Kinematische Untersuchung eines kreisförmigen Bogenträgers mit Kämpfergelenken, letztere verbunden durch eine Stange. Von Prof. G. Ramisch, Breslau. Kinematische Untersuchung eines kreisförmigen Bogenträgers mit Kämpfergelenken. Der kreisförmige Bogenträger möge in B0 ein festes und in A0 ein parallel zu mn bewegliches Auflager haben. Er sei ferner an allen Stellen von derselben Stärke und von demselben Stoffe, d.h. für alle Querschnitte desselben sind das Trägheitsmoment J und der Elastizitätsmodul E konstant. Die kreisförmige Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte habe r zum Halbmesser und 2 φ0 zum Mittelpunktswinkel. Die Gerade MO teilt dieselbe in zwei symmetrische Hälften, so dass sie zu der Stange A0B0, vom Querschnitte F1 und dem Elastizitätsmodul E1 senkrecht steht. Dann soll noch mn zur Geraden A0B0 parallel sein. Indem der Bogen mit q für die Längeneinheit gleichförmig belastet ist, so ist die Gesamtlast, wenn wir A0B0 = 2 l setzen, gleich 2 l . q. Also sind die beiden Auflagerdrücke in A0 und B0 einander gleich und parallel aber entgegengesetzt gerichtet zu 2 l . q; nennen wir sie bezw. A und B, so haben wir die Gleichung: Textabbildung Bd. 316, S. 597 A = B = q . l. In A0 sei noch parallel zu mn eine Kraft X angebracht, vorläufig sei sie unbestimmt, so dass wir erst später über dieselbe verfügen wollen. C sei ein beliebiger Querschnittsschwerpunkt des Bogens und seine Abstände von MO und A0B0 seien bezw. x und y. Das Biegungsmoment für den Punkt C ist nun A\,\cdot\,(l-x)-q\,\cdot\,(l-x)\,\cdot\,\frac{l-x}{2}+X\,\cdot\,y. Setzen wir es Mc und A = q . l, so entsteht M_c=q\,l\,(l-x)-q\,\frac{(l-x)^2}{2}+X\,\cdot\,y=q\,\cdot\,\frac{l^2-x^2}{2}+X\,\cdot\,y. Bildet CM mit OM den Winkel φ, so ist l = r . sinφ0 und x = r . sinφ und endlich ist y = rcosφ – rcosφ0 = r (cosφ – cosφ0). Wir erhalten daher M_c=q\,\cdot\,\frac{r^2}{2}\,(sin^2\,\varphi_0-sin^2\,\varphi)+X\,r\,\cdot\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0) 1) Die Querkraft in C bezeichnen wir mit Q, so ist Q = A – q (l – x) = q . x = qr . sinφ. Dieselbe zerlegen wir in Seitenkräfte parallel zur Tangente im Punkte C des Bogens und normal dazu. Erstere ist Q . sinφ und letztere ist Q . cosφ. Erstere ist die Längskraft für den Querschnitt in C und bringt eine Längenveränderung des Bogenelementes in C hervor. Nennen wir sie L, so folgt aus den beiden letzten Gleichungen L = qr . sin2φ . . . . . . 2) Die von Q . cosφ hervorgebrachte Veränderung der Fasern des Querschnittes in C ist so gering, dass wir sie vernachlässigen wollen, indem wir den Querschnitt als sehr klein im Verhältnis zu den anderen Ausmessungen des Bogens voraussetzen wollen. Bezeichnen wir noch mit F den überall konstanten Querschnitt des Bogens; so ist, weil r . dφ das Element der Schwerpunktfaser ist, die in C von L hervorgebrachte Längenveränderung desselben nach dem Hooke'schen Gesetze gleich \frac{L\,\cdot\,r\,\cdot\,d\,\varphi}{F\,\cdot\,E}=\frac{q\,r^2\,\cdot\,sin^2\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi}{F\,\cdot\,E}. Ferner bringt noch X eine Längen Veränderung dieses Elementes hervor und dieselbe ist nach dem Hooke'schen Gesetze \frac{X\,\cdot\,cos\,\varphi\,\cdot\,r\,\cdot\,d\,\varphi}{F\,\cdot\,E}. Erstere ist eine Verkleinerung und letztere eine Vergrösserung dieses Elementes. Beide zusammen bringen demnach die Verlängerung \lambda=\frac{X\,\cdot\,cos\,\varphi\,\cdot\,r\,\cdot\,d\,\varphi}{E\,F}-\frac{q\,r^2\,\cdot\,sin^2\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi}{F\,E} hervor. Hierdurch wird erzeugt eine Vergrösserung der Entfernung der Punkte A0 und B0 und zwar ist dieselbe gleich λ . cosφ. Bezeichnen wir sie mit Δl, so erhält man \Delta\,l=\frac{X\,\cdot\,r}{F\,\cdot\,E}\,\cdot\,cos^2\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi-\frac{q\,r^2}{F\,E}\,\cdot\,sin^2\,\varphi\,cos\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi. So können wir Δl für alle Querschnitte zwischen A0 und B0 bilden und sie sämtlich zusammenzählen. Nennen wir die Summen σ, so entsteht \sigma=2\,\left(\frac{X\,\cdot\,r}{F\,\cdot\,E}\,\int\limits_0^{\varphi_0}\,cos^2\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi-\frac{q\,r^2}{F\,E}\,\int\limits_0^{\varphi_0}\,sin^2\,\varphi\,\cdot\,cos\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi\right). Nun ist cos^2\,\varphi=\frac{cos\,2\,\varphi+1}{2}; also \int\limits_0^{\varphi_0}\,cos^2\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi=\int\limits_0^{\varphi_0}\,\frac{cos\,2\,\varphi}{2}\,\cdot\,d\,\varphi+\int\limits_0^{\varphi_0}\,\frac{d\,\varphi}{2} =\int\limits_0^{\varphi_0}\,\frac{cos\,2\,\varphi\,\cdot\,d\,2\,\varphi}{4}+\int\limits_0^{\varphi_0}\,\frac{d\,\varphi}{2} d.h. \int\limits_0^{\varphi_0}\,cos^2\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi=\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2} und \int\limits_0^{\varphi}\,sin^2\,\varphi\,\cdot\,cos\,\varphi\,d\,\varphi=\frac{sin^3\,\varphi_0}{3}. Also ist \sigma=2\,\left(\frac{X\,r}{F\,\cdot\,E}\,\cdot\,\left[\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\right]-\frac{q\,r^2}{F\,\cdot\,E}\,\cdot\,\frac{sin^3\,\varphi_0}{3}\right) 3) Je nachdem σ positiv oder negativ ist, bedeutet sie eine Verlängerung bezw. Verkürzung der Strecke A0B0. Nennen wir dγ den Winkel, um welchen sich der Querschnitt mit dem Schwerpunkte C um denselben infolge der Belastung dreht, und ds das Bogenelement r . dφ bei C, so kann man M_c=E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s}=E\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{r\,\cdot\,d\,\varphi} setzen, wenn, wie wir vorausgesetzt haben, die Querschnittsabmessungen sehr klein im Verhältnis zu denen der übrigen Abmessungen des Bogens sind. Es ergibt sich also aus der Gleichung 1: E\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{r\,\cdot\,d\,\varphi}=q\,\frac{r^2}{2}\,(sin^2\,\varphi_0-sin^2\,\varphi)+X\,\cdot\,r\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0). Infolge dieser Drehung legt der Punkt A0 den Weg A0C . dγ senkrecht zu A0C zurück. Denselben zerlegen wir in zwei Komponenten, von denen die eine mit A0B0 zusammenfällt und gleich y . dγ ist. Die andere ist senkrecht zu A0B0 und ist gleich (l – x) . dγ. Letztere Komponente kommt nicht in Betracht, weil ja das Auflager A0 senkrecht zu mn unbeweglich ist. Erstere Komponente y . dγ, welche wir Ar nennen wollen, ist eine Verlängerung der Strecke A0B0 und es entsteht jetzt aus der vorigen Gleichung E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{\Delta\,\tau}{y\,\cdot\,r\,\cdot\,d\,\varphi}=q\,\frac{r^2}{2}\,(sin^2\,\varphi_0-sin^2\,\varphi) +X\,\cdot\,r\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0). Da jedoch y = r (cosφ – cosφ 0 ) ist, so entsteht weiter E\,\cdot\,J\,\cdot\,\Delta\,\tau=2\,\frac{q\,r^4}{2}\,(sin^2\,\varphi_0-sin^2\,\varphi)\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0)\,d\,\varphi +X\,r^3\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0)^2\,\cdot\,d\,\varphi. Diese Gleichung für Δτ können wir für alle Querschnitte zwischen A0 und B0 bilden und sämtliche Aτ addieren. Bezeichnen wir mit τ die Summe, so ergibt sich E\,\cdot\,J\,\cdot\,\tau=2\,\cdot\,\left(\frac{q\,r^4}{2}\,\int\limits_0^{\varphi_0}\,(sin^2\,\varphi_0-sin^2\,\varphi)\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0)\,d\,\varphi\right \left+X\mbox{ }r^3\,\int\limits_0^{\varphi_0}\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0)^2\,\cdot\,d\,\varphi\right). Es ist \int\limits_0^{\varphi_0}\,(sin^2\,\varphi_0-sin^2\,\varphi)\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0)\,d\,\varphi =\int\limits_0^{\varphi_0}\,sin^2\,\varphi_0\,cos\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi-\int\limits_0^{\varphi_0}\,sin^2\,\varphi\,cos\,\varphi\,d\,\varphi-\int\limits_0^{\varphi_0}\,sin^2\,\varphi_0\,cos\,\varphi_0\,d\,\varphi +\int\limits_0^{\varphi_0}\,sin^2\,\varphi\,cos\,\varphi_0\,d\,\varphi =sin^3\,\varphi_0-\frac{1}{3}\,sin^3\,\varphi_0-\frac{1}{2}\,\cdot\,\varphi_0\,\cdot\,sin\,2\,\varphi_0\,sin\,\varphi_0 +\frac{\varphi_0}{2}\,cos\,\varphi_0-\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0\,cos\,\varphi_0 =\frac{2}{3}\,\cdot\,sin^3\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\,cos\,\varphi_0\,cos\,2\,\varphi_0-\frac{1}{2}\,sin\,\varphi_0\,cos^3\,\varphi_0. Weiter ist \int\limits_0^{\varphi_0}\,(cos\,\varphi-cos\,\varphi_0)^2\,d\,\varphi=\int\limits_0^{\varphi_0}\,cos^2\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi-2\,cos\,\varphi_0\,\int\limits_0^{\varphi_0}\,cos\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi +cos^2\,\varphi_0\,\int\limits_0^{\varphi_0}\,d\,\varphi=\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0 +\frac{\varphi_0}{2}-2\,cos\,\varphi_0\,sin\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0 =\frac{\varphi_0}{2}-\frac{3}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0. Es ergibt sich jetzt E\,\cdot\,J\,\cdot\,\tau=2\,\left[\frac{q\,r^4}{2}\,\left(\frac{2}{3}\,sin^3\,\varphi_0\right\right \left+\frac{\varphi_0}{2}\,cos\,\varphi_0\,cos\,2\,\varphi_0-\frac{1}{2}\,sin\,\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right) \left+X\,r^3\,\left(\frac{\varphi_0}{2}-\frac{3}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right)\right] . 4) Hier ist τ eine Vergrösserung oder Verkleinerung, je nachdem es positiv oder negativ ist. Wir können nun σ und τ addieren und setzen wir s die Summe, so ist s=2\,\left\{\frac{X\,r}{F\,E}\,\left(\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\right)-\frac{q\,r^2}{F\,E}\,\frac{sin^3\,\varphi_0}{3}\right +\frac{q\,r^4}{2}\,\left(\frac{2}{3}\,sin^3\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\,cos\,\varphi_0\,cos\,2\,\varphi_0-\frac{1}{2}\,sin\,\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right) \left\cdot\,\frac{1}{E\,\cdot\,J}+X\,r^3\,\left[\frac{\varphi_0}{2}-\frac{3}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right]\,\cdot\,\frac{1}{E\,J}\right\} 5) Dann bringt noch die Kraft X eine Verlängerung der Stange A0B0 hervor, welche nach dem Hooke'schen Gesetze \frac{X\,\cdot\,2\,l}{F_1\,E_1}=\frac{X\,\cdot\,2\,\cdot\,r\,sin\,\varphi_0}{F_1\,\cdot\,E_1} ist. Infolge der Temperaturzunahme um t° C. vergrössert sich der Stab um t . ε1 . 2 l = 2 tε1rsinφ0 und das Bogenelement bei C um εt . r . dφ; wenn εt und ε die Ausdehnungskoeffizienten des Stabes bezw. Bogens sind. Mit dem Bogenelement vergrössert sich der Stab um εtrcosφdφ, also der ganze Stab um 2\,\varepsilon\,t\,\cdot\,r\,\int\limits_0^{\varphi_0}\,cos\,\varphi\,\cdot\,d\,\varphi=2\,\varepsilon\,t\,r\,\cdot\,sin\,\varphi_0. Wir müssen nunmehr zu s hinzu addieren \frac{2\,X\,\cdot\,r\,sin\,\varphi_0}{F_1\,E_1}+2\,t\,\varepsilon_1\,r\,sin\,\varphi_0+2\,\varepsilon\,t\,r\,\cdot\,sin\,\varphi_0. Die ganze Summe muss nun 0 sein, damit der Punkt A0 unbeweglich wird. Hieraus folgt, wenn wir noch die Summe vorher durch 2 dividieren: \frac{X\,r}{F\,\cdot\,E}\,\left(\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\right)-\frac{q\,r^2}{F\,\cdot\,E}\,\cdot\,\frac{sin^3\,\varphi_0}{3} +\frac{q\,r^4}{2\,\cdot\,E\,\cdot\,J}\,\left(\frac{2}{3}\,sin^3\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\,cos\,\varphi_0\,cos\,2\,\varphi_0-\frac{1}{2}\,sin\,\varphi_0\,\cdot\,cos^2\,\varphi_0\right) +\frac{X\,r^2}{E\,J}\,\left(\frac{\varphi_0}{2}-\frac{3}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right)+\frac{X\,r\,sin\,\varphi_0}{F_1\,E_1} +t\,r\,sin\,\varphi_0\,(\varepsilon_1+\varepsilon)=0. Aus dieser Gleichung lässt sich endlich die Kraft X bestimmen, welche die Unbeweglichkeit des Auflagers A0 veranlasst. Wir haben zunächst X\,\cdot\,\left[\frac{r\,\cdot\,sin\,\varphi_0}{F_1\,\cdot\,E_1}+\frac{r}{E}\right \left[\frac{\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}}{F}+\frac{r^2}{J}\,\left(\frac{\varphi_0}{2}-\frac{3}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right)\right] =\frac{q\,r^2}{E}\,\left\{\frac{sin^3\,\varphi_0}{3}-\frac{r^2}{2\,J}\right \left\cdot\,\left(\frac{2}{3}\,sin^3\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\,\cdot\,cos\,\varphi_0\,\cdot\,cos\,2\,\varphi_0-\frac{1}{2}\,sin\,\varphi_0\,\cdot\,cos^2\,\varphi_0\right)\right\} -t\,r\,\cdot\,sin\,\varphi_0\,(\varepsilon_1+\varepsilon). Wir setzen \frac{E\,J\,\cdot\,sin\,\varphi_0}{F_1\,E_1\,\cdot\,r^2}+\frac{\left(\frac{1}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\right)\,J}{F\,r^2} +\left(\frac{\varphi_0}{2}-\frac{3}{4}\,sin\,2\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right)=u'' und \frac{J}{F\,r^2}\,\cdot\,\frac{sin^3\,\varphi_0}{3} -\frac{1}{2}\,\left(\frac{2}{3}\,sin^3\,\varphi_0+\frac{\varphi_0}{2}\,cos\,\varphi_0\,cos\,2\,\varphi_0-\frac{1}{2}\,sin\,\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0\right)=u' so entsteht X=+\frac{u'\,\cdot\,q\,\cdot\,r-t\,\cdot\,E\,\frac{J}{r^2}\,(\varepsilon_1+\varepsilon)}{u''} . . 6) Hiermit ist X berechnet. Dieser Wert stimmt nach einer kleinen Umformung mit dem von Prof. Müller-Breslau auf Seite 142 der Neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen genau überein. Nur sei bemerkt, dass sich in der Formel für u'' ein Druckfehler befindet; denn es muss heissen: 2\,\frac{J}{F_0\,r^2}\,sin\,\varphi_0 statt: \frac{2\,J}{F\,\cdot\,r^2}\,sin\,\varphi_0. Wir haben hier Bogen und Stange von verschiedenen Stoffen angenommen, weshalb in unseren Formeln die verschiedenen Elastizitätsmodul und Ausdehnungskoeffizienten vorkommen. Müller-Breslau empfiehlt, die Temperatur der Stange unverändert zu lassen, so dass sich nur der Bogen um t° erwärmt; es ist dann ε1 = 0 zu setzen, doch soll ein Unterschied der Temperaturen von Bogen und Stange von t = ± 10° bis ± 15° in Rechnung gestellt werden. Endlich sei noch bemerkt, dass der Wert von X hier und bei Müller-Breslau verschiedene Vorzeichen hat, was daher rührt, dass die Pfeilrichtungen von X entgegengesetzt angenommen worden sind. Weil der Querschnitt des Bogens im Verhältnis zu den übrigen Abmessungen desselben als sehr gering angenommen worden ist, so können in den Formeln für u' und u'' alle von \frac{J}{F\,r^2} abhängigen Glieder vernachlässigt werden. Ist die Hälfte des Bogens mit q für die Längeneinheit belastet, so ist die Kraft hierfür X_1=\frac{1}{2}\,\frac{u'}{u''}\,\cdot\,r\,q; wenn wir die Temperatur unberücksichtigt lassen. Ist unter diesen Umständen die andere Hälfte mit q1 für die Längeneinheit belastet, so ist die Kraft jetzt X_2=\frac{1}{2}\,\frac{u'\,\cdot\,r}{u''}\,\cdot\,q_1. Sind also beide Hälften, die eine mit q und die andere mit q1 für die Längeneinheit belastet, so ergibt sich mit Berücksichtigung der Temperaturveränderung X=\frac{1}{2}\,\cdot\,\frac{u'}{u''}\,r\,(q+q_1)\,\pm\,t\,\cdot\,E\,\cdot\,\frac{J}{r^2}\,\cdot\,\frac{\varepsilon+\varepsilon_1}{u''} . 7) wobei das obere Vorzeichen für die Temperaturabnahme und das untere für die Temperaturzunahme gültig ist. Nachdem X ermittelt worden ist, findet man das Moment Mc an irgend einer Stelle des Bogens mittels der Gleichung 1. Die Längskraft in irgend einem Querschnitte, z.B. in C ist N = qr . sin 2 φ – Xcosφ, wie sich aus den betreffenden Gleichungen leicht erblicken lässt. Die Spannungen in den äussersten Faserschichten ermittelt man endlich mittels der bekannten Festigkeitsformeln für Biegung und Zug oder Druck. Zur Berechnung der Maximalspannungen wäre wohl geeignet, Tabellen von X für q = 1 anzufertigen, wenn man, was ja gestattet ist, die Glieder mit dem Beiwert \frac{J}{F\,r^2} vernachlässigt, also u''=\frac{\varphi_0}{2}-\frac{3}{4}\,sin^2\,\varphi_0+\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0 und u'=-\frac{1}{3}\,sin^3\,\varphi_0-\frac{\varphi_0}{4}\,cos\,\varphi_0\,cos\,2\,\varphi_0+\frac{1}{4}\,sin\,\varphi_0\,cos^2\,\varphi_0 setzt, wobei auf die Temperatur vorläufig keine Rücksicht genommen wird. Da das von der Stange herrührende Glied \frac{E\,\cdot\,J\,\cdot\,sin\,\varphi_0}{F_1\,E_1\,\cdot\,r^2} auch den Beiwert \frac{J}{r^2} hat, so kann es überhaupt unbeachtet gelassen werden.