Berechnung der Dampfmaschinen. Von Emil Herrmann, königl. ungar. Oberbergrat in Schemnitz. (Schluss von S. 517 d. Bd.) Berechnung der Dampfmaschinen. IV. Berechnung der Woolf'schen Maschine. Wir setzen voraus, dass die Kurbeln des Hoch- und Niederdruckcylinders entweder 0 oder 180 einschliessen. Es können die zwei Cylinder, wie dies meist der Fall ist, auch hintereinander angeordnet sein. Zwischen den Cylindern ist der Receiver eingeschaltet und der Niederdruckcylinder hat seine besondere Steuerung. Es sei: V die Hubeskapazität des Hochdruckcylinders; vV dessen schädlicher Raum; Va = mV die Hubeskapazität des Niederdruckcylinders; αVa dessen schädlicher Raum; R das Volumen des Receiver, den schädlichen Raum des Hochdruckcylinders mit eingerechnet; φr das reduzierte Füllungsverhältnis des Hochdruck- und y jenes des Niederdruckcylinders. Behufs Ermittelung der Arbeit während eines Schubes gehen wir von den Diagrammen der beiden Cylinder aus (Fig. 3). Die absolute Arbeit des frischen Dampfes im Hochdruckcylinder ist durch die Fläche AbcdB gegeben. Textabbildung Bd. 316, S. 536 Fig. 3. φr bedeutet auch hier das reduzierte Füllungsverhältnis des Hochdruckcylinders, aus welchem das wahre Füllungsverhältnis \varphi=\frac{\varphi_r+v}{1+v} (Gleichung 12). Diesem entsprechend findet man in der Tabelle I oder II (je nachdem die Maschine mit oder ohne Dampfmantel ist) den Wert von ψ und ϑ. Damit ergibt sich die absolute Dampfarbeit nach Abzug des Verlustes, verursacht durch den schädlichen Raum L1 = p1V (ψ [1 + v] . . . . 27) und die Endspannung p 2 = p 1 ϑ. Wenn die Kolben sich in der Stellung Aab befinden, kommuniziert sowohl die Gegendampfseite des Hochdruckcylinders, als auch die Arbeitsseite des Niederdruckcylinders mit dem Receiver, die gemeinschaftliche Spannung muss bei Maschinen ohne Spannungsabfall der Endspannung des frischen Dampfes gleich sein. Das Volumen des Receiverdampfes ist demnach V_1=V+R+\alpha\,V_a=V\,\left(1+\frac{R}{V}+\alpha\,m\right). Der Receiver reguliert die Spannungen des Dampfes so, als ob sein Volumen bedeutend grösser wäre, als es thatsächlich ist. Die Ursache dafür glaube ich darin zu finden, dass nicht nur die Wände des Receivers, sondern auch das im Receiver angesammelte Wasser an der Wärmebewegung des Dampfes teilnehmen. Ich habe gefunden, dass man sich der Wirklichkeit sehr nähert, wenn man das Verhältnis \frac{R}{V} um eins grösser nimmt, als es sich vermöge des Receivervolumens ergeben würde. In den nachstehenden Formeln bedeutet deshalb \varrho=\frac{R}{V}+1 . . . . . . 28) Die Kolben bewegen sich dann bis in die Stellung ee0. Dabei beschreibt der Kolben des Hochdruckcylinders das Volumen yV, jener des Niederdruckcylinders aber yVa. Ersteres verringert, letzteres vermehrt das Volumen des Receiverdampfes. Sein Endvolumen ist also V2= V (1 – y) + R + (y + α) Va, und da yVa = ymV > yV ist, expandiert der Dampf. Die Volumenvermehrung beträgt V2– V1= Ve= y (m – 1) V. Das wahre Füllungsverhältnis ist \varphi_3=\frac{V_1}{V_2}=\frac{1+\varrho+\alpha\,m}{1+\varrho+\alpha\,m+y\,(m-1)} . . 29) Ist dieses bekannt, dann findet man in der Tabelle I bezw. II den Expansionskoeffizienten λ3 und das Verhältnis ϑ3. Die Spannung des Receiverdampfes in der Kolbenlage ee0 ist p3= p2ϑ3 . . . . . . . 30) und die Arbeitsleistung des Receiverdampfes, da p2 die Anfangsspannung ist, nach Gleichung 8 L2= p2Vy (m – 1) λ3 . . . . 31) Bei dieser Kolbenstellung wird die Einströmung in den Niederdruckcylinder von seite des Receivers abgeschlossen. Infolgedessen komprimiert der Hochdruckkolben den Dampf in seinem Cylinder und im Receiver. Die Kompression wird so weit getrieben, dass im Receiver wieder die Spannung p2 wird. Das Volumen des Dampfes in der Stellung ee0 ist (1 – y) V + R, nach der Kompression bei der Kolbenstellung ff0 uV + R. Die Kompression kann man als eine umgekehrte Expansion betrachten, man muss demnach die bei der Expansion geleistete Arbeit negativ in Rechnung ziehen. Für die Expansion ist das Anfangsvolumen V 1 = uV + R und das Endvolumen V2 = (1 – y)V + R. Das Expansionsvolumen ist somit Ve= V2– V1 = (1 – y – u) V. Das Füllungsverhältnis \varphi_4=\frac{V_1}{V_2}=\frac{u+\varrho}{1-y+\varrho} . . . . 32) Mittels dieses erhält man aus Tabelle I bezw. II den Wert von ϑ4 und λ4. Weil in der Stellung ff0 wieder p2 erreicht sein soll, muss \frac{p_3}{\vartheta_4}=p_2 sein. Mit Bücksicht auf die Gleichung 30 folgt \frac{p_2\,\vartheta_3}{\vartheta}=p_2, d.h. es muss ϑ3 = ϑ4 sein. Dies ist nur dann möglich, wenn auch φ3 = φ4 ist. Setzt man in diese letzte Bedingung die Werte von φ3 und φ4 (Gleichung 29 und 32) ein, dann ist \frac{1+\varrho+\alpha\,m}{(1+\varrho+\alpha\,m)+y\,(m-1)}=\frac{u+\varrho}{1-y+\varrho}. Hieraus lässt sich y bestimmen. \mbox{und }\left{{y=\frac{(1+\varphi+\alpha\,m)\,(1-u)}{1-u+m\,(\rho+\alpha+u)}}\atop{\varphi_3=\varphi_4=\frac{u+\varphi}{1+\varphi-y}}}\right\}\ .\ .\ .\ 33) Den Arbeitsverbrauch für die Kompression berechnen wir so wie für die Expansion, sie wird L3= – p2Veλ3= – p2V (1 – y – u) λ3 . 34) Bei der Kolbenstellung ff0 wird der Ausströmungskanal des Hochdruckcylinders auch abgeschlossen, so dass der Gegendampf in dem schädlichen Raume komprimiert wird. Das Füllungsverhältnis ist wie bei der Eincylindermaschine \varphi_c=\frac{v}{v+u} und die Kompressionsarbeit nach Gleichung 17, jedoch mit Rücksicht darauf, dass die Spannung am Anfange derselben nicht pg sondern p2 ist L_4=-p_2\,u\,V\,\frac{\lambda_c}{\vartheta_c} . . . . . 35) Im Niederdruckcylinder, welcher bei der Kolbenstellung ee0 vom Receiver abgesperrt wurde, expandiert der darin enthaltene Receiverdampf. Das Anfangsvolumen ist V1= (α + y) Va, das Endvolumen V2 = (α + 1) Va, das Füllungsverhältnis \varphi_5=\frac{y+\alpha}{1+\alpha} . . . . . . 36) das Expansionsvolumen Ve = V2 – V1 = (1 – y) Va = (1 – y) mV. Die Anfangsspannung ist p3, somit die Expansionsarbeit \mbox{und die Endspannung }\left{{L_5=p_3\,(1-y)\,m\,V\,\lambda_5}\atop{p_5=p_3\,\vartheta_5=p_2\,\vartheta_3\,\vartheta_5=p_1\,\vartheta\,\vartheta_3\,\vartheta_5}}\right\}\ .\ .\ 37) Die Gegendampfspannung im Niederdruckcylinder ist nach Gleichung 13 oder 14 zu berechnen, nur hat man p2 mit p5 zu vertauschen, erhält also a) für die Kondensmaschine pg = 0,125 + 0,2 p5 . . . . 38 a) b) für die Auspuffmaschine p_g=1,033+\frac{(p_5+1)^2}{200} . . . . 38 b) Gewöhnlich lässt man den Gegendampf im Niederdruckcylinder am Ende des Hubes auch os weit komprimieren, dass seine Spannung im schädlichen Raume nahezu p2 werde. Man findet das Füllungsverhältnis \varphi_a=\frac{\alpha}{\alpha+u_a} und p_a=\frac{p_g}{\vartheta_a}. Der Arbeitsverbrauch durch den Gegendampf beträgt nach der entsprechend modifizierten Gleichung L_6=-p_g\,m\,V\,\left(1-u_a+u_a\,\frac{\lambda_a}{\vartheta_a}\right) . . 39) Die indizierte Arbeit eines Schubes ist die Summe der Ausdrücke 27, 31, 34, 35, 37 und 39. L_i=V\,p_1\,(\psi\,[1+v]-v)+p_2\,y\,V\,(m-1)\,\lambda_3+p_2\,V\,(1-y-u)\,\lambda_3 -V\,u\,p_2\,\frac{\lambda_c}{\vartheta_c}+p_3\,V\,(1-y)\,m\,\lambda_5-p_g\,m\,V\,\left(1-u_a+u_a\,\frac{\lambda_a}{\vartheta_a}\right). Dabei ist aber der Unterschied, welcher zwischen der Spannung im Hoch- und Niederdruckcylinder auch dann besteht, wenn beide mit dem Receiver kommunizieren, noch nicht berücksichtigt, und die Arbeit infolgedessen zu gross. Der Unterschied rührt daher, dass einerseits der Dampf aus dem Hochdruckcylinder durch einen verengten Kanal in den Receiver, andererseits der Receiverdampf wieder durch einen verengten Kanal in den Niederdruckcylinder fliesst, was immer einen gewissen Spannungsverlust bedingt. Es wird dieser Verlust jedenfalls von der Kolbengeschwindigkeit und den Querschnittsverhältnissen der Kanäle abhängen, müsste daher in jedem Falle besonders geschätzt werden. Zum Glück kann man hier nicht viel fehlen und annehmen, dieser Spannungsverlust betrage rund 10 %. Diesem Umstände kann man leicht dadurch Rechnung tragen, dass man in obigem Ausdrucke für die indizierte Arbeit mit Ausnahme derjenigen Glieder, welche mit der Gegenspannung pg multipliziert erscheinen, statt m schreibt mζ, wobei nach dem Vorhergesagten ζ = 0,9 ist. Man kann ferner die Glieder, welche von m frei sind, von jenen trennen, welche m enthalten, dadurch erhält man zugleich die indizierte Arbeit der zwei Cylinder gesondert. Dividiert man die Summe der Glieder ohne m durch V, die Summe der mit m behafteten Glieder aber durch mV, dann erhält man (p), die Nutzspannung des Hochdruck- bezw. (pm) des Niederdruckcylinders. Es ergibt sich \left{{p=p_1\,(\psi\,[1+v]-v)-p_2\,\left([1-u]\,\lambda_3+u\,\frac{\lambda_c}{\vartheta_c}\right)}\atop{p_m=\zeta\,p_2\,\lambda_3\,(y+\lambda_5\,[1-y])-p_g\,\left(1-u_a+u_a\,\frac{\lambda_a}{\vartheta_a}\right)}}\right\}\ 40) Die indizierte Arbeit eines Schubes ist dann Li = V (p + mpm). Beziehen sich die Grössen F (Fläche des Kolbens in Quadratcentimeter) und c (Kolbengeschwindigkeit in Meter) auf den Hochdruckcylinder, wogegen Ni die von der Maschine geleisteten indizierten Pferdekräfte bedeutet, dann ist nach Gleichung 19 N_i=\frac{F\,(p+m\,p_m)\,c}{75} . . . . . 41) Den Durchmesser des Hochdruckcylinders findet man nach Gleichung 20 D=\sqrt{\frac{95,5\,N_i}{(p+m\,p_m)\,c}+d^2}. Die Dimensionen des Niederdruckcylinders ergeben sich aus der Bedingung V a = mV. Zumeist ist der Hub der zwei Cylinder derselbe, dann wird die wirksame Kolbenfläche Fa des Niederdruckcylinders Fa = mF oder D_a=\sqrt{m\,(D^2-d^2)+{d_a}^2}. Wie man sieht, bedeutet Da den Cylinder- und da den Kolbenstangendurchmesser des Niederdruckcylinders. Der stündliche Dampf verbrauch für 1 PS ergibt sich aus dem Füllungsverhältnisse des Hochdruckcylinders wie bei der Eincylindermaschine und der nützlichen Spannung g_i=\frac{\mu\,\xi\,\kappa\,\gamma}{p+m\,p_m}\,\left(1+v-\frac{0,9\,v\,p_c}{\varphi\,p_1}\right) . . 42) Einige Schwierigkeit bietet die Beurteilung des Koeffizienten μ, welcher die Kondensation im Mantel berücksichtigt. Wird nur der Hochdruckcylinder geheizt, dann ist μ, dem Füllungsverhältnisse φ dieses Cylinders entsprechend, der Tabelle IV zu entnehmen. Wird nebst dem Hochdruckcylinder auch der Receiver und der Niederdruckcylinder durch den frischen Dampf geheizt, ist also die Ummantelung eine vollständige, dann hat man μ, dem gesamten Füllungsverhältnisse φm entsprechend, der Tabelle IV zu entnehmen. Das Verhältnis φm erhält man, wenn man das durch den frischen Dampf erfüllte Volumen (1 + v) Vφ = (φr + v)V durch das Volumen des Niederdruckcylinders Va (1 + α) = Vm (1 + α) dividiert, demnach ist \varphi_m=\frac{\varphi\,(1+v)}{m\,(1+\alpha)}=\frac{\varphi_r+v}{m\,(1+\alpha)} . . 43) Manchmal wird der Receiver und Hochdruckcylinder geheizt, der Niederdruckcylinder aber nicht. Dann kann man das Füllungsverhältnis, welchem entsprechend μ zu nehmen ist, ungefähr φ 1 = φ + φ m setzen. Die Werte ϑ, λ, ψ wird man selbstverständlich der Tabelle I oder II entnehmen, je nachdem der betreffende Cylinder geheizt ist oder nicht. Oft verlangt man, dass bei dem normalen, der Berechnung zu Grunde gelegten Füllungsverhältnisse des Hochdruckcylinders die zwei Cylinder gleiche oder wenigstens sehr nahe gleiche Arbeitsleistungen haben sollen. In diesem Falle wählt man sowohl m als auch ϱ, lässt aber das Füllungsverhältnis des Hochdruckcylinders unbestimmt. Man kann dann alle Grössen, welche in den Ausdrücken 40 vorkommen, berechnen, mit Ausnahme von ψ, ϑ, p2 und pg. Wir schreiben in den betreffenden Ausdrücken p 2 = ϑp 1 und setzen für pg dessen Wert ein, bei Kondensmaschinen z.B. pg = 0,125 + p2 0,2 ϑ3ϑ5 . . . . 44) Nun kann man die Ausdrücke 40 durch p1 dividieren und erhält aus der Bedingung p = mpm die Gleichung ψ=αϑ + β, worin a und β reine Zahlen sind. Die Auflösung kann nur probeweise mit Benutzung der Tabelle I bezw. II erfolgen. Je grösser das Cylinderverhältnis m, desto kleiner wird das Füllungsverhältnis φ des Hochdruckcylinders, wenn beide Cylinder gleiche Leistung haben sollen. Das nachstehende Beispiel zeigt das Verfahren. Bei einer Tandemmaschine mit Kondensation und vollständiger Ummantelung sei p1 = 8,5, m = 2, v = α = 0,03, u = 0,09, ua = 0,12, das wirkliche Volumen des Receivers = V, daher nach Gleichung 28 \varrho=\frac{V}{V}+1=2. Setzt man diese Werte in die Gleichung 33, dann erhält man y = 0,54, φ3 = φ4 = 0,85 und aus Tabelle I ϑ3 = ϑ4 = 0,865, λ3 = λ4 = 0,929. Nach Gleichung 36: φ5 = 0,554, ϑ5 = 0,602, λ5 = 0,769. Nach Gleichung 16: φc = 0,25, ϑc = 0,305, λc = 0,521, φa = 0,20, ϑa = 0,25, λa = 0,462. Mit diesen Werten ergibt sich nach Gleichung 40: p = p1 (1,03 ψ – 0,03) – p2, pm = 0,747 p2 – 1,102 pg Nach Gleichung 44: pg = 0,125 + 0,104 p2. Diese Werte in die Bedingung p = mpm eingesetzt, wird: p1 (1,03 ψ – 0,03) – p2 = 2 (0,632 p2 – 0,138), mit p1 = 8,5 dividiert 1,03 ψ – 0,03 = 2,264 ϑ – 0,0325 oder ψ + 0,0024 = 2,198 ϑ. Mit Rücksicht auf die Differenzen in der Tabelle I erhält man für φ = 0,22 + Δφ 0,6024 + 0,014 . 100 Δφ = 0,598 + 0,0242 . 100 Δφ 100\,\Delta\,\varphi=\frac{0,0044}{0,0102}=0,4, d.h. Δφ = 0,004, somit φ = 0,224, ψ = 0,624, ϑ = 0,277. Diese Werte in die Ausdrücke für p und pm eingesetzt, gibt p = 8,5 (1,03 . 0,624 – 0,03 – 0,277) = 2,695, p 2 = 0,277 . 8,5 = 2,355, p m = 0,747 . 2,355 – 1,102 pg, p g = 0,125 – 0,104 . 2,355 = 0,370, p m = 1,351, somit mpm = 2,702. Den Unterschied zwischen p und mpm zu korrigieren, wäre reiner Ueberfluss. Die gesamte Nutzspannung ist, auf den Kolben des Hochdruckcylinders reduziert, 2,695 + 2,702 = 5,397. Die Kompressionsspannung im Hochdruckcylinder p_c=\frac{p_2}{\vartheta_c}=\frac{2,355}{0,305}=7,72. Behufs Ermittelung des Dampfverbrauches nehmen wir die Kolbengeschwindigkeit c = 1,8 m. Das totale Füllungsverhältnis nach Gleichung 43 \varphi_m=\frac{0,224\,\cdot\,1,03}{2\,\cdot\,1,03}=0,112. Aus der Tabelle III ist ϰ = 1,01, aus Tabelle IV μ = 1,11; nach Tabelle V ist für φ = 0,224 ξ = 9,18 + 0,4 . 0,34 = 9,32. Nach Gleichung 26 ist für p1 = 8,5, γ = 4,39, endlich 1+v-\frac{0,9\,v\,p_c}{\varphi\,p_1}=1,03-\frac{0,9\,\cdot\,0,03\,\cdot\,7,72}{0,224\,\cdot\,8,5}=0,921, weshalb g_i=\frac{1,11\,\cdot\,9,32\,\cdot\,1,01\,\cdot\,4,39\,\cdot\,0,921}{5,397}=7,74. Die Maschine verbraucht für jede indizierte Pferdekraft stündlich 7,74 kg Dampf. Wie sehr das Cylinder Verhältnis m das Füllungsverhältnis des Hochdruckcylinders und den Dampfverbrauch beeinflusst, kann man aus dem nachstehenden Beispiele ersehen. Es ist wie vorher p1 = 8,5, v = α = 0,03, u = 0,09, ua = 0,12, ϱ = 2, jedoch m = 2,8 (statt wie früher m = 2). Nach Gleichung 33 ist y = 0,41 und φ3 = φ4 = 0,81. Aus Tabelle I ϑ3 = ϑ4 = 0,83, λ3 = 0,909 = λ4. Nach Gleichung 36: φ5 = 0,43, ϑ5 =0,487, λ5 = 0,683. Nach Gleichung 16: \varphi_c=\frac{0,03}{0,12}=0,25,\ \vartheta_c=0,305,\ \lambda_c=0,521. Ferner: \varphi_a=\frac{0,03}{0,15}=0,2,\ \vartheta_a=0,25,\ \lambda_a=0,462. Nach Gleichung 40:                  p = 8,5 (1,03 ψ – 0,03) – 8,5 ϑ . 0,981, pm = 8,5 ϑ . 0,576 – 0,138. Diese Werte in die Bedingung p = mpm eingesetzt, gibt ψ + 0,0155 = 2,519 ϑ. Nach Tabelle I ist für φ = 0,16 + Δφ 0,503 + 0,0155 + 0,017 . (100 Δφ) = 2,519 (0,204 + 0,012 [100 Δφ]). Hieraus Δφ = 0,004, somit φ = 0,164. Das Füllungsverhältnis des Hochdruckcylinders ist von (früher) φ = 0,224 auf (jetzt) φ = 0,164 herabgegangen. Diesem Werte entsprechend ist ψ = 0,51, ϑ = 0,209, womit p = 2,473 und pm = 0,885, d. i. mpm = 2,478 wird. Die Nutzspannung, auf die Fläche des Hochdruckkolbens reduziert, ist pn = 4,951 = p + mpm. Wenn die Kolbengeschwindigkeit auch jetzt c = 1,8 m ist, dann ist ϰ = 1,01; für φ = 0,164 ist ξ = 7,14, und bei p1 = 8,5 ist γ = 4,39. Das totale Füllungsverhältnis ist \varphi_m=\frac{0,164}{2,8}=0,0586, weshalb μ = 1,12 folgt, ferner ist 1+v-\frac{0,9\,v\,p_c}{\varphi\,p_1}=0,919, daher g_i=\frac{1,12\,\cdot\,7,14\,\cdot\,1,01\,\cdot\,4,39}{4,951}\,\cdot\,0,919, d.h. gi = 6,58. Diese Maschine verbraucht für jede indizierte Pferdekraft in der Stunde 6,58 kg Dampf. V. Berechnung der Verbundmaschine. Bei der eigentlichen Verbundmaschine sind die Kurbeln unter einem rechten Winkel verstellt. Textabbildung Bd. 316, S. 539 Fig. 4. Die Bezeichnung ist dieselbe wie bei der Woolf'schen Maschine. Infolge der Verstellung der Kurbeln sind die Kolbenwege, ohne Rücksicht auf die endliche Länge der Schubstange, durch folgende Bedingung verbunden. Es sei in Fig. 4 CA die Stellung der Niederdruckkurbel, CB Fig. 4. jene der Hochdruckkurbel, somit            z = 0,5 – 0,5 cos (90 – α) = 0,5 (1 – sinα), u = 0,5 – 0,5 cosα = 0,5 (1 – cosα). Hieraus ist sinα = 1 – 2 z, cosα = 1 – 2 u, oder (1 – 2 z)2 + (1 – 2 u)2 = 1. Diese Gleichung, nach z aufgelöst, gibt z=0,5-\sqrt{u\,(1-u)} . . . . 45a) Die nachstehende Tabelle VII enthält die zusammengehörigen Werte von z und u. Darin bedeutet z den Weg des Niederdruckkolbens. Tabelle VII. u z u z u z 0,05 0,282 0,12 0,175 0,19 0,108 0,06 0,263 0,13 0,164 0,20 0,100 0,07 0,245 0,14 0,153 0,21 0,093 0,08 0,229 0,15 0,143 0,22 0,086 0,09 0,214 0,16 0,133 0,23 0,079 0,10 0,200 0,17 0,124 0,24 0,073 0,11 0,187 0,18 0,116 0,25 0,067 Fig. 5 zeigt das Diagramm des Hochdruckcylinders, Fig. 6 jenes des Niederdruckcylinders. Die Arbeit des frischen Dampfes ist nach Gleichung 27 L1= p1V (ψ [1+ v] – v). Wenn der Hochdruckkolben am Anfange des Hubes ist, ist der Niederdruckcylinder vom Receiver abgeschlossen, dagegen die Gegendampfseite des Hochdruckcylinders mit denselben verbunden, weshalb der Hochdruckkolben den Gegendampf komprimiert. Dessen Spannung ist anfangs = p2. Auch hier ist das Füllungsverhältnis des Hochdruckcylinders \varphi=\frac{\varphi_r+v}{1+v} und dementsprechend aus Tabelle I bezw. II ϑ und ψ zu entnehmen p2 = ϑp1. Textabbildung Bd. 316, S. 539 Fig. 5. Textabbildung Bd. 316, S. 539 Fig. 6. Die Kompression ist aber nicht beendet, sobald der Hochdruckkolben in der Mitte seines Hubes ist und der Niederdruckcylinder für den Receiverdampf geöffnet wird, sondern dieselbe dauert noch eine kurze Zeit danach, weil der Hochdruckkolben ein grösseres Volumen beschreibt als der Niederdruckkolben. Es sei xV das erstere und xaVa (in Fig. 6) das letztere, dann muss xaVa – xV ein Minimum sein. Den Wert von xa erhält man aus Gleichung 45, wenn man statt zxa und statt u (0,5 – x) setzt, somit x_a=0,5-\sqrt{0,25-x^2}. Damit wird x_a\,V_a-x\,V=(0,5\,m-m\,\sqrt{0,25-x^2}-x)\,V. Dessen Differentialquotient, nach x genommen, muss des Minimums wegen Null sein, d.h. \frac{x\,m}{\sqrt{0,25-x^2}}-1=0. Hieraus ergibt sich x=\frac{0,5}{\sqrt{m^2+1}},\ x_a=0,5\,\left(1-\frac{m}{\sqrt{m^2+1}}\right) x-m\,x_a=0,5\,(\sqrt{m^2+1}-m). Nach diesen Ausdrücken ist die nachstehende Tab. VIII berechnet. Wie man sieht, hängen alle Werte vom Cylinderverhältnis m ab. Tabelle VIII. m x x a x – mx a 2,0 0,2236 0,0528 0,118 2,1 0,2150 0,0486 0,113 2,2 0,2069 0,0448 0,108 2,3 0,1993 0,0415 0,104 2,4 0,1923 0,0384 0,100 2,5 0,1857 0,0358 0,096 2,6 0,1794 0,0332 0,093 2,7 0,1736 0,0311 0,090 2,8 0,1681 0,0291 0,087 2,9 0,1631 0,0273 0,085 3,0 0,1581 0,0256 0,081 Am Anfange der Kompression ist das Volumen V 2 = R + V, am Ende der Kompression hingegen V1=R + αVa + 0,5 V – xV + xamV, somit das Füllungsverhältnis \varphi_3=\frac{V_1}{V_2}=\frac{\varrho+0,5+\alpha\,m-(x-m\,x_a)}{\varrho+1} . 45b) Dementsprechend findet man in der Tabelle I bezw. II den Wert von ϑ3 und λ3. Das dem Arbeitsverbrauche entsprechende Volumen ist hier ausnahmsweise Ve = (V2 – αVa) – V1, weil αVa der schädliche Raum des Niederdruckcylinders ist, demnach Ve= V (0,5 + [x – mxa]). Da die Endspannung p_3=\frac{p_2}{\vartheta_3} ist, wird die verbrauchte Arbeit L_2=-p_2\,V\,(0,5+[x-m\,x_a])\,\frac{\lambda_3}{\vartheta_3} . . 46) Von der Spannung p3 expandiert der Receiverdampf bis auf die Spannung p4. Das kleine Volumen ist wie früher V1= R + V (mα + 0,5 – [x – mxa]). Das grosse Volumen ist nach dem Diagramm V2= R + uV + m (α + z) V. Demnach ist das Füllungsverhältnis \varphi_4=\frac{V_1}{V_2}=\frac{\varrho+m\,\alpha+0,5-(x-m\,x_a)}{\varrho+u+m\,(\alpha+z)} . 47) Damit ergibt sich aus der betreffenden Tabelle ϑ4 und λ4, somit p_4=p_3\,\vartheta_4=\frac{p_2\,\vartheta_4}{\vartheta_3}. Das Expansionsvolumen ist Ve= V2 – V1 = V (mz + u + [x – mxa] – 0,5), somit die erzeugte Arbeit L_3=p_2\,V\,(m\,z+u+[x-m\,x_a]-0,5)\,\frac{\lambda_4}{\vartheta_3} . 48) Bei dieser Stellung wird der Hochdruckcylinder vom Receiver abgeschlossen, dessen Volumen ist nun (ϱ – v) V, weil wir den schädlichen Raum des Hochdruckcylinders bis nun mit zum Receivervolumen rechneten. Im Hochdruckcylinder wird jetzt der Gegendampf komprimiert. Das Füllungsverhältnis ist \varphi_c=\frac{v}{u+v} (Gleichung 16). Die Arbeit für die Kompression nach Gleichung 17 L_4=-p_4\,u\,V\,\frac{\lambda_c}{\vartheta_c}=-p_2\,u\,V\,\frac{\vartheta_4\,\lambda_c}{\vartheta_3\,\vartheta_c} . 49) Der Niederdruckcylinder kommuniziert auch weiter mit dem Receiver, und zwar lässt man den Dampf so weit expandieren, bis seine Spannung p2 geworden ist. Wenn φ2 das Füllungs- und ϑ2 das Spannungsverhältnis ist, dann muss p 2 =p 4 ϑ 2 sein. Da aber, wie wir oben sahen, p_4=\frac{p_2\,\vartheta_4}{\vartheta_3} ist, folgt p_2=p_2\,\frac{\vartheta_2\,\vartheta_4}{\vartheta_3}, woraus \vartheta_2=\frac{\vartheta_3}{\vartheta_4} . . . . . . . 50) ist. Kennt man ϑ2, dann findet man in der Tabelle I bezw. II das dazugehörige Füllungsverhältnis φ2 und λ2. Wir müssen das Füllungsverhältnis auch durch die Volumina ausdrücken. Das kleine Volumen ist V1= R – vV + αVa+ zVa, das grosse aber V2= R – vV + αVa+ yVa, d.h. \varphi_2=\frac{\varrho-v+m\,(\alpha+z)}{\varrho-v+m\,(\alpha+y)}. Aus dieser Gleichung hat man y zu bestimmen. Man findet y=\frac{\frac{\varrho-v}{m}+\alpha+z}{\varphi_5}-\left(\frac{\varrho-v}{m}+\alpha\right) . . 51) Das Expansionsvolumen ist V e = V 2 –V 1 = mV (y – z), weshalb die Expansionsarbeit L5= p4Veλ2, oder entwickelt L_5=p_2\,m\,V\,(y-z)\,\frac{\vartheta_4\,\lambda_2}{\vartheta_3} . . . . 52) ist. Sobald die Spannung im Receiver p2 geworden ist, wird auch der Niederdruckcylinder von ihm abgeschlossen und der im Cylinder enthaltene Dampf expandiert bis zum Ende des Hubes. Das kleine Volumen ist V1= (α + y) Va, das grosse ist V2 = (α + 1) Va, somit das Füllungsverhältnis \varphi_5=\frac{y+\alpha}{1+\alpha} . . . . . . 53) Damit findet man in der betreffenden Tabelle ϑ5 und λ5. Die erzeugte Arbeit L6= p2 (1 – y) mVλ5 . . . . 54) Die Endspannung im Niederdruckcylinder ist p2=p2ϑ5, weshalb die Gegendampfspannung bei Kondensmaschinen pg = 0,125 + 0,2 ϑ5p2 . . . . 55 a) bei Auspuffmaschinen p_g=1,033+\frac{(1+p_5)^2}{200} . . . . 55 b) Der Gegendampf des Niederdruckcylinders verzehrt die Arbeit (Gleichung 39) L_7=-p_g\,m\,V\,\left(1-u_a+u_a\,\frac{\lambda_a}{\vartheta_a}\right) . . 56) Die Arbeit eines Schubes ist die Summe der aufgeführten sieben Einzelarbeiten. Auch hier hat man den Spannungsverlust zu berücksichtigen, welchen das Ueberströmen des Dampfes durch verhältnismässig enge Kanäle in und aus dem Receiver veruracht. Diesem trägt man, wie schon erwähnt, dadurch Rechnung, dass man mit Ausnahme derjenigen Glieder, welche mit der Gegenspannung pg multipliziert erscheinen, statt m mζ schreibt, oder, da ζ = 0,9 gesetzt werden kann, ist statt m 0,9 m zu schreiben. Trennt man in dem Ausdrucke der Arbeit eines Schubes die Glieder ohne m von jenen mit m, so erhält man die Nutzspannung p im Hochdruck- und pm im Niederdruckcylinder getrennt, und zwar ist und p=p_1\,([1+v]\,\psi-v)- p_2\,\left(\frac{[0,5+x]\,\lambda_3+(0,5-u-x)\,\lambda_4}{\vartheta_3}+u\,\frac{\lambda_c}{\vartheta_2\,\vartheta_c}\right) p_m= p_2\,\zeta\,\left(\frac{x_a\,\lambda_3+[z-x_a]\,\lambda_4}{\vartheta_3}+(y-z)\,\frac{\lambda_2}{\vartheta_2}+[1-y]\,\lambda_5\right) -p_g\,\left(1-u_a+u_a\,\frac{\lambda_a}{\vartheta_a}\right) 57) Die Arbeit eines Hubes ist Li = V (p + mpm). Für die indizierten Pferdekräfte gilt die Gleichung 41. Für den Dampf verbrauch einer indizierten Pferdekraft in der Stunde gilt die Gleichung 42. Will man das normale Füllungsverhältnis des Hochdruckcylinders so bestimmen, dass beide Cylinder gleiche Arbeit leisten, dann hat man dasselbe Verfahren anzuwenden, welches bei der Woolf'schen Maschine gezeigt wurde. Dabei hat man für pg in dem Ausdrucke von pm bei Kondensmaschinen pg = 0,125 + 0,2 p1ϑϑ5 zu setzen. Zum Schlusse vergleichen wir die entwickelten Formeln mit den Resultaten eines wirklichen Versuches. Ich wähle hierfür die Daten des Krompacher Gebläses, welche in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1898 Bd. 42 S. 1153, mitgeteilt sind. Volldruckspannung p1 = 8,7 at. Mittleres reduziertes Füllungsverhältnis nach dem mitgeteilten Verfahren aus dem Diagramme ermittelt φr = 0,13, schädliche Räume v = α = 0,025. Hieraus das wahre Füllungsverhältnis abgerundet \varphi=\frac{0,13+0,025}{1,025}=0,15. Die Ummantelung ist eine vollständige. Der Receiver hat das Volumen 0,8 V, daher ist nach dem oben Gesagten ϱ = 1,8 V. Die Kompressionswege u = ua = 0,1. Das Cylinderverhältnis m = 2,32, somit αm = 0,058. Bei diesem Werte entnehmen wir der Tabelle VIII die Werte: x = 0,198, xa = 0,041, x – mxa = 0,103. Das Füllungsverhältnis nach Gleichung 45 \varphi_3=\frac{1,8+0,5+0,058-0,103}{2,8}=0,80. Nach Tabelle VIII ist für u = 0,1, z = 0,2, und damit wird nach Gleichung 47 \varphi_4=\frac{2,255}{1,8+0,1+2,32\,(0,025+0,2)}=0,93. Das Füllungsverhältnis ist für die Kompressionen am Ende des Hubes \varphi_c=\varphi_a=\frac{0,025}{0,125}=0,2. Der Tabelle I entnehmen wir für φ = 0,15, ϑ = 0,193, ψ = 0,484, „ φ3 = 0,80, ϑ3 = 0,821, λ3 = 0,904, „ φ4 = 0,93, ϑ4 = 0,937, λ4 = 0,967, „ φc= φa = 0,2, ϑc = ϑa = 0,25, λc = λa = 0,462. Nach Gleichung 50 ist \vartheta_2=\frac{0,821}{0,937}=0,876. Diesem Werte entspricht nach Tabelle VI φ2 = 0,86, λ2 = 0,934. Nach Gleichung 51 wird y=\frac{\frac{1,775}{2,32}+0,025+0,2}{0,86}-\left(\frac{1,755}{2,32}+0,025\right), Damit erhält man nach Gleichung 53 \varphi_5=\frac{0,362+0,025}{1,025}=0,38, ϑ5 = 0,439, λ5 = 0,644. Diese Werte in die Ausdrücke Gleichung 57 eingesetzt und mit Rücksicht darauf, dass p2 = 0,193 . 8,7 = 1,679,     p5 = 0,439 . 1,679 = 0,737,     pg = 0,125 + 0,147 = 0,272 ist, erhält man p = 0,471 . 8,7 – 1,679 . 1,216 = 2,056,    pm= 1,511 . 0,817 – 0,272 . 0,185 = 0,939, demnach die Nutzspannung p + mpm = 2,056 + 2,179 = 4,235. Für den stündlichen Dampfverbrauch für 1 PS findet man zunächst das totale Füllungsverhältnis Gleichung 43 \varphi_m=\frac{\varphi\,(1+v)}{m\,(1+\alpha)}=\frac{0,15}{2,32}=0,065, somit nach Tabelle IV μ = 1,12, da die Kolbengeschwindigkeit c = 1,75 m, somit nach Tabelle III ϰ = 1,01. Für φ = 0,15 ist nach Tabelle V ξ = 6,61 und nach Gleichung 26 für p1 = 8,7 das spezifische Gewicht des Dampfes γ = 4,487. Man findet ferner p_c=\frac{p_2\,\vartheta_4}{\vartheta_3\,\vartheta_c}=\frac{p_2}{\vartheta_2\,\vartheta_c}=\frac{1,679}{0,876\,\cdot\,0,25}=7,67, weshalb 1+v-\frac{0,9\,v\,p_c}{\varphi\,p_1}=0,893 ist. Damit ergibt sich der stündliche Dampfverbrauch für 1 PSi g_i=\frac{1,12\,\cdot\,6,61\,\cdot\,1,01\,\cdot\,4,487\,\cdot\,0,893}{4,235}, d.h. gi = 6,95. Die nachfolgende Tabelle enthält die Resultate der Rechnung und des Versuches. Versuch Rechnung p   2,050   2,056 p m   0,966   0,939 p + mp m 4,29   4,235 g i 6,93 6,95 Wasser im Mantel 0,60 0,70 Die Nutzspannung im Niederdruckcylinder würde nach der Rechnung derjenigen des Versuches gleich werden, wenn man statt ζ = 0,9 ζ = 0,92 setzen würde.