Die Abhängigkeit des Dampfmaschinengewichtes von der Kolbengeschwindigkeit. Von Diplomingenieur Otto Schäfer. Die Abhängigkeit des Dampfmaschinengewichtes von der Kolbengeschwindigkeit. Die Leistung einer Dampfmaschine ist proportional dem Volumen des Cylinders und der Tourenzahl, wenn man sonst die Bedingungen, vor allem die Anfangsspannung und das Expansionsverhältnis, unverändert lässt. Denn es gilt N_e=\eta\,(k\,\cdot\,p-q)\,\frac{F\,\cdot\,v}{75}, wobei Ne die effektive Leistung, η der Wirkungsgrad, k ein vom Expansionsverhältnis abhängiger Koeffizient, p der Anfangsdruck und q der Gegendruck ist. F ist die wirksame Kolbenfläche, die Kolbengeschwindigkeit v kann ersetzt werden durch \frac{2\,\cdot\,s\,\cdot\,n}{60}, wobei s der Hub, n die Tourenzahl ist. Also ist, wenn man die als konstant vorausgesetzten Werte unter C zusammenfasst Ne = C . F . s . n. F . s ist aber das Cylindervolumen V, also Ne = C . V . n. Nun ist bei gegebenem Cylindervolumen noch immer eine unendliche Anzahl von Dampfcylindern möglich; kurzhubige weite und langhubige enge können den gleichen Inhalt haben. Da man also bei gegebener Tourenzahl das Verhältnis von Cylinderdurchmesser zum Hub noch beliebig Wählen kann, so kann man durch passende Wahl des Verhältnisses noch irgend eine andere Bedingung erfüllen. Als derartige Bedingung ist z.B. aufgestellt worden: die Abkühlung des Dampfes im Cylinder soll ein Minimum sein. Die Summe von Cylindermantel und den beiden Deckelflächen ist für ein bestimmtes Verhältnis von Hub zu Durchmesser am kleinsten. In diesem Falle sind also die abkühlenden Flächen und damit die Abkühlung ein Minimum. Ich stelle hier die Bedingung, dass das Gesamtgewicht der Maschine ein Minimum werden soll. Diese Bedingung ist stillschweigend schon immer gestellt gewesen. Das Gewicht der Maschine bedingt ja den Preis, abgesehen von Einflüssen des Marktes, Schwankungen der Löhne u.s.w. Nun haben alle Fabriken den Wunsch, ihre Maschinen möglichst billig zu bauen, und legen ihren Konstrukteuren nahe, demgemäss zu entwerfen. Der Konstrukteur hat nur zwei Mittel, die Herstellungskosten der Maschine herabzusetzen: erstens Wahl zweckmässiger und Ausscheidung schlechter Konstruktionen und zweitens Verminderung des Gewichtes, soweit als zulässig. Häufig werden beide Wege identisch sein, indem eine Konstruktion, eben weil sie zu schwer ist, als schlecht gilt und durch eine bessere, weil leichtere, ersetzt wird. Das Gewicht spielt aber nicht nur dadurch eine Rolle, dass es den Preis beeinflusst: sondern soll auch aus anderen Gründen möglichst klein sein, vor allen Dingen bei Schiffsmaschinen, wo das Gewicht der Maschine die aufnehmbare Nutzlast verringert. Bei Maschinen, die auf dem Lande bleiben sollen, wird durch geringes Gewicht die Montage und der Transport erleichtert und verbilligt, auch ist ein ausreichendes Fundament viel eher zu beschaffen. Das alles spricht dafür eicht zu bauen und hat auch schon immer in dieser Richtung gewirkt. Bisher nahm ein erfahrener Konstrukteur einen ihm passend erscheinenden Hub einfach an, darauf vertrauend, dass er, eben infolge vieler Erfahrungen, schon den günstigsten Hub treffen werde. Daher ist der Versuch gerechtfertigt, durch theoretische Ermittelungen ein für alle Mal das günstigste Verhältnis von Hub und Durchmesser festzulegen. Es lässt sich zeigen, dass eine Maschine bei gegebener Leistung und Tourenzahl für einen bestimmten Hub, oder was dasselbe sagen will, für eine bestimmte Kolbengeschwindigkeit am leichtesten wird, und weiter lässt sich berechnen, bei welcher Kolbengeschwindigkeit dies der Fall ist. Hat man diese Kolbengeschwindigkeit, so ergibt sich, da ja die Tourenzahl gegeben ist, der Hub und durch weitere Rechnung der Durchmesser. Die so bestimmte Kolbengeschwindigkeit kann nun unter Umständen so hoch sein, dass sie wegen der Massenwirkungen nicht angewendet werden kann. In einem solchen Falle wird man die höchste mögliche Geschwindigkeit anwenden, muss aber auf das bei der betreffenden Leistung und Tourenzahl mögliche Minimum des Maschinengewichtes verzichten. Es handelt sich also zunächst darum, das Gewicht einer Dampfmaschine als abhängig von Durchmesser und Hub darzustellen. Im ersten Augenblick könntedes zweifelhaft erscheinen, ob eine solche Gesetzmässigkeit überhaupt besteht. Sie würde nicht vorhanden sein, wenn nicht alle Konstrukteure von dem Streben geleitet wären, alle Maschinenteile nur so stark, d.h. nur so schwer zu bauen, als zur sicheren Uebertragung der Kräfte erforderlich ist. Neue Konstruktionen, welche bei gleicher Sicherheit leichter als die bisherigen waren, mussten daher diese verdrängen. Verschiedene Konstrukteure bauen immer noch verschieden schwer; aber nicht allzuviel. Hat man dagegen eine Reihe von Maschinen, die von derselben Firma, also nach denselben Grundsätzen gebaut sind, so ist ein gesetzmässiges Ansteigen des Gesamtgewichts als Funktion von Cylinderdurchmesser und Hub von vornherein zu erwarten. Unter Gesamtgewicht ist das Gewicht ohne Schwungrad verstanden; denn letzteres hängt viel zu sehr von dem Ungleichförmigkeitsgrad ab, der dem besonderen Zweck der Maschine angepasst ist. Die Werte der Koeffizienten und Exponenten in dem Ausdruck für das Gewicht G = f (d, s) lassen sich nicht theoretisch ableiten, sondern nur aus einer Reihe von Beispielen bestimmen, dagegen lässt sich die Form der Funktion sehr wohl vorhersagen und als logisch begründet darstellen. Das erste Glied muss eine Konstante sein, weil in den empirischen Formeln, auch wenn man d = 0 oder s = 0 setzt, noch ein konstanter Zusatz bestehen bleibt, z.B. für die Cylinderwandstärke \delta=\frac{d}{50}+7\mbox{ mm}; für d = 0 ist δ = 7 mm. Das zweite Glied der Formel enthält s in der ersten Potenz; denn es ist klar, dass ein Cylinder, dessen Wandstärke aus dem Durchmesser bestimmt ist, proportional seiner Länge schwerer wird. Auch das Gewicht des Rahmens ist von der ersten Potenz von s abhängig. Im dritten Gliede steht d in einer Potenz, die zwischen der zweiten und dritten liegt. Das Gewicht des Cylinders wächst mit dem Durchmesser im Quadrat; denn erstens wächst der Umfang mit d, gleichzeitig aber auch die Wandstärke. Der Cylinderdeckel ist meist ebenso dick wie der Mantel, seine Fläche wächst mit dem Quadrate des Durchmessers, also sein Gewicht mit der dritten Potenz. Statt nun d einmal in der zweiten und einmal in der dritten Potenz auftreten zu lassen, kann man ein einziges Glied mit einer mittleren Potenz einführen. Das letzte Glied der Formel enthält s zur dritten Potenz erhoben. Der Durchmesser der auf Knickung beanspruchten Teile, z.B. der Kolbenstange, wächst mit dem Quadrat der Länge: da das Gewicht gleichzeitig proportional der Länge selbst ist, findet das Anwachsen mit der dritten Potenz von s statt. Für liegende eincylindrige Maschinen lautet die Formel: G kg = 25 + 3 s cm + 1,52 (d cm)2,2 + 0,00295 (s cm)3. Textabbildung Bd. 317, S. 566 Fig. 1. Textabbildung Bd. 317, S. 566 Fig. 2. Die Richtigkeit der Formel, soweit bei einer empirischen Formel davon die Rede sein kann, erhellt aus Fig. 1. Auf der wagerechten Koordinatenachse sind die wahren Gewichte, auf der senkrechten die nach der Formel berechneten Gewichte verschiedener Maschinen aufgetragen. Bei genauer Uebereinstimmung beider müssten die Punkte auf der unter 45° gezogenen Geraden liegen. Man sieht, dass die Punkte sich nicht übermässig weit von dieser Geraden entfernen, dass also wirklich eine ausgeprägte Gesetzmässigkeit vorliegt, ferner aber auch, dass ungefähr gleich viele Punkte über wie unter der Geraden liegen, mithin, dass die Gleichung wirklich die vorhandene Gesetzmässigkeit wiedergibt. Um das Gewight einer Verbundmaschine zu berechnen, rechnet man mit den Dimensionen beider Cylinder einzeln, addiert die Gewichte und multipliziert die Summe mit 0,8. Dieser Koeffizient 0,8 stammt daher, dass ein zweites Hauptlager, wie es bei einem Cylinder notwendig ist, wegfällt und dass weiter diese Lager wegen des geringeren Schwungradgewichtes leichter werden. Auch werden Rahmen u.s.w. wegen der gleichmässigeren Kolbenkraft leichter. Fig. 2 lässt wiederum erkennen, wie weit Wirklichkeit und Formelwert übereinstimmen. Da übrigens der Hub für beide Cylinder derselbe ist, so kann man die Formel schreiben: G = 0,8 (2 . 25 + 2 . 3 . s + 1,52 d2,2 + 1,52 D2,2 + 2 . 0,00295 s3) oder G = 0,8 [50 + 6 s + 1,52 (d2,2 + D2,2) + 0,0059 s3]. Als Quellen für die Angabe der Maschinengewichte, Durchmesser und Hübe haben gedient: Praktischer Masch.-Konstrukteur, 1898 S. 157, 1899 S. 92 und S. 130, Radinger, Die Dampfmaschinen mit hoher Kolbengeschwindigkeit; Haeder, Die Dampfmaschine. Zusammenstellungen von Hub, Durchmesser, wahrem Gewicht g1 und aus der Formel berechnetem Gewicht g bringen ferner die Tabellen I und II. Tabelle I für eincylindrige, Tabelle II für Verbundmaschinen. Die Tabellen sind nach ausgeführten Maschinen zusammengestellt. Tabelle I. d s g 1 g \frac{g}{g_1} 20,0 30   1450   1305 0,90 22,5 35   1700   1696 1,00 25,0 40   2100   2133 1,01 27,5 45   2500   2668 1,07 30,0 50   2700   3245 1,20 32,5 55   3200   3880 1,21 35,0 55   3400   4080 1,20 35,0 60   4500   5242 1,16 37,5 60   5200   5272 1,01 40,0 70   6300   6305 1,00 42,5 70   7200   7075 0,98 45,0 80   8800   8415 0,96 47,5 80   9400   9225 0,98 50,0 90 11000 10795 0,98 55,0 90 12000 12745 1,06 Tabelle II. d D s g 1 g \frac{g}{g_1} 20,0 30,0 30   3500   3358 0,96 22,5 34,0 35   4300   4410 1,02 25,0 36,0 40   5000   5210 1,04 27,5 41,5 45   5800   6900 1,19 30,0 45,0 50   6800   8350 1,23 32,5 49,0 55   7700 10020 1,30 35,0 52,5 55   8900 11320 1,27 35,0 52,5 60 10400 11580 1,11 37,5 56,5 60 11450 13550 1,18 40,0 60,0 70 13600 15900 1,17 42,5 64,0 70 15600 18100 1,16 45,0 67,5 80 19200 21000 1,09 47,5 71,5 80 21200 23480 1,11 50,0 75,0 90 24100 26750 1,11 55,0 82,5 90 26600 31990 1,20 32,5 49,0 50   7150   9820 1,37 Nachdem so das Gewicht der Maschine als Funktion von Hub und Durchmesser dargestellt ist, kann man untersuchen, ob das Gewicht unter bestimmten Verhältnissen zu einem Minimum wird. Von einer zu berechnenden Dampfmaschine seien gegeben die Leistung, die Tourenzahl und die Eintrittsdampfspannung; das Expansionsverhältnis wird angenommen; damit ist der Koeffizient k bestimmt und der Wirkungsgrad η kann aus einer Tabelle entnommen werden. Kennte man nun die günstigste Kolbengeschwindigkeit, so ergäbe sich aus der Beziehung v=\frac{2\,\cdot\,s\,\cdot\,n}{60} der günstigste Hub und weiter aus der Formel F=\frac{N_e\,\cdot\,75}{\eta\,(k\,\cdot\,p-q)\,\cdot\,v} die entsprechende Kolbenfläche und der Cylinderdurchmesser. Es handelt sich also darum, zu untersuchen, wie gross unter gemachten Voraussetzungen die günstigste Kolbengeschwindigkeit ist, günstig in dem Sinne, dass bei ihr das Gesamtgewicht der Maschine ein Minimum wird. Die Gleichung g kg = 25 + 3 s cm + 1,52 (d cm)2,2 + 0,00295 (s cm)3 Textabbildung Bd. 317, S. 567 Fig. 3. Textabbildung Bd. 317, S. 567 Fig. 4. Textabbildung Bd. 317, S. 567 Fig. 5. Textabbildung Bd. 317, S. 567 Fig. 6. muss zunächst passend umgeformt werden. Es ist s=\frac{60\,\cdot\,v}{2\,n}, wenn man s in Metern und v in Metern pro Sekunde ausdrückt. Nun ist s in Zentimetern gerechnet, also s=100\,\frac{60\,\cdot\,v}{2\,n}. Weiter gilt unter, Vernachlässigung des Querschnitts der Kolbenstange F=d^2\,\frac{\pi}{4}=\frac{75\,\cdot\,N_e}{\eta\,(k\,p-q)\,\cdot\,v}, mithin d=\left(\frac{4}{\pi}\,\frac{75\,\cdot\,N_e}{\eta\,(k\,p-q)}\right)^{\frac{1}{2}}\,\cdot\,\left(\frac{1}{v}\right)^{\frac{1}{2}}, also d^{2,2}=\left(\frac{4}{\pi}\,\frac{75\,N_e}{\eta\,(k\,p-q)}\right)^{1,1}\,v^{-1,1}. Diese Werte in die Gleichung für g eingesetzt, ergibt g=25+3\,\cdot\,100\,\frac{60\,v}{2\,n}+1,52\,\left(\frac{4}{\pi}\,\frac{75\,\cdot\,N_e}{\eta\,(k\,p-q)}\right)^{1,1}\,v^{-1,1}+0,00295\,\cdot\,\left(100\,\frac{60\,v}{2\,n}\right)^3 oder wenn man 1,52\,\left(\frac{4}{\pi}\,\frac{75\,\cdot\,N_e}{\eta\,(k\,p-q)}\right)^{1,1}=A setzt und die Zahlenwerte ausrechnet g=25+9000\,\frac{1}{n}\,\cdot\,v+A\,v^{-1,1}+79600000\,\frac{1}{n^3}\,\cdot\,v^3. g soll ein Minimum werden, v ist die unabhängige Veränderliche. Die erste Ableitung muss demnach Null gesetzt werden, also: \frac{d\,g}{d\,v}=9000\,\frac{1}{n}-1,1\,A\,v^{-2,1}+3\,\cdot\,79600000\,\frac{1}{n^3}\,v^2=0. Die zweite Ableitung lautet: \frac{d^2\,g}{d\,v^2}=1,1\,\cdot\,2,1\,A\,v^{-3,1}+2\,\cdot\,3\,\cdot\,79600000\,\frac{1}{n^3}\,v. Dieser Ausdruck ist für alle in Betracht kommenden Werte von v positiv; es entsteht also wirklich ein Minimum. Nun muss die Gleichung für \frac{d\,g}{d\,v} aufgelöst werden, was in geschlossener Form nicht möglich ist, wie man leicht erkennt. Wenn man nämlich mit v 2,1 multipliziert, so bekommt man ein Glied mit v4,1, eins mit v2,1 und wenn man nun, um ganzzahlige Exponenten zu bekommen, x = v0,1 einsetzt, so enthält die Gleichung x41 und x21. Eine Gleichung dieses Grades ist aber nicht lösbar. Man findet also den Wert von v durch Probieren. Die Werte von v aus einer Kurve abzugreifen, die v als abhängig von A darstellt, ist auch nicht zweckmässig, da man ebensoviele Kurven zeichnen müsste, als man Tourenzahlen n betrachten will. Ein zeichnerisches Verfahren erleichterte die probeweise Ermittelung von v ganz ungemein; da es jedoch ebenso umständlich zu beschreiben als einfach anzuwenden ist und schliesslich auch nur sekundäres Interesse besitzt, so sind gleich die Resultate vorgeführt und zwar in Fig. 3 bis 6. Für Fig. 3 gilt p = 10 at, Expansionsverhältnis 1 : 8, Gegendruck 1,2 at, also keine Kondensation. Die an die Kurven geschriebenen Zahlen bedeuten die Leistung in effektiven Pferdestärken, für welche die Kurve gilt. Höhere Tourenzahlen als 600 sind nicht in Betracht gezogen; die zu den einzelnen Werten von n gehörigen Kolbengeschwindigkeiten liest man in Metern pro Sekunde auf der wagerechten Achse ab. In Fig. 4 ist p = 8 at, Expansionsverhältnis 1 : 3, Gegendruck 1,2 at. In Fig. 5 ist p = 10 at, Expansionsverhältnis 1 : 3, Gegendruck 1,2 at; in Fig. 6 ist p = 10, Expansionsverhältnis 1 : 3 wie in Fig. 5, jedoch Gegendruck 0,2 at, also Kondensation. Textabbildung Bd. 317, S. 567 Fig. 7. Man sieht, dass es bei kleinen Leistungen und Tourenzahlen leicht möglich ist, die Kolbengeschwindigkeit höher zu wählen, als für das Minimum des Gewichtes richtig ist, und erkennt, wie falsch die als allgemein hingestellte Behauptung ist, dass die Maschinen mit wachsender Kolbengeschwindigkeit leichter würden. Allerdings bei grossen Leistungen und hohen Tourenzahlen trifft die Behauptung gewöhnlich zu; denn, wie man sieht, sind hier die günstigsten Kolbengeschwindigkeiten sehr hoch, höher als man sie thatsächlich wählt und der Massenbeschleunigung halber wählen kann. Die Formel für das Maschinengewicht, die für obige Herleitung zu Grunde gelegt wurde, kann natürlich auch dazu dienen, das Gewicht einer zu entwerfenden Maschine, deren Cylinderdimensionen feststehen, rasch zu überschlagen. Für diesen Zweck ist aber die Potenz d2,2 zu unbequem, sehr einfach und schnell bekommt man dagegen das Resultat durch Benutzung der Fig. 7. Aus der Kurve rechts bekommt man durch Abgreifen mit dem Zirkel den gesamten Beitrag von s; rückt man nun den Zirkel in die Höhe von d, so kann man ohne weiteres den Beitrag von d addieren, indem man die Zirkelweite vergrössert. Der schmale Zwischenraum zwischen den Achsen für s und d berücksichtigt die Konstante. Man kann also an dem Massstab das Gesamtgewicht ablesen.