Vergleichende Untersuchungen über die hydraulischen Eigenschaften der UeberdruckturbinenAuszug aus der bei der Königl. Technischen Hochschule Hannover zur Prüfung als „Doktor-Ingenieur“ eingereichten und genehmigten Abhandlung.. Von Enno Heidebroek, Assistent an der Königl. Technischen Hochschule Charlottenburg. Vergleichende Untersuchungen über die hydraulischen Eigenschaften der Ueberdruckturbinen. Der belebende Einfluss, den die Fortschritte in der Ausnutzung natürlicher Wasserkräfte für elektrische Kraftübertragung auf den gesamten Turbinenbau ausgeübt haben, äusserte sich vor allem darin, dass in die Reihe der bisher üblichen Turbinensysteme, wie sie seit einer Reihe von Jahren je von der einen oder anderen Turbinenfirma als Spezialität gebaut wurden, sich eine Anzahl neuer Konstruktionen eindrängte, welche den gesteigerten Anforderungen der Stromerzeuger in Bezug auf hohe Umlaufszahl und leichte Regulierbarkeit unter gleichzeitiger bester Ausnutzung der vorhandenen Energie besser als bisher genügten. Während für hohe Gefälle und geringe Wassermengen die partiell beaufschlagte Freistrahlturbine sich in ihren äussersten Konsequenzen bis zum Pelton-Motor und den sogen. Löffelturbinen entwickelte, eroberten sich für grössere Wassermengen die radialen Ueberdruckturbinen, die mit Hilfe des Saugrohres auch kleine veränderliche Gefälle vorteilhaft auszunutzen gestatteten, immer mehr das Feld; unter ihnen wieder vor allem die mit äusserer Beaufschlagung versehenen, die sogen. Francis-Turbinen in ihren verschiedenen Ausführungsformen. Auf der Pariser Weltausstellung liessen die Ausstellungen der grossen Schweizer Firmen diese beiden, hier gekennzeichneten Richtungen des modernen Turbinenbaues besonders ausgeprägt erscheinen (vgl. Reichel, Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1900; Turbinen auf der Weltausstellung in Paris). Die Vorzüge des Francis-Systems, vor allem für elektrische Kraftübertragung, sind in der Fachlitteratur der letzten Jahre bereits häufiger hervorgehoben; verkennen lässt sich aber nicht, dass es, namentlich in Verbindung mit selbstthätigen Regulier Vorrichtungen, zu teueren Konstruktionen führt, die sich zwar da bezahlt machen, wo eben jene hohen Anforderungen vorliegen, aber in vielen anderen Fällen aus Gründen der Wirtschaftlichkeit einfacheren Ausführungen weichen müssen. So erhalten sich insbesondere da, wo Wasser in Hülle und Fülle vorhanden ist, wie z.B. in Norwegen, die älteren Formen der Achsialturbinen mit ihren zwar theoretisch ungünstigen, aber leicht zu bedienenden und wenig kostspieligen Regulierungen und geringen Umlaufszahlen. Ueberhaupt steht gerade im Turbinenbau die unendliche Mannigfaltigkeit der vorliegenden natürlichen Verhältnisse einer Schematisierung der Konstruktionen im Wege und erschwert ihre Ausführung als Massenartikel. Die massgebenden Faktoren der Turbine, Wassermenge und Gefälle, sind fast immer auch noch für jeden einzelnen Fall zeitlich veränderlich und ausserdem mit den verschiedensten Anforderungen bezüglich Umlaufszahl und Leistung in Einklang zu bringen. Den hierdurch gegebenen Bedingungen hat der ausführende Konstrukteur je nach der Lage der Dinge in der einen oder anderen Weise, unter vorwiegender Berücksichtigung des einen oder anderen Umstandes gerecht zu werden. Die theoretische Betrachtung, soweit sie in der Fachlitteratur der letzten Jahre zu Tage tritt, bietet über die Abhängigkeit der Turbine von eben jener Veränderlichkeit wenig zusammenhängende Untersuchungen, wohl nicht zum mindesten aus dem Grunde, weil genaue Bremsversuche und Wassermessungen, namentlich bei grösseren Anlacen, bedeutenden Schwierigkeiten begegnen. Bei dem dadurch bedingten Mangel an Erfahrungswerten müssen auch in den bekannten Lehrbüchern über die Theorie der Turbinen die genauen theoretischen Berechnungen, welche besonders den verwickelten Vorgängen beim Uebergang des Wassers vom Leitrad in das Laufrad auf den Grund zu gehen suchen, zu ihrer Korrektur auf mancherlei Koeffizienten von sehr unsicherem Werte zurückgreifen. Die vorliegenden Untersuchungen haben, ohne auf diese speziellen Fragen näher einzugehen, den Zweck, mittels einer angenäherten Methode und an der Hand eines bestimmten Beispieles vergleichsweise festzustellen, welchen Einfluss bei den Ueberdruckturbinen Veränderungen in den massgebenden Faktoren der Turbine: Wassermenge, Gefälle, Umlaufszahl auf die hydraulischen Verhältnisse im Lauf- und Leitrade ausüben, die entstehenden wesentlichen hydraulischen Verluste zu bestimmen, und vor allem die daraus resultierenden Drehmomente und Leistungen in ihrer Abhängigkeit von eben jenen Veränderungen zu untersuchen. Die Ergebnisse sollen in Schaulinien dargestellt werden, um ihre Gesetzmässigkeit, soweit sie vorhanden ist, und die daraus zu ziehenden Schlüsse erkennen zu lassen. (Auf die Zweckmässigkeit solcher Schaulinien weist auch Zeuner in seinem inzwischen erschienenen Buch: Vorlesungen über Theorie der Turbinen hin. Er leitet dabei ganz allgemein die zur Aufstellung einzelner solcher Diagramme führenden Gesetze aus Gleichungen her, die unter strenger Berücksichtigung aller Umstände den Gegenstand genauer umfassen, als es in der vorliegenden Arbeit beabsichtigt war.) Während im allgemeinen die Berechnung einer Turbine für die günstigste Umlaufszahl, d.h. stossfreien Eintritt des Wassers in das Laufrad und senkrechten Austritt erfolgt, wird dieser Zustand im Betriebe selbst häufig nicht eingehalten werden können; es sollen deshalb auch hier die rechnerischen Grundlagen ganz allgemein abgeleitet werden. Folgende Gleichungen, welche die hydraulischen Vorgänge vom Oberwasserspiegel bis Unterwasserspiegel verfolgen, seien dabei zu Grunde gelegt: Es bezeichne: H das gesamte zur Verfügung stehende Gefälle in m, Q die Wassermenge in cbm/Sek., H0 den Abstand des Oberwasserspiegels vom Eintrittsumfange des Laufrades, Hu den Abstand des Austrittsumfanges des Laufrades vom Unterwasserspiegel, HL die achsial gemessene Höhe, welche das Wasser im Laufrade durchfällt, h, h1, h2 die hydraulischen Ueberdruckhöhen im Spalt, im Eintritts- und Austrittsumfange des Laufrades, h_1-h_2=\frakfamily{h}_s das sogen. Ueberdruckgefälle des Laufrades, α den Winkel des absoluten Wasserweges mit der Eintrittskante des Laufrades, β, y die Winkel der Schaufelenden, d.h. des relativen Wasserweges mit der Eintritts- bezw. Austrittskante des Laufrades, ce die absolute Geschwindigkeit vor dem Laufrade, we die relative Eintrittsgeschwindigkeit am Laufrade, we' die zur Schaufelrichtung im Laufradeintritt parallele Komponente von we im Laufrade, wα die relative Austrittsgeschwindigkeit im Laufrade, cα die absolute Austrittsgeschwindigkeit, cα' die senkrecht zum Austrittsumfange gerichtete Komponente von cα, welche zugleich die Geschwindigkeit im Saugrohre sein soll, vo die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades am Eintritt, va die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades am Austritt, ρ1H die mit der Bewegung des Wassers bis zum Leitradaustritt verbundene Widerstandshöhe, ρ2' H Widerstandshöhe für den Uebergang zwischen Leit- und Laufrad, ρ3H Widerstandshöhe für die Bewegung im Laufrade, ρ4H Widerstandshöhe für die Bewegung vom Laufradaustritt bis zum Unterwasserspiegel. Die Geschwindigkeiten im Ober- und Unterwasserspiegel sind vernachlässigt. Die eingeführten Geschwindigkeiten gelten für den mittleren Wasserfaden; als mittlere Geschwindigkeiten sollen sie sich auf die ganze Breite der Turbine beziehen. Für die vier bekannten Bewegungsabschnitte des Wassers gelten dann die Gleichungen: h+\frac{{c_e}^2}{2\,g}=H-H_u-H_L-\varrho_1\,H h_1+\frac{(w'_e)^2}{2\,g}=h+\frac{w_e^2}{2\,g}-\varrho'_2\,H \begin{array}{rcl}H_2+\frac{{w_a}^2}{2\,g} &=& h_1+\frac{(w'_e)^2}{2\,g}+H_L+\frac{{v_a}^2-{v_e}^2}{2\,g}-\varrho_3\,H\\ O&=&h_2+\frac{{c_a}^2}{2\,g}+H_u-\varrho_4\,H. \end{array} Hierin hat we' als relative Eintrittsgeschwindigkeit nach erfolgtem Eintritt des Wassers in das Laufrad eigentlich nicht mehr die Bedeutung, wie vorher angegeben. Wird die letztere beibehalten, so liegt hierin eine Annäherung, welche durch die Bewertung der Widerstandskoeffizienten ausgeglichen werden kann, zu der man aber wegen der zweifelhaften Grösse dieser Koeffizienten, namentlich bei Berücksichtigung der Schaufeldicken, gezwungen ist, um überhaupt rechnen zu können. Aus der letzten Gleichung folgt, da der Gefällsverlust ρ4 H im wesentlichen =\frac{{c_a}^2}{2\,g} zu setzen ist: O = h2 + Hu. Wird dies berücksichtigt, und in der zweiten Gleichung h nach der ersten eingeführt, so entsteht: h_1-h_2=\frakfamily{h}_s=H-H_L-\frac{{c_e}^2}{2\,g} +\frac{{w_e}^2}{2\,g}-\frac{(w'_e)^2}{2\,g}-(\varrho_1+\varrho'_2)\,H. In dem Ausdruck ρ2' H ist für den Fall, dass die Turbine nicht mit der günstigsten Geschwindigkeit läuft, der Stossverlust \frac{{w_e}^2}{2\,g}-\frac{(w'_e)^2}{2\,g} (vgl. Fig. 1) mit enthalten, so dass man etwa setzen kann \varrho'_2\,H=\varrho_2\,H+\left[\frac{{w_e}^2}{2\,g}-\frac{(w'_e)^2}{2\,g}\right]. Darin stellt ρ2 H den Druckhöhenverlust dar, welcher unter allen Umständen, d.h. auch bei der günstigsten Umlaufszahl der Turbine mit der Bewegung des Wassers aus dem Spalt in das Laufrad verknüpft ist, während \frac{{w_e}^2-(w'_e)^2}{2\,g} nur dann auftritt, wenn die Umlaufszahl von der günstigsten abweicht. Setzt man den Wert für ρ2 H in die vorhergehende Gleichung ein, so erhält man: h_1-h_2=\frakfamily{h}_s=H-H_L-\frac{{c_e}^2}{2\,g}-(\varrho_1+\varrho_2)\,H. Das Ueberdruckgefälle erscheint also unabhängig von dem Stossverlust. Dagegen wird dieser bei der Bestimmung der Leistung der Turbine als Verlust berücksichtigt. Aus der Gleichung h_2+\frac{{w_a}^2}{2\,g}=h_1+\frac{(w'_e)^2}{2\,g}+H_L+\frac{{v_a}^2-{v_e}^2}{2\,g}-\varrho_3\,H folgt: h_1-h_2=\frakfamily{h}_s=\frac{{w_a}^2}{2\,g}-\frac{(w'_e)^2}{2\,g}-H_L+\frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g}+\varrho_3\,H Die Höhe HL, welche bei Radialturbinen entweder = O oder doch sehr klein wird, werde gegen H überhaupt vernachlässigt; auf den Wert von ce ist sie ohnehin von keinem Einfluss. Setzt man dann: (\varrho_1+\varrho_2)\,H=(\varphi_1+\varphi_2)\,\frac{{c_e}^2}{2\,g}; ferner \varrho_3\,H=\varphi_3\,\frac{{w_a}^2}{2\,g} so entsteht: \frakfamily{h}_s=H-(1+\varphi_1+\varphi_2)\,\frac{{c_e}^2}{2\,g} . . . 1) \frakfamily{h}_s=(1+\varphi_3)\,\frac{{w_a}^2}{2\,g}-\frac{(w'_e)^2}{2\,g}+\frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g} . . . 2) Der Winkel β werde hier, als bei Ueberdruckturbinen, allgemein = 90° genommen, so dass we' = cesin α . . . . . . 1a) Der gesamte Eintrittsquerschnitt des Laufrades senkrecht zur Richtung von we' sei f_{e_r}; der Austrittsquerschnitt senkrecht wa sei f_{e_r}; dann gilt für ein bestimmtes Laufrad: w_e\cdot f_{e_r}=w_a\cdot f_{a_r} oder 3) \frac{w'_e}{w_a}=\frac{f_{a_r}}{f_{e_r}}=\mbox{Konst.}; und aus Gleichung 2) und 3) entsteht, da w_a=\frac{w'_e}{a} ist: \frakfamily{h}_s=(1+\varphi_3)\,\frac{(w'_e)^2}{a^2\,2\,g}-\frac{(w'_e)^2}{2\,g}+\frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g} 4) Es war aber we' = ce sin α, also wird \frakfamily{h}_s=\frac{(1+\varphi_3)\,sin^2\,\alpha}{a^2}\cdot \frac{{c_e}^2}{2\,g}-\frac{{c_e}^2\,sin^2\,\alpha}{2\,g}+\frac{v^2-{v_a}^2}{2\,g} oder \frakfamily{h}_s=\frac{{c_e}^2}{2\,g}\,\left[\left(\frac{1+\varphi_3}{a^2}-1\right)\,sin^2\,\alpha\right]+\frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g} \frakfamily{h}_s=\frac{{c_e}^2}{2\,g}\,\left[\frac{(1+\varphi_3-a^2)\,sin^2\,\alpha}{a^2}\right]+\frac{v^2-{v_a}^2}{2\,g} 4a) Aus 1) und 4a) folgt nunmehr: \left{{\frac{{c_e}^2}{2\,g}=\frac{H-\frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g}}{\frac{sin^2\,\alpha}{a^2}\,(1+\varphi_3-a^2)+(1+\varphi_1+\varphi_2)}}\atop{=\frac{H-\frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g}}{b}}}\right\}\ .\ 5) Für Achsialturbinen würde ve = va, also einfach \frac{{c_e}^2}{2\,g}=\frac{H}{b}=\mbox{Konst.}\,\cdot\,H . . . . 5a) Folgende hydraulische Verluste sollen nunmehr, vom Oberwassergraben bis Unterwasserspiegel, bei der Bewegung des Wassers in Rechnung gezogen werden (von den mechanischen Verlusten sei ganz abgesehen): 1) \frac{(\varphi_1+\varphi_2)\,{c_e}^2}{2\,g} 2) \frac{\varphi_3\,{w_a}^2}{2\,g}=\varphi_3\,H 3) Stossverlust beim Eintritt des Wassers in das Laufrad =\frac{{c_n}^2}{2\,g}, soweit derselbe nicht bereits in \varphi_2\,\frac{{c_e}^2}{2\,g} enthalten ist. Textabbildung Bd. 317, S. 3 Fig. 1. In Fig. 1 ist w_e=\overline{a\,b} die aus ve und ce konstruierte Relativgeschwindigkeit des Wassers; für die relative Bewegung durch das – feststehend gedachte – Laufrad kann aber nur die Projektion von we auf die Laufradrichtung, d.h. we' ausgenutzt werden. Da nun im Dreieck (a\,b\,c)\,:\,(\overline{b\,c})^2=(\overline{a\,b})^2-(\overline{a\,c})^2 ist, so bedeutet \frac{{c_n}^2}{2\,g}=\frac{(\overline{b\,c}^2)}{2\,g} den durch Stoss zerstörten Teil der Geschwindigkeitshöhe des Wassers am Eintritt in das Laufrad. 4) Verlust durch die absolute Austrittsgeschwindigkeit des Wassers: \frac{{c_a}^2}{2\,g}. Die Summe aller dieser Verluste „ΣV“. ist von H abzuziehen; der Rest, als Bruchteil von H ausgedrückt, ergibt den hydraulischen Wirkungsgrad der ηh Turbine. Bezeichne ich die in einem beliebigen Falle von der Turbine geschluckte Wassermenge allgemein mit Q, im Gegensatz zu der Wassermasse Q0, welche für den normalen Gang vorausgesetzt ist, so ergibt N_h=\frac{1000\,\eta_k\,Q\,H}{75} die Leistung der Turbine in PS. Das von der Turbine geleistete Drehmoment ergibt sich zu M_d=716,2\,\frac{N_k}{n}\mbox{ mkg} oder, wenn De der Durchmesser des Laufrades am Eintritt ist: M_d=\frac{716,2\,N_h\,D_e\,\pi}{60\,v_e}. Um die Uebersichtlichkeit der folgenden Rechnungen nicht allzu sehr zu erschweren, sind bei der Ermittelung von ηh kleine Verluste unberücksichtigt gelassen, die bei einer genaueren Berechnung in Betracht zu ziehen wären. So wurde der Spalt zwischen Lauf- und Leitrad als unendlich schmal angenommen, und der durch Ausspritzen des Wassers aus demselben entstehende Verlust an Wassermenge vernachlässigt; desgleichen ist auf den Stoss des Wassers infolge der Schaufelköpfe keine besondere Rücksicht genommen. Diese Vernachlässigung erscheint aber gerechtfertigt im Hinblick auf die oben bereits erwähnte Unsicherheit der eingeführten Koeffizienten überhaupt, deren Grösse hier als ganz unmassgeblich angenommen werden soll; allenfalls wäre nur zum Schluss das errechnete ηh entsprechend zu korrigieren. Weiterhin ist angenommen worden, dass die absolute Austrittsgeschwindigkeit ce zugleich die Geschwindigkeit im Saugrohre darstellt, und nach dessen unterem Ende hin dieselbe bleibt. Bekanntlich lässt sich dieser Verlust \frac{{c_e}^2}{2\,g} aber zum Teil noch dadurch wieder gewinnen, dass man das Saugrohr nach unten erweitert und dadurch die Geschwindigkeit des Wassers im Saugrohr nach unten hin verkleinert; denn nur die am Austritt des Saugrohres herrschende Geschwindigkeitshöhe ist für die Turbine verloren. Textabbildung Bd. 317, S. 3 Fig. 2. Als Beispiel, an welchem die Rechnungen durchgeführt sind, wurde eine Francis-Turbine gewählt, welche für H = 3,24 m und Q0 = 2,58 cbm/Sek. thatsächlich ausgeführt ist. Die Anordnung derselben, welche aus Fig. 2 hervorgeht, ist die normale mit stehender Welle und an das Laufrad anschliessendem Saugrohr. Das Laufrad besitzt die gewöhnliche Form bei einem äusseren Durchmesser Da = 1500 mm, einem inneren Di = 1022 mm, gemessen am „mittleren Wasserfaden“. Die Zahl der Laufradschaufeln ist 28, die der drehbaren Leitradschaufeln 32, die Breite des Laufrades 335 mm. Textabbildung Bd. 317, S. 4 Fig. 3. Für den Fall des günstigsten Laufes, also stossfreien Eintritt des Wassers und senkrechten Austritt war dabei angesetzt: ve = m/Sek. = 2,9 √√H (entsprechend n = 66) \begin{array}{rcl}v_a&=&b_1\,v_e=\frac{1022}{1500}\,c_e=0,682\,v_e\\ &=&3,53\mbox{ m/Sek.}=1,97\,\sqrt{H}\end{array} ∢ β = 90°; ∢ γ = 29° 30; ca ⊥ va und ca = va tgγ ca' =ca =1,115 √H = 2,04 m/Sek ; \frac{{c_a}^2}{2\,g}=0,06\,H.. Für eben jenen oben genommenen Fall des günstigen Ganges ergab die Stellung der Leitradschaufel einen ∢ a = 21° 50'. Ferner war berechnet w_a=\frac{v_a}{cos\,\gamma}=4,08\mbox{ m/Sek.}=2,27\,\sqrt{H} we' = we = ve tga = 5,21 . 0,401 = 2,12 m/Sek. = 1,18 √H also (Gleichung 3) \frac{w'_e}{w_a}=\frac{f_{a_r}}{f_{e_r}}=a=0,523.. Der Querschnitt fe des Leitrades, senkrecht ce gemessen, ergab sich zu fe = 0,459 qm. Textabbildung Bd. 317, S. 4 Fig. 4. Die angegebenen Geschwindigkeiten ca und wa beziehen sich auf den „mittleren Wasserfaden“ des Laufrades, den wir uns etwa durch die Mitte der Austrittskante geführt denken; in Wirklichkeit ändert sich die Grösse von wa über den Austrittsbogen, während sie hier als gleichmässig über dessen ganze Länge verteilt angenommen ist. Die aufgestellten Beziehungen gelten in dieser Form aber auch ganz allgemein für eine gewöhnliche Radialturbine äusserer Beaufschlagung mit Schaufeln konstanter Breite bei Einhaltung der gegebenen Messe (vgl. Fig. 4). Dazu soll ferner zunächst der ∢ α nicht als veränderlich angesehen werden, sondern soll die angegebene Grösse von 21° 50' als unverändert beibehalten werden, wie das bei einer jeden Turbine mit feststehenden Leitradschaufeln der Fall ist. Unter Zugrundelegung der obigen Abmessungen soll nunmehr zunächst festgestellt werden, welchen Einfluss eine Veränderung in der Umlaufszahl der Turbine auf die bezüglichen Geschwindigkeiten u.s.w. im Laufrade, und damit auf die Leistung und das ausgeübte Drehmoment bewirkt. Eine derartige Veränderung tritt im Betriebe bei jeder Ent- oder Belastung der Turbine auf; eine Entlastung, d.h. eine Verkleinerung des von der Turbine zu überwindenden Drehmomentes, bewirkt jedesmal, wie bekannt, eine Erhöhung der Umlaufszahl, während eine Belastung, d.h. eine Vergrösserung des zu überwindenden Drehmomentes eine Verringerung der Umlaufszahl zur Folge hat. Die eventuell vorhandene Reguliervorrichtung hat diese Geschwindigkeitsänderungen auszugleichen. Das nutzbare Gefälle H der Turbine werde als konstant angesehen; dann galt nach der oben entwickelten Gleichung 5) \frac{{c_e}^2}{2\,g}=\frac{H-\frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g}}{\frac{sin^2\,\alpha}{a^2}\,(1+\varphi_3-a^2)+(1+\varphi_1+\varphi_2)} =\frac{H-\frac{{v_e}^2-{}v_a^2}{2\,g}}{b} Ich setze nunmehr ve = a1 √H, worin a1 veränderlich. (Ebenso wie ve mögen alle Grössen, der Einfachheit der Rechnung wegen, als entsprechende Vielfache von √H ausgedrückt werden.) So ist ve2 = a1 √H; ve2 = a12 H; va=b1 ve – b1 a1 √H va2 = a12 b12 H; ve2 – va2 = aa2 (1 – b12) H oder, da. b_1=\frac{D_a}{D_e}=0,628;\ \frac{{v_e}^2-{v_a}^2}{2\,g}=0,027\,{a_1}^2\,H=a_2\,H. In dem Ausdruck „b“ der Gleichung 5) sind für den vorliegenden Fall die Koeffizienten φ1 + φ2 = 0,12; φ3 = 0,08 (nach Angaben von Prof. Reichet) angenommen und zwar als konstant für die verschiedenen Geschwindigkeiten; eine Annahme, die der Wirklichkeit nicht ganz entsprechen wird. Dafür wird: b= 1,525 und 6) \frac{{c_e}^2}{2\,g}=\frac{H=a_2\,H}{b}=\frac{H\,(1-a_2)}{b}=\frac{H\,(1-a_2)}{1,525}. Daraus findet man 7) c_e=\sqrt{\frac{2\,g}{b}}\,\sqrt{1-a_2}\,\sqrt{H}=3,59\,\sqrt{1-a_2}\,\sqrt{H} und 8) Q = cefe als die jeweilig von der Turbine geschluckte Wassermenge. Nach Gleichung 1a) ist weiter we1 = ce sin α = 0,372 ce. Die Grösse von we selbst ist danach leicht zeichnerisch zu ermitteln aus ve, ce und ∢ α damit auch die Grösse cn, welche den Stossverlust beim Eintritt bestimmt (vgl. Fig. 1). Weiter ist nach Gleichung 3): w_a=\frac{w'_e}{a}=\frac{w'_e}{0,523} bestimmt, und aus dem bekannten Wert va = b1 ve und wa und ∢ γ lässt sich nunmehr auch ca leicht zeichnerisch feststellen. Damit ist man in der Lage, die oben angegebenen hydraulischen Verluste sämtlich auszurechnen, also auch ηh und es wird sodann N_h=\frac{\eta_h\,Q\,H\,1000}{75} Bezeichnet ferner A die Arbeit in mkg, ω die Winkelgeschwindigkeit der Turbine, so ist bekanntlich A=M_d\,\omega;\ M_d=\frac{A}{\omega}=\frac{A\,D_e}{2\,v_e}, also sind M_d=\frac{A\,1,5}{2\,a_1\,\sqrt{H}}=\frac{0,417\,A}{a_1\,\sqrt{H}}. Denke ich nunmehr ve = a1 √Hverändert von O√H bis 6√H, entsprechend einer Aenderung der Umlaufszahlen von n = 0 bis w = 137, so ergibt die nach obigen Angaben durchgeführte Rechnung die in den folgenden Tabellen 1 bis 6 enthaltenen Werte. Tabelle 1. Nr. a 1 a 1 2 a2 = 0,027 a2 1 – a2   1 0,0   0,0      0,0 1,0   2 0,5   0,25      0,0068 0,9932   3 1,0   1,0      0,0272 0,9728   4 1,5   2,25      0,0612 0,9388   5 2,0   4,0      0,109 0,8910   6 2,5   6,25      0,17 0,8300   7 3,0   9,0      0,244 0,7560   8 3,5 12,25      0,333 0,6670   9 4,0 16,0      0,435 0,5650 10 4,5 20,25      0,55 0,4500 11 5,0 25,0      0,68 0,3200 12 5,5 30,25      0,824 0,1760 13 6,0 36,0      0,980 0,0200 Tabelle 2. Nr. \frac{{c_e}^2}{2\,g}=\frac{(1-a_2)\,H}{1,525} \sqrt{1-a_2} ce Q = 0,459 ce n   1 0,656  H 1,0 3,59 √H 1,65 √H     0,0   2 0,652   „ 0,996 3,58   „ 1,65   „   11,4   3 0,638   „ 0,986 3,53    „ 1,62   „   22,8   4 0,617   „ 0,969 3,48    „ 1,60   „   34,3   5 0,585   „ 0,943 3,38    „ 1,55   „   45,6   6 0,545   „ 0,912 3,27    „ 1,50   „   57,2   7 0,496   „ 0,870 3,12    „ 1,43   „   68,4   8 0,437   „ 0,817 2,93    „ 1,35   „   80,0   9 0,371   „ 0,753 2,70    „ 1,24   „   91,5 10 0,296   „ 0,671 2,41    „ 1,11   „ 103,0 11 0,210   „ 0,566 2,03    „   0,935 „ 114,0 12 0,116   „ 0,419 1,51    „   0,694 „ 126,0 13 0,0131 „   0,1145 0,411  „   0,189 „ 137,0 Tabelle 3. Nr. \frakfamily{h}_s we' = ce sin α we(graph. best.)   1 0,265 H    1,335 √H 3,59 √H   2 0,270  „ 1,33    „ 3,12   „   3 0,286  „ 1,31    „ 2,63   „   4 0,309  „ 1,29    „ 2,16   „   5 0,344  „ 1,255  „ 1,87   „   6 0,390  „ 1,215  „ 1,33   „   7 0,445  „ 1,16    „ 1,17   „   8 0,511  „ 1,09    „ 1,33   „   9 0,583  „ 1,00    „ 1,81   „ 10 0,669  „ 0,895  „ 2,45   „ 11 0,765  „ 0,755  „ 3,20   „ 12 0,873  „ 0,561  „ 4,13   „ 13 0,985  „ 0,153  „ 5,62   „ Tabelle 4. Nr. w_a=\frac{w'_e}{a} ca' = wa' sin γ ca(graph. best.) \frac{{c_a}^2}{2\,g}   1 2,55  √H   1,255 √H 2,55 √H 0,331 H   2 2,54    „ 1,25     „ 2,24    „ 0,256  „   3 2,51    „ 1,23     „ 1,92    „ 0,187  „   4 2,47    „ 1,215   „ 1,64    „ 0,137  „   5 2,40    „ 1,18     „ 1,39    „ 0,098  „   6 2,325  „ 1,145    „ 1,19    „ 0,072  „   7 2,22    „ 1,095    „ 1,10    „ 0,062  „   8 2,08    „ 1,025    „ 1,17    „ 0,070 „   9 1,91    „ 0,94      „ 1,42    „ 0,103  „ 10 1,71    „ 0,843    „ 1,78    „ 0,161  „ 11 1,48    „ 0,728    „ 2,24    „ 0,264  „ 12 1,07    „ 0,527    „ 2,86    „ 0,416  „ 13 0,293  „ 0,144    „ 3,83    „ 0,746  „ Tabelle 5. Nr. \frac{{c_n}^2}{2\,g} (\varphi_1+\varphi_2)\,\frac{{c_e}^2}{2\,g} \varphi_3\,\frac{{w_a}^2}{2\,g} ΣV   1 0,565 H 0,079  H 0,027 H 1,002  H   2 0,408  „ 0,078   „ 0,026  „ 0,768   „   3 0,264  „ 0,076   „ 0,026  „ 0,553   „   4 0,154  „ 0,074   „ 0,025  „ 0,390   „   5 0,067  „ 0,0702 „ 0,023  „ 0,2582 „   6 0,015  „ 0,0654 „ 0,022  „ 0,1744 „   7 0,007  „ 0,0595 „ 0,020  „ 0,144   „   8 0,030  „ 0,0525 „ 0,018  „ 0,1705 „   9 0,115  „ 0,0445 „ 0,015  „ 0,277  „ 10 0,263  „ 0,0355 „ 0,012  „ 0,471  „ 11 0,492  „ 0,0260 „ 0,009  „ 0,791  „ 12 0,855  „ 0,0135 „ 0,005  „ 1,289  „ 13 0,608  „ 0,0016 „ 0,000  „ 2,355  „ Tabelle 6. Nr. ηh Wirklich ver-brauchtesQ Am/kg Nh Md   1    0,0 1,65 √H       0 H3/2  =      0 m/kg     0,0 –   2 0,232 1,65    „   383  „     = 2230  „    29,6 1860   3 0,447 1,62    „   724  „     = 4210  „    56,1 1764   4 0,610 1,60    „   975  „     = 5680  „    76,0 1580   5 0,742 1,55    „ 1148  „     = 6690  „    89,5 1392   6 0,825 1,50    „ 1235  „     = 7200  „    96,1 1200   7 0,856 1,43    „ 1220  „     = 7110  „    94,9   985   8 0,830 1,35    „ 1120  „     = 6530  „    87,1   767   9 0,723 1,24    „   894  „     = 5200  „    69,5   543 10 0,529 1,11    „   588  „     = 3430  „    45,8   318 11 0,209      0,935  „   196  „     = 1140  „    16,0     95 12 – 0,289      0,694  „   201  „     = 1170  „ – 15,6 –  91 13 1,355      0,189  „   256  „     = 1490  „ – 19,9 – 104 Die Resultate der Rechnung sind veranschaulicht in den umstehenden Diagrammfig. 5 bis 8. Auf Fig. 5 sind zunächst die errechneten hydraulischen Wirkungsgrade aufgetragen; die Kurve derselben zeigt die bekannte parabolische Form. Ganz ähnlich ist die Leistungskurve, nur etwas nach dem Nullpunkt verschoben, so dass das Maximum der Leistung nicht mit dem Minimum des Wirkungsgrades genau zusammenfällt. Das bekannte Gesetz, dass die Turbine beim Leerlauf, d.h. einem hydraulischen Wirkungsgrad ηh = 0 doppelt so schnell läuft, als bei maximalem Wirkungsgrad, findet sich durch die Kurve fast genau bestätigt. Dem gegenüber zeigt die Kurve des Drehmomentes eine ausgesprochen geradlinige Form, deren kurze, scharfe Krümmung nahe dem Nullpunkt wohl nur auf die bei den kleinen Zahlenwerten auftretenden Ungenauigkeiten der Rechnung zurückzuführen ist, die aber im übrigen die Veränderung des Momentes in den Grenzen, in denen gewöhnlich die Umlaufszahl der Turbine im Betriebe sich bewegt, als umgekehrt proportional der Umlaufszahl anzunehmen gestattet. In Fig. 7 ist die Konstruktion der verschiedenen Werte von we und cn bezw. wa und ca aus ve, ce und H bezw. va, wa und ∢ γ durchgeführt; man erkennt, wie sich die Richtungen von we und ca in weiten Grenzen ändern. In Fig. 8 sind die zugehörigen Kurven aufgezeichnet; ebenso die für \frakfamily{h}_8 und \frac{{c_e}^2}{2\,g}\cdot (1+\varphi_1+\varphi_2). Auf Fig. 6 sind die einzelnen Werte von Q und ce als Ordinaten von ve aufgetragen; die sich ergebende Kurve für Q zeigt, welche Wassermenge bei einem einmal gegebenen Turbinenquerschnitt einer jeden Umlaufszahl notwendig zugehört. Diese Wassermenge vergrössert sich mit abnehmender Umlaufszahl immer weniger; gegenüber der normalen Umlaufszahl im ganzen nur noch um etwa 10 %. Vorausgesetzt ist dabei natürlich, dass der Oberlauf eine derartige Erhöhung des Wasserverbrauches zulässt, was wohl in den meisten Fällen, wenigstens für geringere Zeitdauer anzunehmen ist (nur in diesem Fall gilt die hier festgestellte Gesetzmässigkeit zwischen Wasserverbrauch, Umlaufszahl und ausgeübtem Drehmoment). Greift eine Regulierung nicht ein, so wird sich also die Turbine bei einem gewissen von ihr zu überwindenden Drehmoment selbstthätig auf eine ganz bestimmte Umlaufszahl einstellen; dabei verbraucht sie die dieser entsprechende Wassermenge und liefert auch eine bestimmte Leistung und einen bestimmten Wirkungsgrad. Textabbildung Bd. 317, S. 6 Fig. 5. Radialturbine. Veränderl. v; H konst. Textabbildung Bd. 317, S. 6 Fig. 6. Radialturbine. Veränderl. v; H konst. Diese Thatsache ist von Wichtigkeit für Turbinenbremsungen, wie sie z.B. bei Abnahmeversuchen stattfinden. Dabei wird gewöhnlich für eine bestimmte, als normal bezeichnete Beaufschlagung und Umlaufszahl ein bestimmter Wirkungsgrad verlangt bezw. garantiert. Um diesen nun richtig zu ermitteln, müssen die Wassermessungen im Obergraben, falls sie nicht gleichzeitig mit den Bremsversuchen ausgeführt werden können, erfolgen, während die Turbine genau unter jenen Bedingungen läuft; nur dann, läuft in beiden Fällen auch die gleiche Wassermenge hindurch und wird sich bei gleicher Belastung der Bremse derselbe Wirkungsgrad ergeben. In dieser Weise muss auch für jede andere Umlaufszahl die Wassermenge genau ermittelt werden, um richtige Werte von Nh zu finden; dabei wäre zugleich festzustellen, ob nicht bei einer anderen, als der vorgesehenen normalen Umlaufszahl die Turbine einen besseren Wirkungsgrad zeigt oder eine grössere Leistung, d.h. ob sie nicht insofern schlecht konstruiert ist, als sie bei jener normalen Umlaufszahl einen Teil der vorhandenen Wassermenge zurückhält, was nicht immer ohne weiteres am Stand des Obergrabens zu erkennen wäre. Soll nun, wie das auch oft geschehen mag, eine bestimmte Leistung herausgebremst werden, so ist ebenfalls zu untersuchen, in welcher Beziehung diese zu dem Nutzeffekte steht. Nur im Zusammenhang der drei massgebenden Faktoren: Wirkungsgrad, Leistung und Umlaufszahl mit der verbrauchten Wassermenge, wie ihn die hier aufgestellten Kurven erkennen lassen, lässt sich die Turbine genau beurteilen; da aber obendrein genaue Wassermessungen an sich bereits in vielen Fällen erhebliche Schwierigkeiten verursachen, liegt es auf der Hand, dass derartige Turbinenbremsungen mit grosser Sorgfalt ausgeführt werden müssen, falls die Resultate Anspruch auf wissenschaftliche Zuverlässigkeit haben sollen. Textabbildung Bd. 317, S. 6 Fig. 7. Radialturbine. Veränderl. v: H konst. Von besonderer Wichtigkeit ist das hier besprochene Verhältnis zwischen Drehmoment, Umlaufszahl und Wassermenge auch für das Eingreifen selbstthätiger Regulierungen. Wenn eine Turbine, die mit normaler Winkelgeschwindigkeit ω0 läuft, ent- oder belastet wird, so bedeutet das, dass das von ihr zu überwindende Lastmoment Md0 in einen Wert Md1 übergeht, der kleiner bezw. grösser ist als Md0, und nach unserem Diagramm einer ganz bestimmten Winkelgeschwindigkeit w1 entspricht, wobei w1≷ w0. Es sei z.B. durch plötzliche Entlastung Md1 < Md0; dann wird ein Moment (Md0 – Md1) = Mr frei, welches der Turbine eine Winkelbeschleunigung \varepsilon=\frac{M_r}{J} erteilt, wenn J das Trägheitsmoment der mit der Turbinenwelle verbundenen Schwungmassen ist. Diese Winkelbeschleunigung würde in t1 Sekunden der Turbine die dem Moment Md1 entsprechende Winkelgeschwindigkeit ω1 erteilen, und es bestimmt sich demnach t1 aus \varepsilon\,t_1=(\omega_1-\omega_0) zu t_1=\frac{\omega_1-\omega_0}{\varepsilon}. Textabbildung Bd. 317, S. 7 Fig. 8. Radialturbine. Veränderl. v; H konst. Das Gesetz der Winkelgeschwindigkeiten ergibt die Fig. 9. Der Regulierungsvorgang ist nun allgemein so zu denken, dass nach t2 Sekunden der Schwungkugelregulator ausschlägt; hat dabei die Turbine bereits eine Winkelgeschwindigkeit ω2 erreicht, so bedeute das einen Unempfindlichkeitsgrad des Regulators U_2=\frac{\omega_2-\omega_0}{\omega_0}, wobei t_2=\frac{\omega_2-\omega_0}{\varepsilon}=\frac{u_2\,\omega_0}{\varepsilon}. Das von dem Regulator bethätigte mechanische oder hydraulische Relais wird erst nach weiteren t3 Sekunden den eigentlichen Reguliermechanismus der Turbine bethätigen, hat also selbst einen Unempfindlichkeitsgrad u_3=\frac{\oemga_3-\omega_2}{\omega_0}. Der gesamte Reguliermechanismus besitzt also eine Unempfindlichkeit U_t=u_2+u_3=\frac{\omega_3-\omega_0}{\omega_0}, welche ihn nach t=\frac{\omega_3-\omega_0}{\varepsilon} Sekunden eingreifen lässt, während welcher die Turbine bereits eine Winkelgeschwindigkeit ω3 erreicht hat. Es ist also U_t=\frac{\omega_3-\omega_0}{\omega_0}=\frac{t\cdot \varepsilon}{\omega_0}=\frac{t\,(M_{d_0}-M_{d_1})}{J}. Textabbildung Bd. 317, S. 7 Fig. 9. Wird für t wie gewöhnlich nach Erfahrungen über vorliegende Konstruktionen ein bestimmter Wert angenommen (z.B. 2 bis 4 Sekunden), so zeigt sich hier, wie der Unempfindlichkeitsgrad der gesamten Reguliervorrichtung abhängig ist einmal von den angenommenen äussersten Grenzen der Entlastung, andererseits von den an der Turbine hängenden Schwungmassen; durch Vergrösserung von J, d.h. der Schwungmassen, kann U verkleinert werden und umgekehrt. Näheres Eingehen auf diese Vorgänge würde eine genauere Erörterung einzelner Konstruktionen erfordern und daher hier zu weit führen, die Aufstellung der hier angegebenen Diagramme gestattet aber, um das nur hervorzuheben, von vornherein genauere rechnerische Grundlagen für die zu ermittelnde Regulierung aufzustellen. (Fortsetzung folgt.)