und 2 a lassen sich auch schreiben: \mbox{und }\left{{p\cdot (v_0+v_1)^{n_c}=p_1\,v_1^{n_c}}\atop{p_3\,(v_0+v_1)^{n_e}=p_2\,v_1^{n_e}}}\right\} \frac{v_0+v_1}{v_1}=\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}=\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}} \frac{v_0}{v_1}=\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1=\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1 v_1=\frac{v_0}{\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1}=\frac{v_0}{\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1} . . 4) Durch Verbindung der Gleichungen 3 und 3 a mit der Gleichung 4 erhält man für die Kompression: \left(\frac{v_0}{\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1}+v_x\right)^{n_e}\,\cdot\,p_x=\left(\frac{v_0}{\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1}+v_0\right)^{n_c}\,\cdot\,p und nach entsprechender Umformung: \frac{v_0}{v_x}=\frac{\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1}{\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1} . . . . . 5) für die Expansion: \left(\frac{v_0}{\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1}+v_x\right)^{n_e}\,\cdot\,p'_x=\left(\frac{v_0}{\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1}+v_0\right)^{n_e}\,\cdot\,p_3 und daraus: \frac{v_0}{v_x}=\frac{\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1}{\left(\frac{p_2}{{p_x}'}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1} . . . . . 5a) Logarithmiert man die Gleichungen 5 und 5a, so erhält man: log\,v_0-log\,v_x=log\,\left(\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1\right)-log\,\left(\left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1\right) für die Kompression und log\,v_0-log\,v_x=log\,\left(\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1\right)-log\,\left(\left(\frac{p_2}{{p_x}'}\right)^{\frac{1}{n_e}}-1\right) für die Expansion. Diese beiden Gleichungen sind in Bezug auf nc und ne transcendent, lassen sich also nur durch eine Näherungsmethode lösen. Es sei allgemein: log (px – 1) = xlogp – d . . . . α) Dabei ist „d“ die Differenz der Logarithmen zweier um eins verschiedener Zahlen. Diese Differenz ist, wie aus Gleichung α ersichtlich ist, abhängig vom Exponenten. Um aber überhaupt die Gleichung nach „n“ hin lösen zu können, muss zur Feststellung der Differenzen „d“ für „n“ vorher ein Mittelwert angenommen werden. Für die Berechnung der Tabellen I und II ist n = 1,2 gesetzt worden. Der mit diesem Mittelwert berechnete Näherungswert von „n“ wird zu klein sein, wenn n < 1,2 und zu gross, wenn n < 1,2 ist. Die Fehlerglieder sind für n = 0,9 bis n = 1,6 festgestellt und in der Tabelle III zusammengestellt. Die in dieser Tabelle angegebenen Werte müssen also zu den berechneten addiert werden, wenn der wirkliche Wert von n grösser als 1,2 ist, sie müssen subtrahiert werden, wenn n kleiner als 1,2 ist. Die dann erhaltenen Werte von „n“ weichen von den wirklichen nur sehr wenig ab, der Fehler beträgt etwa 1,5 %. Es ist also für die Kompression: \mbox{und }\left{{log\,\left(\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}-1\right)=\frac{1}{n_c}\cdot log\,\left(\frac{p_1}{p}\right)-d}\atop{log\,\left(\left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n_c}-1\right)=\frac{1}{n_c}\cdot log\,\left(\frac{p_1}{p_x}\right)-d_1}}\right\}\ \beta) und für die Expansion: \mbox{und }\left{{log\,\left(\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n_e}-1\right)=\frac{1}{n_e}\cdot log\,\left(\frac{p_2}{p_3}\right)-d'}\atop{log\,\left(\left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{1}{n_e}-1\right)=\frac{1}{n_e}\cdot log\,\left(\frac{p_1}{p'_x}\right)-d'_1}}\right\}\ \gamma) Mit Berücksichtigung der Gleichungen β und γ ergeben sich für nc und ne nachstehende Gleichungen; für die Kompression: log\,v_0-log\,v_x=\frac{1}{n_c}\,log\,\left(\frac{p_1}{p}\right)-d-\frac{1}{n_c}\,log\,\left(\frac{p_1}{p_x}\right)+d_1. \frac{1}{n_e}\,(log\,p_x-log\,p)=log\,v_0-log\,v_x+d-d_1. n_c=\frac{log\,p_x-log\,p}{log\,v_0-log\,v_x+d-d_1} . . . 6) und für die Expansion: log\,v_0-log\,v_x=\frac{1}{n_c}\,log\,\left(\frac{p_2}{p_3}\right)-d'-\frac{1}{n}\,log\,\left(\frac{p_2}{p'_x}\right)+d'_1 \frac{1}{n_e}\,(log\,p'_x-log\,v_3)=log\,v_0-log\,v_x+d'-d'_1 n_e=\frac{log\,p'_x-log\,p_3}{log\,v_0-log\,v_x+d'-d'_1} . . 6a) Die Werte von d sind aus der Tabelle I zu entnehmen, diejenigen von d1, d und d14 aus Tabelle II. Die oberste Grenze des Kompressionsdruckes sei p1 = 16 kg abs. angenommen, die unterste p1 = 4 kg abs. Mit höherer Spannung als 15 kg komprimieren auch die Kraftgasmotoren nicht, und eine niedrigere Kompression als 4 kg weisen auch die Maschinen nicht auf, die mit leichten Kohlenwasserstoffen arbeiten. Mit Abstufungen von 1 kg und n = 1,2 ergibt sich für „d“ die Tabelle: Tabelle I. \frac{p_1}{p} 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 \left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n}} 10,070 9,543 9,010 8,470 7,925 7,370 6,812 6,236 5,653 5,058 4,448 3,822 3,173 d 0,04543 0,04808 0,05110 0,05459 0,05854 0,06334 0,06893 0,07588 0,08451 0,09565 0,11063 0,13169 0,16439 Die Ausdrücke: \frac{p_1}{p_x},\ \frac{p_2}{p_3} und \frac{p_2}{p_x} können ausserordentlich viele, verschiedene Werte annehmen. Es ergeben sich also auch ebenso viele Differenzen d1, d' und d'1. Zur Ordnung und Sichtung derselben sind für \frac{p_1}{p_x}, \frac{p_2}{p_3} und \frac{p_2}{p'_x} Gruppen gebildet worden, in folgender Weise: \frac{p_1}{p_x} bezw. \frac{p_2}{p_3} bezw. \frac{p_2}{p'_x}= \frac{30}{28}\ \frac{30}{26}\ \frac{30}{24}\ \frac{30}{22}\ \frac{30}{20} bis \frac{30}{2} \frac{28}{26}\ \frac{28}{24}\ \frac{28}{22}\ \frac{28}{20} bis \frac{28}{2} \frac{26}{24}\ \frac{26}{22}\ \frac{26}{20} bis \frac{26}{2} \frac{24}{22}\ \frac{24}{20}\ \frac{24}{18} bis \frac{24}{2} \frac{22}{20}\ \frac{22}{18} bis \frac{22}{2} \frac{20}{18}\ \frac{20}{16} bis \frac{20}{2} \frac{18}{16}\ \frac{18}{14} bis \frac{18}{2} \frac{16}{15}\ \frac{16}{14}\ \frac{16}{13} bis \frac{16}{2} \frac{15}{14}\ \frac{15}{13} bis \frac{15}{2} | | | | bis \frac{4}{3}\ \frac{4}{2}. Nach Streichung der Wiederholungen ist von den übrig gebliebenen Quotienten die \frac{1}{n}\mbox{te} Potenz berechnet. Danach sind nach Massgabe der Gleichungen β und γ die Logarithmendifferenzen d1, d' und d'1 ermittelt worden. Diese Differenzen sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt.Diese kann somit zur Ermittelung der jeweiligen Werte von d, d' und d'1 benutzt werden. Die mit Hilfe der Tabellen I und II berechneten Werte von „n“ sind, wie schon erwähnt wurde, nicht genau richtig, sie sind entweder zu gross oder zu klein. Tabelle III enthält die Grössen, welche zu den berechneten addiert oder von diesen subtrahiert werden müssen. Die Anwendung der Tabellen werde an einem Beispiel erläutert. In einer Gasmaschine werde die Ladung auf 9 kg abs. mit dem Exponenten 1,38 komprimiert. An einer Stelle der Kurve sei px = 4 kg abs. Dann ist nach Gleichung 5 \frac{v_0}{v^x}=\frac{9^{\frac{1}{1,38}}-1}{\left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{1}{1,38}}-1}=\frac{3,915}{0,8} Nach Tabelle I ist für \frac{p_1}{p}=9\,:\,d=0,07588 „ „ II ist für \frac{p_1}{p_x}=2,25\,:\,d_1=0,30833, es ist also n_c=\frac{log\,p_x-log\,p}{log\,v_0-log\,v_x+d-d_1} =\frac{0,60206}{0,59274-0,09691+0,07588-0,30833} n_c=1,318. Nach Tabelle III liegt das Fehlerglied zwischen 0,042 und 0,048, also bei 0,045. Danach ist nc = 1,318 + 0,045 = 1,363. Der noch vorhandene Fehler ist also 1,38 – 1,363 = 0,017 oder ∾ 1,2%. Für die Praxis dürfte dieser geringe Fehler belanglos sein. Das analytische Verfahren ist bei fortgesetzter Bearbeitung von Diagrammen immerhin noch zeitraubend und entbehrt der Uebersichtlichkeit. Da sich die Gleichungen 6 und 6 a leicht graphisch darstellen lassen, so verdient diese Art der Bearbeitung entschieden den Vorzug. Tabelle II. \frac{p_1}{p_x} bezw. \frac{p_2}{p_3} bezw. \frac{p_2}{p'_x} 1,07 1,077 1,083 1,091 1,100 1,111 1,125 1,143 1,154 1,167 1,182 1,200 1,222 1,230 \left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{1}{n}} 1,0580 1,0640 1,0690 1,0750 1,0825 1,0916 1,1031 1,1181 1,1241 1,1373 1,1494 1,1640 1,1818 1,1882 d1 bezw. d' bezw. d'1 11,26104 1,22064 1,19010 1,156451 1,11803 1,07617 1,02935 0,97622 0,95804 0,91820 0,88613 0,85112 0,81294 0,80027 \frac{p_1}{p_x} bezw. \frac{p_2}{p_3} bezw. \frac{p_2}{p'_x} 1,250 1,273 1,286 1,300 1,333 1,363 1,375 1,400 1,428 1,444 1,450 1,500 1,555 1,571 \left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{1}{n}} 1,2043 1,2227 1,2331 1,2645 1,2710 1,2942 1,3040 1,3234 1,3455 1,3580 1,3628 1,4018 1,444 1,4570 d1 bezw. d' bezw. d'1 0,77046 0,73961 0,72345 0,67909 0,67110 0,64339 0,63223 0,61064 0,59044 0,57903 0,57475 0,54267 0,51194 0,50350 \frac{p_1}{p_x} bezw. \frac{p_2}{p_3} bezw. \frac{p_2}{p'_x} 1,600 1,625 1,667 1,714 1,750 1,780 1,800 1,833 1,857 1,875 2,000 2,143 2,167 2,200 \left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{1}{n}} 1,4680 1,4985 1,5300 1,5667 1,5940 1,6166 1,6307 1,6568 1,6746 1,6881 1,7801 1,8871 1,9045 1,9284 d1 bezw. d' bezw. d'1 0,49648 0,47798 0,46041 0,44165 0,42870 0,41859 0,41282 0,40184 0,39488 0,38976 0,35861 0,32782 0,32336 0,31749 \frac{p_1}{p_2} bezw. \frac{p_2}{p_3} bezw. \frac{p_2}{p'_x} 2,250 2,290 2,333 2,400 2,500 2,600 2,667 2,750 2,800 3,000 3,200 3,250 3,333 3,500 \left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{1}{n}} 1,965 1,9941 2,0255 2,0735 2,1452 2,2165 2,2640 2,3225 2,3580 2,4971 2,6350 2,6693 2,7262 2,8393 d1 bezw. d' bezw. d'1 0,30883 0,30232 0,29578 0,28529 0,27260 0,26056 0,25313 0,24458 0,23958 0,22219 0,20728 0,20390 0,19847 0,18856 Tabelle II (Fortsetzung). \frac{p_1}{p_x} bezw. \frac{p_2}{p_3} bezw. \frac{p_2}{p'_x} 3,667 3,750 4,000 4,333 4,500 4,667 5,000 5,333 5,500 6,000 6,500 7,000 7,500 8,000 \left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{1}{n}} 2,9250 3,0072 3,1740 3,3920 3,500 3,6083 3,8216 4,0326 4,200 4,4484 4,7550 5,0580 5,3558 5,6530 d1 bezw. d' bezw. d'1 0,17959 0,17558 0,16426 0,15169 0,14618 0,14095 0,13174 0,12378 0,11817 0,11063 0,10254 0,09565 0,08985 0,08451 \frac{p_1}{p_x} bezw. \frac{p_2}{p_3} bezw. \frac{p_2}{p'_x} 8,500 9,000 9,500 10,000 \left(\frac{p_1}{p_x}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p_3}\right)^{\frac{1}{n}} bezw. \left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{1}{n}} 5,9470 6,236 6,523 6,812 d1 bezw. d' bezw. d'1 0,07976 0,07588 0,07226 0,06893 Tabelle III. Berechneter Wertvon nc bezw. ne 0,959 1,047 1,088 1,126 1,164 1,2 1,234 1,255 1,274 1,289 1,308 1,332 1,351 1,379 1,411 1,473 Fehlerglied – 0,059 – 0,047 – 0,038 – 0,026 – 0,014 ± 0 + 0,016 + 0,025 + 0,026 + 0,041 + 0,042 + 0,048 + 0,059 + 0,071 + 0,089 + 0,127 Wirklicher Wert 0,9 1,0 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,28 1,3 1,33 1,35 1,38 1,41 1,45 1,5 1,6 Man setzt n = tgα und erhält dann für die Kompression: tg\,\alpha_c=\frac{log\,p_x-log\,p}{log\,v_0-log\,v_x+d-d_1} Textabbildung Bd. 316, S. 504 Fig. 2. und für die Expansion: tg\,\alpha_e=\frac{log\,p'_x-log\,p_3}{log\,v_0-log\,v_x+d'-d'_1} Das zu untersuchende Diagramm wird umgezeichnet, etwa auf eine Basis von 200 mm Länge und einen Kräftemassstab von 10 mm = 1 kg. Das Diagramm wird in zehn gleiche Teile geteilt. Setzt man v0= 10, so ist log v0 = 1 und jedes Intervall=\frac{1}{10}\,v_0. Zu jedem Intervall tragt man den zugehörigen Logarithmus als Ordinate auf und erhält auf diese Weise die logarithmische Linie 1 – 2. Die zwischen der Basis a5 und der Kurve liegenden Ordinaten stellen demnach an jeder Stelle den Wert log v0 – logvx dar. Man kann die Kurve 1 – 2 auch nach der negativen Seite auftragen, wobei zu bedenken ist, dass log\,\frac{1}{n}=-log\,n ist. Dann kann auch log v0 – log vx abgegriffen werden, wenn \frac{v_0}{v^x}\,<\,\frac{1}{10} ist. Die Logarithmen werden in demselben Massstab wie die Diagrammdrücke aufgetragen, also: log 10 = 100 mm. Das Expansionsvolumen wird infolge der meist schräg aufsteigenden Zündungslinie in der Regel kleiner sein, als das Hubvolumen. In diesem Fall legt man die ganze Kurve 1 – 2 um ein Intervall nach rechts, wie in Fig. 2 dargestellt ist. Das Expansionsvolumen wird dann in neun gleiche Teile geteilt. Auf der Ordinate „l“ wird log 9 = 95,424 mm abgetragen. Für die Untersuchung der Expansionskurve ist dann die Kurve 1' – 2 zu benutzen. Die zwischen der Kurve und der Basis a5 liegenden Ordinaten stellen den Wert log v0 – log vx für die Expansion dar. Senkrecht zur Diagrammbasis wird die Basis für die beiden logarithmischen Linien 5 – 6 und 7 – 8 angelegt. Die Drücke „p“ werden im Massstab der Diagrammdrücke und die dazu gehörigen Werte von log p in demselben Massstab aufgetragen. Auf diese Weise ergeben sich die beiden Kurven 5 – 6 und 7 – 8. Es ist nur eine der beiden Kurven notwendig, bequemer ist es aber, wenn beide verzeichnet werden. Zur Verzeichnung der Kurve 3 – 4, deren Ordinaten, von der Basis a5 aus gemessen, die Differenzen d, d1, d' und d'1 darstellen, verfährt man in folgender Weise. Die Werte: log p2 – log p3 und log p2 – log p'x werden in Fig. 2 dargestellt durch die Strecken m – n und o – t. Diese werden von 7 aus auf a5 abgetragen, so dass 7 – q = log p2 – log p3 und 7 – r = log p2 – log p'x wird. Ferner trägt man noch log p1 – log p von 7 aus auf. In den Endpunkten der einzelnen Strecken errichtet man Senkrechte, auf denen die zu \frac{p_2}{p_3}, \frac{p_2}{p'_x} und \frac{p_1}{p} gehörenden Differenzen d', d1' und d aufgetragen werden. Diese sind den Tabellen I und II zu entnehmen. Die mehrfache Wiederholung dieses Verfahrens ergibt eine Anzahl von Punkten, deren Verbindung die Differenzenkurve 3 – 4 ist. Die Ordinaten dieser Kurve geben mithin die Differenzen d, d1, d' und d1' an. Es empfiehlt sich, die Kurven 1 – 2, 1' – 2, 3 – 4, 5 – 6 und 7 – 8 genau auf Karton zu verzeichnen. Der Massstab ist beliebig, je grösser, desto besser. Die zu untersuchenden Diagramme werden auf Pauspapier- oder Leinwand gezeichnet, so auf den Karton gelegt, dass die Anfangsordinaten des Diagramms und des Kartons und die atmosphärische Linie des ersteren sich mit der Geraden a – 5 des letzteren genau deckt. Darauf kann die Bearbeitung auf graphischem Wege erfolgen. Textabbildung Bd. 316, S. 505 Fig. 3. Textabbildung Bd. 316, S. 505 Fig. 5. Soll z.B. der Exponent „ne“ der Expansion von A bis B (Fig. 2) festgestellt werden, so geschieht dieses in folgender Weise: Textabbildung Bd. 316, S. 505 Fig. 4. Man zieht A – s und B – t, dann ist m – n = log p2 – log p3 = 7 – q und o – t = log p2 – log p'x = 7 – r. log p'x – log p3 = 5 –ω wird von 5 aus auf a – 5 abgetragen. Auf der Senkrechten in 5 trägt man die Strecken (d – p) + (q – u) ÷ (r – v) = log v0 – log vx + d' – d1' ab. Durch Ziehen der entsprechenden Senkrechten und Wagerechten wird der Punkt β ermittelt. In gleicher Weise legt man die Punkte γδεζη und ϑ fest. Wenn „ne“ konstant ist, liegen alle diese Punkte auf einer Geradendurch den Punkt 5. Allgemein wird dieses aber nicht der Fall sein; man hat deshalb eine Gerade durch 5 so zu ziehen, dass die gefundenen Punkte möglichst wenig und möglichst nach beiden Seiten gleichmässig abweichen. Die trigonometrische Tangente des von dieser Geraden und der Senkrechten durch den Punkt 5 eingeschlossenen Winkels a ist der berechnete Mittelwert des Exponenten ne. Diesen Wert verbessert man nach Massgabe der Tabelle III. Die korrigierten „n“-Werte kann man vorteilhaft gleich auf den Karton abtragen, so dass sich der thatsächliche Wert von ne ohne weiteres durch Ziehen der entsprechenden Geraden durch Punkt 5 ergibt (Fig. 2). Sollte die Entzündungslinie so schräg aufsteigen, dass das Expansionsvolumen kleiner wird als \frac{9}{10}\,v_0, so ist die Kurve 1' – 2 abermals um 1 Intervall =\frac{1}{10}\,v_0  weiter nach rechts zu verschieben. Das Expansionsvolumen wird alsdann in acht gleiche Teile geteilt. In die Originaldiagramme werden bei diesem Verfahren nur die zur Umzeichnung nötigen Ordinaten eingetragen (event. kann man diese auch durch Zirkelstiche markieren), sonst aber keinerlei Linien. Die Diagramme behalten also ihre ursprüngliche Klarheit. Das ist wichtig, denn ein Diagramm ist gewissermassen eine Urkunde, die über die sich im Inneren der Maschine abspielenden Vorgänge Aufschluss gibt; es sollte also stets von allen Eintragungen, die seine Klarheit und Uebersichtlichkeit beeinträchtigen, verschont bleiben. Beim Indizieren von Explosionsmaschinen ist eine zweckmässige Auswahl des Indikators' von besonderer Wichtigkeit. Das Gewicht des Schreibzeugs muss so gering wie irgend möglich sein, dabei aber eine bedeutende Festigkeit besitzen. Besonders Maschinen, die mit hohen Kompressionsgraden arbeiten, sollten nur mit Spezialinstrumenten indiziert werden. Ein verhältnismässig schweres Indikatorgestänge ergibt für den Hubanfang eine Expansionslinie, die sehr bedeutend von der thatsächlichen abweicht; die Werte von „ne“ werden anfangs zu gross. Diese Thatsache kann man öfters beobachten. Die Spezialindikatoren von Crosby dürften wegen ihrer eigenartigen Geradführung, der besonderen Konstruktion der Feder und des damit erreichten geringen Gestängegewichtes vor anderen Instrumenten den Vorzug verdienen. – Die Ermittelung der Exponenten nc und ne ermöglicht auch die Feststellung der Temperaturkurven für Kompression und Expansion und damit die Beurteilung der Wärmeausnutzung in einer Maschine nach einem vorliegenden Indikatordiagramm. Es sei noch: Ta die absolute Anfangstemperatur des Prozesses, T1 die      „        Kompressionstemperatur, Tx eine beliebige absolute Zwischentemperatur, px der zu dieser Temperatur gehörende Druck, T2 die absolute Explosionstemperatur, T3 die       „      Auspufftemperatur, T'x eine beliebige absolute Zwischentemperatur, p'x der zu dieser Temperatur gehörende Druck, p, p1p2 und p3 haben dieselbe Bedeutung wie oben. Textabbildung Bd. 316, S. 506 Fig. 6. Dann ist für die Kompression: \frac{T_a}{T_x}=\left(\frac{p}{p_x}\right)^{\frac{n_c-1}{n_c}} . . . . . . 7) oder log\,T_x=log\,T_a+\left(1-\frac{1}{n_c}\right)\,(log\,p_x-log\,p). Setzt man Tx = 1, also log Ta = 0, so ist mit p = 1 kg abs.: log\,T_x=\left(1-\frac{1}{n_c}\right)\,log\,p_x . 8) Für die Expansion erhält man entsprechend: \frac{T_2}{T'_x}=\left(\frac{p_2}{p'_x}\right)^{\frac{n_e-1}{n_e}} . . 9) oder log\,T'_x=log\,T_2-\left(1-\frac{1}{n_e}\right)\,(log\,p_2-log\,p'_x). Setzt man auch hier T2 = 1, so lässt sich die Gleichung schreiben: log\,T'_x=-\left(1-\frac{1}{n_e}\right)\,(log\,p_2-log\,p'_x) 10) Die Gleichungen 8 und 10 lassen sich nun leicht darstellen. Die Darstellung ergibt zu jedem beliebigen Druckbar bezw. p'x den zugehörigen Wert von Tx bezw. T'x bezogen auf Ta bezw. T2 = 1. Ueberträgt man die gefundenen „T“-Werte auf die betreffenden Ordinaten, so ergibt sich eine Reihe von Punkten, deren Verbindung zwei Kurven ergeben, die in ihrem Verlaufe ein Bild der Temperaturänderungen darstellen. In Fig. 3 ist dieses Verfahren dargestellt und in Fig. 2 mit dem oben beschriebenen vereinigt veranschaulicht. Ueber der Basis der logarithmischen Linien 5 – 6 und7 – 8 werden die logarithmischen Kurven 9 – 10 und 11 – 12 verzeichnet. Zweckmässig wird die Einheit 100 mm lang gemacht. Vom Punkt 13 aus wird auf der Pasis der Wert von „nc“ bezw. „ne“ aufgetragen. Ist „n“ z.B. 1,25, so werden 125 mm aufgetragen. Darauf wird die Ordinate log nc bezw. log ne gezogen und auf den negativen Zweig der logarithmischen Linie projiziert. Der Schnittpunkt 15 wird auf die Basis projiziert, wodurch auf dieser die Strecke 13-14=\frac{1}{n_c} bezw. \frac{1}{n_e} abgeschnitten wird. Folglich ist die Strecke 14-5=1-\frac{1}{n_c} bezw. 1-\frac{1}{n_e}. Trägt man auf einer Senkrechten im Punkte 14 die Grössen logpx (nach links) bezw. log p2 – logp'x (nach rechts) auf, so wird log Tx bezw. log T'x dargestellt durch Rechtecke mit den Seiten 1-\frac{1}{n_c} und logpx bezw. 1-\frac{1}{n_e} und logp2 – logp'x. Um diese Werte linear darzustellen, müssen die Rechtecke in bekannter Weise in solche mit der Basis 1 umgewandelt werden. Alsdann werden durch die Höhen der umgewandelten Rechtecke die Werte von log Tx bezw. log T'x angegeben und zwar im Massstab 100 : 1. Durch Punkt 13 zieht man eine Parallele zur atmosphärischen Linie des Diagramms, trägt auf dieser vom Punkt 13 aus nach links die Werte logpx, nach rechts diejenigen von logp2 – logp'x. Die Endpunkte dieser Strecken verbindet man mit dem Punkt 5. Die Verbindungsgraden schneiden auf der Senkrechten in 14 Strecken ab, die von 14 aus gemessen die Grössen log Tx (links positiv) bezw. log Tx (rechts negativ) im Massstab 100 : 1 abschneiden. Projiziert man die Werte log Tx auf den positiven Zweig der Kurve, so ergibt sich der zugehörige Numerus, d.h. Tx (von der Geraden durch 13 aus gemessen). In gleicher Weise ergibt sich der Wert T'x durch Projektion von log T'x auf den negativen Zweig der logarithmischen Linie. Durch Projektion der gefundenen Werte auf die zugehörigen Ordinaten des Diagramms ergeben sich die Kurven der absoluten Temperaturen für die Kompression und Expansion (siehe Fig. 5). Es ist zu beachten, dass die Massstabe für die Ordinaten der beiden Kurven verschieden sind. Textabbildung Bd. 316, S. 506 Fig. 7. Bei Kompressoren, die mit direkter Wassereinspritzung arbeiten, kommt es vor, dass die Kühlung so energisch ist, dass der Exponent der Polytrope unter 1 sinkt. Es ist dann in der Gleichung T_x=T\,\cdot\,\left(\frac{p_x}{p}\right)^{\frac{n_c-1}{n_e}} der Exponent negativ. Man kann diese Gleichung aber auch schreiben: T_x=T\,\cdot\,\left(\frac{p}{p_x}\right)^{\frac{1-n_e}{n_c}} . . . . .  11) Textabbildung Bd. 316, S. 507 Fig. 8. und log\,T_x=log\,T+\left(\frac{1}{n_c}-1\right)\,log\,p-log\,p_x oder mit T = 1 und p = 1: log\,T_x=-\left(\frac{1}{n_c}\right)\,log\,p_x . . 12) Das Verfahren zur Ermittelung von Tx ist in Fig. 4 dargestellt und bedarf nach dem Vorangegangenen keiner weiteren Erklärung. Auf Grund des angegebenen Verfahrens sind in den Fig. 5 bis 8 die Exponenten und Temperaturkurven einiger Diagramme von Motoren und in den Fig. 9 und 10 die Kurven zweier Kompressordiagramme dargestellt. Fig. 5 ist das Diagramm eines Leuchtgasmotors der Firma Gebrüder Körting in Körtingsdorf bei Hannover. Der Motor hat einen Cylinderdurchmesser von 175 mm, 300 mm Hub und macht 224 bis 226 Umdrehungen. Die Entzündung der Ladung erfolgt durch einen automatischen Glühzünder. Textabbildung Bd. 316, S. 507 Fig. 9. Fig. 6 stellt das Diagramm eines Kraftgasmotors derselben Firma dar von gleichen Abmessungen wie der oben erwähnte Leuchtgasmotor. Der Motor arbeitet mit elektrischer Zündung. Indieser Figur ist die Kompressionskurve gestrichelt eingetragen, wie sie nach dem festgestellten Mittelwerte von ne wirklich verlaufen würde. Die wirkliche Kurve stimmt mit der Kontrollkurve sehr gut überein. Das Verfahren zur Ermittelung von n ergibt also genügend genaue Werte. Zur Verzeichnung der Kontrollkurve ist das von Prof. Hartmann aufgestellte Verfahren angewendet wordenGleichzeitige Bestimmung der Polytrope und Charakteristik für ein aufgenommenes Indikatordiagramm. Z. 1895, S. 194., nachdem vorher die Grösse von v1 bestimmt worden ist nach der Gleichung: \frac{v_0}{v_1}-\left(\frac{p_1}{p}\right)^{\frac{1}{n_c}}-1. In Fig. 7, dem Diagramm eines Körting'schen Benzinmotors mit elektrischer Zündung, ist ebenfalls das Hartmann'sche Verfahren zur Kontrolle des Expansions- und Kompressionsexponenten angewendet worden. Die Kontrollkurven sind gestrichelt eingetragen; sie schliessen sich den wirklichen gut an. Bemerkenswert ist der niedrige Exponent (0,9) der Kompression. Die Verbrennungsluft wird bei diesem Motor durch die Auspuffgase stark vorgewärmt, infolgedessen macht sich der Einfluss der kühlen Cylinderwandungen hier ganz besonders stark bemerkbar. Textabbildung Bd. 316, S. 507 Fig. 10. Fig. 8 zeigt das Diagramm eines stehenden Petroleummotors der Firma J. M. Grob und Co. in Leipzig-Eutritzsch. Die Maschine arbeitet mit Vergaserzündung. Die Zündung erfolgt automatisch. Der Exponent der Expansion ist mit ne = 1,35 wesentlich grösser, als in den vorhergehenden Diagrammen. Im wesentlichen ist diese Erscheinung wohl auf den bedeutend grösseren Kompressionsraum und der geringeren Kolbengeschwindigkeit zuzuschreiben. Das Diagramm Fig. 9 ist einem Kompressor entnommen, der mit Mantelkühlung arbeitet, während Diagramm Fig. 10 einer Maschine entstammt, die ausserdem noch Einspritzkühlung hat. Der intensivere Einfluss der letzteren ist sehr markant in dem Verlauf der Temperaturkurve ausgeprägt. Zum Schluss sei noch bemerkt, dass für sämtliche dargestellten Diagramme der Federmassstab 3,33 mm = 1 kg gewählt worden ist.