Beitrag zur Berechnung der Beton- und Betoneisen-Träger. Von Paul Weiske, Ingenieur und Königlicher Oberlehrer, Cassel. Beitrag zur Berechnung der Beton- und Betoneisen-Träger. I. Beton-Träger ohne Eiseneinlagen. Der in No. 38 des Zentralblattes der Bauverwaltung erschienene Aufsatz von M. Koenen behandelte die Berechnung der Beton- und Betoneisenbauten unter Benutzung des Bach-Schüle'schen Formänderungsgesetzes:    I. ε1 = a1 σm1 für Druck II. ε2 = a2 σm2 für Zug. Bei dem angenäherten Verfahren der Berechnung der auf Biegung beanspruchten Betonbalken wird m1 = m2 = 1 gesetzt und das Verhältnis \frac{a_1}{a_2} angenommen. Nach v. Bach bedeuten a1 und a2 die Dehnungsziffern für die Spannungseinheit 1 kg/cm2. Will man nun die Gleichungen I und II durch einfachere mit den Exponenten m1 = m2 = 1 ersetzen, so muss man für a1 und a2 diejenigen Dehnungsziffern einführen, welche etwa dem aus der Beanspruchung resultierenden mittleren Spannungszustande des zu berechnenden Körpers entsprechen würden. Lässt man diese Vereinfachung zu, so ergiebt sich: ε1 = a1 σm1 = ad . σ und ε2 = a2 σm2 = aE . σ oder ad = a1 σm1 – 1 und aE = a2 σm2 – 2 Hierbei sind ad und aE die jeweiligen Dehnungsziffern für eine bestimmte Spannung σ. Hierdurch ergiebt sich für verschiedene Werte σ der Wert von ad und aE mit der Annäherung, mit welcher die Dehnungsgesetze für den einzelnen Fall Giltigkeit haben. Selbstverständlich sind die Werte a1 und a2 für jeden Betonkörper verschieden. Will man aber für die Betonkonstruktionen im allgemeinen Schlüsse ziehen, so muss man Mittelwerte einführen, um auch das Verhalten eines noch nicht untersuchten Körpers beurteilen zu können. Der Mittelwert für Druck wurde entnommen aus den Angaben von C. v. Bach (Elastizität und Festigkeit 4. Aufl. 1902 S. 66). Hier finden sich leider keine Angaben über die Zugelastizität. Barkhausen setzt εE = 80000 kg/cm2 für 6 kg/cm2 Spannung (Z. f. A. u. J. 1901, II). Spitzer findet aus dem Versuche I von Grut-Nielsen (siehe Versuchsergebnisse über Erprobung von Beton Wien 1901) eE abnehmend von 278000 bis 61000 für Spannungsänderung von 1 bis 15 kg/cm2. In früherer Veröffentlichung hat Spitzer den Elastizitätsmodul des Betons mit Eiseneinlagen für den kritischen Zustand der Rissbildung auf 33500 kg/cm2 angegeben. Koenen (Zentralblatt 1902) setzt mit m1 = m2 = 1 die Verhältniszahl n=\frac{a_z}{a_d} auf 9 bis 25 fest. Mir erscheinen diese Verhältniszahlen doch zu hoch, und obigen Angaben von B und S widersprechend. Jedenfalls steht fest, dass der Elastizitätsmodul des Betons kleiner ist, als derjenige auf Druck, und dass er auch schneller abnimmt, da sich ja erwiesenermassen die Nulllinie aus der Schweraxe nach der Druckseite hin bei zunehmender Beanspruchung immer mehr verschiebt. Mit den Werten a_2=\frac{1}{150000} und m 2 = 1,4 erhält man Elastizitätsziffern für die verschiedenen Spannungsstufen, welche nach meiner Ansicht mit obigen Angaben und wohl auch mit dem thatsächlichen Verhalten des Betons sich im Einklang bringen lassen. Selbst wenn man nach Koenen n grösser annimmt, so gelten doch noch die nachfolgenden Untersuchungen. – Wir wollen folgende Mittelwerte einführen: a_1=\frac{1}{300000}, m1 = 1,15 a_2=\frac{1}{150000}, m2 = 1,40 Dann lauten die Formänderungsgleichungen: \frac{1}{E_d}=a_d=\frac{1}{300000}\,\sigma^{0,15} und \frac{1}{E_z}=a_z=\frac{1}{150000}\,\sigma^{0,40} Die reziproken Werte der Dehnungsziffern ad und aE sind die Elastizitätsmodulen Ed und EE. Für die Berechnung derselben ergiebt sich durch Logarithmieren obiger Gleichungen: log Ed = log 300000 – 0,15 log σ log EE = log 150000 – 0,40 log σ Aus diesen Formeln sind die Werte Tab. I berechnet: Tabelle I. Spannungkg/cm2 E_d=\frac{1}{a_d} E_z=\frac{1}{a_z} n=\frac{E_d}{E_z}=\frac{a_z}{a_d}   1 300000 150000 2,00   5 235600   78700 3,00 10 212400   59700 3,56 15 199900   50800 3,93 20 191400   45300 4,23 25 185100   41400 4,47 30 180100   38500 4,68 35 176000 – – 40 172500 – – 45 169500 – – 50 166800 – – Nun werden in einem auf Biegung beanspruchten Beton-Balken nicht gleich grosse Zug- und Druckspannungen in Vergleich zu stellen sein, sondern kleinere Zugspannungen mit grösseren Druckspannungen, und zwar kann man nach Tab. I das Verhältnis n=\frac{E_d}{E_z}=\frac{a_z}{a_d} setzen: für niedrige Spannungen: n = 2 für mittlere Spannungen: n = 3 für hohe Spannungen: n = 4 Mit den Bezeichnungen der Fig. 1 erhält man: \frac{a_d\,\cdot\,\sigma_I}{a_e\,\cdot\,\sigma_{II}}=\frac{\varepsilon_I}{\varepsilon_{II}}=\frac{e_1}{e_2} oder \sigma_I=\frac{a_z}{a_d}\,\cdot\,\frac{e_1}{e_2}\,\cdot\,\sigma_{II}-\frac{E_d}{E_z}\,\cdot\,\frac{e_1}{e_2}\,\cdot\,\sigma_{II}=n\,\cdot\,\frac{e_1}{e_2}\,\cdot\,\sigma_{II} Für n > 1 erfährt die Nulllinie eine Verschiebung nach der Druckseite hin, gegen die Lage für den Zustand n = 1. Die Lage der verschobenen Nulllinie lässt sich aus der Gleichung der wagerechten Kräfte berechnen. Dieselbe lautet: \sum_0^{e_1}\,\sigma\,f=\sum_0^{e_2}\,\sigma\,f oder \frac{\sigma_I}{e_1}\,\sum_0^{e_1}\,\sigma\,f\,x=\frac{\sigma_{II}}{e_2}\,\Sigma\,f\,y n\,\cdot\,\frac{e_1}{e_2}\,\cdot\,\frac{\sigma_{II}}{e_1}\,\sum_0^{e_1}\,f\,\cdot\,x=\frac{\sigma_{II}}{e_2}\,\Sigma\,f\,y und n\,\cdot\,\sum_0^{e_1}\,f\,x-\sum_0^{e_2}\,f\,y=0 Textabbildung Bd. 317, S. 726 Fig. 1. Diese Gleichung kann auch geschrieben werden: -\sum_0^{e_1}\,f\,x+\sum_0^{e_2}\,f\,y=(n-1)\,\sum_0^{e_1}\,f\,\cdot\,x oder F\,\cdot\,z=(n-1)\,\sum_0^{e_1}\,f\,x=(n-1)\,F_1\,\cdot\,x_0 F . z ist das statische Moment des Gesamtquerschnittes in Bezug auf die verschobene Nullaxe, (n – 1) F1 . x0 dasjenige der (n – 1)fachen Druckzone, siehe Fig. 1. z wird Null für n = 1, also für Ed = EE. Es ist also z=\frac{(n-1)\,F_1\,x_0}{F}=\frac{(n-1)\,S_d}{F} Nach dieser Gleichung lässt sich die Breite der Druckzone für einfache Querschnittsformen berechnen: 1. Rechteck. Mit x_0=\frac{e_1}{2} ergiebt sich nach Fig. 1 z=\frac{(n-1)\,{e_1}^2\,b}{2\,h\,\cdot\,b} Hierbei ist h die Höhe, b die Breite des Querschnittes. Führt man z=\frac{h}{2}-e_1 ein, so ergiebt sich nach einigen Umrechnungen: e_1=\frac{h}{1+\sqrt{n}} und e_2=\frac{h\,\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}} oder e_2=e_1\,\sqrt{n} Mit zunehmender Beanspruchung entfernt sich also die Nulllinie aus ihrer Anfangslage. Für hohe Spannungen mit n = 4 ergiebt sich e_1=\frac{h}{3}. Für n = 1, also für Schmiedeeisen etc., ist e_1=\frac{h}{2}. 2. Balken und Platte. Die Nulllinie wird in der Platte angenommen, dann ist nach Fig. 2 z=\frac{(n-1)\,{e_1}^2\,\cdot\,b}{2\,\cdot\,F}\,\cdot\,c\,\cdot\,{e_1}^2 wo c=\frac{(n-1)}{2}\,\frac{b}{F} ist; hierbei ist b die Breite der Platte. Mit z = e – e1 ergiebt sich: e_1=\frac{1}{2\,c}\,\left(-1+\sqrt{1+4\,e\,\cdot\,c}\right) Ist e1 grösser als die Plattenstärke d, so ist die Formel in dieser einfachen Form nicht giltig, lässt sich aber in ähnlicher Weise aufstellen, dasselbe gilt, wenn der Balken Druckspannungen erhält und die Platte Zugspannungen (bei Einspannung). Textabbildung Bd. 317, S. 726 Fig. 2. 3. Für beliebigen Querschnitt geschieht die Bestimmung der Nulllinie versuchsweise durch Zeichnung. Voraussetzung ist, dass die Druckzone symmetrisch zur Biegungsachse liegt. Man nimmt die Druckzone beliebig an, und bestimmt ihren Schwerpunkt (siehe Fig. 3). Im Krafteck fügt man (n – 1) F1 hinzu und bestimmt die Resultierende von F und (n – 1) F1. Wenn dieselbe mit der angenommenen Nulllinie zusammenfällt, so war dieselbe richtig bestimmt. Andernfalls kann man das Verfahren schnell wiederholen. Textabbildung Bd. 317, S. 726 Fig. 3. Wenn die Nulllinie bestimmt ist, so geschieht die Spannungsberechnung mit der Momentengleichung: \sum_0^{e_1}\,\sigma\,f\,x+\sum_0^{e_2}\,\sigma\,f\,y=M oder [n\,\sum_0^{e_1}\,f\,x^2+\sum_0^{e_2}\,f\,y^2]\,\cdot\,\frac{\sigma_{II}}{e_2}=M Der Ausdruck j=n\,\sum_0^{e_1}\,f\,x^2+\sum_0^{e_2}\,f\,y^2 lässt sich leicht berechnen für Rechtecke und für aus Rechtecken zusammengesetzte Querschnitte. Für beliebige Querschnitte empfiehlt sich das Verfahren von Mohr, wobei die Streifen der Druckfläche in nfacher Grösse einzuführen sind. Aus dem Trägheitsmomente ergeben sich die Widerstandsmomente: W_2=\frac{J}{e_2} für Zug und W_I=\frac{J}{n\,\cdot\,e_1} für Druck Für rechteckige Querschnitte kann das Trägheitsmoment als Funktion von n entwickelt werden: Es ist: n\,\Sigma\,f\,x^2+\Sigma\,f\,y^2=\Sigma\,f\,x^2+\Sigma\,f\,y^2+(n-1)\,\Sigma\,f\,x^2 =J_0+F\,\cdot\,z^2+(n-1)\,\Sigma\,f\,x^2 =J_0+F\,z^2+(n-1)\,\left[J_1+F_1\,\left(\frac{e_1}{2}\right)^2\right] Es ist aber J_0=\frac{b\,h^3}{12},\ F_1=b\,e_1,\ z=\frac{(n-1)\,{e_1}^2}{2\,h},\ J_1=\frac{b\,{e_1}^3}{12}, und e_1=\frac{h}{1+\sqrt{n}} man erhält nach Einsetzung dieser Werte und einigen Zusammenziehungen: J=\frac{b\,h^3}{12}\,\left[1+12\,\frac{\sqrt{n}-1}{(1+\sqrt{n})^2}\,\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\,(\sqrt{n}-1)\right)\right] In Tab. II sind die Trägheitsmomente, Abstände der äussersten Fasern von der Nulllinie, Widerstandsmomente und Spannungen bezogen auf die Werte J, h, W und σ, wie sie bei der Berechnung nach der gewöhnlichen Biegungsgleichung benutzt werden, angegeben für die verschiedenen Werte von n. Tabelle II. n Träg-heits-moment e_1=\frac{h}{1+\sqrt{n}} e_2=\frac{h\,\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}} Wider-stands-moment:Druck Wider-stands-moment:Zug σI Druck σII Zug 2 1,372 J 0,414 h 0,586 h 0,828 W 1,172 W 1,208 σ1 0,854 σ2 3 1,608 J 0,366 h 0,634 h 0,732 W 1,268 W 1,366 σ1 0,789 σ2 4 1,778 J 0,333 h 0,667 h 0,667 W 1,333 W 1,500 σ1 0,750 σ2 Da bei der Spannungsberechnung eine geradlinige Spannungsverteilung angenommen ist, so werden in Wirklichkeit die Spannungen σI und σII noch niedriger sein. Aus Tabelle II lässt sich für den Augenblick des Bruches der Schluss ziehen, dass die Nulllinie sich noch mehr nach der Druckseite hin verschiebt, dass also der Korrektionsfaktor bei den Zugspannungen noch mehr abnimmt und bei den Druckspannungen noch mehr wächst. Die Zugspannungen werden vielleicht halb so gross, die Druckspannungen einundeinhalb bis doppelt so gross, als die aus den gewöhnlichen Biegungsgleichungen für die Bruchlast ermittelten Spannungen. Natürlich gelten in diesem kritischen Zustande die entwickelten Gleichungen nicht mehr. Man muss vielmehr nach der von C. v. Bach angegebenen Methode verfahren, welche sich auf voraufgegangene Zug- und Druckversuche mit dem Betonkörper entnommenen Probestäben stützt, um ein wahres Bild über die Spannungsverteilung und die Grösse der Bruchspannungen zu bekommen (siehe C. v. Bach, Elastizität und Festigkeit, IV. Auflage, S. 241 ff.). II. Beton-Träger mit Eiseneinlagen. Wir haben in dem vorigen Aufsatze Formeln für die Berechnung der Betonträger ausgestellt unter der Annahme, dass der Elastizitätsmodul des Betons für Zug und Druck verschieden ist, und haben das Verhältnis n=\frac{E_d}{E_s} eingeführt, welches mit der Grösse der Beanspruchung veränderlich ist. Nunmehr wollen wir die Ableitungen auch auf die Berechnung der Betonträger mit Eiseneinlagen ausdehnen. Zunächst sollen unsere Berechnungsgrundsätze kurz erläutert werden. 1. Die Betonzugspannungen sollen nicht vernachlässigt werden, weil dieselben thatsächlich vorhanden sind. Will man die Gewähr rissfreier Konstruktionen haben, so muss man sich auch Rechenschaft ablegen über die Grösse der Betonzugspannungen. Man kann nicht willkürlich dem Eisen alle Zugspannungen aufbürden, sondern die Eisenspannungen stehen in einem ganz bestimmten Verhältnis zu denjenigen des Betons. Erst wenn die Zugkraft des Betons versagt, übernimmt das Eisen die ganzen Zugspannungen. 2. Die Betondruckspannungen betragen das nfache der Betonzugspannungen in derselben Entfernung von der neutralen. Achse. Die Zugspannungen in den Eiseneinlagen betragen das mfache der Betonzugspannungen an gleicher Stelle. Hierbei ist m das Verhältnis der Elastizitätsmodulen des Eisens und des Betons auf Zug. Bezeichnet m1 das Verhältnis der Elastizitätsmodule des Eisens und des Betons auf Druck, so bestehen die Beziehungen: n=\frac{E_d}{E_s},\ \ \ m=\frac{E_e}{E_s},\ \ \ \ m_1=\frac{E_e}{E_d} und m=\frac{E_e}{E_z}=\frac{E_e\,\cdot\,E_d}{E_d\,\cdot\,E_z}=m_1\,\cdot\,n Da angenommen wird, dass die Querschnitte auch nach der Biegung eben bleiben, so ist der Widerstand gegen Formänderung bei einem Betondruckteilchen nmal, bei einem Eisenteilchen mmal so gross, als bei einem Betonzugteilchen in derselben Entfernung von der Nulllinie. Daher ist nach der Formänderung die Beanspruchung des Betondruckteilchens nmal, des Eisenteilchens mmal so gross, als diejenige des entsprechenden Betonzugteilchens. Man kann daher die Nulllinie eines auf Biegung beanspruchten Querschnittes nach dem üblichen rechnerischen oder zeichnerischen Verfahren bestimmen, wenn man die Betondruckzone mit dem nfachen, und den Eisenquerschnitt mit dem mfachen Betrage in die Rechnung einführt. Dieser Grundsatz wird noch bestätigt durch folgende Ueberlegungen. Die Wirkung der Eiseneinlagen auf den Beton ist stets entgegengesetzt der Wirkung der äusseren Kräfte auf den Beton. Liegen beispielsweise die Eiseneinlagen auf der Zugseite, so zerrt der Beton das sich weniger dehnende Eisen, während das Eisen den Beton hindert, seine ganze Formänderung zu leisten. Das Eisen wirkt auf den Beton als exzentrische Druckkraft, während der Beton das Eisen zusätzlich auf Zug beansprucht. Leitet man auf dieser Grundlage Formeln für die Spannungsberechnung der armierten Betonkörper ab, so erhält man für das Eisen die mfachen Spannungen des Betons an gleicher Stelle (siehe Dr. H. Walter und P. Weiske, statische Berechnung der Träger und Stützen aus Beton mit Eiseneinlagen, H. Kempf, Kassel). Gestützt auf die in 1 und 2 ausgesprochenen Leitsätze lässt sich nunmehr die Spannungsberechnung in folgender Weise durchführen. A. Bestimmung der Nulllinie. Man berücksichtigt die verschiedenen Widerstandsfähigkeiten der Betonzugzone, Betondruckzone und des Eisenquerschnittes in folgender Weise. Man führt den ganzen Querschnitt mit dem einfachen Betrage in die Rechnung ein, als wenn derselbe nur die Widerstandsfähigkeit des Betons auf Zug besässe, und fügt dann noch den (n – 1) fachen Betrag des Betondruckquerschnittes und den (m – 1) fachen Betrag des Eisenquerschnittes hinzu, wirkend gedacht in den Schwerpunkten der einzelnen Flächenteile. Hierdurch gelingt es, die Formeln auf die ursprünglichen einfachen Biegungsformeln zurückzuführen, in welche die abzuleitenden Formeln übergehen, wenn man n = 1 und m = 1 setzt. Textabbildung Bd. 317, S. 727 Fig. 4. In Fig. 4 ist der Gesamtquerschnitt F mit dem (m – 1) fachen Eisenquerschnitt Fe zu der Resultierenden Fa vereinigt. Der Abstand dieser Resultierenden von der zu bestimmenden Nulllinie ist z, während der Abstand des Schwerpunktes der zu bestimmenden Druckzone x0 sein möge. Dann gilt die Momentengleichung: Fa . z = (n – 1) Fd . x0 oder z=\frac{(n-1)\,F_d\,\cdot\,x_0}{F_a} In dieser Gleichung sind die Grössen z, Fd und x0 unbekannt, jedoch von einander abhängig, da ausserdem nach Fig. 4 die Beziehung besteht: z = e1 – x Für beliebige Querschnittsform geschieht die Bestimmung unter Abwchnitt I der Nulllinie durch Probieren auf zeichnerischem Wege, auf dieselbe Weise, welche von uns angegeben ist. Da dieser Fall für die reine Biegungsbeanspruchung nur theoretisches Interesse hat, können wir uns mit diesem Hinweis begnügen. Für Rechtecke (Platten) (Fig. 4) und aus Rechtecken zusammengesetzte Querschnittsformen (Plattenbalken) (Fig. 5 und 6) geschieht die Bestimmung der Nulllinie durch Rechnung nach der Gleichung: \frac{(n-1)\,F_d\,\cdot\,x_0}{F_a}=z=e_1-x Setzt man Fd = b . x und x_0=\frac{x}{2}, so ergiebt sich: \frac{(n-1)\,b\,x^2}{2\,\cdot\,F_a}=e_1-x Setzt man noch: \frac{(n-1)\,b}{2\,F_a}=c so ist: cx2 + x = e1 und x=\frac{1}{2\,c}\,\left[-1+\sqrt{1+4\,e_1\,\cdot\,c}\right] Textabbildung Bd. 317, S. 728 Fig. 5. Textabbildung Bd. 317, S. 728 Fig. 6. Ist bei Plattenbalken x grösser als die Plattenstärke d, so liegt die Nulllinie im Balkenteil. Man muss von neuem rechnen. Es empfiehlt sich dann, den (n – 1) fachen Betrag der Plattenfläche zu Fa hinzuzuschlagen, also zuerst Grösse und Lage der Resultierenden von (m – 1) Fe, F und (n – 1) (b . d) zu bestimmen, so dass dann Fa = F + (m – 1) Fe + (n – 1) (b. ä) ist. Dann handelt es sich nur noch darum, denjenigen Teil des Balkens zu bestimmen, der noch gedrückt wird (s. Fig. 6). Mit den Bezeichnungen der Fig. 5 gelten dann dieselben Gleichungen. Ist z = e1 – d, so fällt die Nulllinie mit der Grenzlinie von Platte und Balken zusammen. Sind auch Eiseneinlagen in der Druckzone vorhanden, so kann man diese als voll rechnen, wenn man den Eisenquerschnitt nur mit dem [m – (n – 1)] fachen Betrage hinzufügt. Fügt man dagegen das Eisen auch hier mit dem (m – 1) fachen Betrage hinzu (wenn beispielsweise ein Träger einbetoniert ist, der mit seinem Flantsch in die Druckzone hineinragt), so muss man, streng genommen, bei der Bestimmung der Druckzone diesen Teil des Eisenquerschnittes von der Druckzone abziehen. Doch ist die Vernachlässigung dieses Umstandes bei der Kleinheit des Eisenquerschnittes m Verhältnis zum Betonquerschnitt meistens bedeutungslos. B. Bestimmung des Trägheitsmomentes. Das Trägheitsmoment des Gesamtquerschnittes in Bezug auf die Nulllinie setzt sich zusammen aus den Trägheitsmomenten der einzelnen Teile in Bezug auf die Nulllinie. Man führt wiederum das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes mit dem einfachen Betrage ein, ferner dasjenige der Betondruckzone mit dem (n – 1) fachen Betrage und dasjenige des Eisenquerschnittes mit dem (m – 1) fachen Betrage. Es sollen bezeichnen: J, Jd und Je die Trägheitsmomente der Gesamtfläche, der Betondruckzone und des Eisenquerschnittes für die eignen Schwerpunktsachsen, F, Fd und Fe die entsprechenden Querschnitte, z, zd und ze die Abstände der entsprechenden Schwerpunktsachsen von der Nulllinie (s. Fig. 7). Textabbildung Bd. 317, S. 728 Fig. 7. Dann lässt sich das Trägheitsmoment Ja in Bezug auf die Nulllinie ausdrücken durch die Gleichung: Ja = J + F . z2 + (n – 1) [Jd + Fd . zd2] + (m – 1) [Je + Fe . ze2] Sind die Betondruckzone und der Eisenquerschnitt mehrteilig, so wird unter den Klammern ausdrücken [Jd + Fd . zd2] und [Je + Fe . ze2] die Summe der einzelnen Beträge verstanden. Bestehen die Eiseneinlagen aus einzelnen Drähten, so kann die Grösse Je vernachlässigt werden. Sind jedoch Walzeisenprofile einbetoniert, so kann der Betrag von Je bedeutend werden. Der Ausdruck Ja kann auch aus der Momentensumme der inneren Kräfte in Bezug auf die Nullachse abgeleitet werden. Ja wächst mit m und n, also mit zunehmender Beanspruchung. Für mittlere Verhältnisse kann man setzen: Ee = 2000000 Ed = 200000 Ee = 200000 ––––––– 3 also ist n = 3, m1 = 10 und m = n . m1 = 30 zu setzen. Bei hohen Beanspruchungen, bei welchen die Zugfestigkeit des Betons erreicht ist, also für 20–25 kg/cm2 Zug, kann man vielleicht setzen als Mittelwerte: Ee = 2000000 Ed = 160000 EE = 40000 Also n = 4, m = 12,5 und m = n . m1 = 50. In diesem Zustande muss man mit dem möglichen Eintritt von Rissen rechnen. Freilich ist dann die Zulässigkeit der Annahme der gradlinigen Spannungsverteilung fraglich. Die Spannungsverhältnisse werden für den Beton etwas günstiger sein, als wie es die errechneten Spannungen angeben. C. Widerstandsmoment und Beanspruchung. Man erhält die Widerstandsmomente durch die Teilung von Ja durch die Abstände der äussersten Fasern von der Nullachse eI und eII also für die Zugseite W_{II}=\frac{J_a}{e_{II}} für die Druckseite [W_1]=\frac{J_a}{e_I} Da aber die Betondruckspannungen das nfache der Betonzugspannungen in demselben Abstande von der Nulllinie sind, so setze man W_I=\frac{[W_I]}{n} Dann sind die Betonspannungen: Druck \sigma_I=\frac{M}{W_I} Zug \sigma_{II}=\frac{M}{W_{II}} Die Eisenspannungen sind das mfache der Betonzugspannungen an gleicher Stelle, also: σe = σE . m Ist σII berechnet, so können die übrigen Spannungen auch durch Aufzeichnung eines Diagrammes gewonnen werden (s. Fig. 7). Soll für ein gegebenes Moment ein Betonquerschnitt mit Eiseneinlagen bestimmt werden, so berechnet man denselben ohne Eiseneinlagen unter Annahme einer hohen Spannung nach den gewöhnlichen Biegungsgleichungen. Diese Spannungen sind in Wirklichkeit zu hoch, infolge des verschiedenen Verhaltens des Betons gegen Zug und Druck, und der Einlage von Eisen. Die Korrektur der Spannungen erfolgt dann nach den ermittelten Gleichungen. Ergiebt sich für die Zugspannung etwa 15 kg/cm2, so hat man eine völlig stabile Betoneisenkonstruktion, da nach Considère die Eiseneinlagen gerade das Entstehen von Rissen an lokaler Stelle verhindern und in Wirklichkeit die Spannungen wegen des nicht gradlinig verlaufenden Diagrammes dieselben an den äussersten Fasern noch geringer sind. Zahlenbeispiel. Für die Aufnahme eines Biegungsmomentes M = 96000 cm/kg ist der erforderliche Betoneisenquerschnitt zu berechnen. Zunächst wird der Betonquerschnitt nach den gewöhnlichen Biegungsgleichungen unter Zugrundelegung einer Spannung von 40 kg/cma berechnet: Es ist \frac{d\,h^2}{6}=\frac{96000}{40}=2400 für d = 100 h2 = 144 h = 12 cm Also ist F = 12 . 100 = 1200 cm2. Das Querschnittsverhältnis des Betons zum Eisen \mu=\frac{F}{F_e} wird zu 60 angenommen. Es ergiebt sich: F_e=\frac{F}{60}=\frac{1200}{60}=20\mbox{ cm}^2 Gewählt wurden 10 Rundeisen mit 1,6 cm φ und mit Fe = 10 . 2,01 = 20,1 cm2. Das Trägheitsmoment der Eiseneinlagen würde sein J_e\,\infty\,10\,\cdot\,\frac{1}{20}\,d^4=\frac{1}{2}\,\cdot\,6,55=\infty\,3,3\mbox{ cm}^4 (Je könnte also vernachlässigt werden). Zunächst wird die Breite der Druckzone berechnet nach der Formel: x=e_I=\frac{1}{2\,c}\,\left[-1+\sqrt{1+4\,e_1\,c}\right] In dieser Formel ist noch e1 und c zu bestimmen. In Fig. 8 lässt sich die Lage der Resultierenden von F und (m – 1) Fe durch die Momentengleichung in Bezug auf die Unterkante bestimmen. Es ist: e_2=\frac{(m-1)\,F_e\,\cdot\,1,5+F\,\cdot\,6,0}{(m-1)\,F_e+F} \begin{array}{rcl}&=&\frac{\frac{29}{60}\,F\,\cdot\,1,5+F\,\cdot\,6,0}{\frac{29}{60}\,F+F}=\frac{29\,\cdot\,1,5+6\,\cdot\,60}{29+60}\\ &=& 4,53\mbox{ cm.} \end{array} Also ist e1 = 12,00 – 4,53 = 7,47 cm. Ferner ist: c=\frac{(n-1)\,b}{2\,F_a}=\frac{(3-1)\,\cdot\,100}{2\,\cdot\,100\,\cdot\,12\,\left(1+\frac{29}{60}\right)}=\frac{60}{1068}=0,0562. Also ist e_I=x=\frac{1}{2\,\cdot\,0,0562}\,[-1+\sqrt{1+4\,\cdot\,7,47\,\cdot\,0,0562}] \begin{array}{rcl}&=&\frac{0,6366}{0,1124}=5,66\ cm\\ e_{II}&=&12,00-5,66=6,34\ cm \end{array} Textabbildung Bd. 317, S. 729 Fig. 8. Hierdurch liegt die Nulllinie fest. Nunmehr wird das Trägheitsmoment Ja berechnet. Es ist: Ja = J + F . z2 + (n – 1) [Jd + F . z2 d] + (m – 1) [Je + Fe . z2 e] oder mit Einsetzung der Zahlenwerte nach Fig. 8 J_a=\frac{100\,\cdot\,12^3}{12}+100\,\cdot\,12\,\cdot\,0,34^2+2\,[100\,\cdot\,\frac{5,66^3}{12} +100\,\cdot\,5,66\,\cdot\,2,83^2]+29\,[3,3+20\,\cdot\,4,84] \begin{array}{rcl}&=&14400+139+12090+13682\\ &=&40311\mbox{ cm}^4 \end{array} Das Widerstandsmoment für die äusserste Zugfaser beträgt: W_{II}=\frac{J_a}{e_{II}}=\frac{40311}{6,34}=6358\mbox{ cm}^3 Daher beträgt die grösste Zugspannung \sigma_{II}=\frac{96000}{6358}=\,\sim\,15,1 kg/cm2 Die grösste Druckspannung ist: \sigma_I=\frac{e_I}{e_{II}}\,\cdot\,n\,\cdot\,\sigma_{II} =\left(\frac{5,66}{6,34}\,\cdot\,3\right)\,\cdot\,15,1=2,686\,\cdot\,15,1=40,06 kg/cm2 Die Eisenspannung ist das mfache der Betonzugspannung an gleicher Stelle: \sigma_e=m\,\cdot\,\sigma_z=\left(30\,\cdot\,\frac{4,84}{6,34}\right)\,15,1=22,9\,\cdot\,15,1=345,8 kg/cm2 Um die Richtigkeit der Rechnung prüfen zu können, berechne man die Summe der Druckspannungen und Zugspannungen, welche gleich sein müssen. Bei den Zugspannungen ist nur der \frac{m-1}{m}fache Betrag der Eisenspannungen einzuführen, wenn man die Betonzugzone vollrechnen will. Es ergiebt sich: \begin{array}{rcl}D&=&40,6\,\cdot\,\frac{5,66}{2}\,\cdot\,100=11490\ kg\\ Z&=&15,1\,\cdot\,\frac{6,34}{2}\,\cdot\,100+\frac{29}{30}\,\cdot\,345,8\,\cdot\,20\\ &=&4787+6688\\ &=&11475\ kg. \end{array} Die Differenz D – Z = 15 kg ergiebt sich durch die Abrundungen bei den verschiedenen, vorhergehenden Rechnungen. Die Differenz ist stets bei Zahlenrechnungen zu erwarten und ist im vorliegenden Falle sehr gering. Man kann setzen D=Z=\frac{11490+11475}{2}=11483\ kg. Nunmehr berechnet man das Moment der inneren Kräfte. D und Z bilden ein Kräftepaar, dessen Moment sich leicht bestimmen lässt, wenn man den Drehpunkt auf der Resultierenden der Betonzugspannungen annimmt (s. Fig. 8). Es ist: \begin{array}{rcl}M&=& D\,\cdot\,8,0+\frac{m-1}{m}\,\cdot\,F_e\,\cdot\,\sigma_e\,\cdot\,0,6134\\ &=&11483\,\cdot\,8+6688\,\cdot\,0,6134\\ &=&91864+4102=95966 \end{array} cm/kg Das Moment der äusseren Kräfte war 96000 cm/kg. Die Differenz ist also nur 34 cm/kg. Der Fehler beträgt etwa 1/25 Prozent und ist in den mit Zahlenrechnungen verknüpften Abrundungen begründet. Nach vorstehendem Zahlenbeispiel lassen sich Platten und Plattenbalken mit Eiseneinlagen in der Zug- und Druckzone berechnen. Zum Schluss wollen wir noch eine einfache, zeichnerische Methode zur Bestimmung der Nulllinie angeben und dieselbe auf das vorliegende Zahlenbeispiel anwenden. Es ist: z=\frac{(n-1)\,b}{2\,\cdot\,F_a}\,x^2=c\,\cdot\,x^2 also z\,\cdot\,\frac{1}{e}=x^2=z\,\cdot\,p=x^2 Hierbei bedeutet p und \frac{1}{c}=\frac{2\,F_a}{(n-1)\,b} eine Länge. Man hat also eine bestimmte Strecke so zu teilen, dass das Quadrat eines Abschnittes gleich dem Rechteck aus dem andern Abschnitt und einer zweiten Strecke ist. Die Lösung dieser Aufgabe geschieht am Besten durch Probieren nach Fig. 9c. Durch einen Endpunkt der zu teilenden Strecke zieht man eine Gerade unter einem Winkel von 45°. Ausserdem zieht man zu der Strecke eine Parallele im Abstand p=\frac{1}{c}. Durch die Endpunkte der Strecke zieht man zwei Parallele bis zum Schnitt mit den zuerst gezogenen 2 Geraden. Die Verbindungslinie der Schnittpunkte muss auf der gegebenen Strecke (Geraden) senkrecht stehen, wenn ihr Schnittpunkt mit derselben der verlangte Teilpunkt sein soll. Dann ergiebt sich aus der Proportion: x : z = p : x, die Gleichung p\,\cdot\,z=\frac{1}{c}\,\cdot\,z=x^2 In Fig. 9a und b ist die Konstruktion auf das Zahlenbeispiel angewendet. Es ist p=\frac{2\,F_a}{(n-1)\,b}=\frac{2\,\cdot\,[100\,\cdot\,12+\frac{29}{60}\,100\,\cdot\,12]}{2\,\cdot\,100}+\frac{12\,\cdot\,89}{60}=17,8\mbox{ cm} Durch den Punkt A zieht man eine Linie unter 45° zu AB, und im Abstand von p = 17,8 cm eine Parallele zu AB, und durch O und A dreht man 2 Parallele, bis die Verbindungslinie ihrer Schnittpunkte mit den gezogenen Geraden zu AB senkrechte wird. Diese so bestimmte Gerade ist die Nullachse des Balkens und teilt die Höhe h in die beiden Strecken eI = 6,34 cm und eII = 5,66 cm. Die Methode lässt sich auch auf Plattenbalken anwenden. Fallen die Eiseneinlagen weg, so fällt der Punkt O mit dem Schwerpunkt des Querschnittes zusammen. Bei rechteckigen Querschnitten ist dann für n = 3 die Strecke p gleich der Höhe h des Balkens. Textabbildung Bd. 317, S. 730 Fig. 9a. Textabbildung Bd. 317, S. 730 Fig. 9b. Textabbildung Bd. 317, S. 730 Fig. 9c. Zur Kontrolle muss die Resultierende aus (m – 1) Fe, F und (n – 1) Fd mit der Nullachse zusammenfallen, wie aus Fig. 9a zu ersehen ist. – Die Zusammensetzung der Flächenwerte geschieht graphisch, Fig. 9b ist das zugehörige Krafteck. Die entwickelten Formeln gestatten eine verhältnismässig einfache Berechnungsweise und liefern Spannungswerte, welche von den wahren Werten innerhalb des stabilen, rissfreien Zustandes der Konstruktion nicht viel abweichen dürften. Ueber die Berechnung der Schubspannungen, ihre Aufnahme durch Bügel und die Verteilung der Bügel verweisen wir auf die Schrift: Dr. H. Walter und P. Weiske, statische Berechnung der Träger und Stützen aus Beton mit Eiseneinlagen.