Berechnung der Warmwasser-, Wasser- und Gasleitungen. Von Rudolf Mewes, Ingenieur und Physiker. (Schluss von S. 686 d. Bd.) Berechnung der Warmwasser-, Wasser- und Gasleitungen. II. Die Gesetze für die Bewegung des Wassers in Warmwasserheizungen lassen sich ohne weitere Schwierigkeiten sogleich für die Berechnung des Rohrnetzes von Wasserleitungsanlagen übertragen, da für die Bewegung des Wassers in denselben dieselben Gesetze gelten. Nach dem Torricelli'schen Gesetze ist die Strömungsgeschwindigkeit v=\sqrt{2\,g\,h}, wenn h die Druckhöhe in Metern und g die Beschleunigung der Schwere = 9,81 m bedeutet. Die in der Zeiteinheit durch einen Querschnitt f strömende Wassermenge in Kubikmeter ist W = vf; also ist für Rohrleitungen, da für diese f=\frac{\pi\,d^2}{4} ist, W=\frac{\pi\,d^2}{4}\,\cdot\,v oder v=\frac{4\,W}{\pi\,d^2} . . . . 1) Die Geschwindigkeit und die Ausfluss- bezw. Durchflussmenge erleiden in den Rohrleitungen durch Reibungan den Wandungen und durch Richtungsänderungen Verluste, die man, da die Geschwindigkeit von der Druckhöhe abhängig ist, als Druckhöhenverluste bezeichnen kann. Der Reibungswiderstand steht mit der Länge der Leitung in gleichem, mit dem Durchmesser der Leitung in umgekehrtem Verhältnisse, so dass man bei gerader Leitung ohne Querschnittsänderung die Druckhöhe h=\left(1+\xi+\varrho\,\frac{l}{d}\right)\,\frac{v^2}{2\,g} erhält und mit Rücksicht auf etwa vorhandene einmalige Widerstände, deren Summe Σ(ξ) sei, h=\left(1+\xi+\Sigma\,(\xi)+\varrho\,\frac{l}{d}\right)\,\frac{v^2}{2\,g} oder, da man, wie die Erfahrung lehrt, das Glied (1+\xi)\,\frac{v^2}{2\,g} bei langen Leitungen vernachlässigen kann und für Rohrleitungen, da kein Behälter in der Leitung liegt, dies Glied überhaupt fortfällt, h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(\frac{l}{d}\,\varrho+\Sigma\,(\xi)\right) . . . . 2) Die hier erhaltenen Gleichungen 1) und 2), welche bereits eingangs erwähnt worden sind, stimmen der Form und dem Wesen nach mit den beiden obigen Gleichungen für die erforderliche und die erreichbare Geschwindigkeit genau überein, da diese letzteren nur ein Spezialfall des hier abgeleiteten allgemeinen Problems der Wasserbewegung in Rohrleitungen sind. Man kann also auf die hier gefundenen Gleichungen die oben gegebene elementare Auflösung anwenden. Es ergibt sich dann bei Anwendung der Formel ρ√v = ρ' = α(1 + v) auf die Berechnung der Wasserleitungsröhren dadurch noch eine bedeutende Vereinfachung der allgemeinen Lösung, dass man die einmaligen Widerstände vernachlässigt, also Σ(ξ) = 0 setzt. Streng genommen ist dies nach den Untersuchungen von Grashof (Hydraulik, § 91 und 92) nicht richtig, so dass die Benutzung der von mir gegebenen allgemeinen Formel, zumal da sich danach bequem rechnen lässt, vorzuziehen ist. Bei einer Wasserleitung lautet die Gleichung für die erforderliche Geschwindigkeit v\,\frac{d^2\,\pi}{4}=Q, worin v und d in m, Q, die zu fördernde Wassermenge, in cbm gemessen werden, oder v\,d^2=\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q. Die Gleichung für den Druckhöhenverlust lautet: h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(1+\Sigma\,(\xi)+\varrho\,\frac{l}{d}\right) oder kürzer mit genügender Annäherung h=\frac{v^2}{2\,g}\,\cdot\,\frac{l}{d}\,\cdot\,\varrho=\frac{v^2}{2\,g}\,\cdot\,\frac{l\,\cdot\,\varrho\,\sqrt{v}}{d\,\sqrt{v}}=\frac{v^2\,l\,\cdot\,\alpha\,(1+r)}{2\,g\,\sqrt{v\,d^2}}, h=\frac{v^2\,l\,\cdot\,\alpha\,(1+v)}{2\,g\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}. Hieraus folgt: \left(\frac{1}{v}\right)^3-\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}\,\cdot\,\frac{1}{v}-\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}=0; also \frac{1}{v}=2\,r^{\frac{1}{3}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3}, worin r=\sqrt{\frac{p^3}{27}},\ cos\,\varphi=\frac{q}{2\,r}=\frac{q}{2\,\sqrt{\frac{p^3}{27}}} und p=q=\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}} ist. Durch Einsetzen erhält man \frac{1}{v}=2\,\sqrt{\frac{p}{3}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3}=2\,\sqrt{\frac{q}{3}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3} =2\,\sqrt{\frac{l\,\alpha}{6\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}}\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3}, v=\frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{6\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}{l\,\alpha}}\,\cdot\,\frac{1}{cos\,\frac{\varphi}{3}} =\sqrt{\frac{6\,g}{4\,\alpha}\,\cdot\,\frac{h}{l}\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}\,\cdot\,\frac{1}{cos\,\frac{\varphi}{3}}, v=\sqrt{\frac{6\,g}{4\,\alpha}\,\cdot\,\sqrt{\frac{4}{\pi}}\,\cdot\,J\,\sqrt{Q}}, wenn man \frac{h}{l}=J, dem Neigungsverhältnis der Drucklinie setzt. Da \sqrt{\frac{6\,g}{4\,\alpha}\,\cdot\,\sqrt{\frac{4}{\pi}}}=A, d.h. gleich einer Konstanten ist, so erhält man v=\frac{A\,\sqrt{J}\,\cdot\,\sqrt[4]{Q}}{cos\,\frac{\varphi}{3}} . . . . . I) Ebenso erhält man für cos ϕ die Gleichung cos\,\varphi=\frac{q}{2\,\sqrt{\frac{p^3}{27}}}=\sqrt{\frac{q^2}{4\,\cdot\,\frac{q^3}{27}}}=\sqrt{\frac{27}{4\,q}} =\sqrt{\frac{27\,\cdot\,2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}{4\,\alpha\,l}} cos\,\varphi=3\,\sqrt{\frac{6\,g}{4\,\alpha}\,\sqrt{\frac{4}{\pi}}\,\cdot\,J\,\sqrt{Q}}=3\,\cdot\,A\,\cdot\,\sqrt{J}\,\cdot\,\sqrt[4]{Q} II) Aus I) und II) folgt v=\frac{cos\,\varphi}{3\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3}} . . . . . III) worin ϕ nach Gleichung II) bestimmt ist oder \frac{1}{v}=\frac{3\,\cdot\,cos\,\frac{\varphi}{3}}{cos\,\varphi}. Ist v gefunden, so wird d nach der Gleichung d=\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,\frac{Q}{v}} . . . . . IV) ermittelt. Direkt würde man erhalten, da \sqrt{\frac{1}{v}}=\frac{d}{\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,\frac{Q}{v}}} ist, d=\sqrt{\frac{3\,cos\,\frac{\varphi}{3}\,\cdot\,\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}{cos\,\varphi}}. Was nun den Gültigkeitsbereich der Formeln III) und IV) anlangt, so folgt aus der Gleichung cos\,\varphi=\sqrt{\frac{27}{4\,q}}, dass nur für q ≥ 7 der Winkel einen reellen Wert erhält, dass also nur bis zu diesem Grenzfalle der sogen. casus irreducibilis vorliegt. Ist dies nicht der Fall, d.h. q=\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}=\frac{\alpha}{2\,g\,J\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}\,<\,7, so ist die kardanische Formel anzuwenden. Dies ist für J = 0,005 der Fall, wenn Q ≥ 0,001 cbm oder grösser als 1 l ist. Bei der Berechnung der Wasserleitungen in der Praxis wird daher in sehr seltenen Fällen der casus irreducibilis anzuwenden sein, sondern fast stets die kardanische Formel. Es ist demnach mit Rücksicht auf die Gleichung \left(\frac{1}{v}\right)^3-\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}\,\cdot\,\frac{1}{v}-\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}=0 \frac{1}{v}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}, worin p=q=\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}=\frac{\alpha}{2\,g\,J\,\cdot\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}} ist. Da \frac{q^2}{4}\,>\,\frac{p^3}{27} ist, so können wir auch setzen \frac{1}{v}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}\,\left(\sqrt[3]{1+\sqrt{1-\frac{4\,p^3}{27\,q^2}}}\right \left+\sqrt[3]{1-\sqrt{1-\frac{4\,p^3}{27\,q^2}}}\right). Setzt man nun sin^2\,\varphi=\frac{4\,p^3}{27\,q^2}, also sin\,\varphi=\sqrt{\frac{4\,p^3}{27\,q^2}}, so erhält man \frac{1}{v}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}\,\left(\sqrt[3]{1+cos\,\varphi}+\sqrt[3]{1-cos\,\varphi}\right) . V) \frac{1}{v}=\sqrt[3]{q}\,\left(\sqrt[3]{cos^2\,\frac{\varphi}{2}}+\sqrt[3]{sin^2\,\frac{\varphi}{2}}\right). Der Ausdruck in der Klammer lässt sich sehr bequem für jeden Winkel ϕ ein- für allemal berechnen oder man benutzt den oben erwähnten, von mir berechneten logarithmischen Schieber. Die Rechnung lässt sich in diesem Fall, selbst wenn Σ(ξ) nicht gleich Null gesetzt wird, ebenso sicher und schnell wie nach der Formel von Dr. Lampe berechnen. In dem Sonderfall, dass Σ(ξ) = 0 ist, wird p = q, so ergibt sich sin\,\varphi=\sqrt{\frac{4\,q}{27}}. v m Weisbach(nachRietschel)p p√v O. E. Meyerp√v= 0,013 (1 + v) Hagenp√v= 0,012 (1 + v) 0,020 0,0814 0,0115100 0,01326 0,01224 0,030 0,0691 0,0119688 0,01339 0,01236 0,040 0,0618 0,0123600 0,01352 0,01248 0,050 0,0568 0,0127011 0,01365 0,01260 0,060 0,0531 0,0130068 0,01378 0,01272 0,070 0,0502 0,0132819 0,01391 0,01284 0,080 0,0479 0,0135480 0,01404 0,01296 0,090 0,0460 0,0138000 0,01417 0,01308 0,100 0,0443 0,0140090 0,01430 0,01320 0,110 0,0430 0,0142614 0,01443 0,01332 0,120 0,0417 0,0144453 0,01456 0,01344 0,130 0,0407 0,0146748 0,01469 0,01356 0,140 0,0397 0,0148545 0,01482 0,01368 0,150 0,0388 0,0150272 0,01495 0,01380 0,160 0,0381 0,0152400 0,01508 0,01392 0,170 0,0374 0,0154204 0,01521 0,01404 0,180 0,0367 0,0156703 0,01534 0,01416 0,190 0,0361 0,0157356 0,01547 0,01428 0,200 0,0356 0,0159207 0,01560 0,01440 0,210 0,0351 0,0160849 0,01573 0,01452 0,220 0,0346 0,0162288 0,01586 0,01464 0,230 0,0341 0,0163538 0,01599 0,01476 0,240 0,0337 0,0165096 0,01612 0,01488 0,250 0,0333 0,0166500 0,01625 0,01500 0,260 0,0330 0,0168267 0,01638 0,01512 0,270 0,0326 0,0169391 0,01651 0,01524 0,280 0,0323 0,0170915 0,01664 0,01536 0,290 0,0320 0,0172326 0,01677 0,01548 0,300 0,0317 0,0173627 0,01690 0,01560 0,310 0,0314 0,0174829 0,01703 0,01572 0,320 0,0311 0,0175930 0,01716 0,01584 0,330 0,0309 0,0177508 0,01729 0,01596 0,340 0,0306 0,0178429 0,01742 0,01608 0,350 0,0304 0,0179849 0,01755 0,01620 0,360 0,0302 0,0181200 0,01768 0,01632 0,370 0,0300 0,0182484 0,01781 0,01644 0,380 0,0298 0,0183699 0,01794 0,01656 0,390 0,0296 0,0184852 0,01807 0,01668 0,400 0,0294 0,0185943 0,01820 0,01680 0,410 0,0292 0,0186971 0,01833 0,01692 0,420 0,0290 0,0187940 0,01846 0,01704 0,430 0,0288 0,0188853 0,01859 0,01716 0,440 0,0287 0,0190373 0,01872 0,01728 0,450 0,0285 0,0191184 0,01885 0,01740 0,460 0,0284 0,0192617 0,01898 0,01752 0,470 0,0282 0,0193331 0,01911 0,01764 0,480 0,0280 0,0193990 0,01924 0,01776 0,490 0,0279 0,0195300 9,01937 0,01788 0,500 0,0278 0,0196577 0,01950 0,01800 Bevor ich mit Hilfe der Formeln III) und IV) bezw. V) Beispiele zur praktischen Erprobung berechne, möchte ich die Beobachtungen von Weisbach, Hagen und O. E. Meyer hier vergleichsweise zusammenstellen. Ich habe zu diesem Zweck ρ√v aus der Formel von Weisbach \varrho=0,01439+\frac{0,001474}{\sqrt{v}} berechnet und daneben die Werte von ρ√v = 0,013 (1 + v) nach O. E. Meyer und ρ√v = 0,012 (1 + v) nach Hagen gestellt. Die Beobachtungen von Hagen sind bei Geschwindigkeiten von 0,5 bis 2 m angestellt, und demgemäss die hier angeführten Zahlen extrapoliert. Dass auch für geringere Geschwindigkeiten die Konstante a = 0,012 für Brunnenwasser ist, beweist der Kontrollversuch von O. E. Meyer und nicht minder der Umstand, dass der Hagensche Wert, wenn auch durchweg etwas niedriger, doch wenig von den Zahlen von Weisbach und O. E. Meyer für destilliertes Wasser abweicht. Die Versuche von O. E. Meyer haben noch das wichtige Resultat ergeben, dass die Grösse des Reibungskoeffizienten von der chemischen Zusammensetzung der Flüssigkeiten abhängig ist. Da aus denselben für den Wasserleitungsingenieur sich die Forderung ergibt, sich von der Beschaffenheit des Wassers vor der Berechnung der ganzen Anlage möglichst genaue Kenntnis zu verschaffen, so möchte ich die betreffenden Meyer'schen Versuchsergebnisse hier folgen lassen. Tabelle der Reibungskoeffizienten bei 17,9° C. Lösung Salzgehalt η Dichtigkeitd Brunnenwasser – – – 0,01197 – Destilliertes Wasser – – – 0,01299 – Kalialaunlösung –   3,650   3,521 0,01576    1,0326 Lösung von schwefel-saurem Natron 1234 10,425  7,7795  5,1600  2,5670   9,4415  7,2176  4,9068  2,5028 0,017630,016000,015000,01384    1,082   1,058   1,0387   1,0175 Lösung von schwefel-saurem Kali 123 13,298  8,865  4,432 11,737  8,143  4,244 0,015370,014500,01459    1,0878   1,0625   1,0311 Lösung von salpeter-saurem Natron 1234 82,6257,1135,2616,31 45,2436,3526,0714,02 0,035150,026130,019260,01467    1,3625   1,280   1,192   1,0954 Lösung von salpeter-saurem Kali 1234 16,76011,812  7,698  4,795 14,35510,566  7,148  4,575 0,012430,012830,012880,01297    1,0958   1,0683   1,0456   1,0280 Die Endresultate, zu denen O. E. Meyer durch seine Versuche gelangte, lassen sich kurz in folgenden Sätzen angeben. Die nach der Theorie aus den Beobachtungen berechneten Werte der Konstanten der Reibung stimmen nahe mit denjenigen überein, die man aus der Beobachtung der Geschwindigkeit abgeleitet hat, mit der Flüssigkeiten durch enge cylindrische Röhren strömen. Von speziellen Resultaten ist zu bemerken, dass die innere Reibung tropfbarer Flüssigkeiten mit steigender Temperatur abnimmt. Wasser und wässerige Salzlösungen haben eine weit geringere Reibung als Oel. Die Reibung von Salzlösungen ist bald grösser, bald geringer als die des Wassers. Die Reibungskonstante ist eine Funktion des zweiten Grades des Salzgehaltes. Brunnenwasser hat eine geringere Reibung als destilliertes Wasser, Flusswasser steht dem destillierten näher. Die neuesten Reibungsversuche sollen in einer besonderen Arbeit Berücksichtigung finden. Im Anschluss an die vorstehenden Beobachtungsergebnisse, auf denen die Ableitung der Formeln zur Berechnung von Wasserleitungsanlagen beruht, lasse ich nunmehr ein Berechnungsbeispiel folgen, um die Richtigkeit und praktische Brauchbarkeit jener Formeln nachzuweisen. Als Beispiel wähle ich das von Grashof in der Hydraulik, S. 509 und 510, angeführte. Dies Beispiel, das ich hier zum Vergleich und gleichzeitig zur Kennzeichnung der drei vorkommenden Sonderfälle wörtlich folgen lasse, lautet: Aus einem Behälter, in welchem der Wasserstand durch entsprechenden Zufluss auf konstanter Höhe erhalten wird, werde das Wasser unter gleichbleibenden Umständen abgeleitet durch eine Röhre von der Länge l und von kreisförmigem Querschnitt mit der gleichförmigen Weite d, ohne dass dieselbe durch Seitenröhren oder Oeffnungen einen anderen Wasserzu- oder -abfluss hat, als am Anfang bezw. am Ende. Durch jeden Querschnitt der Röhre fliesst dann pro Sekunde dasselbe Wasservolumen V mit derselben mittleren Geschwindigkeit v entsprechend der Gleichung Q=\frac{\pi\,d^2}{4}\,\cdot\,v . . . . . . 1) Wenn wie gewöhnlich das Wasser entweder als freier Strahl in die Atmosphäre oder unter Wasser in einen zweiten Behälter ausfliesst, in dem durch entsprechenden Abfluss die freie Wasseroberfläche auf konstanter Höhe erhalten wird, während sie ebenso wie diejenige im ersten Behälter mit der freien atmosphärischen Luft in Berührung ist, so kann die wirksame Druckhöhe gleich der Höhe dieser Wasseroberfläche im ersten Behälter über dem Schwerpunkt der Rohrmündung bezw. über dem Wasserspiegel im zweiten Behälter gesetzt werden bei Abstraktion von der dieser Höhe entsprechenden verhältnismässig kleinen Differenz des atmosphärischen Luftdruckes. Wird aber allgemein die wirksame Druckhöhe mit h und der resultierende Widerstandskoeffizient etwaiger besonderer Widerstände in der Röhre mit ξ bezeichnet, so ist ferner h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(\frac{l}{d}\,\varrho+\xi+1\right) . . . . 2) oder h=\frac{v^2}{2\,g}\,\left(\frac{l}{d}\,\varrho+\Sigma\,(\xi)\right). Die Elimination von v zwischen den Gleichungen 1) und 2) liefert eine Beziehung zwischen l, d, h, v, vermittelst welcher eine dieser Grössen gefunden werden kann, wenn die übrigen gegeben sind. Wenn es sich dabei nur um die Ableitung des Wassers an sich und nicht zugleich um die Verwertung der lebendigen Kraft des abfliessenden Wassers handelt, so kommt die Geschwindigkeit v nur insofern in Betracht, als von ihr und von d der Faktor ρ des Leitungswiderstandskoeffizienten abhängt, nämlich \varphi=m\,\left(\alpha+\frac{\beta}{v\,d}\right), unter m einen etwa = 1,2 zu setzenden Sicherheitskoeffizienten verstanden. Durch diesen Umstand kann die Lösung der betreffenden Aufgaben erschwert und eine successive Näherungsrechnung nötig gemacht werden, jedoch ist innerhalb der gewöhnlichen Grenzwerte von v und d die Veränderlichkeit von λ nur eine so mässige, dass es meistens genügt, entweder mit einem konstanten Mittelwert von ρ, etwa ρ = 0,03, endgültig zu rechnen, oder die damit gefundenen Resultate einer höchstens einmaligen Korrektion zu unterwerfen. Die Länge l pflegt durch die Umstände gegeben zu sein, und bleiben sonach drei Aufgaben zu erwähnen: 1. Gesucht die wirksame Druckhöhe h, bei welcher eine gegebene Röhre ein gegebenes Wasservolumen Q liefert. Man findet v aus Gleichung 1), dazu und zu der gegebenen Rohrweite d den Koeffizienten ρ, endlich h aus Gleichung 2). 2. Gesucht das Wasservolumen Q, welches eine gegebene Röhre bei gegebener wirksamer Druckhöhe liefert. Mit ρ = 0,03 findet man näherungsweise v aus Gleichung 2), damit und mit d einen korrigierten Wert von ρ, mit diesem einen korrigierten Wert von v aus Gleichung 2), endlich Q aus Gleichung 1). 3. Gesucht die Weite d einer Röhre, welche bei gegebener Länge und wirksamer Druckhöhe ein gegebenes Wasservolumen Q liefert. Aus Gleichung 1) und 2) folgt durch Elimination von v \left(1+\xi+\varrho\,\frac{l}{d}\right)\,\left(\frac{4\,Q}{\pi}\right)^2\,\cdot\,\frac{1}{d^4}=2\,g\,h, d=\sqrt[5]{\frac{(1+\xi)\,d+\varrho\,l}{2\,g\,h}\,\left(\frac{4\,Q}{\pi}\right)^2} . . . 3) Mit ϕ = 0,03 und d = 0 (auf der rechten Seite) findet man einen Näherungswert von d und von v\,d=\frac{4\,Q}{\pi\,d}, dazu einen korrigierten Wert von ρ, endlich mit diesem und mit jenem Näherungswert der Rohrweite einen korrigierten Wert derselben nach Gleichung 3). Sollte z.B. die Weite einer Röhre von 50 m Länge bestimmt werden, welche bei h = 1,5 m wirksamer Druckhöhe und ξ = 0,5 (einem Widerstand durch innere Kontraktion am Anfang der Röhre entsprechend) pro Sekunde Q = 0,03 cbm Wasser abführt, so fände man näherungsweise d=\sqrt[5]{\frac{0,03\,\cdot\,50}{2\,\cdot\,9,81\,\cdot\,1,5}\,\cdot\,\left(\frac{0,12}{\pi}\right)^2}=0,149\mbox{ m}. \frac{1}{v\,d}=\frac{0,149\,\cdot\,\pi}{0,12}=3,9, ρ = 1,2 . 0,0239 = 0,0287 nach Hagen und damit hinlänglich genau d=\sqrt[5]{\frac{1,5\,\cdot\,0,149+0,0287\,\cdot\,50}{2\,\cdot\,9,81\,\cdot\,1,5}\,\cdot\,\left(\frac{0,12}{\pi}\right)^2}=0,152\mbox{ m}. Nach meiner Methode erhält man aus Gleichung V) \frac{1}{v}=\sqrt[3]{q}\,\left(\sqrt[3]{cos\,\frac{2\,\varphi}{2}}+\sqrt[3]{\sin\,\frac{2\,\varphi}{2}}\right) sin\,\varphi=\sqrt{\frac{4\,q}{27}},\ q=\frac{l\,\alpha\,\cdot\,m}{g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q}}=\frac{m\,\alpha}{2\,g\,\sqrt{\frac{4}{\pi}}\,\cdot\,J\,\sqrt{Q}} und d=\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\cdot\,Q\,\cdot\,\frac{1}{v}} die Werte von v und d. Es ist mα = 1,2 . 0,013 = 0,0156. \begin{array}{rcl} log\,m\,\alpha &=& 0,1931246-2\\ log\,2\,g\,J\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\cdot Q}&=& 0,1608360\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––                   \begin{array}{rcl}log\,q &=& 0,1322886-1\\ \frac{1}{3}\,log\,q &=& 0,7107629-1\\ & & \\ log\,q &=& 0,1322886-1\\ log\,4 &=& 0,6020600\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––                 \begin{array}{rcl}\mbox{Summa}&=& 0,7343486-1\\ log\,27&=& 1,4313638 \end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––               \begin{array}{rcl} 2)&=& 0,3029848-2\\ log\,sin\,\varphi &=& 9,1514924-10\end{array} \varphi=8^{\circ}\,8'\,5'';\ \frac{\varphi}{2}=4^{\circ}\,4'\,2,5''         \begin{array}{rcl} \frac{1}{2}\,log\,\frac{1}{v}&=&0,8894744-1\\ log\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\cdot Q} &=& 0,2910157-1\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– log\,d=0,1804901-1 d=0,15153\mbox{ m}=0,152\mbox{ m.}    \begin{array}{rcl}log\,2\,g\,J&=& 0,7698203-1\\ log\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\cdot Q}&=&0,2910157-1 \end{array} ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––         \begin{array}{rcl} \mbox{Summa}&=& 0,0608360-1\\ & & \\ \sqrt[3]{sin^2\,\frac{\varphi}{2}}&=&0,17166\\ \sqrt[3]{cos^2\,\frac{\varphi}{2}}&=&0,99832 \end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– \begin{array}{rcl}\mbox{Summa}&=& 1,16998\\ log\cdot 1,16998 &=& 0,0681859\\ \frac{1}{3}\,log\,q &=& 0,7107629-1\end{array} ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––               \begin{array}{rcl} log\,\frac{1}{v} &=& 0,7789488-1\\ log\,v&=&0,2210512\\ v&=&1,6636\mbox{ m.}\end{array} Würde man bei dieser Rechnung Σ(ξ) nicht gleich Null setzen, sondern zur Bestimmung von ϕ die genauere Gleichung sin\,\varphi=\sqrt{\frac{4\,p^3}{27\,q^2}} benutzen, so würde man in dem hier vorliegenden Fall folgendes Resultat erhalten. \begin{array}{rcl} log\,\frac{1}{2\,g} &=& 0,70730100-2\\ \frac{1}{2\,g} &=&0,05097\\ q&=& 0,1350\end{array} ––––––––––––––––––––––––––––––––              p=0,18657         \begin{array}{rcl}log\,4 &=& 0,6020600\\ 3\,log\, p &=& 0,8125254-3\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––– \begin{array}{rcl} \mbox{Summa}&=& 1,4145854-3\\ log\cdot 27\,q^2 &=& 1,6959410-2\end{array} ––––––––––––––––––––––––––––––––––––   \begin{array}{rcl}2) &=& 0,7186444\\ log\,sin\,\varphi &=& 9,3593222-10\end{array} \varphi=13^{\circ}\,13'\,29'';\ \frac{\varphi}{2}=6^{\circ}\,36'\,40'' \left(\sqrt[3]{sin^2\,\frac{\varphi}{2}}+\sqrt[3]{cos^2\,\frac{\varphi}{2}}\right)=\left({0,23666}\atop{0,99556}}\right)=1,23222. \begin{array}{rcl}\frac{1}{3}\,log\,q &=& 0,7107629-1\\ log\,1,23222 &=& 0,0906812\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––                     log\,\frac{1}{v}=0,801441=1 \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\,log\,\frac{1}{v} &=& 0,9007220-1\\ log\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\cdot Q} &=& 0,2910157-1 \end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––               log\,d=0,1917377-1           d=0,155\mbox{ m.} Vergleicht man die hier erhaltenen Zahlen mit den von Grashof gefundenen Werten, so erkennt man, dass die letzteren etwas kleiner sind. Es rührt dies daher, dass von mir nicht α = 0,012, wie den Versuchen von Hagen entspricht, sondern entsprechend den Versuchen von Weisbach α = 0,013 gesetzt wurde. Setzt man α = 0,012, also mα = 0,0144, so erhält man folgende Rechnung: \begin{array}{rcl}log\,m\,\alpha &=& 0,1583625-2\\ log\,2\,g\,J\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\cdot Q}&=&0,0608360-1 \end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––                   \begin{array}{rcl}log\,q &=& 0,0975265-1 \\ \frac{1}{3}\,log\,q &=&0,6991755-1\\ log\,4&=& 0, 6020600\\ 3\,log\,p&=&0,7476478\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––                   \mbox{Summa}=1,3497078-3 \begin{array}{rcl} q &=& 0,12518\\ \frac{1}{2\,g}&=& 0,05097\end{array} ––––––––––––––––––––––       p=0,17615 \left(\sqrt[3]{sea^2\,\frac{\varphi}{2}}+\sqrt[3]{sin^2\,\frac{\varphi}{2}}\right) =\begin{pmatrix} 0,99551 \\ 0,23752 \end{pmatrix} –––––––––––––––– =\ \ 1,23303 log\cdot 27\cdot q^2=1,6264168-2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––                   2)=0,7232910-2    log\,sin\,\varphi=9,3616455-10 \varphi=13^{\circ}\,17'\,40'';\ \frac{\varphi}{2}=6^{\circ}\,38'\,50'' \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\,log\,\frac{1}{v}&=& 0,896507455-1\\ log\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\cdot Q}&=&0,2910157-1\end{array} ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––             \begin{array}{rcl} log\,d &=& 0,1860903-1\\ d&=& 0,15350\mbox{ m.}\end{array} \begin{array}{rcl}\frac{1}{3}\,log\,q &=& 0,6881755-1\\ log\,1,23303 &=& 0,0909736\end{array} –––––––––––––––––––––––––––––––––––––              \begin{array}{rcl} log\,\frac{1}{v}&=& 0,7901491-1\\ log\,v &=& 0,2098509\\ v&=& 1,62125\mbox{ m.}\end{array} Der von Grashof angenommene Wert d = 0,152 m ist etwas zu klein, denn man erhält durch Verifikation 1,53 = 1,5. Setzt man die von mir gefundenen Werte von d und v in die Grundgleichung \left(1+\xi+\varrho\,\frac{l}{d}\right)\,\frac{v^2}{2\,g}=h=1,5 ein, so erhält man 1,493 = 1,5, also thatsächlich die der allgemeinen Gleichung entsprechenden Werte v und d. Aus den hier ausgerechneten Beispielen folgt übrigens noch das wichtige Resultat, dass auch bei den Wasserleitungen die einmaligen Widerstände nicht vernachlässigt werden dürfen; denn dieselben haben auf das Resultat einen grösseren Einfluss, als man bisher angenommen hat. Mit dieser Schlussfolgerung ergibt sich sofort, dass die Formel von Dr. Lampe nur eine Näherungsformel ist, deren Gültigkeitsbereich zwischen sehr engen Grenzen liegt. Nun bin ich und war ich mir von Anfang an wohl bewusst, dass man dem praktischen Ingenieur nicht zumuten darf, in jedem einzelnen Fall die Gleichung dritten Grades aufzulösen und ziffernmässig auszurechnen; dies erfordert zuviel geistige Anspannung und auch zuviel Zeit. Aus diesem Grunde muss man seine Zuflucht entweder zu dem logarithmischen Liniennetz in Birlo'scher Art oder besser noch nach dem oben erwähnten Vorbilde Rietschel's zur Berechnung von Nachschlagetabellen nehmen, so dass das ganze Rechnen fortfällt und nur auf die unumgängliche Ausrechnung der Koeffizienten p und q beschränkt wird. Die Berechnung solcher Tabellen ist wegen der einfachen Gestalt der in Frage kommenden Formeln ausserordentlich bequem und leicht, insbesondere wenn man bei den Wasserleitungen Σ(ξ) = 0 setzt, da dann p = q wird und für jedes J neben die Wassermenge Q in zwei Reihen gleichdie Werte von v und d gestellt werden können. Im allgemeinen Falle erhält man p=\frac{l\,\alpha}{2\,g\,h\,\sqrt{\frac{4}{\pi}\,Q}}+\frac{\Sigma\,(\xi)}{2\,g\,h}=q+\frac{\Sigma\,(\xi)}{2\,g\,h} =q\,\left(1+\frac{\Sigma\,(\xi)}{2\,g\,h\,q}\right); man kann denselben auf den besonderen Fall zurückführen, indem man \frac{\Sigma\,(\xi)}{2\,g\,h\,q}=R einführt und neben die gefundenen Werte für v und d die entsprechenden Werte für v und d stellt, welche man für verschiedene R erhält. Die Herstellung solcher Tabellen, welche das Ablesen der genauen Resultate fast direkt ermöglichen, und zwar sowohl für Warmwasserheizungs- und Wasserleitungen, muss einer besonderen Arbeit vorbehalten bleiben, da dies hier zu weit führen würde. Zum Schluss möchte ich noch einige Bemerkungen über die Berechnung von Gasrohrleitungen bringen. Die obigen Auseinandersetzungen bezüglich der exakten Lösung der beiden Gleichungen für die erforderliche und die erreichbare Geschwindigkeit gelten im Prinzip auch für die Gasrohrleitungen und Lüftungsanlagen. Indessen liegt hier die Sache insofern für die Durchführung der Rechnung günstiger, als die Reibungskoeffizienten bedeutend kleiner sind und man mit einem konstanten Mittelwert noch ziemlich genaue Resultate erhält. Die diesbezüglichen Formeln sind in dem „Handbuch für Steinkohlengasbeleuchtung“ von Dr. N. H. Schilling auf S. 483 abgeleitet worden. Die beiden Grundformeln lauten danach wieder wie oben für die erforderliche Geschwindigkeit v\,d^2=\frac{4\,Q}{\pi} . . . . . . I) für die erreichbare Geschwindigkeit h=4\,\frac{M\,l\,G\,v^2}{d\,g} . . . . . . II) worin M der Reibungskoeffizient, l die Rohrlänge, G das Gewicht der Volumeneinheit, g die Beschleunigung der Schwere und d der Rohrdurchmesser ist. Nimmt man M als konstant an und setzt M = 0,003, so sind die beiden Gleichungen I) und II) lösbar und ergeben höchst einfache und bequem zu berechnende Ausdrücke. Will man jedoch den Umstand in Rechnung ziehen, dass auch die Reibung der Gase mit der Strömungsgeschwindigkeit sich ändert, so führen auch die Gleichungen I) und II) auf Gleichungen fünften Grades, so dass man in einem solchen Fall den oben eingeschlagenen Lösungsweg befolgen muss, wenn man genaue Zahlenwerte auf möglichst einfachem Wege erhalten will. Nach Grashof, „Hydraulik“, S. 603, lautet die Weisbach'sche Formel für den Reibungswiderstand der Luft \varrho=0,01355+\frac{0,0595}{\sqrt{v}} oder \varrho=0,01355+\frac{0,001235+0,01\,d}{d\,\sqrt{v}}, während Blochmann für Gasleitungen \varrho=0,00911+\frac{0,06379}{\sqrt{v}} setzt. Bei Lüftungsanlagen berücksichtigt man nach Rietschel a. a. O. die einmaligen Widerstände und die Aenderungen des Reibungswiderstandes, so dass man für diesen Zweck die von mir gegebene Lösung der allgemeinen Gleichungen I) und II) wird benutzen müssen. Die Umrechnung der vorstehenden Formeln für ρ ganz ebenso wie oben für Wasser in die Gestalt ρ√v = ρ' = α(1 + v) muss einer besonderen Bearbeitung der Gasrohr- und Luftleitungen vorbehalten bleiben.