Zur Theorie der Kühlverfahren von Linde, Siemens und Mix mittels Kaltluftmaschine. Von Dr. Paul Berkitz, Charlottenburg. (Schluss v. S. 8 d. Bd.) Zur Theorie der Kühlverfahren von Linde, Siemens und Mix mittels Kaltluftmaschine. Nimmt man ein grosses Ausflussgefäss mit enger Ausströmungsöffnung, so kann man die Luft im Ausflussgefässe annähernd als in Ruhe befindlich ansehen und daher ohne merklichen Fehler w1 = 0 und somit auch H1 = 0 setzen. Soll ferner Wärme weder zu- noch abgeführt werden, so wird dQ = 0, folglich erhält man aus Gleichung 13) für die Strömungsenergie bei horizontalem Ausflussrohr, für das dh = 0 zu setzen ist, die Gleichung d\,H=\frac{k}{k-1}\,d\,(p\,v) . . . . 16) während aus Gleichung 14) d\,W=\frac{1}{k-1}\,(v\,d\,p+k\,p\,d\,v) . . 17) und durch Addition von 16) und 17) dH+ dW = – vdp . . . 18) folgt. Aus Gleichung 16) folgt H=\frac{1}{k-1}\,(p_1\,v_1-p\,v) . . . 19) so dass nach Gleichung 2) die Ausflussgeschwindigkeit m=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\,(p_1\,v_1-p\,v)} . . 20) und die Luftmenge G=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\cdot \frac{p_1\,v_1-p\cdot v}{v^2}} . . 21) wird. Setzt man nun voraus, dass die Widerstände, welche die ausströmende Luft in der Mündung zu überwinden hat, verschwindend klein sind, also dW = 0 ist, so folgt aus Gleichung 17) vdp + kpdv = 0, so dass durch Integration die polytropische Expansionskurve pvk = p1v1k sich ergiebt . . . 22) Mit Rücksicht hierauf erhält man aus Gleichungen 20) und 21) w=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\cdot p_1\,v_1\,\left[1-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}\right]} . . 23) und G=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\cdot \frac{p_1}{v_1}\,\left[\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{2}{k}}-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{k+1}{k}}\right]} . . 24) In diesen Formeln sind jedoch die Widerstände, welche die strömende Luft zu überwinden hat, nicht berücksichtigt worden. Weisbach, der die ersten vollkommenen Versuche über Luftausfluss angestellt hat, bezeichnet w und G als „theoretische Werte“. Die wirkliche oder effektive Ausflussgeschwindigkeit, die kleiner als w ist, setzte er we = βw, worin β der Geschwindigkeitskoeffizient heisst. Die effektive Strömungsenergie wird entsprechend gesetzt He = β2H, so dass die Widerstandsarbeit W = H – He = (1 – β2) W=H-H_e=(1-\beta^2)\,H=\left(\frac{1}{\beta_2}-1\right)\,H_e=\varrho\,H_e 25) wird und somit \varrho=\frac{1}{\beta^2}-1 . . . . 26) gesetzt ist und der „Widerstandskoeffizient“ heisst. Aus Gleichung 25) folgt durch Differentiation und nach Gleichung 16) d\,W=\frac{k\,\varrho}{k-1}\,d\,(p\,v) . . . 27) so dass man nach Gleichung 17), d\,W=\frac{1}{k-1}\,(v\,d\,p+k\,p\,d\,v) ist durch Gleichsetzung beider Formeln (1 + kρ) dpv + k (1 + ρ) pdv = 0 oder v\,d\,p+\frac{k\,(1+\varrho)}{(1+k\,\varrho)}\,p\,d\,v=0 oder, indem man u=\frac{k\,(1+\varrho)}{1+k\,\varrho} . . . . 28) einführt, vdpu + updv = 0 und durch Integration, wenn und ρ damit auch u constant ist, die polytropische Druckkurve pvu = p1vu1. . . . 29) erhält. Hieraus folgt mit Hilfe der Clapeyronschen Zustands-Gleichung \frac{T}{T_1}=\left(\frac{v_1}{v}\right)^{u-1}=\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}} . . 30) Aus Gleichung 30) kann man das Volumen v und die Temperatur T durch den Druck p in der Mündung ihrer wirklichen Grösse nach berechnen. Zeuner nennt die Grösse u den „Ausfluss-Exponenten“. Ist u gegeben, so erhält man aus Gleichung 28) \varrho=\frac{k-u}{k\,(u-1)} . . . . 31) wonach u stets kleiner als k ist. Mit Rücksicht auf die Gleichungen 29) und 21) erhält man w=\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\cdot p_1\,v_1\,\left[1-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}}\right]} . 32) G=F\,\sqrt{\frac{2\,g\,k}{k-1}\cdot \frac{p}{p_1}\,\left[\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{2}{v}}\,\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u+1}{u}}\right]} . 33) und aus den Gleichungen 27) und 31) die Widerstandsarbeit W=\frac{(u-1)\,(k-1)}{k-u}\cdot p_1\,v_1\,\left[1-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}}\right] 34) Es ist nach Gleichung 2) und 32) H=\frac{w^2}{2\,g}=\frac{2\,g\,k}{(k-1)\,2\,g}\cdot p_1\,v_1\,\left[1-\frac{T}{T_1}\right] worin nach Gleichung 30) \left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}}=\frac{T}{T_1} gesetzt ist; folglich erhält man, da nach der Clapeyronschen Zustandsgleichung \frac{p_1\,v_1\,k}{T_1\,(k-1)}=\frac{c_p}{A} ist H=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T) ist oder AH = cp (T1 – T) . . . . . 35) und die Widerstandsarbeit ebenfalls in Wärmemass A\,W=A\,\varrho\,H=\frac{k-u}{k\,(u-1)}\cdot c_p\,(T_1-T) 36) und durch Addition der Gleichungen 35) und 36) A\,(H+W)=\frac{u\,(k-1)}{k\,(u-1)}\cdot c_p\,(T_1-T) . 37) Bei der Umrechnung der Luftmenge in Raumeinheiten (Kubikmeter) muss man angeben, an welcher Stelle gemessen werden soll. Im Innern des Gefässes ist das Volumen Gv1, in der Mündungsebene Gv und ausserhalb der Mündung nach der Ausbreitung Gv2. Im vorliegenden Falle kommt es lediglich auf die Bestimmung der Werte T, p und v in der Mündungsebene an. Man erhält für das Gefässinnere gemessen G\,v_1=a\,F\,\sqrt{2\,g\,\frac{c_p\,T_1}{A}\,\left[\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{2}{u}}-\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u+1}{u}}\right]} . 38) worin a der „Kontraktionskoeffizient“ ist. Die Richtigkeit der hier abgeleiteten Formeln ist von Weisbach durch Messen der Ausflussgeschwindigkeiten (Ausflussmengen) geprüft worden. Einige Beispiele dürften den Einfluss der Widerstandsarbeit auf die Werte von T erkennen lassen und zeigen, dass sich nach dem Mixschen Verfahren eine Verflüssigung der Gase umsomehr erreichen lässt, als in der vorliegenden Kühlwirkung die auf der innern Molekulararbeit beruhende Kühl Wirkung, wenn eine solche überhaupt vorhanden ist, noch verstärkend hinzukommt. Beispiel: Durch eine Mündung, deren Ausflussexponent u= 1,250, deren Widerstandskoeffizient somit nach Gleichung 31) ρ = 0,454 ist, ströme die Luft unter dem konstanten Druck von 1,5 Atm. aus einem sehr weiten Gefässe direkt in die freie Atmosphäre, sodass in der Mündungsebene der Atmosphärendruck p herrscht, das Druckverhältnis also \frac{p}{p_1}=\frac{2}{3} ist. Ist die absolute Temperatur innen und aussen T1 = 288°, so folgt aus der Zustandsgieichung p1v1 = 29,269 . 288 das spezifische Volumen der Luft im Gefässe v1 = 0,5438. Wenn auch die Rechnungsergebnisse für den Fall, dass keine Widerstände vorliegen, praktisch keinen Wert besitzen, so soll doch hier, um den Einfluss der Widerstände erkennen zu lassen, auch dieser Fall mitberechnet werden. Man findet für u = k = 1,401 und für u= 1,250 das spezifische Volumen in der Mündung nach Gleichung 29) v = 0,7251 bezw. v = 0,7523, die absolute Temperatur in der Mündung T = 256,0 resp. T = 265,6 oder nach Celsius – 17° bezw. = – 7,4°. Widerstände erhöhen die Temperatur in der Mündung, sodass zur Erklärung der Joule-Thomsonschen Versuche der erhöhte Widerstand der benutzten Diaphragmen vollkommen genügt, und die herbeigezogene Molekular arbeit überflüssig ist. Die übrigen Grossen werden H = 3222,4 resp. H = 2255,6 kgm W = 0   „     W = 1025,1   „ w = 251,4 „    „       w = 2104    m Nimmt man dagegen an, dass p1 = 4 Atm. und u = 1,380 ist, so erhält man v1 = 0,2039 und für den Fall, dassG ein Maximum werden soll, für den Druck in der Mündungsebene p = 0,5317 . p1 = 2,1267 Atm. Nach der einfach abzuleitenden Beziehung \frac{p}{p_1}=\left(\frac{2}{u+1}\right)^{\frac{u}{u-1}} . . . . 39) Es wird \frac{v}{v_1}=1,5805\,\frac{T}{T_1}=0,8403,\ T=542^{\circ} oder = – 31° C., w = 313 m Das vorliegende Problem kann man auf folgende Weise einfacher und bequemer lösen. Beim Ausströmen ohne Reibungs wider stand ist nur die dem Fortschieben der Atmosphäre entsprechende Arbeit zu leisten. Nehmen wir an, dass die Expansion zunächst isothermisch erfolgt, so verhält sich v : v1 = p1 : p, so dass, da in diesem Falle v = 0,815, p1 = 1,5 und p = 1 ist, v_1=\frac{0,815}{1,5} also v-v_1=\frac{v}{3}\cdot 0,815=0,2717 cbm wird. Die geleistete äussere Arbeit wird dann 1000\,\frac{v}{3} kgm, dieselbe ist jedoch zu gross, da die Arbeitsleistung die Temperatur erniedrigt und somit v kleiner wird. Sei die wirkliche Endtemperatur T, so ist, da T1 bekannt ist, die Volumenverminderung v\,a\,(T_1-T)=\frac{n\,(T_1-T)}{273} die Arbeitsverminderung demnach va (T1 – T) . 10000 kgm. Die wirklich geleistete äussere Arbeit, also auch abzüglich der Reibungsarbeit, muss aber nach dem Mayerschen Aequivalentgesetze gleich dem mechanischen Wert der entzogenen Wärme, also gleich \frac{c_p}{A}\,(T_1-T) kgm sein. Man erhält somit die Gleichung 10000\,(v-v_1)-v\,a\,(T_1-T)\cdot 10000=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T)10000\,v\,(1-\frac{v_1}{v})-v\,a\,(T_1-T)\cdot 10000=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T)10000\,v\,(1-\frac{p}{p_1})-v\,a\,(T_1-T)\cdot 10000=\frac{c_p}{A}\,(T_1-T) oder T=T_1-\frac{1-\frac{p}{p_1}}{(c_p/10000\,A\,v)+a} 40) und durch Einsetzon der gegebenen Werte T = 288 – 20 = 268° oder = – 5° C. Nach der Weissbachschen Formel folgt, wie oben berechnet ist, der Wert T= 265,6° oder – 7,4° C., so dass die Uebereinstimmung vollständig ausreichend ist. Für das zweite Beispiel, in welchem p1 = 4 at ist, erhält man nach der angegebenen Methode T=T_1-\frac{3/4}{(c_p/10000\,A\,v)+a}=288-43,5=244,5^{\circ} oder = – 288,8° C. während nach der Formel von Weissbach T = 242°, oder = – 31 °C. gefunden wurde. Für das zweite Beispiel ist die lediglich zum Verdrängen der atmosphärischen Luft erforderliche Arbeit gleich 2717 kgm, im zweiten dagegen gleich 6113 kgm, während die nutzbare Arbeit infolge der Expansion im Arbeitszylinder im ersten Falle L = cv (T – T) / A = 2292 kgm, im zweiten Falle dagegen, da T=T_1\,\left(\frac{p}{p_1}\right)^{\frac{u-1}{u}}=196^{\circ} ist, L = cv (T1 – T) / A = 6588 kgm ist. Aus den vorstehenden Entwickelungen, die zum Teil auf Zeuner und Mewes fussen, folgt, dass die zum Ueberwinden des Atmosphärendruckes erforderliche Arbeit in beiden betrachteten Fällen nahezu gleich der durch die Expansion im Arbeitszylinder im günstigsten Falle nutzbar zu machenden Arbeit im ersten Falle sogar grösser ist, so dass ein Uebersehen dieses Umstandes bei den Kaltluftmaschinen bezw. bei dem darauf sich gründenden Kühl verfahren gerechte Verwunderung erregen muss. Die Theorie des Lindeschen Kühlverfahrens dürfte demnach gegen früher eine wesentliche Aenderung erfahren müssen, wenn Theorie und Praxis miteinander zusammenstimmen sollen. Vorstehende Ausführungen haben ihren Zweck erfüllt, wenn sie dazu beitragen, die Kühlmaschinen-Ingenieure und die Wärmetheoretiker zur Stellungnahme zu den von mir erhobenen Bedenken anzuregen.