Untersuchung eines Balkens auf beliebig vielen Stützen. Von Prof. G. Ramisch in Breslau. Untersuchung eines Balkens auf beliebig vielen Stützen. I. In Fig. 1 ist ein einfacher Balken, gestützt in A und B, dargestellt. Unter demselben ist eine Fläche gezeichnet, welche von AB, AA', BB' und einer beliebigen Linie begrenzt wird. Ueber dem Balken befindet sich ein Dreieck AGB, welches als Momentenfläche einer Last Eins im Punkte D des Balkens, mit H als Polabstand, aufgefasst werden soll. P und P1 sind zwei beliebige Punkte des Balkens, welche zu beiden Seiten von D liegen, und dieser hat von B die Entfernung x1, jener von A die Entfernung x. Die Ordinaten in P und P1 innerhalb der schraffierten Fläche sind z bezw. z1 und innerhalb des Dreiecks AGB sind sie y bezw. y1. Für künftige Zwecke ist von Wichtigkeit der Ausdruck: J=H\,\cdot\,\{\int_A^G\,y\,\cdot\,z\,\cdot\,d\,x+\int_B^G\,y_1\,\cdot\,z_1\,\cdot\,d\,x\} . . . 1) Textabbildung Bd. 317, S. 517 Fig. 1. zeichnerisch darzustellen, wenn dx das Streckenelement von AB ist. Wir nennen die Abstände des Punktes D von A und B bezw. a und b und f die Strecke GD, so ist y : x = f : a und yl : x1 = f : b und hieraus folgt y=\frac{x\,\cdot\,f}{a} und y_1=\frac{x_1\,\cdot\,f}{b}. Da jedoch H\,\cdot\,f=\frac{1\,\cdot\,a\,\cdot\,b}{l} ist, wobei AB = l = a + b ist, so hat man auch: y=\frac{x}{l}\,\cdot\,\frac{b}{H} und y_1=\frac{x_1}{l}\,\cdot\,\frac{a}{H}. Also ist auch: J=\frac{1}{l}\,\cdot\,\{b\,\cdot\,\int_A^G\,x\,\cdot\,z\,\cdot\,d\,x+a\,\cdot\,\int_B^G\,x_1\,\cdot\,z_1\,\cdot\,d\,x}. Hierin sind nun z . dx und z1 . dx die Flächeninhalte der schraffierten Streifen, welche man sich als unendlich schmal vorstellen muss; nennen wir sie df bezw. df1, so hat man auch: J=\frac{1}{l}\,\cdot\,\{b\,\cdot\,\int_A^G\,x\,\cdot\,d\,f+a\,\int_B^G\,x_1\,\cdot\,d\,f_1}. Man fasse die Fläche ABB' A' als Belastung des Balkens AB auf und zeichne hierzu mit einem beliebigen Polabstande K die Momentenfläche mit der Schlusslinie A0 B0; wird letztere von GD in d und die Seillinie von Gd in e getroffen und setzt man \overline{D\,e}=\eta, so ist die rechte Seite der Gleichung nach den Lehren der graphischen Statik gleich K . η, so dass wir endlich haben: J = K . η und hiermit ist J in der That sehr einfach zeichnerisch dargestellt. – Wir können die Formel 1) einfacher folgendermassen schreiben: J=H\,\cdot\,\int_A^B\,y\,\cdot\,z\,\cdot\,d\,x, so dass man hat: \int_A^B\,y\,\cdot\,z\,\cdot\,d\,x=\frac{K}{H}\,\cdot\,\eta . . . . . 2) Befindet sich im beliebigen Punkte D' des Balkens die Last Eins; ist AG' B dazu das Momentendreieck mit H' als Polabstand, schneidet G'D' die Linie A0 B0 in d' und die Seillinie in e', so ist, wenn man d'e' = η' setzt, jetzt: \int_A^B\,y\,\cdot\,z\,\cdot\,d\,x=\frac{K}{H'}\,\cdot\,\eta'. Wir wollen künftig AB B' A' Belastungsfläche nennen und die zu D und D' gehörigen Strecken η bezw. η' die Ordinaten in der Momentenfläche der Belastungsfläche. Ferner ist zu bemerken, dass K als Fläche und H und H' als Zahlen aufzufassen sind. II. Textabbildung Bd. 317, S. 517 Fig. 2. In Fig. 2 ist ein Träger, welcher bei A auf einem festen und bei B auf einem horizontal beweglichen Auflager sich befindet, dargestellt. Er sei im Punkte D von einer abwärts wirkenden Last P und im Punkte D1 von einer aufwärts wirkenden Last X beansprucht. Statt dieser Kräfte denke man sich die Lasten je gleich Eins und zeichne hierzu mit den Polabständen H und H' bezw. die Momentendreiecke A' G B' und A' G' B'. Es sei C der Schwerpunkt irgend eines Querschnitts des Trägers; in ihm denke man sich den Träger durchschnitten, bringe aber in C ein gemeinschaftliches Gelenk beider Teile an und verbinde letztere mittels eines elastischen Stabes \overline{u\,v} gelenkartig miteinander. Hierdurch bleibt das System statisch bestimmt, wie es vorher gewesen ist. Infolge der Last Eins in D1 wird in dem Stab \overline{u\,v} eine Spannkraft hervorgerufen, welche wir S' nennen wollen. Ist nun y' die Ordinate im Momentendreieck A' G' B' für den Punkt C und hat dieser Punkt von \overline{u\,v} den Abstand r, so findet folgende Beziehung statt: S' . r = y' . H'. Die Belastungen P und X bewirken, dass sich der Punkt D1 senkt und bezeichnen wir mit dσ die Senkung, so ist bekanntlich: dσ = S' . ds, wenn ds die Längenveränderung von \overline{u\,v} bedeutet, welche von P und X hervorgebracht wird. Diese Längenveränderung ist gleich r . dγ, wobei dγ der Winkel ist, um welchen sich beide Balkenteile gegeneinander drehen. Wir erhalten deshalb aus den vorhergehenden Gleichungen: dσ = H' . y' . dγ . . . . . . 3) Wie wir sehen, so ist diese Gleichung unabhängig vom Stabe \overline{u\,v}, so dass wir ihn uns fortdenken können. Er war nur ein Hilfsmittel zur Entwickelung dieser wichtigen Beziehung. Das Biegungsmoment M im Querschnitt bei C, welches von den Kräften X und P erzeugt wird, ist nun, wenn nach y die Ordinate für G im Momentendreieck A' GB' ist: M = P . H . y – X . H' . y' . . . . 4) Wir erhalten daher aus den beiden letzten Gleichungen, wenn man M=E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,y}{d\,x} setzt: d\,\sigma=H'\,\cdot\,y'\,\cdot\,\frac{(P\,H\,\cdot\,y-X\,\cdot\,H'\,y')}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,d\,x und hierin ist noch dx das Element der elastischen Linie AB. Man multipliziere die Gleichung mit E0 . J0, wobei E0 einen beliebigen aber konstanten Elastizitätsmodul und J0 ein beliebiges aber konstantes Trägheitsmoment bedeutet. Hierdurch entsteht: E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma=H'\,\left\{P\,\cdot\,H\,y'\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y\,d\,x-X\,\cdot\,H'\,\cdot\,y'\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y'\,d\,x\right\}. Man setze: \frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y'=z und zeichne z für jeden Querschnitt des Trägers AB auf, wodurch man die in der Fig. 2 schraffierte Figur erhält. Wir haben nunmehr: E0 J0 . σ = H' . {P . H . z . y . dx – X . H' . zy' dx}. Diese Gleichung kann man für alle Querschnitte des Trägers bilden. Man addiere sämtliche dσ und nenne die Summe kurz σ, so hat man: E_0\,J_0\,\cdot\,\sigma=H'\,\cdot\,\{P\,\cdot\,H\,\int\limits_A^B\,z\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,x-X\,\cdot\,H'\,\int\limits_A^B\,z\,\cdot\,y'\,d\,x\}. Man sehe die schraffierte Fläche als Belastungsfläche an, zeichne hierzu mit einem beliebigen Polabstande K die Momentenfläche und darin die Ordinaten \overline{d\,e}=\eta für den Punkt D1 und \overline{d'\,e'}=\eta' für den Punkt D, so ist nach Gleichung 2): \int\limits_A^B\,z\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,x=\frac{K}{H}\,\cdot\,\eta' und \int\limits_A^B\,z\,y'\,d\,x=\frac{K}{H'}\,\eta. Also ist auch: E0 J0 . σ = H' . {P . K η' – X . K . η}. Soll nun infolge der Einwirkung der Kräfte P und X der Punkt D1 in vertikaler Richtung unbeweglich bleiben, so muss σ = 0 sein und es ergibt sich dann aus der vorhergehenden Formel: X=P\,\cdot\,\frac{\eta'}{\eta}. Es ist dies der Druck, welcher von der Last P hervorgebracht wird, wenn der Träger im Punkte D1 auf einem horizontal beweglichen Auflager sich befindet. Wir haben es deshalb hier mit dem Balken auf drei Stützen zu thun. Aus der letzten Gleichung folgt übrigens, dass die Momentenfläche zur schraffierten Fläche Einflussfläche für die Kraft X ist. Befindet sich demnach eine Last P1 auf einer anderen Stelle des Trägers und ist η1' die Ordinate hierzu in der Einflussfläche, so ist der hiervon erzeugte Stützdruck in D_1\,:\,X_1=P_1\,\cdot\,\frac{\eta'_1}{\eta}. Es bringen daher P und P1 in D1 den Stützdruck: \frac{1}{\eta}\,\cdot\,(P\,\cdot\,\eta'+P_1\,\cdot\,\eta'_1) hervor. Aus diesem Grunde ist η der Divisor der Einflussfläche. Zu demselben Ergebnis gelangt Müller-Breslau in dem Buche: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, S. 168, jedoch auf anderem Wege. Um den Stützdruck bei B zu berechnen, nenne man p und x die Abstände der Kräfte P bezw. X von A, so ist: B . l – P . p + X . x = 0, woraus folgt, wenn man vorher für x den Wert einsetzt: B=\frac{1}{l}\,\cdot\,P\,\left(p-x\,\cdot\,\frac{\eta'}{\eta}\right). Man bringe den Wert von B in die Form: B=\frac{x\,:\,\eta}{l}\,\cdot\,P\,\left(p\,\cdot\,\frac{\eta}{x}-\eta'\right). und findet, dass die zu ziehende Gerade \overline{A_0\,e} und die Seillinie A0 ee'B0 die Einflussfläche für den Stützdruck B begrenzen. Der Multiplikator ist hierbei \frac{x}{l\,\cdot\,\eta}. Endlich wird die Einflussfläche für den Stützdruck bei A von der zu ziehenden Geraden B0 e und derselben Seillinie begrenzt, wie man sie auf gleiche Weise ableiten kann. Der Divisor ist nun jetzt \frac{l-x}{l\,\cdot\,\eta}. Schneidet B0 e die Linie d'e' in f', so wird von der Last P der Druck: \frac{l-x}{l\,\cdot\,\eta}\,\cdot\,P\,\cdot\,\overline{e'\,f'} in A erzeugt. Man verlängere B0 e bis zum Schnittpunkte k mit A0 A, so ist: \frac{\overline{A_0\,k}}{l}=\frac{\eta}{l-x}, also entsteht für den Auflagerdruck bei A auch der Wert: A=\frac{1}{\overline{A_0\,k}}\,\cdot\,P\,\cdot\,\overline{e'\,f'} und jetzt hat der Multiplikator den einfacheren Wert \frac{1}{\overline{A_0\,k}}. Ebenso findet man einfacher den Multiplikator für den Auflagerdruck bei B. Man verlängere nämlich A0 e bis zum Schnittpunkt k' mit \overline{B\,B_0}, so ist der Multiplikator dafür \frac{1}{\overline{B_0\,k'}}, wie es sich leicht entwickeln lässt. C1 sei ein beliebiger Querschnittschwerpunkt, welcher von A den Abstand c1 hat, so ist das Biegungsmoment für C1 gleich A . c1 also mit Rücksicht auf den Wert für A \frac{c_1}{\overline{A_0\,k}}\,\cdot\,P\,\cdot\,\overline{e'\,f'}. Man ziehe durch C1 zu A0 A die Parallele, welche \overline{B_0\,k} in h trifft, so findet man aus der letzten Gleichung, dass die Fläche, welche von \overline{B_0\,h} und der Seillinie von B0 bis h begrenzt wird, Einflussfläche für das Biegungsmoment für C1 ist. Der Divisor ist hierbei \frac{\overline{A_0\,k}}{c_1}. Die Einflussfläche hat aber nur Gültigkeit, wenn die Last zwischen B und C1 liegt. Befindet sie sich nämlich zwischen A und C1 , so muss man \overline{A_0\,h} ziehen und diese Gerade begrenzt mit dem Rest der Seillinie den Teil der Einflussfläche für diesen Fall. Der Divisor ist, wie wir beweisen wollen, wiederum \frac{\overline{A_0\,k}}{c_1}. Beweis: Es sei P' eine Last zwischen A und C1 und habe von letzterem Punkte p' zum Abstand. Die Kraftlinie von P' treffe die Geraden A0 e und B0 k in m bezw. n und die Seillinie in o, so ist das Biegungsmoment für den Querschnitt von C M' = A . c 1 – P' . p'. Hierin ist: A=\frac{P'}{\overline{A_0\,k}}\,\cdot\,\overline{m\,n} und \frac{\overline{n\,o}}{\overline{A_0\,k}}=\frac{p'}{c_1}. Daher entsteht: M'=P'\,\cdot\,\frac{c_1}{\overline{A_0\,k}}\,\cdot\,(\overline{m\,n}-\overline{n\,o})=P'\,\cdot\,\frac{c_1}{A_0\,k}\,\cdot\,\overline{m\,o}, was zu beweisen war. Weiter lernen wir kennen, dass die Einflussflächen der Biegungsmomente sämtlicher Querschnitte des Trägers durch den Punkt e hindurchgehen. Für alle Querschnitte links von X ist die Fläche, welche von der Geraden \overline{e\,B_0} und der Seillinie zwischen e und B0 liegt, stets ein Teil der Einflussfläche, und für alle Querschnitte rechts von X ist die Fläche, welche von der zu ziehenden Geraden A0 e und der Seillinie zwischen A0 und e liegt, ebenfalls stets ein Teil der Einflussfläche. Nur der Divisor wird ein anderer werden; ferner ist der andere Teil der Einflussfläche von der Lage des Querschnitts abhängig; jedenfalls]st aber die Darstellung der Einflussfläche sehr einfach. Hat man sie dargestellt, so kann man namentlich für bewegliche Lasten prüfen, dass die zulässige Beanspruchung des Stoffes für den vorhandenen Querschnitt nicht überschritten ist. Wie hierbei zu verfahren ist, braucht wohl für den mit dem Wesen der Einflussflächen Vertrauten nicht besonders hervorgehoben zu werden. III. In Fig. 3 ist ein Träger, welcher in A auf einem festen und in B auf einem horizontal beweglichen Auflager sich befindet, dargestellt. Textabbildung Bd. 317, S. 519 Fig. 3. Er sei im Punkte C von einer abwärts wirkenden Last P und in den Punkten D1 und D2 von aufwärts wirkenden Kräften X1 und X2 beansprucht. Statt dieser Kräfte denke man sich die Lasten je gleich Eins und zeichne hierzu mit den Polabständen H, H1' und H2' bezw. die Momentendreiecke A'GB', A'G1,' B' und A'G2 'B'. Es sei C1 der Schwerpunkt irgend eines Querschnitts des Trägers; in ihm denke man sich den Träger durchschnitten, bringe aber in C ein gemeinschaftliches Gelenk beider Teile an und verbinde letztere mittels eines elastischen Stabes gelenkartig miteinander. Hierdurch bleibt, wie wir im vorigen Abschnitt erwähnt hatten, das System statisch bestimmt, wie es vorher gewesen ist. Infolge der Last Eins in D1 wird im Stabe \overline{u\,v} eine Spannkraft hervorgerufen, welche wir S1 nennen wollen. Ist nun y1' die Ordinate im Momentendreieck A'G1 'B' für den Punkt C1 und hat dieser Punkt von \overline{u\,v} den Abstand r, so hat man folgende Beziehung: S' . r = yl' H 1 '. Die Lasten P, X1 und X2 "ewirken, dass sich D1 senkt und bezeichnen wir mit dσ1 die Senkung, so ist: dσ 1 = S' . ds, wobei ds die Längenveränderung des Stabes \overline{u\,v} bedeutet, welche von P, X1 und X2 hervorgebracht wird. Diese Längenveränderung ist, wenn dγ der Winkel ist, um welchen sich beide Teile gegenseitig drehen, gleich r . dγ. Wir erhalten daher aus den beiden Gleichungen: dσ1 = H1 'y1' . dγ. Es wird sich auch der Punkt D2 senken, nennen wir dσ2 die unendlich kleine Strecke, um welche es geschieht, y 2' die Ordinate im Momentendreieck A' G2 B' für den Punkt C1, so lässt sich ähnlich entwickeln, dass dσ2= H2' .  y2' dγ ist. Das Biegungsmoment M im Querschnitte C1, welches von den Kräften P, X1 und X2 erzeugt wird, ist, wenn man mit y die Ordinate für C1 im Momentendreieck A' G B' bezeichnet: M = P . H . y – X1 . H1 'yl' – X2 . H2 'y2 '. Wir erhalten daher aus den drei letzten Gleichungen, wenn man M=E\,\cdot\,J\,\cdot\,\frac{d\,\gamma}{d\,s} setzt: d\,\sigma_1=H'_1\,y'_1\,(P\,\cdot\,H\,\cdot\,y-X_1\,\cdot\,H'_1\,\cdot\,y'_1-X_2\,\cdot\,H'_2\,\cdot\,y'_2)\,\cdot\,\frac{d\,x}{E\,\cdot\,J} und d\,\sigma_2=H'_2\,y'_2\,(P\,\cdot\,H\,\cdot\,y-X_1\,\cdot\,H'_1\,y'_1-X_2\,H'_2\,y'_2)\,\cdot\,\frac{d\,x}{E\,\cdot\,J}, worin dx das Element der elastischen Linie bedeutet. Man multipliziere die Gleichungen mit E0 . J0, welche Faktoren die Bedeutung wie vorhin haben, so hat man: \left{{E_0\,J_0\,\cdot\,d\,\sigma_1=H'_1\,\cdot\,\left\{P\,\cdot\,H\,y'_1\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,y\,\cdot\,d\,x\right}\atop{\left-X_1\,\cdot\,H'_1\,\cdot\,y'_1\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y'_1\,\cdot\,d\,x-X_2\,\cdot\,H'_2\,\cdot\,y'_2\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,y'_2\,d\,x\right\}}}\right\} und \left{{E_0\,J_0\,d\,\sigma_2=H'_2\,\cdot\,\left\{P\,\cdot\,H\,\cdot\,y'_2\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,y\,\cdot\,d\,x\right}\atop{\left-X_1\,H'_1\,y'_1\,\cdot\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,y'_2\,d\,x-X_2\,H'_2\,y'_2\,\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,y'_2\,d\,x\right\}}}\right\} Diese Gleichungen kann man für alle Querschnitte des Trägers bilden. Man addiere sämtliche dσ1 und dσ2 und nenne σ1 und σ2 die Summen, indem man noch wie früher entsprechend: \frac{E_0\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,y'_1=z_1 und \frac{E_0\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,y'_2=z_2 gesetzt hat, erhält man nun: \left{{E_0\,\cdot\,J_0\,\cdot\,\sigma_1=H'_1\,\cdot\,\{P\,\cdot\,H\,\cdot\,\int\limits_A^B\,\cdot\,z_1\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,x\}}\atop{-X_1\,\cdot\,H'_1\,\cdot\,\int\limits_A^B\,z_1\,\cdot\,y'_1\,\cdot\,d\,x-X_2\,\cdot\,H'_2\,\cdot\,\int\limits_A^B\,z_1\,\cdot\,y'_2\,\cdot\,d\,x}}\right\} und \left{{E_0\,\cdot\,J_0\,\sigma_2=H'_2\,\cdot\,\{P\,\cdot\,H\,\cdot\,\int\limits_A^B\,\cdot\,z_2\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,x\}}\atop{-X_1\,\cdot\,H'_1\,\cdot\,\int\limits_A^B\,z_2\,\cdot\,y'_1\,\cdot\,d\,x-X_2\,\cdot\,H'_2\,\cdot\,\int\limits_A^B\,z_2\,\cdot\,y'_2\,\cdot\,d\,x}}\right\} Man zeichne z1 und z2 als Ordinate für viele Querschnitte der Nulllinien \overline{A_1\,B_1} und \overline{A_2\,B_2} auf, wodurch man, indem man die Endpunkte derselben verbindet, krumme Linien erhält, welche mit \overline{A_1\,B_1} bezw. \overline{A_2\,B_2} zwei Flächen begrenzen. Diese Flächen fasse man als Belastungsflächen des Balkens \overline{A\,B} auf, zeichne hierzu mit den beliebigen Polabständen K1 und K2 die Momentenflächen, nenne in der ersteren für die Punkte D1 C und D2 die Ordinaten bezw. η1, η' und η2 und in der letzteren für dieselben Punkte die Ordinaten bezw. η1 '', η'' und so ist: \int\limits_A^B\,z_1\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,x=\frac{K_1}{H}\,\cdot\,\eta',\ \ \int\limits_A^B\,z_1\,\cdot\,y'_1\,\cdot\,d\,x=\frac{K_1}{H_1}\,\cdot\,\eta'_1, \int\limits_A^B\,z_1\,y'_2\,d\,x=\frac{K_1}{H'_2}\,\cdot\,\eta_2',\ \ \int\limits_A^B\,z_2\,\cdot\,y\,\cdot\,d\,x=\frac{K_2}{H}\,\cdot\,\eta'', \int\limits_A^B\,z_2\,y'_1\,\cdot\,d\,x=\frac{K_2}{H'_1}\,\cdot\,\eta_1''\mbox{ und }\int\limits_A^B\,z_2\,\cdot\,y'_2\,\cdot\,d\,x=\frac{K_2}{H'_2}\,\cdot\,\eta''_2. Es entsteht hierdurch aus den beiden vorhergehenden Gleichungen: E0 . J0 . σ1 = H1' . {P . K1 . η' – X1 . K1 . η1'  – X2 . K1 . η2'} und E0 . J0 . σ2 = H2' . {P . K2 . η'' – X1 . K2 . η1 '' – X2 K2 . η2''}. Sollen infolge der Einwirkung der Kräfte P, X1 und X2 die Punkte D1 und D2 in vertikaler Richtung unbeweglich bleiben, so müssen σ1 und σ2 gleich Null sein. Es ergeben sich daher aus den vorigen Gleichungen folgende Beziehungen: P . η' = X1 . η1' + X2 . η2' und P . η'' = X1 . η1'' + X2 η2 ''. Hieraus kann man X 1 und X2 berechnen und erhält: X_1=P\,\cdot\,\frac{\eta'\,\cdot\,\eta''_2-\eta''\,\cdot\,\eta'_2}{\eta'_1\,\cdot\,\eta''_2-\eta''_1\,\cdot\,\eta'_2} und X_2=P\,\cdot\,\frac{\eta''_1\,\cdot\,\eta'-\eta''\,\cdot\,\eta'_1}{\eta'_1\,\cdot\,\eta''_2-\eta''_1\,\cdot\,\eta'_2}. Hiermit sind die Drücke, welche von der Last P hervorgerufen werden, berechnet, wenn der Träger in A auf einem festen Auflager und in D1, D2 und B auf horizontal beweglichen Auflagern sich befindet. Man bilde, um die Einflussfläche für X1 zu finden, den Ausdruck: y'=\eta'\,\cdot\,\frac{\eta''_2}{\eta'_2}, dann entsteht: X_1=\frac{y'-\eta''}{\eta'_1\,\cdot\,\frac{\eta''_2}{\eta'_2}-\eta''_1}\,\cdot\,P. Die Strecke y' trage man unter \overline{A'_2\,B'_2} als Grundlinie mit η'' zusammenfallend auf. – So bilde man y' für viele Punkte, und nachdem man sie aufgetragen hat, verbinde man ihre Endpunkte miteinander, wodurch man unter \overline{A'_2\,B'_2} eine zweite Kurve erhält. In Fig. 3 sind: y' – η'' = + x' und \eta''_1\,\cdot\,\frac{\eta''_2}{\eta'_2}=x. Man setze x –η1 '' = z und hat endlich: X_1=+P\,\cdot\,\frac{x'}{z}. Aus dieser Gleichung erkennt man, dass die Differenz der Flächen, welche von A2 'B2' und den beiden Kurven begrenzt werden, Einflussfläche für die Kraft X1 mit z als Divisor ist. Wenn η = η2' ist, so ist auch η'' = η2 ''. Wir erhalten dann x' = 0 und X1 = 0. Es schneiden sich daher die beiden Kurven in einem Punkte 0 ausser in A2' und B2' und 0 muss auf der Kraftlinie von X2 liegen, d.h. befindet sich über diesem Punkte eine Last, so wird in D1 kein Stützdruck hervorgerufen. Wir gehen jetzt dazu über, die Einflussfläche für X2 darzustellen. Wir haben zunächst: X_2=\frac{\eta'-\eta''\,\cdot\,\frac{\eta'_1}{\eta''_1}}{\eta''_2\,\cdot\,\frac{\eta'_1}{\eta''_1}-\eta'_2}. Man bilde die Strecke y''=\frac{\eta''\,\cdot\,\eta'_1}{\eta''_1} und zeichne sie unter \overline{A'_1\,B'_1} als Grundlinie mit η' zusammenfallend auf. So verfahre man mit beliebig vielen Punkten und verbinde deren Endpunkte, wodurch man eine zweite Kurve unter \overline{A'_1\,B'_1} erhält. Es ist nun in Fig. 3: η' – η''' =  – x''. Ferner ist \eta''_2\,\cdot\,\frac{\eta'_1}{\eta''_1}=x_0 und x0 – η2' = z0 Also entsteht: X_2=-P\,\cdot\,\frac{x''}{z_0}. Hieraus erkennt man, dass die Differenz der Fläche, welche von A1 'B1' und den beiden Kurven unter dieser Geraden begrenzt werden, Einflussfläche für die Kraft X2 mit z0 als Divisor ist. Wenn nun η1'' = η'' ist, ergibt sich zugleich η1' = η1''. In diesem Falle ist also x'' = 0 und X2 = 0. Die beiden Kurven schneiden sich demnach ausser in A1' und B1' noch in einem Punkt v, welcher auf der Kraftlinie von X1 liegt, und befindet sich eine Last in Dl, so wird kein Stützdruck in D2 hervorgerufen. Auf ähnliche Weise findet man die Einflussflächen für die Stützdrücke in A und B und das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt des Balkens. Soll nun der Balken ausser in A und B noch in beliebig vielen Punkten D1, D2, D3, D4 u.s.w. gestützt sein, so ziehe man eine beliebige horizontale Linie A'B' und zeichne darüber Dreiecke A'G1 'B', A'G2 'B', A'G3 'B', A'G4' B' u.s.w., deren Spitzen G1', G2 ', G3 ', G4' u.s.w. bezw. unter D1, D2, D3, D4 u.s.w. zu liegen kommen. Für irgend einen Querschnitt des Balkens bezeichnen wir die Ordinaten in den Dreiecken mit y1 ', y2 ', y3 ', y4' u.s.w. und bilde dafür die Werte: z_1=\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y'_1, z_2=\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y'_2, z_3=\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y'_3, z_4=\frac{E_0\,\cdot\,J_0}{E\,\cdot\,J}\,\cdot\,y'_4, u.s.w. Diese Grössen z bilde man für viele Querschnitte des Balkens und zeichne zweckentsprechend die Belastungsflächen über die horizontalen Grundlinien \overline{A_1\,B_1}, \overline{A_2\,B_2}, \overline{A_3\,B_3}, \overline{A_4\,B_4} u.s.w. Für jede dieser Belastungsflächen zeichne man weiter die Momentenflächen mit ganz beliebigen Polabständen. Nachdem dies geschehen ist, bilde man die Ordinaten in diesen Momentenflächen für die Punkte D1, D2, D3, D4 u.s.w. und einem beliebigen Punkte C1 des Balkens. Wir bezeichnen die Ordinaten mit: η1', η2', η3' . . . η' η1'', η2'', η3'' . . . η'' η1''', η2''', η3''' . . . η''' η1'''', η2'''', η3'''' . . . η''''. Nennen wir nun X1, X2, X3, X4 u.s.w. die Stützdrücke, welche in D1, D2, D3, D4 u.s.w. bezüglich von einer Kraft P in C1 wirksam erzeugt werden, so erhält man, wenn man genau so, wie vorhin angegeben worden ist, verfährt, folgende Gleichungen: P . η' =X1 . η1' + X2η2' + X3 η3' + X4 η4' + . . . P . η'' =X1 η1'' + X2η2'' + X3 η3'' + X4 η4'' + . . . P . η''' =X1η1''' + X2η2''' + X3 η3''' + X4 η4''' + . . . P . η'''' =X1 η1'''' + X2η2'''' + X3 η3 '''' + X4 η4 '''' + . . . : : : : : Man erhält soviel Gleichungen von erster Gerade, als Stützdrücke X1, X2, X3 vorhanden sein sollen. Man kann sie daher aus den Gleichungen eindeutig bestimmen, vorausgesetzt, dass die Determinante \left|\begin{matrix}\eta'_1,&\eta'_2,&\eta'_3,&\eta'_4&...\\ \eta''_1,&\eta''_2,&\eta''_3,&\eta''_4&...\\ \eta'''_1,&\eta'''_2,&\eta'''_3,&\eta'''_4&...\\ \eta''''_1,&\eta''''_2,&\eta''''_3,&\eta''''_4&... \end{matrix}\right| nicht Null ist. Schliesslich kann man auch die Einflusslinien der einzelnen Stützdrücke darstellen. Die Darstellung ist ganz einfach, wird aber mit der Anzahl der Stützen umständlicher.