Elementare Bestimmung der grössten Momente eines Trägers, hervorgebracht von einer beweglichen und einer gleichmässig verteilten Last unter den beweglichen Lasten. Von Prof. G. Ramisch in Breslau. Elementare Bestimmung der grössten Momente eines Trägers u.s.w. In der Figur sei ein Träger A0 B0 von der gleichmässig verteilten Last Q und den beweglichen Einzellasten P1 P2 P3 ... P ... Pn Pn + 1 ... Pm Pm + 1 ..., welch letztere jedoch ihre gegenseitigen Entfernungen nicht verändern dürfen, beansprucht. Ist B die Resultante der beweglichen Lasten, hat sie zur Entfernung r vom Auflager B0 und ist l die Spannweite des Trägers, so erzeugen diese Lasten in A0 den Auflagerdruck: R\,\cdot\,\frac{r}{l}. Die gleichmässig verteilte Last erzeugt den Auflagerdruck: \frac{Q}{2}, daher ist der von der Gesamtlast hervorgebrachte Auflagerdruck in A0 : A=\frac{R\,\cdot\,r}{l}+\frac{Q}{2}. Textabbildung Bd. 317, S. 137 Sind p1 p2 p 3 ... die bezüglichen Entfernungen der Lasten P1 P2 P3 ... von der Einzellast P, so ist das Biegungsmoment des Balkens unter P, wenn noch x der Abstand des Auflagerdruckes A von P ist: M=\left(\frac{R\,r}{l}+\frac{Q}{2}\right)\,x-(P_1\,p_1+P_2\,p_2+P_3\,p_3...)-\frac{1}{2}\,\frac{Q}{l}\,\cdot\,x^2. Die Lasten mögen sich um die beliebige Strecke Δ nach rechts verschieben; es ändern sich dann nur r und x, während p1 p2 p3... unverändert bleiben. Das Biegungsmoment unter P hat jetzt den Wert: M_1=\left(\frac{R\,(r-\Delta)}{l}+\frac{Q}{2}\right)\,\cdot\,(x+\Delta)-(P_1\,p_1+P_2\,p_2+P_3\,p_3...)-\frac{1}{2}\,\frac{Q}{l}\,(x+\Delta)^2. Dasselbe geschieht, wenn sich die Lasten um Δ nach links verschieben und das Biegungsmoment unter P hat jetzt den Wert: M_2=\left(\frac{R\,(r+\Delta)}{l}+\frac{Q}{2}\right)\,\cdot\,(x-\Delta)-(P_1\,p_1+P_2\,p_2+P_3\,p_3)-\frac{1}{2}\,\frac{Q}{l}\,(x-\Delta)^2. Soll nun M den grössten Wert haben, so muss: M 1 – M < 0 und M 2 – M < 0 sein. Es ergibt sich daher: \left(\frac{R\,(r-\Delta)}{l}+\frac{Q}{2}\right)\,\cdot\,(x+\Delta)-\left(\frac{R\,r}{l}+\frac{Q}{2}\right)\,\cdot\,x-\frac{1}{2}\,\frac{Q}{l}\,[(x+\Delta)^2-x^2]\,<\,0 und \left(\frac{R\,(r+\Delta)}{l}+\frac{Q}{2}\right)\,(x-\Delta)-\left(\frac{R\,r}{l}+\frac{Q}{2}\right)\,x-\frac{1}{2}\,\frac{Q}{l}\,[(x-\Delta)^2-x^2]\,<\,0 oder auch: \Delta\,\cdot\,\frac{R}{l}\,\cdot\,(r-x-\Delta)+\Delta\,\cdot\,\frac{Q}{2}-\Delta\,\frac{Q}{2\,l}\,(2\,x+\Delta)\,<\,0 und \Delta\,\cdot\,\frac{R}{l}\,\cdot\,(x-r-\Delta)-\Delta\,\cdot\,\frac{Q}{2}+\Delta\,\cdot\,\frac{Q}{2\,l}\,\cdot\,(2\,x-\Delta)\,<\,0. Wir nennen u den Abstand der Last P von der Resultante R, so ist: r = (l – u) – x. Hierdurch entsteht: \frac{R}{l}\,\cdot\,[(l-u)-2\,x-\Delta]-\frac{Q}{2}-\frac{Q}{2\,l}\,\cdot\,(2\,x+\Delta)\,<\,0 und \frac{R}{l}\,\cdot\,[2\,x-(l-u)-\Delta]-\frac{Q}{2}+\frac{Q}{2\,l}\,(2\,x-\Delta)\,<\,0 oder auch: \frac{R}{l}\,\cdot\,(l-u-\Delta)+\frac{Q}{2}\,\cdot\,\left(1-\frac{\Delta}{l}\right)\,<\,x\,\cdot\,\left(\frac{2\,R}{l}+\frac{Q}{l}\right) und: x\,\cdot\,\left(\frac{2\,R}{l}+\frac{Q}{l}\right)\,>\,\frac{R}{l}\,\cdot\,(l-u-\Delta)+\frac{Q}{2}\,\cdot\,\left(1+\frac{\Delta}{2\,l}\right). Daher ist endlich: \frac{\frac{R}{l}\,(l-u-\Delta)+\frac{Q}{2}\,\cdot\,\left(1-\frac{\Delta}{l}\right)}{\frac{1}{l}\,\cdot\,(2\,R+Q)}\,>\,x\,>\,\frac{\frac{R}{l}\,(l-u-\Delta)+\frac{Q}{2}\,\cdot\,\left(1+\frac{\Delta}{2\,l}\right)}{\frac{1}{l}\,\cdot\,(2\,R+Q)} Soll M den grössten Wert haben, so muss es auch dann geschehen, wenn Δ unendlich klein ist, dann kann man aber, wie man aus der letzten Ungleichung sieht, setzen: x=\frac{2\,R\,(l-u)+Q\,l}{2\,(2\,R+Q)} d.h. x=\frac{l}{2}-\frac{u}{2+\frac{Q}{R}} . . . . . 1) Dieser Wert von x lässt sich auch mittels der von Prof. Dr. Jakob J. Weyrauch in dem Buche: Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten Träger für Brüchen und Dächer auf der Seite 26 unten (3) mitgeteilten Formel: x=\frac{l}{2}+\frac{(P_1\,d_1+...+P_{m-1}\,d_{m-1})-(P_{m+1}\,\cdot\,d_{m+1}+...+P_n\,\cdot\,d_n)}{2\,\sum_0^l\,P+g\,l} ableiten. Der Zähler des Bruches ist nämlich nichts anderes als – R . u, ferner bedeuteten \sum_0^l\,P und gl bezw. R und Q. Wir nennen v den Abstand der Trägermitte M von der Einzellast P. Es ergibt sich dann aus der Gleichung 1) sofort: v=\frac{u}{2+\frac{Q}{R}} . . . . . 2) Wenn also die Last P von der Trägermitte die eben gefundene Entfernung v hat, so findet unter der Last ein grösstes Biegungsmoment statt. Zu bemerken ist hierbei, dass R und P zu verschiedenen Seiten von der Mitte liegen müssen, wodurch die Lage von P eindeutig bestimmt ist. Ist Q = 0, d.h. ist keine gleichmässig verteilte Last vorhanden, so ist: u=\frac{v}{2}, dann ist die Resultante genau so weit von der Mitte entfernt, als die Last P. Im allgemeinen ist v\,<\,\frac{u}{2} und zwar desto mehr, je grösser Q im Verhältnis zu B ist. Ist R = 0, so ist auch v = 0, d.h. das grösste Biegungsmoment fällt dann in die Trägermitte. Mittels der Gleichung 2) lässt sich ausserordentlich einfach die Stelle des grössten Biegungsmomentes unter der Einzellast P angeben, was namentlich dann von Vorteil ist, wenn die Ermittelung des grössten Biegungsmomentes praktisch geschehen soll. Man kann, wenn man P1 p1 + P2 p2 + P3 p 3... = Pp setzt, auch folgendermassen schreiben: M=x\,\left(\frac{R\,\cdot\,r}{l}+\frac{Q}{2}-\frac{Q}{2\,l}\,\cdot\,x\right)-\Sigma\,P\,p oder auch, da: r = l – u – x ist: M=x\,\cdot\,\left[\frac{R}{l}\,(l-u)+\frac{Q}{2}-x\,\left(\frac{R}{l}+\frac{Q}{2\,l}\right)\right]-\Sigma\,P\,p. Mit Rücksicht auf die Gleichung 1) entsteht hieraus: M=x\,\cdot\,\left\{\frac{R}{l}\,\left[l+\left(2+\frac{Q}{R}\right)\,\left(x-\frac{l}{2}\right)\right]+\frac{Q}{2}-\frac{x}{l}\,\left(R+\frac{Q}{2}\right)\right\}-\Sigma\,P\,p, d.h. M=\frac{x^2}{l}\,\cdot\,\left(R+\frac{Q}{2}\right)-\Sigma\,P\,\cdot\,p . . . 3) worin der Wert von x aus Gleichung 1) einzusetzen ist. Diese Formel dient zur Berechnung des Maximalmomentes unter der Last P und stimmt mit der Formel (4) von Prof. Weyrauch auf Seite 27 vollkommen überein. Man könnte mutmassen, dass das allergrösste Moment dann erreicht wird, wenn die Resultante R so nahe wie nur möglich an der Trägermitte sich befindet, indem die betreffende Last, unter der es stattfindet, auch sehr nahe an der Trägermitte liegt. Allein es wäre dies ein Trugschluss; denn mit x nimmt auch ∑Pp zu. Um es zu ermitteln, wird man unter jeder Last das grösste Moment bestimmen müssen und das grösste von den letzteren ist dann entweder das verlangte oder in der Nähe, innerhalb der gleichmässigen Belastung.