Die dynamischen Verhältnisse der Schachtfördermaschinen. Von Prof. M. Herrmann, kgl. ungarischer Bergrat in Schemnitz. (Schluss von S. 469 d. Bd.) Die dynamischen Verhältnisse der Schachtfördermaschinen. Für das Bremsen erhalten wir nun folgende Grundgleichungen. Den Ausgang bilden wieder die dynamischen Grundgleichungen von S. 469, jedoch ist nun statt des treibenden, das bremsende Kraftmoment MB = B . r einzuführen. Es ist also [– B – S1 + S2]r = Jσ, woraus folgt: die Bremsbeschleunigung (weil negativ, Verzögerung) c=-g\,\cdot\,\frac{B+P-2\,\gamma\,x}{a} . . . . 7) oder in H die Bremskraft B=2\,\gamma\,x-\frac{a}{g}\,c-P . . . . . 8) Auch jetzt ist es in zwei Fällen möglich, den Ausdruck für die Geschwindigkeit durch Integration in geschlossener Form darzustellen und zwar wieder für konstante Bremskraft und für konstante Verzögerung. Die Ausdrücke sind ähnlicher Natur, wie die für den Antrieb entwickelten, und ich fand in den abgenommenen Diagrammen Annäherungen sowohl an den einen, als auch an den anderen Fall. Nun sind aber alle Ausdrücke für konstante Beschleunigungen weitaus einfacher als jene, die sich auf konstante Bremskraft beziehen, und andererseits setzt konstante Beschleunigung immer ein allmähliches Anwachsen der Bremskraft voraus, während der andere Fall, plötzliches Eingreifen der Bremse erfordert. Es erscheint mir somit der erste Fall als der günstigere und weitaus häufigere, so dass ich nur diesen in Berücksichtigung ziehen werde. Bei konstanter Verzögerung ist also am Ende der Bremsperiode B am grössten, und wenn bis zum Stillstande in H gebremst wird c=-g\,\frac{B_{max}+R-\gamma\,H}{a}. Die Geschwindigkeitswegkurve folgt aus cdx = vdv v2 = 2cx + C. Beträgt nach Zurücklegung des Weges x 1, die Geschwindigkeit v1, so wird v2= v12– 2 cxl + 2 cx . . . . 9) Die G.-W.-Kurve ist somit eine Parabel, deren Achse mit der x-Achse zusammenfällt, jedoch wegen des wesentlich negativen Wertes von c entgegengesetzte Richtung hat wie die + x-Achse. Die Entfernung des Scheitels der Parabel beträgt vom Koordinatenursprunge x_1-\frac{{v_1}^2}{2\,C} und hängt von den zusammengehörigen Werten des x1 und v1 ab, der Parameter ist der Beschleunigung proportional und nur von dieser abhängig. Die Geschwindigkeitszeitkurve ergibt sich aus dv = cdt v = v1 + c (t – t1) . . . . . 10) Sie ist eine gerade Linie und die Tangente ihres Neigungswinkels gegen die + t-Achse ist gleich der Beschleunigung bezw. Verzögerung. (Wir zählen den Winkel von + t aus, im Sinne der Drehung von + t gegen + v.) c=\frac{v-v_1}{t-t_1}=-g\,\frac{B_{max}+P-2\,\gamma\,H}{a}. Die Grösse des durchlaufenen Weges beträgt x=x_1+v_1\,(t-t_1)+\frac{c}{2}\,(t^2-{t_1}^2) . . . 11) Behufs Feststellung des Zeitgeschwindigkeits-Diagrammes und der erforderlichen Trieb- und Bremskräfte, sowie des Arbeitsaufwandes für den vorliegenden Fall, kann folgendermassen vorgegangen werden. Textabbildung Bd. 317, S. 485 Fig. 6. Die Diagrammfläche muss wieder gleich sein dem Rechtecke von der Länge τ und der Höhe vk. Wir verzeichnen zunächst die Hauptzeitkurve und die Hauptwegkurve, letztere derart, dass die Teufe H durch dieselbe Länge dargestellt werde, wie die Fahrzeit τ. Der Schnittpunktliege jetzt ausserhalb der Länge τ, oder zum mindesten sehr in der Nähe der v-Achse (Fig. 6). Im Interesse der Sicherheit gegen das Ueberheben dürfte es zweckmässig sein, die Geschwindigkeit in gewisser Teufe unterhalb der Hängebank so festzustellen, dass die sich selbst überlassene Schale eben im Hängebankniveau zum Stillstande gelangt. Dies erfolgt, wenn das Ende der Bewegung nach den Hauptkurven verläuft, so dass z.B. das Wegstück \overline{\alpha'\,S} ohne Bremsung durchlaufen werde. Die hierzu erforderliche Zeit gibt \overline{a'\,S} an und es beträgt die Geschwindigkeit in der Teufe \overline{\alpha'\,S} dann aa' = αα'. Im Punkte α' hört das vorhergegangene Bremsen auf, nachdem die Bremskraft dort ihren Grösstwert erreicht hatte. Wählen wir diesen Wert und bezeichnen wir das Stück Oα' = x1, so ist die Bremsverzögerung nach Gleichung 7): c=-g\,\cdot\,\frac{B_{max}+P-2\,\gamma\,x_1}{a}. Nun zeichnen wir mit dem gefundenen Wert von c die G.-Z.-Kurve und die G.-W.-Kurve auf, aCA bezw. uΓA und erhalten ihren Schnittpunkt in A. Es ist nun Fläche A\,A\,C\,a\,S=v_k\,\cdot\,\overline{A\,S}. Die Ordinate von A schneidet die in der Entfernung 2 vk zur OS-Achse parallel gezogene Gerade im Punkte B, so dass OBACaS nun gleich ist vkτ. Behufs Wegschaffen des Stückes AB führen wir die angegebene Flächenverwandlung durch und erhalten im Linienzuge OCaS das gewünschte Diagramm für Antrieb mit konstanter Beschleunigung. Es erfolgt demnach längs der Strecke xm = Oγ Antrieb während der Zeit tm = OC, wobei die Geschwindigkeit vm = cC erreicht wird. Die grösste Triebkraft am Bewegungsbeginne beträgt T_0=P+\frac{a}{g}\,\cdot\,\frac{v_m}{t_m}, während dieselbe am Ende ist: P+\frac{a}{g}\,\cdot\,\frac{v_m}{t_m}-2\,\gamma\,x_m. Vom Punkte γ bis α' erfolgt Bremsen. Die maximale Bremskraft wurde gewählt, während beim Bremsbeginne dieselbe B = Bmax – 2 γ (x2 – xm) beträgt. Das letzte Wegstück α'S wird von der sich selbst überlassenen Förderschale in der Zeit a'S durchlaufen. Die vom Motor während einer Fahrt zu leistende Arbeit setzt sich aus zwei Teilen zusammen, und zwar aus der zum Heben der Nutzlast erforderlichen Arbeit RH und aus jener, welche durch das Bremsen wieder aufgezehrt wird. Dieser letztere Betrag ergibt sich aus dem Diagramme folgendermassen: Die geleistete Arbeit kann geschrieben werden L_T=\int_0^{x_m}\,T\,x=\int_0^{x_m}\,\left(P+\frac{a}{g}\,c-2\,x\,y\right)\,d\,x =\left(P+\frac{a}{g}\,c\right)\,x_m-\gamma\,{x_m}^2=T_0\,x_m-\gamma\,{x_m}^2. Laut Gleichung 2a) auf S. 471 ist aber {v_m}^2=2\,g\,\frac{T_0-P}{a}\,x_m, woraus folgt T_0\,x_m=\frac{a}{g}\,\cdot\,\frac{{v_m}^2}{2}+P\,x_m. Nach Addition und Subtraction von HR erhalten wir L_T=T_0\,x_m-\gamma\,{x_m}^2 =H\,R+\frac{a}{g}\,\frac{{v_m}^2}{2}-\gamma\,\left({x_m}^2-\frac{P\,x_m}{\gamma}+\frac{R\,H}{\gamma}\right). Nun ist aber nach Gleichung 5) der Klammerausdruck = α2vm'2, wenn wir unter vm' jene Geschwindigkeit verstehen, mit der sich die Förderschale in der Tiefe xm bewegen müsste, wenn sie, sich selbst überlassen, im Hängebankniveau zum Stillstande gelangen sollte. Folglich ist L_T=H\,R+\frac{a}{g}\,\cdot\,\frac{{v_m}^2-{v_m}'^2}{2}. Aus der Zeichnung ergibt sich v_m=\overline{C\,c}=\overline{\Gamma\,\gamma} und zur selben Abscisse gehörig auf der H.-W.-K. v'_m=\overline{\gamma\,\Delta}, somit die durch Bremsung zu vernichtende lebendige Kraft L_B=\frac{a}{g}\,\sqrt{\overline{\Gamma\,y^2}}-\overline{\gamma\,\Delta^2}. Der durch das Bremsen wieder zu vernichtende Mehraufwand an Betriebsarbeit fällt demnach um so kleiner aus, je näher die am Ende des Antriebes erreichte Geschwindigkeit an den entsprechenden Wert der Hauptwegkurve rückt. Beispiel 3. Es betrage die Nutzlast wie in den vorhergehenden Beispielen abermals R = 1300 kg = 13 q; die mittlere Geschwindigkeit sei vk = 10 m, die Teufe betrage hingegen H = 150 m; daher τ = 15''. Das Seilgewicht sei 2,07 kg = 0,0207 q pr. l. Meter, daher γH= 3,105 q: P = 16,105 q: R – γH = 9,895. Ferner a = 70 q und α = 13,1. Beim Entwürfe der Diagramme (Fig. 6) wurde angenommen 1 m Geschw. entsprechen   5 mm 1 Sek. Zeit          „ 10   „ 1 m Weg          „ \frac{10\mbox{ mm}}{v_k\mbox{ m}}=   1   „ Die Gleichung der Hauptzeitkurve ist v=18,23\,sin\,\frac{\tau-t}{13,1}. Für τ – t = 0 2,5 5 10 15 wird sin\,\frac{\tau-t}{\alpha}= 0 0,1921 0,3914 0,8405 1,4122 und v = 0 3,865 7,87 16,91 28,4 m. Mit diesen Werten ergibt sich Kurve SaA0. Die Gleichung der Hauptwegkurve wird: \frac{(x-389,1)^2}{\overline{259,1}^2}-\frac{v^2}{\left(\frac{239,1}{13,1}\right)^2}=1 In der Zeichnung liegt demnach der Hyperbelmittelpunkt noch um 239,1 mm über S hinaus. Der Neigungswinkel der Asymptote ist bestimmt durch tg\,\tau=\frac{1}{\alpha}=\frac{1\mbox{ m Geschw.}}{13,1\mbox{ m Weg}}=\frac{5\mbox{ mm}}{13,1\mbox{ mm}}=\frac{100\mbox{ mm}}{262\mbox{ mm}}. Damit ergibt sich Kurve SαΔA0. Der Schnittpunkt A0 liegt zwar innerhalb der Strecke τ bezw. H, also wäre das Einhalten der Fahrzeit auch ohne Bremsen möglich, doch würde die Antriebsmaschine viel zu grosse Abmessungen erhalten müssen. Es müsste nämlich sein die Beschleunigung c=\frac{20,6}{2,2}=9,36 m, somit die anfängliche Triebkraft T_0=P+\frac{a}{g}\,C=16,105+\frac{70}{9,81}\,\cdot\,9,36=82,9\,q,, also um mehr als das Doppelte grösser als im Beispiele 2, trotzdem die Teufe jetzt nur halb so gross ist. Schon dieser Umstand gebietet die Zuhilfenahme des Bremsens und es mögen zwei Fälle untersucht werden. Zunächst machen wir für beide die Annahme, dass aus dem auf S. 473 angegebenen Grunde der Sicherung gegen das Ueberheben das letzte Wegstück α'S ohne Bremsung durchlaufen werde. Die maximale Geschwindigkeit darf dann in der Teufe α'S noch α'a betragen, d.h. in 5 m Teufe noch 3,5 m, so dass die zum Durchlaufen erforderliche Zeit 2,5'' beträgt. Als erster Fall werde nun angenommen, dass die am Ende der Bremsperiode ausgeübte Bremskraft zugleich die grösste zur Verfügung stehende sei. Damit erhalten wir dann die kleinste noch entsprechende Antriebskraft für den Bewegungsbeginn. Nehmen wir für Bmax den üblichen Mindestwert (Hütte, I 671) Bmax = R + γH + Q = 36,105 q an, so wird die konstante Bremsverzögerung c=-g\,\frac{B_{max}+R-\gamma\,H}{a}=-6,571\mbox{ m.} Für das Bremsen wird die G.-Z.-Kurve eine Gerade, für welche die Tangente des Neigungswinkels \frac{6,571\mbox{ m Geschw.}}{1\mbox{ Sek.}}=\frac{328,55\mbox{ mm}}{100\mbox{ mm}} wird, somit dies die Gerade aCA wird. Die G.-W.-Kurve ist eine Parabel vom Parameter p = c, oder nach S. 471: p=c\,\frac{n^2}{m}=6,571\,\frac{5^2\mbox{ mm}}{1\mbox{ mm}}=164,2\mbox{ mm.} Diese Parabel legen wir durch Punkt α der Hauptwegkurve und erhalten α ΓA. Nun ziehen wir die Ordinate des Schnittpunktes A, suchen deren Schnittpunkt B mit der in der Entfernung 2vk zu OS parallel Geraden auf und erhalten Polygon OBACaS flächengleich vk τ . BC ∥ OA gezogen führen wir die oft erwähnte Flächenumwandlung durch und nun ist OCaS das Z.-G.-Diagramm für konstante Beschleunigung und Verzögerung, letztere nach obigen Angaben. Die für den Antrieb eingezeichnete G.-W.-Parabel müsste durch Punkt Γ hindurchgehen. Nun ist Cc = Γγ = vm die erreichte Höchstgeschwindigkeit = 22,46 m, die Dauer der Beschleunigung tm = Oc = 9,6 Sek. und Oγ = xm = 108 m der hierbei zurückgelegte Weg. Somit beträgt die konstante Beschleunigung c=\frac{22,46}{9,6}=2,34\mbox{ m} und die Triebkraft am Beginne des Anhubes T_0=P+\frac{a}{g}\,c=16,105+\frac{70}{9,81}\,\cdot\,2,34\,\sim \,32,8\,q=3280\mbox{ kg,} also noch immer mehr als im Beispiele 2! Der Energieverlust durch das Bremsen ist, weil \sqrt{{}v_m^2-{v_m}'^2}=19,5 ausmacht, L_B=\frac{7000}{9,81}\,\cdot\,\frac{\overline{19,5}^2}{2}=135700\mbox{ mkg.} Die Nutzarbeit beträgt RH = 1300 . 150 = 195000, daher die gesamte Arbeit eines Triebes LT = RH + LB = 330700 mkg. Dieselbe ergibt sich aus \int_0^{x_m}\,T\,d_x=(T_0-\gamma\,x_m)\,x_m=330095, zeigt somit die Verlässlichkeit des graphischen Verfahrens. Der Energieverlust ist in diesem Falle ein ausserordentlich hoher und beträgt ∾ 70 % der Nutzarbeit! Die Antriebskraft jedoch hat den erreichbaren Mindestwert, somit erhalten wir auch die kleinsten Maschinenabmessungen. Dass diese in vorliegendem Falle jedoch noch immer bedeutend grösser ausfallen, als wenn man bloss die statischen Verhältnisse ins Auge fasst, zeigt sich deutlich in folgender Vergleichsrechnung. Nehmen wir als Antriebsmotor eine Zwillingsdampfmaschine an und bedeutet K die Kolbenfläche, h den Hub und pi die mittlere indizierte Dampfspannung beim Anhube, ferner r den Trommelradius, so muss offenbar die Arbeitsleistung des Dampfes während einer der anfänglichen Umdrehungen gleich sein den der Arbeitsleistung der anfänglichen Triebkraft T0. Mithin ist 2 . 2 Kpih= T0 . 2rρ, woraus sich K=\frac{\pi}{2}\,\cdot\,\frac{T_0}{p_i}\,\cdot\,\frac{r}{h} ergibt. Bedeutet hingegen K1 die aus der statischen Bedingung abgeleitete Kolbenfläche, wonach das Kraftmoment des Dampfdruckes bei ungünstigster Kurbelstellung der Maschine (eine Kurbel im Totpunkte) im stände sein muss, den Anhub zu bewirken, so ist „Caps“ vorausgesetzt, und die Admissionsspannung mit p1, die Gegenspannung mit pe bezeichnet, und vorausgesetzt, dass Füllungen über 50 % möglich sind K_1\,\cdot\,(p_1-p_e)\,\cdot\,\frac{h}{2}=P\,\cdot\,r woraus K_1=\frac{2\,P\,r}{(p_1-p_e)\,h} wird. Damit wird das Verhältnis der Kolbenflächen \frac{K}{K_1}=\frac{\pi}{4}\,\cdot\,\frac{p_1-p_e}{p_i}\,\cdot\,\frac{T_0}{P}. Angenommen p1 = 8 at, pe = 1,29 und für den äussersten Füllungsgrad von \frac{s_1}{s}=0,7, ermittelt pi = 5,82, so wird mit dem zuletzt gefundenen Wert von T0 K=K_1\,\frac{\pi}{4}\,\cdot\,\frac{3280}{1611}\,\sim\,1,84\,K_1, d.h. die aus den dynamischen Verhältnissen berechnete Kolbenfläche um 84 % grösser als die aus den statischen. Allerdings ist der Fall wegen der grossen mittleren Geschwindigkeit und seichten Tiefe ein besonders krasser. Noch grössere Werte ergeben sich für die Antriebskraft im zweiten Falle, wenn man zur Vermeidung der überaus grossen Energieverluste durch das Bremsen eine kleinere maximale Bremskraft annimmt. Beträgt dieselbe z.B. nur die Hälfte der früher angenommenen, d.h. wird Bmax= 18,105, so ist c=-\frac{g}{a}\,\cdot\,28=-3,78\mbox{ m.} Die Tangente des Neigungswinkels der Z.-G.-Kurve beträgt dann tg\,\varphi=C=\frac{3,78\mbox{ m Geschw.}}{1''\mbox{ Zeit}}=\frac{18,9\mbox{ mm}}{10\mbox{ mm}}=\frac{189\mbox{ mm}}{100\mbox{ mm}}. Die G.-W.-Kurve ist eine Parabel vom Parameter p=3,78\,\frac{5^2}{1}=94,5\mbox{ mm}. Die Kurven gehen wieder durch die Punkte a bezw. α und sind aC1 A1 bezw. αΓ1 A1. Die Koordinaten ihres Schnittpunktes A1 sind t = 7,05'', v = 24,2 m. Mittels der Flächenumwandlung wird das Z.-G.-Diagramm OC 1 aS. Die Periode des Antriebes mit konstanter Beschleunigung währt tm = 7,6'' längs des Stückes Oγ1 = xm = 83,6 m, wobei die Geschwindigkeit vm = 22 m erreicht wird. Folglich beträgt die Antriebsbeschleunigung c=\frac{22}{7,6}=2,895\mbox{ m} und die Triebkraft am Bewegungsbeginne T_0=16,105+\frac{70}{9,81}\,\cdot\,2,895=36,755\,g\,\sim\,3676\mbox{ kg.} Die durch das Bremsen vernichtete lebendige Kraft ist wegen \sqrt{\gamma_1\,\Gamma_1-\gamma_1\,\Gamma_1}=16,54\mbox{ m} nun L_B=\frac{7000}{9,81}\,\cdot\,\frac{\overline{16,54}^2}{2}=97600\mbox{ mkg.} Hierzu kommt die Nutzarbeit HT= 195000 mkg, gibt zusammen die Arbeit der Triebkraft LT = 292600 mkg. Der Energieverlust infolge des Bremsens beträgt somit 100\,\cdot\,\frac{97600}{195000}\,\sim\,50 % der Nutzarbeit. Am Ende des Antriebes ist die Triebkraft = 3330 kg. C.  Das Seilgewicht ist grösser als die Nutzlast R ⋜ γH. Der vorliegende Fall kommt bei grösser Teufe vor, wobei meistens die mittlere Geschwindigkeit im Verhältnisse zur Teufe nicht so gross ist als in den vorhergehenden Fällen. Infolgedessen üben die dynamischen Verhältnisse auch keinen so bedeutenden Einfluss auf die Grösse der nötigen Antriebskraft aus und es genügt die Berücksichtigung der statischen Verhältnisse bei Bewertung der Maschinengrösse meist vollständig. Nichtsdestoweniger gibt die Aufzeichnung der Geschwindigkeitsdiagramme auch hier guten Aufschluss über die Ausnutzung der Energie, so dass die dynamischen Verhältnisse auch in diesem Falle der Untersuchung unterzogen werden mögen. Die Ergebnisse für die Bewegung der sich selbst überlassenen Maschine sind folgende. Die Beschleunigung beträgt c=g\,\frac{\gamma\,(2\,x-H)-R}{a}, woraus v^2=\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x^2-\frac{P}{\gamma}\,x\right)+C wird. Ist nun nach Zurücklegung des Weges x1, die Geschwindigkeit v1, so wird v^2=\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2+{v_1}^2-\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2. Daher die Gleichung der Geschwindigkeitswegkurve \frac{v^2}{{v_1}^2-\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2}-\frac{\left(x-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2}{\alpha^2\,\left[{v_1}^2-\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2\right]}=1. Der Mittelpunkt der durch die vorstehende Gleichung dargestellten Hyperbel liegt abermals in der Entfernung \frac{P}{2\,\gamma} vom Koordinatenursprunge, also, weil \frac{P}{2\,\gamma}\,<\,H, jetzt innerhalb der Länge H. Im übrigen können drei mögliche Fälle unterschieden werden. α) Es ist {v_1}^2\,<\,\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2. In diesem Falle ist der Nenner der Brüche negativ, d.h. jenes Glied der Gleichung, welches v2 im Zähler enthält, wird negativ, das andere hingegen positiv, und es ist somit die immaginäre Hyperbelachse der v-Achse parallel. Die G.-W.-Kurve schneidet daher die x-Achse, d.h. es gibt einen Punkt innerhalb der Schachtteufe, wo die sich selbst überlassene Schale zur Ruhe gelangt. Ist also v1 die am Ende des Antriebes erlangte Geschwindigkeit, so gelangt die sich selbst überlassene Schale nicht mehr bis zum Hängebankniveau, sondern hält früher, und würde dann wieder zurücklaufen. β) Nun sei v_1=\,\pm\,\frac{1}{\alpha}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right), also auch v=\,\pm\,\frac{1}{\alpha}\,\left(x-\frac{P}{2\,\gamma}\right). Die Hyperbel geht in diesem Falle in zwei sich schneidende Gerade über, deren Schnittpunkt in der Entfernung \frac{P}{2\,\gamma} vom Ursprünge liegt. Die Schale würde in diesem Punkte zur Ruhe kommen, das Gleichgewicht ist jedoch labil, so dass beim geringsten Anstosse die Schale nach auf- oder abwärts liefe. γ) Ist schliesslich {v_1}^2\,>\,\frac{1}{\alpha^2}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right)^2, so wird der Nenner der Brüche in der Hyperbelgleichung positiv und nun fällt die immaginäre Hyperbelachse mit der x-Achse zusammen. Die G.-W.-Kurve schneidet die x-Achse nicht, d.h. die Schale nähert sich dem Punkte \frac{P}{2\,\gamma} mit abnehmender und entfernt sich von ihm mit steigender Geschwindigkeit. Zur Ruhe gelangt die Schale ohne Bremsung nicht. Die Geschwindigkeit, mit welcher die sich selbst überlassene Förderschale im Hängebankniveau anlangt, ist im Falle β am kleinsten. Somit würde beim Anhalten der Schale mittels des hier unvermeidlichen Bremsens, im Falle β, der Mindestbetrag an Energie aufgezehrt werden müssen, und zwar wäre dieser, weil v_H=\frac{H-\frac{P}{2\,\gamma}}{\alpha},\ L_{B\ min}=\frac{a}{2\,g}\,{v_H}^2=\frac{(\gamma\,H-R)^2}{4\,\gamma}. Die entsprechende Geschwindigkeitswegkurve, also in Fig. 7 die Geraden Δ0 δ1 und δ1 α, nennen wir der Analogie halber wieder die Hauptwegkurve. Würde die Bewegung nach ihr erfolgen können, so wäre dies vom Standpunkte des Energiehaushalts der günstigste Fall. Allein es ist dies aus folgendem Grunde unmöglich. Die zur Bewegung erforderliche Zeit ergibt sich nämlich aus d\,t=\pm\,\alpha\,\frac{d\,x}{x-\frac{P}{2\,\gamma}} zu t=C\,\pm\,\alpha\,l\,\nat\,\left(x-\frac{P}{2\,\gamma}\right). Textabbildung Bd. 317, S. 488 Fig. 7. Für x=\frac{P}{2\,\gamma} wird t = C – ∞, d.h. es erreicht die Schale den Punkt x=\frac{P}{2\,\gamma} in unendlich langer Zeit, oder was das nämliche ist, die Bewegung erfolgt in der Nähe dieses Punktes unendlich langsam. Somit bleibt bloss Fall y übrig, d.h. es muss immer v_1\,>\,\frac{1}{\alpha}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right) sein. Der in diesem Falle durch das Bremsen zu vernichtende Arbeitsbetrag setzt sich aus drei Teilen zusammen. Er ist gleich der lebendigen Kraft der ganzen Maschine am Ende des Antriebes, vermindert um jene lebendige Kraft, welche die Maschine in derselben Stellung der Schale besitzen würde, wenn deren Bewegung nach der Hauptwegkurve vor sich ginge, und vermehrt um jene lebendige Kraft, welche die Maschine besitzen würde, wenn die Schale, sich weiter nach der Haupt wegkurve bewegend, im Hängebankniveau ankäme. Demnach wird der durch das Bremsen zu vernichtende Arbeitsbetrag um so kleiner, je näher die zum Schlusse des Antriebes erlangte Geschwindigkeit jenem Werte kommt, welcher sich für dieselbe Stellung der Schale aus der Hauptwegkurve ergibt. Das Zeitgeschwindigkeitsdiagramm ergibt sich auf Grund der früher entwickelten Ausdrücke. Hinzuzufügen wäre vielleicht noch, dass der Unterschied der Z.-G.-Kurven für Antrieb mit konstanter Triebkraft und konstanter Beschleunigung weitaus grösser ausfällt als in den vorhergehenden Fällen (Fig. 7). Beim Entwürfe ist es vorteilhaft, die Verhältnisse für den einfacheren Fall der konstanten Beschleunigung festzulegen, und dann erst, wenn nötig, auf konstante Triebkraft zu übergehen. Das Verfahren sei wieder an einem konkreten Beispiele erläutert. Beispiel 4. Es sei wie in den früheren Beispielen: die Nutzlast R = 13 q = 1300 kg, die mittlere Geschwindigkeit vk = 10 m, dagegen die Teufe H = 600 m, also τ = 60'', das Seilgewicht sei γ = 3,28 kg pro l. m = 0,0328 q und a = 8961 kg = 89,61 q. Somit wird γH = 19,68 q und P = R + γH = 32,68 q α = 11,8 und γH – R = 6,68 q. Aus der statischen Bedingung, dass die Maschine – die eine Zwillingsdampfmaschine mit um 90° versetzten Kurbeln sei – bei ungünstigster Kurbelstellung (eine Kurbel im Totpunkte) das Moment (R + γH) r zu überwinden habe, folgt, wenn Pd den Dampfdruck und h den Hub bedeutet, P_d\,\cdot\,\frac{h}{2}=P\,r, also P-d=2\,\frac{r}{h}\,P. Die Dampfarbeit bei einer Umdrehung muss nun gleich sein der Arbeit der Triebkraft T0 während derselben Zeit, so dass, wenn ψ das Verhältnis der indizierten mittleren Spannung zur wirksamen Anfangsspannung bedeutet, sein muss 2 . 2ψ . Pd . h= T0 2rρ, woraus T_0=\frac{\psi}{\pi}\,\cdot\,\frac{2\,h}{r}\,P_d=\frac{4\,\psi}{\pi}\,\cdot\,P wird. Angenommen den äussersten Fall ψ = 0,9, so ist die kleinste Triebkraft T_0=\frac{3,6}{\pi}\,\cdot\,P=37,47\,q. In Fig. 7 wurde die Wahl der Einheiten so festgesetzt, dass: 1 m Geschwindigkeit entsprechen     5 mm 1 Sek. Zeit „     5 „ 1 m Weg =\frac{5\mbox{ mm}}{v_k\mbox{ m}} „ 0,5 „ Für konstante Triebkraft T = T0 = 37,47 q wird die Gleichung der Geschwindigkeitszeitkurve v=6,188\,sin\,\frac{t}{11,8}. Ist daher t = 0 5 10 15 20 25 30'' so wird sin\,\frac{t}{\alpha}= 0 0,4369 0,9520 1,6419 2,6316 4,1056 6,3132 und v = 0 2,702 5,89 10,27 16,27 25,40 39,6 m. Dies ergibt Kurve OECA im Diagramme. Die Geschwindigkeitswegkurve hat zur reellen Halbachse das Stück \frac{T_0-P}{2\,\gamma}=73,0 m, während die Tangente des Neigungswinkels der Asymptoten tg\,\varphi=\frac{1}{\alpha}=\frac{1\mbox{ m Geschw.}}{11,8\mbox{ m Weg}}=\frac{5\mbox{ mm}}{118\,\cdot\,0,5\mbox{ mm}}=\frac{100\mbox{ mm}}{118\mbox{ mm}} ist. Damit ergibt sich Kurve OEΓA. Schnittpunkt A gibt nun jenes Wegstück OA, welches während des Antriebes mit der angenommenen mittleren Geschwindigkeit durchlaufen wurde. Ziehen wir BB1 parallel zur x in der Entfernung 2vk von derselben, so ist OEABS flächengleich vkτ. Mittels der bekannten Flächenverwandlung erhalten wir schliesslich in OECaS ein Diagramm, das schon verwendbar wäre. Es geht die Bewegung, von C angefangen, mit konstanter Verzögerung vor sich. Suchen wir auf der G.-W.-Kurve den dem Punkte C entsprechenden Punkt Γ auf, so ist Oγ jenes Wegstück, welches bei konstanter Triebkraft durchlaufen wurde. Bemerkenswert ist hierbei, dass trotz der Verzögerung, der Antrieb in C nicht aufhören darf, sondern mit abnehmender Triebkraft noch weiter andauern muss, bis die Triebkraft O wird, und erst von hier angefangen das Bremsen beginnt. Zieht man nämlich die Hauptwegkurve δ1 Δ0, so ist ersichtlich, dass die Geschwindigkeit cC = v1 kleiner als γΔ0 oder, weil Δ0 ein Punkt der Hauptwegkurve ist, kleiner als \frac{1}{\alpha^2}\,\left(x_1-\frac{P}{2\,\gamma}\right) ist. Es würde somit nach Pkt . α (S. 488) die sich selbst überlassene Maschine unter Hängebankniveau zum Stehen gelangen. Es ist x1 = Oγ = 196 m. Von C angefangen ist die Triebkraft an einer beliebigen Stelle x T_x=P+\frac{a}{g}\,c-2\,\gamma\,x. Nachdem nun c=\frac{O-v_1}{\tau-t_1}=-\frac{22}{36,6}=-0,601 ist, so wird Tx = O für x = 414,56 m = Oδ, d.h. jenem Punkte, wo die Triebkraft gleich O wird. Der Verlust an Arbeit durch Bremsen ergibt sich somit nach S. 488 zu L_B=\frac{a}{2\,g}\,(\overline{\delta\,\Delta^2}-\overline{\delta\Delta'^2}+\overline{S\,Y^2})=\frac{8961}{9,81}\,\cdot\,\frac{\overline{15,62^2}}{2}=113500\mbox{ mkg.} Die Nutzarbeit beträgt RH= 1300 . 600 = 780000 mkg. Somit ist die Gesamtarbeit LT = 893500 mkg und der Energieverlust durch Bremsen =100\,\frac{L_B}{L_T}\,\sim\,14,4 %. Der geringste Verlust (Bewegung längs der Hauptkurve – praktisch unausführbar) ergäbe \frac{a}{2\,g}\,\overline{S\,Y^2}=34100\mbox{ mkg.} Vom Standpunkte der Arbeitsökonomie ist die vorher angenommene Lösung vorteilhaft. Dagegen ist beim angenommenen Bewegungsverlaufe einerseits die Handhabung der Maschine kompliziert, andererseits die erreichte maximale Geschwindigkeit zu hoch, um so mehr, als es hier möglich ist, dieselbe zu verringern, ohne die Maschine vergrössern zu müssen. Der eingehaltene Vorgang mag folgender sein. Ein Herabmindern der maximalen Geschwindigkeit ist, wie sich aus der gegebenen, unveränderlichen Grösse der Fläche des Zeitdiagrammes sofort ergibt, bei unveränderter Maschinengrösse nur durch Vergrösserung der Bremsbeschleunigung möglich. Nehmen wir aus Sicherheitsgründen, gegen das Bewegungsende hin, geringes Bremsen an, so möge Linie aS wie im ersten Falle beibehalten werden. Vorher jedoch erfolge schärferes Bremsen, und zwar im Zeitdiagramme gekennzeichnet durch die Gerade aA1, entsprechend der konstanten Verzögerung c2 = – 1,938 m. Die durch α hindurchgehende Wegkurve ist A1 Δ1 α und schneidet die Zeitkurve in A1. Es ist somit Fläche A_1\,A_1\,a\,S=v_k\,\cdot\,\overline{a\,S}. Verbindet man Punkt B1 (in der Entfernung 2vk von x) mit O, so ist Linienzug OB1 A1 aS flächengleich vkτ = H. Zur Wegschaffung des Stückes B1 A1 benutzen wir die bekannte Flächenumwandlung und erhalten in OC1 aS abermals ein Zeitdiagramm. Um nun die maximale Geschwindigkeit ohne Aenderung der früher gefundenen Maschinengrösse zu verringern, wollen wir ein Stück der Zeitkurve für konstante Triebkraft OECA benutzen und ziehen die Gerade EFD1, so dass die Fläche OEF gleich sei FD1 C1. Dann ist Diagrammfläche OEFD1 aS wieder flächengleich vkτ = H, die maximale Geschwindigkeit kleiner als im vorhergehenden Falle, somit das Diagramm eine Lösung im Sinne der zuletzt gestellten Aufgabe. Der Energieverlust durch das Bremsen stellt sich nun folgendermassen. Die am Ende des Antriebes erreichte Geschwindigkeit ist D1 d1 oder im Wegdiagramme Δ1 δ1. Würde sich die Förderschale nach der Hauptwegkurve bewegt haben, so hätte sie bei der der erreichten thatsächlichen Endgeschwindigkeit entsprechenden Schalenstellung in δ1 eben die Geschwindigkeit O. Im Hängebankniveau müsste dann die sich selbst überlassene Schale die Geschwindigkeit \overline{S\,Y} besitzen. Demnach ist die verzehrte lebendige Kraft L_B=\frac{a}{2\,g}\,(\overline{\delta_1\,\Delta_1^}2-O+\overline{S\,Y}^2)=165000\overline{ mkg.} Hierzu kommt die Nutzarbeit HR = 780000 mkg. Gibt zusammen an Gesamtarbeit LT = 945000 mkg. Es beträgt somit der Energieverlust 100\,\cdot\,\frac{L_B}{H\,R}=21,2 % der Nutzarbeit Der Bewegungsverlauf ist folgender: Konstante Triebkraft: T0 = 37,47 q längs Strecke x1 = Oε = 106,5 m, während der Zeit t1 = Oe = 18,1''. Konstante Beschleunigung: c_1=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{D_1\,d_1-E\,e}{O\,d_1-O\,e}=0,1175 längs der Strecke x2 – x1 = Oδ1 – Oε = 391,5 m während der Zeit t2 – t1 = 25,7''. Anfängliche Triebkraft: T_1=P+\frac{a}{g}\,c_1-2\,\gamma\,x_1=26,764\,q. Schliessliche Triebkraft: T_2=P+\frac{a}{g}\,c_1-2\,\gamma\,x_2=1,094\,q. Erreichte maximale Geschwindigkeit: v2 = 17 m. Konstante Verzögerung I. Periode: c_2=\frac{v_3-v_2}{t_3-t_2}=\frac{a\,a_1-D_1\,d_1}{O\,a_1-O\,d_1}=-1,938 m längs der Strecke x3 – x 2 = Oα' – Oδ1 = 72 m während der Zeit t3 – t2 = Oa1 – Od1 = 6,2''. Anfängliche Bremskraft: B_1=2\,\gamma\,x_2-P-\frac{a}{g}\,c_2=17,68\,q. Schliessliche Bremskraft: B_2=2\,\gamma\,x_3-P-\frac{a}{g}\,c_2=22,41\,q, zugleich grösste Bremskraft. Konstante Verzögerung II. Periode: c_3=\frac{O-v_3}{\tau-t_3}=-0,6 längs der Strecke H – x3 = 30 m während der Zeit τ – t3 = 10,0''. Anfängliche Bremskraft: B_3=2\,\gamma\,x_3-P-\frac{a}{g}\,c_3=10,185\,q. Schliessliche Bremskraft: B_4=2\,\gamma\,H-P-\frac{a}{g}\,c_3=12,155\,q. Kurz zusammengefasst ergibt sich aus Vorstehendem folgendes: 1. Bei Förderung aus geringer Teufe und mit hoher mittlerer Geschwindigkeit sind die dynamischen Verhältnisse von wesentlichem Einflüsse auf die Grösse der Trieb- und Bremskräfte, sowie auf die Energiebilanz. Die blksse Berücksichtigung der statischen Verhältnisse gibt keine genügende Gewähr für die richtige Ermittelung der Kräfte und Arbeiten. 2. Zur Beurteilung der dynamischen Verhältnisse der Fördermaschinen eignet sich das auch von den Tachographen verzeichnete Zeitgeschwindigkeitsdiagramm in Verbindung mit dem Weggeschwindigkeitsdiagramme sehr wohl. Hauptvorzug derselben ist die Uebersichtlichkeit, mit der der Bewegungsverlauf vor Augen geführt wird. 3. Durch den Entwurf der Diagramme ist man in stand gesetzt, im Einklänge mit der geforderten Förderleistung jene maximale Geschwindigkeit festzustellen, welche aus Sicherheitsgründen in bestimmter Teufe unter Hängebank nicht überschritten werden darf. 4. Das Uebereinstimmen des vorher entworfenen Zeitdiagrammes mit dem vom Tachographen thatsächlich aufgezeichneten ist eine Gewähr dafür, dass die beim Entwürfe ermittelten Bewegungsverhältnisse im Betriebe wirklich eingehalten werden.