Berechnung der Warmwasser-, Wasser- und Gasleitungen. Von Rudolf Mewes, Ingenieur und Physiker. Berechnung der Warmwasser-, Wasser- und Gasleitungen. I. Es wird mit Recht unangenehm empfunden, dass die Grundgleichungen, welche bei der Berechnung der Warmwasserheizungs- und Lüftungsanlagen benutzt werden müssen, bei der Auflösung auf eine nicht allgemein lösbare Gleichung fünften Grades führen. In der Zeit von 1893 bis 1895 suchte ich diesen Mangel, der eine strenge Auflösung der einschlägigen Aufgaben, sowie auch eine genaue Berechnung von Wasser- und Gasleitungen überhaupt aus dem gleichen Grunde verhindert, durch Umformung der Grundgleichungen zu beseitigen; ich gelangte jedoch erst nach Ablauf mehrerer Jahre zu einem wirklich brauchbaren Ergebnis, wie meine diesbezüglichen Arbeiten aus den Jahren 1897 und 1898 in Zeitschrift für Heizungs-, Lüftungs- und Wasserleitungstechnik, Gesundheits-Ingenieur und Schilling's Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung erkennen lassen. Durch neuere Arbeiten, welche in rein mathematischer Weise den von mir eingeschlagenen Weg weiter verfolgt haben, bin ich wieder auf das alte Problem, das, so einfach es schliesslich erscheint, gerade nicht leicht zu bewältigen ist, von neuem zurückgeführt worden. Die damals gefundenen Formeln halte ich heute noch für die einfachsten und, was die Hauptsache ist, für die richtigsten, weil, wie weiter unten sich zeigen wird, die von mir gemachten Aenderungen lediglich auf die Einführung eines die innere und äussere Reibung berücksichtigenden und durch Versuche von Weisbach, O. E. Meyer und Hagen als richtig nachgewiesenen Reibungskoeffizienten der Flüssigkeiten sich beziehen. Im folgenden werde ich die Berechnung der Warmwasser-, Wasser- und Gasleitungen in einer für den Ingenieur in der Praxis brauchbaren Form zu geben versuchen. Bei der Berechnung der Leitungsanlagen von Flüssigkeiten spielt die Lösung der Frage des Druckhöhenverlustes in den Rohrleitungen die wichtigste Rolle, da durch die zu fördernde Flüssigkeitsmenge und die Reibungsverluste bei gegebener Druckhöhe die Grösse der Rohrdurchmesser und die Strömungsgeschwindigkeit bedingt wird. Die Lösung dieser Aufgabe ist für die ausführenden Ingenieure und Techniker von Warmwasserheizungen, Wasser- und Gasrohrleitungen gleich wichtig; dieselbe soll daher von vornherein von umfassenden Gesichtspunkten aus in Angriff genommen werden, zumal da die einfachen Endformeln, welche sich im Laufe dieser Auseinandersetzungen für die genannten Zweige der Technik ergeben, dem Bau nach vollständig übereinstimmen. Die von verschiedenen Hydraulikern aufgestellten und in den technischen Lehrbüchern aufgeführten Formeln über die Bewegung des Wassers in geschlossenen Rohrleitungenlassen wegen ihrer ungenügenden Uebereinstimmung unter sich bei dem ausführenden Ingenieur gerechte Zweifel über die wirklich richtige Berechnungsmethode aufkommen und machen ihn unschlüssig, welche der zahlreichen Formeln bei etwaigen Neuanlagen am besten zu benutzen sei. Diese Thatsache hat hauptsächlich die Ausarbeitung der hier vielfach benutzten Denkschrift des Verbandes deutscher Architekten- und Ingenieurvereine Druckhöhenverlust in geschlossenen eisernen Rohrleitungen von Otto Iben veranlasst und trifft noch heute und zwar auch für die Heizungsanlagen in gleichem Masse zu. Mit Recht schliesst Iben jene höchst lesenswerte und an Beobachtungen reiche Denkschrift, welche im Jahre 1880 im Verlag von Otto Meissner in Hamburg erschienen ist, mit der Aufforderung zur Fortsetzung und Erweiterung der Versuche. Sowohl in dieser Schrift als auch in älteren Werken ebenso wie in rein wissenschaftlichen Abhandlungen, wie diejenigen von O. E. Meyer, Obermayer und anderen, liegt über die Reibung der Flüssigkeiten und Gase reichhaltiges Beobachtungsmaterial vor; man kann daher die Ursache dafür, dass das wichtige Problem noch immer nicht endgültig gelöst ist, nur in der bisherigen Art und Weise der Bearbeitung der vorhandenen Beobachtungen suchen. In der That dürfte der Umstand, dass von den Ingenieuren, welche sich damit beschäftigt haben, auf die gleichzeitigen rein wissenschaftlichen Arbeiten über die Reibung kein Gewicht gelegt worden ist, nicht wenig zur Verzögerung der Beantwortung der vorliegenden Frage beigetragen haben. Die soeben erwähnten wissenschaftlichen Versuche über die Reibung der Flüssigkeiten und Gase haben nämlich ergeben, dass die Reibung der Strömungsgeschwindigkeit v direkt proportional ist, der Reibungskoeffizient also die Form ρ = α + αv hat, worin α eine von der Natur der reibenden Flüssigkeit und der Reibungsfläche abhängige Konstante ist; dagegen haben Ingenieure, wie Darcy, Weisbach, Hagen und andere, aus ihren Beobachtungen Formeln von ganz anderer Form abgeleitet. Diese Formeln, welche in dem Aufsatze Ein Beitrag zur Berechnung des Rohrwiderstandes in der Praxis (Gesundheits-Ingenieur, 1897 Nr. 17) und in Iben's Denkschrift zusammengestellt sind, lauten: 1. Darcy \varrho=0,01989+\frac{0,0005078}{d}, 2. Eytelwein \varrho=0,001754+\frac{0,021999}{v}, 3. Weisbach \varrho=0,01439+\frac{0,0094711}{\sqrt{v}}, 4. Hagen ρ = 0,023577 +\frac{0,00011519-0,000004191\,t+0,0000000922912}{v\,d}, 5. H. Lang \varrho=0,02+\frac{0,004}{\sqrt{v}}, 6. Weston, für ganz glatte Leitungen \varrho=0,0126+\frac{0,0173-0,1085\,d}{\sqrt{v}}, „ für ältere Gasröhren \varrho=0,0156+\frac{0,035}{v}, 7. Dupuit ρ = 0,03025, 8. Dr. Lampe ρ = 0,016263. Die Formeln 1 bis 7 werden in die bekannte allgemeine Formel für den Druckverlust h strömender Flüssigkeiten (Wasser) h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(\frac{l}{d}\,\varrho+\Sigma\,(\xi)\right) . . . . I) eingesetzt, während Dr. Lampe den konstanten Wert ρ = 0,016263 in die abgeänderte Formel h=\frac{v^{1,802}}{2\,g}\,\cdot\,\frac{l}{d^{1,25}}\,\cdot\,\varrho . . . . . Ia) einsetzt. In diesen beiden Gleichungen bedeutet v die erreichbare Wassergeschwindigkeit, l die Länge, d den Durchmesser der Leitung, Σ(ξ) die Summe der einmaligen Widerstände und g die Erdbeschleunigung = 9,81. Die Gleichung für die erforderliche Geschwindigkeit lautet, wenn Q die in der Sekunde zu fördernde Flüssigkeitsmenge bedeutet, v\,d^2=\frac{4\,Q}{\pi} . . . . . . II) Nimmt man in den Gleichungen I) und II) die Grössen v und d als Unbekannte an, so erhält man beim Auflösen nach v und d hin, wenn man die Werte für ρ einsetzt, stets Gleichungen fünften Grades, die allgemein nicht lösbar sind und daher nur mit Hilfe umständlicher Näherungsmethoden aufgelöst werden können. Die Gleichungen Ia) und II) lassen sich logarithmisch genau lösen. Dies ist ein wesentlicher Vorzug der von Dr. Lampe aufgestellten Formel; dieselbe hat jedoch den Nachteil, dass darin die einmaligen Widerstände Σ(ξ) nicht berücksichtigt worden sind. Wollte man dies wie bei der allgemeinen Lösung thun, so würde auch die Lampe'sche Gleichung nicht lösbar sein, also vor den Gleichungen 1) bis 7) keinen Vorzug verdienen. Uebrigens pflegt man in der Wasserleitungstechnik ganz allgemein die einmaligen Widerstände Σ(ξ) = 0 zu setzen. Dies ist jedoch nach den Angaben in der Theoretischen Maschinenlehre von Grashof, Bd. 1, ganz unzulässig. Es sollen daher hier, wie dies in der Warmwasserheizung üblich ist, die allgemeineren Gleichungen I) und II) in den nachfolgenden Auseinandersetzungen benutzt werden. Aus diesem Grunde soll die Berechnung der Leitungen für Warmwasserheizungen voraufgeschickt werden. Bei den Warmwasserheizungen hat die genaue Bestimmung der Rohrweiten der Zulauf- und Rücklaufleitungen den Heizungsingenieuren von jeher ganz erhebliche Schwierigkeiten bereitet, wie die unten aufgeführten Bemühungen, auf möglichst einfachem Wege das Problem zu lösen, deutlich genug beweisen. Wenn man von den für diesen Zweck aufgestellten Formeln Prof. Fischer's, die allerdings für die einfachsten Fälle vollkommen ausreichen und brauchbar sind, aber für ein verzweigtes Rohrnetz zu viele und lange Rechnungen erfordern, hier absieht, so waren die Ingenieure vor dem Erscheinen der in den Kreisen der Heizungstechniker Aufsehen erregenden Abhandlungen von Rietschel über diesen Gegenstand (Gesundheits-Ingenieur, 1891, ferner Leitfaden zum Berechnen und Entwerfen von Lüftungs- und Heizungsanlagen, der im Laufe dieses Jahres in neuer, bedeutend erweiterter zweiter Auflage erscheinen wird) lediglich auf mehr oder weniger zutreffende Faustregeln angewiesen, die gewöhnlich sichere Resultate liefern, d.h. etwas zu grosse Rohrdurchmesser ergeben. Dieselben besitzen aberden Nachteil, dass man nicht sicher ist, ob die Druckverhältnisse wirklich ein Strömen des Wassers in der angenommenen Weise bewirken, so dass nicht selten Heizkörper von der Wasserzirkulation mehr oder weniger ausgeschlossen bleiben und demgemäss nicht genügend Wärme abzugeben vermögen. Erst durch die Veröffentlichung der Rietschel'schen Formeln für die erforderliche und für die erreichbare Geschwindigkeit des Heizwassers wurde hierin eine Wandlung hervorgerufen, da nunmehr, zumal an der Hand der ausführlichen, vor einigen Jahren übrigens in neuer, sehr praktischer Anordnung gegebenen Zahlentabellen, in verhältnismässig kurzer Zeit eine theoretisch wohlbegründete und für die Praxis brauchbare Berechnung der Rohrdurchmesser ausgeführt werden konnte. Dies Verfahren ist indessen, wie es in der Natur der Sache liegt, ein äusserst vervollkommnetes methodisches Probierverfahren, da die Gleichung fünften Grades nicht vermieden worden ist. Es mag hier nicht unerwähnt bleiben, dass die alten Näherungsformeln sich durch ihre Einfachheit und Handlichkeit auszeichnen und leicht und schnell zu handhaben sind. Allerdings liefern diese Formeln meistens etwas zu grosse Werte, wodurch die Anlage unter Umständen nicht unbeträchtlich verteuert werden kann. Die wichtigsten dieser Näherungsformeln sind von Ingenieur Birlo im Gesundheits-Ingenieur, Jahrgang 1891, zusammengestellt und die danach berechneten Rohrdurchmesser einer Heizungsanlage mit denjenigen Werten verglichen worden, welche man bei derselben Heizungsanlage nach den Formeln von Rietschel erhält. Jene Formeln für den lichten Rohrdurchmesser der Zu- und Rücklaufleitungen lauten: d=0,0095\,\sqrt{F}\mbox{ oder }d=0,0105\,\sqrt{F} . . 1) d=0,001\,\cdot\,W^{2/5} . . . . . . . . . . 2) d=0,00065\,\sqrt{\frac{W}{\sqrt{h}}} . . . . . . . . 3) d=0,00065\,\sqrt{\frac{W}{h^{0,4}}} . . . . . . . . 4) F bedeutet die Heizfläche, welcher durch die Leitung vom Durchmesser d die stündliche Wärmemenge W bei einem Wassersäulendruck h, von Mitte Heizkörper bis Mitte Kessel gerechnet, zugeführt wird. Nach Birlo eignet sich die letzte Näherungsformel bei Projekten als Unterlage für den ersten Kostenanschlag, und zwar ist bei der Verteilung des Heizwassers von oben nach unten nach der Gleichung d=0,00065\,\sqrt{\frac{W}{h^{0,4}}}, dagegen bei der Verteilung von unten nach oben nach der Gleichung d=0,00060\,\sqrt{\frac{W}{h^{0,4}}} zu rechnen. Wenn man den Voranschlag nach dieser Formel macht und der Sicherheit halber den Rohrdurchmesser des ungünstigsten Heizkörpers und diejenigen der Hauptleitung mit Hilfe der Rietschel'schen Tabellen kontrolliert, so ergeben sich für den Kostenbetrag der ganzen Anlage Werte, welche um höchstens 2 bis 3 % zu hoch sind. Die genauen, zur Berechnung der Rohrdurchmesser dienenden Formeln lauten: v=\frac{W}{10000\,\cdot\,275,67\,\cdot\,d^2\,(t_e-t_a)} . . . 1) worin W die stündliche Transmissionswärme, d der lichte Rohrdurchmesser, te – ta der Temperaturabfall des Heizwassers zwischen Zu- und Rücklaufleitung und v die erforderliche Geschwindigkeit des Wassers ist; a\,h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(l\,\cdot\,\frac{\varrho}{d}+\Sigma\,(\xi)\right) . . . . 2) worin ah die wirksame Druckhöhe, l die Länge der Leitung, ρ der Reibungskoeffizient, Σ(ξ) die Summe der einmaligen Widerstände und v die erreichbare Geschwindigkeit bedeutet. Da bei einer guten Heizungsanlage die erforderliche und die erreichbare Geschwindigkeit einander gleich sein müssen, so kann man aus den beiden vorstellenden Gleichungen, da in denselben alle Grössen ausser v und d gegeben oder anzunehmen sind, die Werte für v und d berechnen. Indessen führt die Elimination der einen dieser beiden Unbekannten für die andere stets auf eine Gleichung fünften Grades, weil der Reibungskoeffizient \varrho=0,01439+\frac{0,0094711}{\sqrt{v}} nach Weisbach gesetzt werden muss. Die Lösung der Aufgabe, nach diesen Formeln d und v richtig zu bestimmen, ist demnach nur durch Näherung oder durch versuchsweise Annahme von d möglich, so dass man, wenn man in der Wahl von d nicht Glück oder Geschick hat, ziemlich lange vergeblich rechnen und herumprobieren muss, bis man einen geeigneten Wert für d herausgefunden hat, der die erreichbare Geschwindigkeit möglichst genau gleich der erforderlichen Geschwindigkeit macht. Obwohl durch die neue Anordnung der Rietschel'schen Tabellen die Rechnung ausserordentlich vereinfacht worden ist, so dürfte dem praktischen Ingenieur eine einfache direkte Auflösung der Gleichungen für die erforderliche und für die erreichbare Geschwindigkeit nicht unwillkommen sein. Dies ist jedoch nur dadurch möglich, dass man die Formel für die erreichbare Geschwindigkeit so umgestaltet, dass die Auflösung der Gleichungen für die erforderliche und die erreichbare Geschwindigkeit nur auf eine Gleichung vierten, dritten oder womöglich nur zweiten Grades führt. Da sämtliche Grössen in den beiden Gleichungen bis auf ρ, den Reibungskoeffizienten, fest bestimmt sind, so kann man das gestellte Problem nur dadurch lösen, dass man die Weisbach'sche Formel \varrho=0,01439+\frac{0,0094711}{\sqrt{v}}, welche aus den Beobachtungen abgeleitet ist, und daher umgestaltet werden kann, in eine zur Lösung der obigen Gleichungen geeignete Form bringt. Zu diesem Zweck habe ich die wichtigsten Abhandlungen über den Reibungswiderstand der Flüssigkeiten eingehend geprüft und bin zu dem Ergebnis gelangt, dass man das Produkt des Reibungskoeffizienten und der Quadratwurzel aus der Strömungsgeschwindigkeit v, also ρ√v, auf die Form ρ√v = α' + β'v bringen kann. Später fand ich beim Vergleichen der rein wissenschaftlichen Zwecken dienenden Versuche von Prof. O. E. Meyer über die Reibung der Flüssigkeiten mit den Versuchen von Weisbach und Hagen, dass mit ebenso grosser, wenn nicht grösserer Annäherung ρ√v = ρ' = α + α . v = α(1 + v) ist, worin nach Weisbach und Meyer α = 0,0131, nach Hagen α = 0,012 ist. Nach dem so definierten Reibungskoeffizienten ρ' ist die Zunahme des Reibungswiderstandes der Geschwindigkeitszunahme direkt proportional. Die Versuche von O. E. Meyer sind in Poggendorff's Annalen, Bd. 113, veröffentlicht worden. Da die Formel ρ√v = ρ' = α(1 + v) die einfachere ist, so benutze ich dieselbe zur Lösung der obigen Gleichungen 1) und 2) und erhalte dadurch eine Gleichung dritten Grades für v bezw. d. Diese Gleichungen lauten: v\,d^2=\frac{W}{10000\,\cdot\,275,67\,(t_e-t_a)} . . . . 1) a\,h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(l\,\cdot\,\frac{\varrho}{d}+\Sigma\,(\xi)\right) . . . . 2) Setzt man nun \varrho=\frac{\alpha}{\sqrt{v}}\,(1+v) und nach 1) v\,d^2=\frac{W}{10000\,\cdot\,275,67\,(t_e-t_a)}=c in die Gleichung 2) ein, so erhält man a\,h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(l\,\cdot\,\frac{\alpha}{d\,\sqrt{v}}\,(1+v)+\Sigma\,(\xi)\right) oder a\,h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(l\,\cdot\,\frac{\alpha}{\sqrt{c}}\,(1+v)+\Sigma\,(\xi)\right) . III) Ordnet man diese Gleichung nach \frac{1}{v}, so folgt \left(\frac{1}{v}\right)^3-\left(\frac{l\,d}{2\,g\,a\,h\,\sqrt{c}}+\frac{\Sigma\,(\xi)}{2\,g\,a\,h}\right)\,\cdot\,\frac{1}{v}-\frac{l\,d}{2\,g\,a\,h\,\sqrt{c}}=0. Da diese Gleichung mit der reduzierten Form der Gleichung dritten Grades x3 – px – q = 0 übereinstimmt, so ist, wenn man der Kürze halber \frac{p}{3}=\frac{1}{h}\,\cdot\,\frac{l\,d}{6\,g\,a\,\sqrt{c}}+\frac{1}{h}\,\cdot\,\frac{\Sigma\,(\xi)}{6\,g\,a} und \frac{q}{2}=\frac{1}{h}\,\cdot\,\frac{l\,d}{4\,g\,a\,\sqrt{c}} setzt, \frac{1}{v}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}} oder, da in der Praxis stets \frac{q^2}{4}\,<\,\frac{p^3}{27} ist, nach der trigonometrischen Lösung des sogen. casus irreducibilis \frac{1}{v}=2\,r^{\frac{1}{3}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3}, . . . IV) worin r=\sqrt{\frac{p^3}{27}} und cos\,\varphi=\frac{q}{2\,r} ist. Aus den Gleichungen IV) findet man zunächst den Winkel ϕ und dann \frac{1}{v} und daraus dann den Wert des Rohrdurchmessers d=\sqrt{c\,\cdot\,\frac{1}{v}}. Der Gleichung IV) gibt man für \frac{1}{v} die allgemeinere Form \frac{1}{v}=2\,\sqrt[3]{r}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi+2\,k\,\pi}{3}, worin k einen der drei Werte 0, 1, 2 hat. Setzt man den Wert von r ein, so folgt \frac{1}{v}=2\,\sqrt{\frac{p}{3}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3} bezw. \frac{1}{v}=2\,\sqrt{\frac{p}{3}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi+2\,k\,\pi}{3}. Man hat, wenn man die vorstehenden Formeln auf die Berechnung von Warmwasserheizungsanlagen anwenden will, zunächst die Werte \frac{q}{2} und \frac{p}{3} zu berechnen. Da für jede Heizungsanlage der Temperaturabfall te – ta und damit gleichzeitig auch der Wert a gegeben ist, so kann man die Gleichungen für \frac{q}{2} und \frac{p}{3} noch vereinfachen, wenn man für √c seinen Wert \sqrt{\frac{W}{2756700\,(t_e-t_a)}} einführt, und die Konstanten 2g, a, te – ta und α einsetzt. Berücksichtigt man dabei, dass \frac{1}{h}\,\cdot\,\frac{l\,\alpha}{6\,g\,a\,\sqrt{c}}=\frac{4}{6}\,\cdot\,\frac{1}{h}\,\cdot\,\frac{l\,\alpha}{4\,g\,a\,\sqrt{c}}=\frac{4}{6}\,\cdot\,\frac{q}{2}=\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{q}{2} ist, so ergibt sich, wenn man, um meine Theorie an dem von Rietschel in seinem Leitfaden Teil I S. 169 bis 176 berechneten Beispiele zu prüfen, te – ta = 20 und demgemäss a = 0,0117 setzt, \frac{q}{2}=210,294\,\cdot\,\frac{l}{h\,\cdot\,\sqrt{W}}=\sim\,210\,\cdot\,\frac{l}{h\,\sqrt{W}}, \frac{p}{3}=\frac{2}{3}\,\cdot\,\left(\frac{q}{2}\right)+1,452\,\cdot\,\frac{\Sigma\,(\xi)}{h}. Es sei nach Rietschel (Teil I S. 169) W1 = W'1 = W''1 = W2 = W'2 = W''2 = W3 = W'3 = W''3 = 4000 W.-E. für einen jeden senkrechten Strang in Fig. 1, W1 + W2 + W3 = W = W' = W'' = 12000 W.-E. Temperatur im Zufluss: te = 80° „ „ Rückfluss: ta = 60°, also te – ta = 20° und daher a = 0,0117. Die Rohrlängen der einzelnen Teilstrecken sind l1 = l'1 = l''1 = 5 m,   l2 = l'2 = l''2 = 1 m, l3 = l'3 = l''3 = 5 m,   l4 = l5 = l'4 = l'5 = l''4 = l''5 = 4 m, l = 30 m,   l' = 4 m,    l'' = 4 m,    L = 40 m,   L' = 35 m, h1 – h'1 = h''1 = 3 m,    h2 = h'2 = h''2 = 7 m, h3 = h'3 = h''3 = 11 m; ferner Σ(ξ1) = 4,    Σ(ξ2) = 4,    Σ(ξ3) = 4,    Σ(ξ4) = Σ(ξ5) = 0, Σ(ξ) = 3,    Σ(Z) = Σ(Z') = 6. Bei der Ermittelung der Rohrdurchmesser der einzelnen Teilstrecken wird nach Rietschel noch angenommen, dass die Geschwindigkeit des Wassers in der Hauptzulauf- und Rücklaufleitung durchweg gleich gross und gleich v, d.h. gleich der Geschwindigkeit in der letzten Teilstrecke des Stranges I ist (s. Fig.). Textabbildung Bd. 316, S. 689 Die wirksamen Druckhöhen ah' und ah'' sollen = ah sein; da die Berechnung bei derjenigen Teilstrecke zu beginnen hat, zu welcher der am ungünstigsten gelegene, d.h. in horizontaler Richtung am entferntesten und in senkrechter dem Kessel am nächsten gelegene Heizkörper gehört, so findet man dann die Druckhöhe ah dadurch, dass man für diese Teilstrecke nach der Erfahrungsgleichung d_1=0,00052\,\sqrt{4000}=0,0329 den Durchmesser, auf Handelsmass abgerundet, = 0,032 m annimmt und mit Hilfe dieser Annahme die Druckhöhe ah für die Strecke GHJABCD ermittelt. Die Gleichung für die erforderliche Geschwindigkeit lautet in diesem Falle v_1=\frac{W}{2756700\,\cdot\,d^2\,(t_e-t_a)} . . . . 1) und für die erreichbare a\,(h_1-h)=\frac{{v_1}^2}{2\,g}\,\left(l_1\,\frac{\varrho_1}{d_1}+\Sigma\,(\xi_1)\right) . . . . 2) Setzt man in diese Gleichung die gegebenen Werte ein, so erhält man v_1=\frac{4000}{10000}\,\cdot\,0,177=0,0708\mbox{ m} und ferner, da dann \frac{{v_1}^2}{2\,g}=0,00025,\ \frac{\varrho_1}{d_1}=1,569 folgt, aus 0,0117 (3 – h) = 0,00025 (9 . 1,569 + 4) h = 2,613 m. Gerade der Rietschel'schen Theorie entgegengesetzt, würde man nach meiner Auffassung, welche dem wirklichen Sachverhalt Rechnung trägt, für h nach Massgabe der baulichen Verhältnisse den Wert 2,613 oder rund 2,5 m von vornherein annehmen und in die Gleichung 2) einsetzen. In den Gleichungen 1) und 2) sind dann nur v1 und d1 unbekannt; durch Auflösung dieser Gleichungen nach meiner Methode folgt dann \frac{1}{v}=2\,\sqrt{\frac{h}{3}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3}, worin cos\,\varphi=\frac{\frac{q}{2}}{\sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^3}} ist, und d=\sqrt{c\,\cdot\,\frac{1}{v}}. Es ist in diesen Gleichungen \frac{q}{2}=210\,\cdot\,\frac{l}{h\,\sqrt{W}}=210\,\cdot\,\frac{9}{\sqrt{4000}}\,\cdot\,\frac{1}{0,387}=77,3266, \frac{p}{3}=\frac{2}{3}\,\left(\frac{q}{2}\right)+1,452\,\cdot\,\frac{\Sigma\,(\xi)}{h} =\frac{2}{3}\,\cdot\,77,3266+1,452\,\cdot\,\frac{4}{0,387}=66,559           \begin{array}{rcl}log\,\frac{q}{2}&=& \overset{11\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{1,8883287}-10\\ \frac{3}{2}\,log\,\frac{p}{3}&=&2,7348102\end{array} ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– \begin{array}{rcl} log\,cos\,\varphi &=& 9,1535185-10\\ \varphi&=& 81^{\circ}\,48'\,47''\\ \frac{\varphi}{3} &=& 27^{\circ}16'2''\\ log\,1000&=&\overset{9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{3,6020600}-9\\ log\,2756700\\ +20&=& 7,741495\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––           \begin{array}{rcl}log\,d_1&=& 1,51106323-3\\ d_1&=& 0,03244\mbox{ m.} \end{array} \begin{array}{rcl} log\,cos\,\frac{\varphi}{3}&=&9,9488450-10\\ \frac{1}{2}\,log\,\frac{p}{3}&=& \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ 756}{0,9116034}\\ log\,2&=& 0,3010300\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––         \begin{array}{rcl} log\,\frac{1}{v_1}&=& 11,16148596-10\\ \frac{1}{v_1}&=& 14,504\\ log\,v_1 &=& 0,83851404-2\\ v_1&=& 0,06895\mbox{ m.}\end{array} Die Werte von Rietschel sind v1 = 0,0708 m d1 = 0,0329 m. Bestimmung der Hauptzufluss- und Rückflussleitung, also der Strecke GHJABCD, d.h. der Durchmesser d, D und D'. Da die Geschwindigkeit in dieser Strecke überall gleich gross sein soll, so verhalten sich die Durchmesser direkt wie die Wurzeln aus den Wärmemengen; es ist also zu setzen: a\,h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(\frac{\varphi}{d}\,\left[l+\frac{L\,\sqrt{W}}{\sqrt{W+W'}}+\frac{L'\,\sqrt{W}}{\sqrt{W+W'+W''}}\right]\right \left+\Sigma\,(\xi)+\Sigma\,(Z)+\Sigma\,(Z)\right). Setzt man nun a = 0,0117,   h = 2,613,   W = 12000,  W + W' = 24000, W + W' + W'' = 36000,   l = 30,   L = 40,   L' = 35, Σ(ξ) = 3,   Σ(Z) = 5,   Σ(Z') = 6 ein, so erhält man 0,0117\,\cdot\,2,613=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(78,5\,\cdot\,\frac{\varphi}{d}+14\right). Dazu kommt die Gleichung für die erforderliche Geschwindigkeit v=\frac{W}{10000\,\cdot\,275,67\,\cdot\,d^2\,(t_e-t_a)}. Durch Auflösung der beiden Gleichungen erhält man wie oben \frac{q}{2}=210\,\cdot\,\frac{l}{h\,\sqrt{W}}=210\,\cdot\,\frac{78,5}{\sqrt{12000}}\,\cdot\,\frac{1}{2,613}=57,592. \frac{p}{3}=\frac{2}{3}\,\left(\frac{q}{2}\right)+\frac{1,452\,\cdot\,14}{2,613}=46,174.    \begin{array}{rcl} log\,\frac{q}{2}&=& \overset{11\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{1,7603590}-10\\ \frac{3}{2}\,log\,\frac{h}{8}&=&2,49659625\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––– \begin{array}{rcl}log\,cos\,\varphi&=& 9,26376275-10\\ \varphi&=& 79^{\circ}\,25'\,23''\\ \frac{\varphi}{3}&=&26^{\circ}\,28'\,28''\end{array} \begin{array}{rcl} log\,\frac{1}{v}&=& \left(\begin{matrix} 9,9518877-10 & \\ 0,83219875\ \ \ \ \ & \\ 0,3010300\ \ \ \ \ \ & \end{matrix}\right)=1,08511645\\ \frac{1}{v}&=& 12,165;\ v=0,08220\mbox{ m,}\\ log\,d&=& \left(\begin{matrix} \overset{2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{0,5425582}-2 & \\ 1,8811191 \ \ \ \ & \end{matrix}\right)=0,7114891-2\\ d&=& 0,05416\mbox{ m.}\end{array} Rietschel findet auf S. 171 und 172 seines Leitfadens, dass der Wert von d zwischen den Grenzen 0,051 und 0,052 m liegen muss. Da d = 0,051456 von 0,051 m nur sehr wenig abweicht und 0,051 Handelsmass ist, so kann man ohne Bedenken d = 0,051 m setzen. Die Berechnung der übrigen Durchmesser erfolgt genau in derselben Weise bezw. bei den von d abhängigen Durchmessern nach den betreffenden Bedingungsgleichungen. In der nachstehenden Tabelle sind die von Rietschel und die von mir für v und d ermittelten Werte zusammengestellt worden. Werte von Rietschel Werte von Mewes für vin m dm vm dm v = 0,084 d > 0,051, < 0,052 0,0822 0,051456 D = 0,072 0,072 D' = 0,088 0,088 v1 = 0,0708 d1 = 0,0329 0,069 0,03244 v2 = 0,2 d2 = 0,019 0,2166 0,018301 r3 = 0,284 d3 = 0,016 0,2972 0,015624 d4 = 0,0371 0,0370 d5 = 0,0248 0,0244 v' = 0,15 d' = 0,036 0,1934 0,035851 v'' = 0,2424 a'' + 0,030 0,2212 0,03136 Zu der vorstehenden Tabelle ist zu bemerken, dass die Rietschel'schen Zahlen schon in der dritten Dezimalstelle rechts vom Komma ungenau sind und meistens um einen Fehler von ± 0,0005 und mehr schwanken. Diese Unsicherheit fällt bei der von mir benutzten, theoretisch ebenso gut begründeten Berechnungsmethode fort. Ferner wird man sich in der Praxis zur Rechnung, wie es hier geschehen ist, nicht der Logarithmentafel bedienen, sondern den Rechenschieber benutzen, da man mit dessen Hilfe viel schneller und genau genug zum Ziele gelangt. In diesem Falle braucht man nicht die Tabellen der Logarithmen der trigonometrischen Funktionen zu benutzen, sondern kann die Tabellen der trigonometrischen Funktionen selbst zu Hilfe nehmen. Man kann jedoch noch bequemer und schneller zum Ziele gelangen, wenn man ein logarithmisches Liniennetz verwendet, wie dies Ingenieur Birlo a. a. O. (Gesundheits-Ingenieur, 1891) gethan hat, oder einen besonders für diesen Zweck von mir eingerichteten logarithmischen Rechenschieber mit den Kurven für cos ϕ und cos\,\frac{\varphi}{3} u.s.w. benutzt. (Schluss folgt.)