Neue Diagramme zur Turbinentheorie. Von Dr. Camerer, Gotha. Neue Diagramme zur Turbinentheorie. Die in folgendem beschriebenen Diagramme sind eine graphische Darstellung der Hauptgleichung der Turbinentheorie. Letztere möge daher zunächst in Kürze abgeleitet werden. A. Ableitung der Hauptgleichung. Dabei bedeuten (s. Fig. 1 und 2): u die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades, w die absolute Wassergeschwindigkeit, v die relative Wassergeschwindigkeit, h den absoluten Wasserdruck in m Wassersäule, \frakfamily{h} die Gefällshöhe (s. Fig. 1), H das Gesamtgefälle, p den Druck der Atmosphäre in m Wassersäule, δ den Winkel von w mit u, β den Winkel von v nach Fig. 2. Textabbildung Bd. 317, S. 677 Fig. 1. Sämtliche Grössen werden, soweit sie an verschiedenen Stellen der Turbinenanordnung auftreten, durch Indices unterschieden und zwar so, dass dem Obergraben kein Index, den anderen Stellen aber die aus Fig. 1 und 2 ersichtliche Numerierung entspricht. Mit ρ . H wird derjenige Bruchteil des Gefälles bezeichnet, der durch Reibung und Wirbelung des Wassers verbraucht wurde und zwar so, dass z.B. ρ2 . H den Verlust von Punkt 1 bis 2 bedeutet, Dann ergeben sich aus einer wiederholten Anwendung des Gesetzes von der Erhaltung der Arbeit für die verschiedenen in Fig. 1 und 2 gekennzeichneten Punkte folgende Gleichungen: \frac{{w_0^3}}{2\,g}+h_0=\frac{w^2}{2\,g}+\frakfamily{h}+p+\frakfamily{h}_0-\varrho_0\,\cdot\,H \frac{{w_1^2}}{2\,g}+h_1=\frac{w^2_0}{2\,g}+h_0+\frakfamily{h}_1-\varrho_1\,\cdot\,H \frac{v_2^2}{2\,g}-h_2=\frac{v_1^2}{2\,g}+h_1+\frakfamily{h}_2-\frac{u_1^2-u_2^2}{2\,g} \frac{{w_3^2}}{2\,g}+h_3=\frac{w^2_2}{2\,g}+h_2+\frakfamily{h}_3-\varrho_3\,\cdot\,H \frac{{w_4^2}}{2\,g}+\frakfamily{h}_4+p=\frac{w^2_3}{2\,g}+h_3+\frakfamily{h}_4-\varrho_4\,\cdot\,H durch Addition, wobei ρ0 + ρ1 + ρ2 + ρ3 + ρ4 = ρ \frac{w^2}{2\,g}+\frakfamily{h}+\frakfamily{h}_0+\frakfamily{h}_1+\frakfamily{h}_2+\frakfamily{h}_3-\frakfamily{h}_4=H Textabbildung Bd. 317, S. 677 Fig. 2. (H = Gesamtgefälle inkl. Geschwindigkeitshöhe im Obergraben) gesetzt wird, folgt die allgemein giltige Arbeitsgleichung: w12 – v12 + u12 – w22 + v22 – u22 + w42 = 2 g H (1 – ρ) In dieser Gleichung liegt, so lange wir nicht imstande sind auf anderem Wege, als durch Anwendung des Gesetzes von der Erhaltung der Arbeit, an hydraulische Vorgänge heranzutreten, die ganze Turbinentheorie. Auf ihren Geltungsbereich werden wir an späterer Stelle an Hand der nunmehr zu konstruierenden Diagramme näher eingehen. B. Die Konstruktion der Diagramme besteht nun einfach in der Verlegung obiger, aus einer Summe von Quadraten bestehenden Hauptgleichung in eine Reihe von Ausdrücken von der Form c 2 – b 2 = a 2 deren jeder durch ein rechtwinkliges Dreieck graphisch dargestellt werden kann. So bilden wir ein erstes Dreieckspaar in Fig. 3 nach folgender Zerlegung: √(2 g H (1 – )2) - w42 =\sqrt{w_1^2+v_1^2+v_2^2-u_2^2+u_1^2-w_2^2}^2 dann wieder =\sqrt{w_1^2-v_1^2+v_2^2-u_2^2+u_1^2}^2-w_2^2 Nun mit dem letzten Wurzelausdruck ein zweites Dreieckspaar in Fig. 4 \sqrt{w_1^2-v_1^2+v_2^2-u_2^2+u_1^2}^2-u_1^2 =\sqrt{w_1^2-v_1^2+v_2^2-u_2^2}^2 und dieses dann gleich =\sqrt{w_1^2-v_1^2+v_2^2}^2-u_2^2 Textabbildung Bd. 317, S. 678 Fig. 3. Und entsprechend in Fig. 5.: \sqrt{w_1^2-v_1^2+v_2^2}^2-v_2^2 =\sqrt{w_1^2-v_1^2}^2 =w_1^2-v_1^2 Zur bequemen Handhabung sind schliesslich die drei Dreieckspaare in Fig. 6 auf einander gelegt, wobei die Spitze des die w beherrschenden Dreieckspaares mit W, die Spitzen der beiden andern Dreieckspaare entsprechend mit V und U bezeichnet wurden. Textabbildung Bd. 317, S. 678 Fig. 4. Die drei Dreieckspaare hängen dadurch zusammen, dass \overline{W\,e}=\overline{U\,a}-\sqrt{w_1^2-v_1^2+v_2^2-u_2^2+u_1^2} und \overline{U\,f}=\overline{V\,g}=\sqrt{w_1^2-v_1^2+v_2^2} ist. C. Allgemeine Betrachtung zur Diskussion der Diagramme. Die Diagramme sind, wie gezeigt, nichts anderes, als eine graphische Darstellung der Hauptgleichung. Ihre praktische Verwendbarkeit wird in den letzten Abschnitten an Beispielen gezeigt werden. Hier soll zunächst ihr Geltungsbereich näher untersucht und als Einleitung dazu die Frage aufgestellt werden: Welches ist zwischen zwei Reservoiren bei gegebener Niveaudifferenz die grösstmöglichste Wassergeschwindigkeit? Textabbildung Bd. 317, S. 678 Fig. 5. Textabbildung Bd. 317, S. 678 Fig. 6. Auf diese Frage etwas näher einzugehen, möge dem Verfasser gestattet sein, da er häufig unklaren Anschauungen in ihrer Beantwortung begegnet ist.Unrichtig ist z.B. die Anschauung, die grösstmögliche Geschwindigkeit wmx an der engsten Stelle einer Rohrleitung sei die, welche dem Gesamtgefälle H abzüglich Reibungshöhe ρ . H nach der Gleichungw_{m\,x}=\sqrt{2\,g\,H\,(1-\varrho)} entspricht. Zu Grunde gelegt sei eine einfache Rohrleitung mit veränderlichem Querschnitt nach Art von Fig. 7, wie sie vom Verfasser zur experimentellen Veranschaulichung des vorliegenden Vorgangs konstruiert wurde. Es ist einleuchtend, dass die interessierende grösste Geschwindigkeit an der engsten Stelle, d.h. bei Punkt 1 eintreten wird. Heber ihre Grösse müssen wieder die Arbeitsgleichungen Auskunft geben. Dazu gelten, soweit sie hier auftreten, dieselben Bezeichnungen wie bei Fig. 1 und 2. Der Einfachheit halber sind die Punkte 0 und 2 (s. Fig. 7) in den Wasserspiegel gelegt, ferner sind die beiden Reservoire, zwischen denen das Ueberfliessen erfolgt, so gross angenommen, dass das Arbeitsvermögen der Geschwindigkeiten w0 und w2 verschwindend klein ist. Dann lauten die Arbeitsgleichungen 1. für Punkt 1: \frac{w_1^2}{2\,g}+h_1=\frakfamily{h}_1+p-\varrho_1\,\cdot\,H 2. für Punkt 2: p=\frac{w_1^2}{2\,g}+h_1-\frakfamily{h}_2-\varrho_2\,\cdot\,H Textabbildung Bd. 317, S. 679 Fig. 7. Die erste und wichtigste Bedingung folgt nun aus einer Addition dieser beiden Gleichungen und bemerkenswerter Weise gerade dadurch, dass w1 hinausfällt. Es bleibt nämlich 3. (\rho_1+\rho_2)\,.\,H=h_1-h_2=H d.h. es besteht bei sehr grosser Ein- und Austrittsfläche in erster Linie kerne andere Bedingung für w1, sowie die sämtlichen in der Rohrleitung auftretenden Geschwindigkeiten, als dass dieselben so lange wachsen müssen, bis die durch sie erzeugte Reibungsarbeit die ganze Gefällsarbeit aufgezehrt hat, d.h. bis ρ = 1 ist. Bis dahin wird also w1 immer wachsen (unter Vernachlässigung der Reibung wäre demnach ein Beharrungszustand überhaupt undenkbar), wenn nicht etwa vorher die zweite Grenze für grösstes w1, die Bedingung der Kontinuität des Wasserfadens überschritten wird. Letztere verlangt an jeder Stelle der Rohrleitung Positive Wasserdrucke. Somit folgt die Grenze von w1 aus Gleichung 1, wenn h1 = 0 gesetzt wird: w_{1\,m\,x}=\sqrt{2\,g\,(\frakfamily{h}_1+p-\varrho_1\,H)} d.h. w1findet seine zweite Grenze, wenn die gesamte vor der fraglichen Stelle vorhandene Gefällshöhe + Atmosphärendruck abzüglich Reibungshöhe in kinetische Energie umgewandelt ist. Man erkennt, dass für eine horizontale Rohrleitung mit Mehreren Querschnittsverengungen die Kontinuitätsbedingung an den, dem Einfluss zunächst gelegenen Stellen die grössten Geschwindigkeiten zulässt, da hier noch ρ am kleinsten ist, ferner dass diese Grenze durch Tieflegen der Rohrleitung unter die beiden Wasserspiegel beliebig gesteigert Werden kann. Nimmt man die Geschwindigkeit in den Gefässen nicht = 0 an, sondern rechnet noch mit einer Zufluss- und Abflussgeschwindigkeit w0 und w2, so ändern sich diese Bedingungen grundsätzlich nicht. Fliesst z.B. das Wasser mit w2 fort, so ändert sich die zweite Bedingung w_{1\,m\,x}=\sqrt{2\,g\,(\frakfamily{h}_1-p-\varrho_1\,H)} überhaupt nicht, während die erste Bedingung durch die nun geänderte Gleichung \frac{w_2^2}{2\,g}+(\varrho_1+\varrho_2)\,H=H zeigt, dass nunmehr die Steigerung der Geschwindigkeit von w1 ihre Grenze finden muss, wenn die Gefällshöhe H verbraucht ist in der kinetischen Energie von w2 + Reibungsarbeit. Die Grenze der zweiten Bedingung zu erreichen wird nur bei sehr hohen Gefällen unter besonders günstigem g2 möglich sein, im allgemeinen tritt die Grenze der ersten Bedingung in Wirksamkeit, wonach also – unter Vernachlässigung der Abflussgeschwindigkeit – w1 einfach eine Funktion der Reibung und erst indirekt durch diese auch des Gefälles ist. Es erübrigt nun noch auf die physikalische Verschiedenheit der Reibungsarbeiten ρ1 . H und ρ2 . H hinzuweisen. ρ1 . H tritt in dem Teil der Rohrleitung auf, in welchem Druck in Geschwindigkeit umgesetzt wird. Diese Umsetzung vollzieht sich, da die Geschwindigkeitssteigerung von der zunehmenden Querschnittsverengung erzwungen wird, im allgemeinen in eindeutiger und einfacher Weise. Dem entsprechend wird ρ1 H relativ klein sein. Umgekehrt ist die Verlangsamung des Wassers, die Rückumsetzung der Geschwindigkeit in Druckhöhe durch die Querschnitte nicht erzwungen, daher auch nicht eindeutig. Das Wasser hat das Bestreben, mit der einmal gehabten Geschwindigkeit auch durch die erweiterten Querschnitte durchzuschiessen, wodurch Wirbel auftreten, deren Reibung ihm schliesslich alle oder doch einen grossen Teil der kinetischen Energie verzehren kann. Demnach wird ρ2 . H im allgemeinen unsicher, und unter ungünstigen Verhältnissen sehr gross sein. Für den Fall, dass gar keine Rückumsetzung von Geschwindigkeit in Druckhöhe stattfindet, wird \varrho_2\,\cdot\,H=\frac{w_1^2}{2\,g} daraus nach Gleichung 3 ρ1H + ρ2 . H = H nun \frac{w_1^2}{2\,g}=H-\varrho_1\,H;\ w_1=\sqrt{2\,g\,H\,(1-\varrho_1)} die bekannte Form für Ausflussgeschwindigkeiten, wenn im Punkt 1 Ausfluss ins Freie stattfände. (Vergleiche Fussnote auf Seite 679). Es ist hier nicht die Stelle auf die schwierige Beantwortung der Frage, in wieweit sich Geschwindigkeit in Druckhöhe umsetzen und dadurch der Betrag von ρ2 H vermindern lässt, näher einzugehen. Die Versuche mit konisch divergierenden Ausflussröhrchen, sowie dem Venturiwassermesser geben darüber einigen Aufschluss. Als allgemeine Grundsätze darf aber wohl folgendes behauptet werden: 1. Die Umsetzung von Geschwindigkeit in Druck erfolgt um so besser, je grosser der Einfluss der Wandungen gemacht werden kann, d.h. je dünner die Rohrleitung und je langsamer ihre Erweiterung ist. 2. Das Wasser wird leichter eine Richtungsänderung, als eine Geschwindigkeitsänderung vornehmen. Aus letzterem folgt, dass eine Rückumsetzung von Geschwindigkeit in Druckhöhe überhaupt nur bei achsialer Wasserführung zu erwarten ist. Besitzt das Wasser z.B. eine schraubenförmige Bewegung in der Rohrleitung, so wird es leicht bei einer Querschnittserweiterung durch eine Verringerung der „Ganghöhe“ mit Beibehaltung seiner Geschwindigkeit den erweiterten Querschnitt ausfüllen. D. Diskussion der Diagramme. Bei der Konstruktion der Diagramme sind zum Teil im Anschluss an die eben gemachten Erwägungen eine Reihe von Gesetzen und Bedingungen zu beachten, die einer willkürlichen Verzerrung derselben ins Ungemessene ihre Schranken setzen. Es möge zunächst 1. Die Berücksichtigung der Wasserreibung besprochen werden, sowohl weil die Aufzeichnung der Diagramme im allgemeinen eine Schätzung der Reibungsgrössen (ρ) voraussetzt, als auch weil diese Betrachtung auf eine erwünschte Vereinfachung der Diagramme führt. Die im vorigen Abschnitt über die grösste Wassergeschwindigkeit aufgestellte Beziehung findet hier bezüglich der Wasserreibung ihren mathematischen Ausdruck einfach in unserer Hauptgleichung und lautet: Die Wassergeschwindigkeiten werden solange wachsen, bis die Differenz zwischen der gesamten vorhandenen Energie einerseits und der abgegebenen Arbeit + der kinetischen Energie des abfliessenden Wassers andererseits in Reibungsarbeit verbraucht ist. Aus dem, was im vorigen Abschnitt über die Umsetzung von Geschwindigkeit in Druck gesagt wurde, folgt, dass die Stellen mit Querschnittserweiterung besonders kritisch in Bezug auf Reibungsverlust angesehen werden müssen. Dabei kommen bei normalen Turbinen besonders 3 in Betracht. 1. Beim Uebergang von w0 auf w1 Hier wird sich die Querschnittserweiterung mit Rücksicht auf die Stärke der Leitradschaufeln im allgemeinen nicht vermeiden lassen. Dementsprechend ist ρ1 mit relativ hohem Betrage in Rechnung zu stellen. 2. Beim Durchgang durch das Laufrad. Hier kann und soll daher auch jede Querschnittserweiterung vermieden werden, d.h. für jeden Wasserfaden soll v2 ≧ v1 im Diagramm \overline{b\,d}\,\geq\,\overline{d\,g} gemacht werden, aber auch unterwegs soll keine Unstetigkeit vorkommen. 3. Beim Uebergang aus dem Laufrad in den Untergraben. Zunächst ist beim Austritt aus dem Laufrad die der Schaufelstärke entsprechende Querschnittserweiterung im allgemeinen nicht zu vermeiden. Dann aber wird man auch eine Erweiterung des Saugrohrs entsprechend einer gewünschten Untergrabengeschwindigkeit w4 mit möglicherweise vermehrter Saugwirkung sich nicht entgehen lassen, da sie sich aus dem für w2 konstrukiv festgelegten Austrittsquerschnitt mit geringen Kosten erzielen lässt und eine massige Erweiterung jedenfalls nicht schaden kann. Aus den besprochenen Gründen wird aber ein vorsichtiger Konstrukteur nicht mit erheblichem Wiedergewinn von Druckhöhe rechnen, sondern vielleicht annehmen, dass die kinetische Energie \frac{w_2^2-w_2^4}{2\,g} in Reibung verzehrt wird, d.h. er wird \frac{w_2^2-w_4^2}{2\,g}=(\varrho_3+\varrho_4)\,\cdot\,H setzen. Dies führt zu folgender Vereinfachung der Diagramme: Es war Fig. 6. und \overline{W\,e}=\overline{U\,a}=\sqrt{2\,g\,H\,(1-[\varrho_0+\varrho_1+\varrho_2+\varrho_3+\varrho_4])+w^2_2-w_4^2} Danach fällt (ρ3 + ρ4) . 2 g H gegen w^2_2-w_4^2 hinaus; es bleibt \overline{U\,a}=\sqrt{2\,g\,H\,(1-[\varrho_0+\varrho_1+\varrho_2])} und wenn man nun ρ0 + ρ1 + ρ2 mit ρ bezeichnet, so lässt sich nunmehr die Zeichnung des Diagramms mit \overline{U\,a}=\sqrt{2\,g\,H\,(1-\varrho)} beginnen (Fig. 8). Der Linienzug cWe (Fig. 6) ist ganz weggefallen. Da hierin keine Spezialisierung, sondern eine gewisse Sicherheit der Rechnung liegt, so soll für die weiteren Untersuchungen das in Fig. 8 gezeichnete vereinfachte Diagramm (ohne w2 und w4) Verwendung finden. Es sei hier auch beigefügt, dass im allgemeinen aus äusseren Gründen die Wassergeschwindigkeit w des Obergrabens für die Turbine nicht nutzbar gemacht werden kann, sondern in Wirbelreibung aufgezehrt wird. In solchem Falle vereinfacht sich die Anschauung, wenn man in H die doch verloren gegebene Obergrabengeschwindigkeitshöhe \frac{w^2}{2\,g} garnicht erst einbezieht (wie nach der Hauptgleichung [Seite 677] vorgesehen war), wobei man dann gleichzeitig natürlich den Verlust ρ0 . H um den Betrag dieser Wirbelreibung niedriger einschätzen muss. Nach vorstehend Geäussertem ergiebt sich leicht aus dem Diagramm die grösste Geschwindigkeit w1. Sie tritt ein für v2 = vl, dann wird in Fig. 8 bezw. 9 \overline{b\,V}=w_1=\overline{V\,g}=\sqrt{2\,g\,H\,(1-\varrho)-u_1^2+u_2^2}. Textabbildung Bd. 317, S. 680 Fig. 8. Textabbildung Bd. 317, S. 680 Fig. 9. Schliesslich sei noch besonders, darauf hingewiesen, dass durch Wegfall des Dreieckspaares cWe der Fig. 6 die Grösse w2 ganz aus der Diagramm-Konstruktion verschwunden ist; d.h. die vereinfachten Diagramme sind unabhängig von den Austrittsgeschwindigkeiten, also auch vom Austrittsverlust. Erst durch Anfügen des Austrittsdreiecks wird w2 und ∢β2 festgelegt. Zusammenfassend hat uns danach die Betrachtung der Reibungsverhältnisse folgende Ergebnisse geliefert: a)v2 ≧ v1 als Bedingung für kleines ρ2 b) w_{1\,m\,x}=\sqrt{2\,g\,H\,(1-\varrho)-u_1^2+u_2^2} c) die Vereinfachung der Diagramme unter der Annahme \frac{w_2^2-w_4^2}{2\,g}=H\,(\varrho_3+\varrho_4) d) Wegfall des w2 und w4 aus den Diagrammen. Als nächster Punkt möge nun die zweite Bedingung der grössten Wassergeschwindigkeit nach vorigem Abschnitt 2. Die Bedingung der Kontinuität des Wasserfadens auf die Turbinen Anwendung finden. Dieselbe wird, wie angegeben, dann erreicht, wenn die gesamte vor der fraglichen Stelle vorhandene Gefällshöhe + Atmosphärendruck abzüglich Reibungshöhe in kinetische Energie umgesetzt ist. Eine kritische Stelle ist vor allem bei wl, bezw. bei w0, Welches durch die Leitradschaufel-Verengung noch grösser sein kann als w1. Danach muss also w_0\,\leq\,\sqrt{2\,g\,(\frakfamily{h}+\frakfamily{h}_0+p-\varrho_0\,\cdot\,H)} und w_1\,\leq\,\sqrt{2\,g\,(\frakfamily{h}+\frakfamily{h}_0+\frakfamily{h}_1+p-(\varrho_0+\varrho_1)\,H)} sein. Diese Bedingung könnte z.B. leicht bei hohem Gefälle, wenn gleichzeitig v2 = vv wo w_1=\sqrt{2\,g\,H\,(1-\varrho)+u_2^2-u_1^2} und u2 > u1 (innere Radialturbine), überschritten werden. Bei v2, wo im allgemeinen der niedrigste Druck in einer Turbine herrschen wird, ist nur dann Bedenken, dass die Kontinuität unterbrochen werde, wenn die Turbine hoch über dem Unterwasser steht und im Saugrohr thatsächlich eine Rückumsetzung von Geschwindigkeit in Druckhöhe stattfindet, so dass \frac{w_2^2-w_4^2}{2\,g}+\frakfamily{h}_3+\frakfamily{h}_4-\frakfamily{h}'_4-(\varrho_3+\varrho_4)\,H rechnungsmässig grösser ausfallen müsste als p. Als weitere wichtige Bedingung wird 3. Die Erfüllung der Geschwindigkeitsparallelogramme verlangt. Je 3 zu einem Dreieck nach Fig. 2 zu vereinigende Geschwindigkeiten müssen der Bedingung genügen, dass die Summe von zwei Seiten nicht grösser sein darf, als die dritte SeiteDiese mathematische Grenze führt zu Winkeln von 0° bis 180°. Die konstruktive Ausführung der Schaufeln verlangt natürlich, dass man nicht soweit gehe, sondern an der Grenze praktisch ausführbarer Schaufelwinkel Halt mache.. Die Erfüllung dieser Bedingungen lässt sich mit einem Blick übersehen, wenn aus dem Diagramm nach Fig. 8 die betreffenden Geschwindigkeitsdreiecke entwickelt werden. Durch Schlagen eines Kreises mit \overline{b\,d}=v_1 um d (siehe Fig. 8) und eines zweiten mit \overline{V\,b}=w_1 um a erhält man das Geschwindigkeitsdreieck für den Eintritt (vergl. Fig. 2) mit den Winkeln δ1 und β1. Durch Schlagen eines Kreises mit \overline{d\,g}=v_2 um d, und w2 um f ergiebt sich das Geschwindigkeitsdreieck für den Austritt. (Vergl. Fig. 2.) Durch Konstruktion dieser Geschwindigkeitsdreiecke ist es nun leicht, sei es für eine im Diagramm vorgenommene Aenderung die resultierenden Schaufelwinkel kennen zu lernen, sei es die Diagramme einem gewünschten Eintritts- oder Austrittsdreieck anzupassen. Schliesslich verlangt noch 4. Die Bedingung kleinen Austrittsverlustes d.h. eines kleinen w2 dass v2 von u2 nicht sehr verschieden sei. E. Vereinfachung der Diagramme unter der Annahme verschiedener, häufig angewendeter Konstruktionsregeln. Fig. 8 zeigt die Diagramme zusammengestellt für senkrechten Austritt von w2. Es lässt sich leicht aus der Figur nachweisen, dass dann u_1=\sqrt{(g\,\cdot\,H)\,[1-\varrho]-\frac{w_2^2}{2})\,\cdot\,\frac{sin\,(\beta_1-\delta_1)}{sin\,\beta_1\,cos\,\delta_1}} und wenn man 1-\varrho-\frac{w_2^2}{2\,g\,H}=\eta (WirkungsgradWas natürlich nur unter der angenommenen Vernachlässigung der Saugrohr-Wirkung zutrifft. setzt u_1=\sqrt{\eta,g\,h\,\cdot\,\frac{sin\,(\beta_1-\delta_1)}{sin\,\beta_1\,cos\,\delta_1}} In Fig. 9 ist v2 = u2 gemacht. Dadurch fällt Punkt V auf U. Aus der Figur folgt unmittelbar u_1=\sqrt{g\,h\,(1-\varrho)\,\frac{sin\,(\beta_1-\delta_1)}{sin\,\beta_1\,cos\,\delta_1}} Textabbildung Bd. 317, S. 681 Fig. 10. Besonders einfach wird das Diagramm, wenn gleichzeitig, wie in Fig. 10 ∢β1 = 90° gemacht wird. Dann wird \overline{d\,V}=u_1; δ 1 erscheint bei V und es ergiebt sich u_1=\sqrt{g\,H\,(1-\varrho)} (Schluss folgt.)