Beitrag zur Untersuchung der Spannungen in einem Fachwerk. Beitrag zur Untersuchung der Spannungen in einem Fachwerk. In der nebenstehenden Abbildung sind die beiden Scheiben ACD1 und BCD2 bei C gelenkartig miteinander verbunden, ferner ist erstere Scheibe um den festen Punkt A drehbar, während der Punkt B der letzteren Scheibe sich parallel zu mn bewegen kann; dieselbe ist auch augenblicklich drehbar und zwar um den Punkt R, worin sich AC mit dem Lot von B auf mn trifft. Beide Scheiben stehen endlich noch mit den Stäben D1D2, d1d2, d1'd2', d1''d2'' u.s.w. in den Punkten D1, d1, d1', d1'' u.s.w. bezw. in den Punkten D2, d2, d2', d2'' u.s.w. in gelenkartiger Verbindung; diese Stäbe sollen übrigens prismatisch gestaltet sein und sollen der Reihe nach die Längen L, l, l1, l2, l3 u.s.w., die Querschnitte F, f, f1, f2, f3 u.s.w. und die Elastizitätsmodel E, e, e1, e2, e3 u.s.w. haben. Die linke Scheibe soll mit der Kraft P, welche von A die Entfernung p, und die rechte Scheibe mit der Kraft Q, welche von R die Entfernung q hat, belastet sein. P und Q können auch als Mittelkräfte der Belastungen auf den betreffenden Scheiben aufgefasst werden. Die unendlich kleinen Drehungswinkel um A und R sollen bezw. dα und dρ heissen und die gleichzeitig stattfindende unendlich kleine Veränderung des spitzen Winkels D1CD2 soll dγ sein. Die Kräfte P und Q bringen eine Verkleinerung dieses Winkels hervor, woraus folgt, dass sämtliche Stäbe L, l, l1, l2, l3 u.s.w. auf Druck beansprucht werden. Sind nun der Reihe nach S, s, s1, s2, s3 u.s.w. die Entfernungen dieser Stäbe vom Punkt C, so sind die Verkürzungen derselben bezw. S . dγ, s . dγ, s1dγ1, s2dγ, s3dγ u.s.w. Die von P und Q zu leistenden Arbeiten sind: P . p . dα und Q . q . dρ und rufen in den Stäben die Arbeiten X . S . dγ, x . s . dγ, x1 . s1 . dγ, x2 . s2 . dγ, x3 . s3 . dγ u.s.w. hervor, wenn X, x, x1, x2, x3 u.s.w. die Spannkräfte in den betreffenden Stäben sind. Es muss nunmehr sein: P . p . dα + Q . q . dρ = X . S . dγ + x . s . dγ + x1s1 . dγ + x2 . s2 . dγ + .... Weiter ist: \overline{A\,R}\,\cdot\,d\,\alpha=\overline{C\,R}\,\cdot\,d\,\gamma und \overline{A\,R}\,\cdot\,d\,\varrho=\overline{A\,C}\,\cdot\,d\,\gamma Hierdurch ergibt sich: P\,p\,\cdot\,\frac{\overline{C\,R}}{\overline{A\,R}}+Q\,\cdot\,q\,\cdot\,\frac{\overline{A\,C}}{\overline{A\,R}} =X\,\cdot\,S+x\,\cdot\,s+x_1\,\cdot\,s_1+x_2\,\cdot\,s_2+.\ .\ .\ . Textabbildung Bd. 316, S. 697 Hierin setzen wir: P\,p\,\cdot\,\frac{\overline{C\,R}}{\overline{A\,R}}+Q\,q\,\cdot\,\frac{\overline{A\,C}}{\overline{A\,R}}=M . . . 1) und erhalten: M = X . S + xs + x1s1 + x2s2 + .... Nach dem Hooke'schen Gesetz ist jedoch X=\frac{S\,\cdot\,d\,\gamma}{L}\,\cdot\,F\,\cdot\,E,\ x=\frac{s\,\cdot\,d\,\gamma}{l}\,\cdot\,f\,\cdot\,e,\ x_1=\frac{s_1\,d\,\gamma}{l_1}\,f_1\,e_1, x_2=\frac{s_2\,\cdot\,d\,\gamma}{l_2}\,\cdot\,f_2\,\cdot\,e_2 u.s.w. Es ergibt sich daher aus der letzten Gleichung: M=d\,\gamma. \left\{\frac{S^2\,\cdot\,F\,\cdot\,E}{L}+\frac{s^2\,\cdot\,f\,\cdot\,e}{l}+\frac{{s_1}^2\,f_1\,\cdot\,e_1}{l_1}+\frac{{s_2}^2\,\cdot\,f_2\,\cdot\,e_2}{l_2}+.\ .\ .\ .\right\} Nennen wir k die Beanspruchung für die Flächeneinheit in irgend einem Stabe, z.B. im Stabe \overline{D_1\,D_2}, so ist k=\frac{X}{F} und weiter: k=\frac{S}{L}\,\cdot\,E\,\cdot\,d\,\gamma. Es entsteht daher weiter: M=\frac{k\,\cdot\,L}{S\,\cdot\,E}. \left\{\frac{S^2\,\cdot\,F\,\cdot\,E}{K}+\frac{s^2\,\cdot\,f\,\cdot\,e}{l}+\frac{{s_1}^2\,f_1\,e_1}{l_1}+\frac{{s_2}^2\,f_2\,e_2}{l_2}\ .\ .\ .\ .\right\}, und wir setzen der Kürze wegen die Klammer in diesem Ausdruck gleich: \Sigma\,\frac{{S_n}^2\,\cdot\,F_n\,\cdot\,E_n}{L_n} und erhalten: k=\frac{M\,S\,\cdot\,E}{L\,\cdot\,\Sigma\,\frac{{S_n}^2\,\cdot\,F_n\,\cdot\,E_n}{L_n}} . . . . . 2) und hieraus kann man k berechnen und nunmehr auch die Beanspruchung für die Flächeneinheit in jedem anderen Stab mittels der Gleichungen: x=\frac{s\,\cdot\,d\,\gamma}{l}\,\cdot\,f\,e,\ x_1=\frac{s_1\,d\,\gamma}{l_1}\,\cdot\,f_1\,e_1 u.s.w. angeben. In der Praxis sind gewöhnlich die Elastizitätsmodel einander gleich; nehmen wir dies hier an und geben wir noch allen Stäben gleiche Längen, so ist hierfür im besonderen: k=\frac{M\,\cdot\,S}{\Sigma\,{S_n}^2\,\cdot\,F_n}. Hierin ist M das statische Moment der gegebenen Belastung, ΣSn2 . Fn das Trägheitsmoment der Faserquerschnitte in Bezug auf eine durch C gehende, normal zu den Scheiben stehenden Achse und \frac{\Sigma\,{S_n}^2\,\cdot\,F_n}{S} ein Widerstandsmoment in Bezug auf diese Achse, nennen wir es W,so lautet die letzte Gleichung: k=\frac{M}{W}, also genau so, wie die Grundgleichung für die Biegungsfestigkeit. Nehmen wir dagegen \frac{s}{l}=\frac{s_1}{l_1}=\frac{s_2}{l_2}=.\ .\ .=\frac{S}{L} so entsteht aus der Gleichung 2 k=\frac{M\,E}{\Sigma\,S_n\,\cdot\,F_n\,E_n}. Sind sämtliche Elastizitätsmodel auch einander gleich, alle Fasern parallel zu einander und ist a der Abstand des Schwerpunktes sämtlicher Faserquerschnitte vom Punkt C und Φ der Inhalt sämtlicher Faserquerschnitte, so erhält man weiter: k=\frac{M}{\Phi\,\cdot\,a}. Es ist das die Formel, welcher derjenigen gleicht, welche zur Bestimmung der Stabspannkräfte bis jetzt benutzt wird. Weiter ist d\,\gamma=\frac{M}{\Sigma\,\left(\frac{{S_n}^2\,\cdot\,F_n\,\cdot\,E_n}{L_n}\right)}. Eine Faser in der Entfernung s von C verändert ihre Länge um s . dγ und eine andere Faser in der Entfernung s1 ebenfalls von C verändert ihre Länge um s1 . dy. Die Differenz ihrer Längenveränderungen ist demnach: (s-s_1)\,d\,\gamma=\frac{M}{\Sigma\,\left(\frac{{S_n}^2\,\cdot\,F_n\,\cdot\,E_n}{L_n}\right)}\,\cdot\,(s-s_1). Setzen wir s – s1 unendlich klein, nämlich gleich ds, so ist die unendlich kleine Differenz der Längenveränderungen: d\,\sigma=\frac{M}{\Sigma\,\left(\frac{{S_n}^2\,\cdot\,F_n\,\cdot\,E_n}{L_n}\right)}\,\cdot\,d\,s. Angenommen, die parallelen Fasern liegen nicht frei nebeneinander, sondern stehen durch Adhäsion in inniger Berührung miteinander, so wird, weil \frac{d\,\sigma}{d\,s} nicht Null ist, sondern einen bestimmten Wert hat, Schubspannung zwischen den Fasern hervorgerufen, welche noch mit berücksichtigt werden muss und vielleicht einen Beitrag zur Lösung der Nebenspannungen liefern kann. G. Ramisch.