Analytisch-graphisches Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung zwei- und dreifach gestützter Träger. Von Dr.-Ing. Max Kloss. (Schluss von S. 239 d. Bd.). Analytisch-graphisches Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung zwei- und dreifach gestützter Träger. II. Der dreifach gestützte Träger. α) Bestimmung des Mittellagermomentes M0. Wir wollen der Einfachheit halber annehmen, dass der Träger nur in einem seiner beiden Felder belastet sei (Fig. 19). Wir betrachten dann wieder den im Aussenlager auftretenden Lagerdruck als zweite Belastungskraft, sodass wir also einen zweifach gestützten, frei aufliegenden Träger mit Innen- und Aussenlast vor uns haben. Nehmen wir zunächst wieder den Druck im Aussenlager beliebig an, so könnten wir, auch wenn der Träger auf seiner Länge verschiedene Querschnitte hat, auf Grund der im Vorhergehenden gegebenen Entwicklungen die im Angriffspunkte der Aussenlast auftretende resultierende Durchbiegung bestimmen. Es wird nun immer einen Wert für die Grösse dieser Aussenkraft geben, bei der diese Durchbiegung gleich Null wird. Dieser Wert ist dann aber der bei einem dreifach gestützten Träger mit gleich hohen Auflagern auftretende Aussenlagerdruck. Da sich nun die elastische Linie eines zweifach gestützten Trägers ändert, wenn man ihm an einzelnen Stellen anderes Trägheitsmoment gibt, so wird auch der Aussenlagerdruck und damit das im Mittellager auftretende Biegungsmoment davon abhängig sein, ob der Träger glatt oder abgesetzt ist. Wir dürfen also nicht die für glatten Träger abgeleitete Gleichung (45. bezw. (48. zur Bestimmung des im Mittellager auftretenden Biegungsmomentes auch für einen Träger mit verschiedenem Querschnitte anwenden. Eine für alle Fälle giltige Gleichung lässt sich hier überhaupt nicht aufstellen, da es ganz darauf ankommt, wo der Träger abgesetzt ist. Man muss daher die verschiedenen Fälle einzeln untersuchen. Fall I. Der Träger sei nur in Feld II auf der Strecke x vom Aussenlager aus gemessen abgesetzt. Angenommen, das Mittellagermoment M0 sei bereits bekannt, dann können wir aus den Grossen des Feldes I den von der Mittellagertangente der resultierenden elastischen Linie auf der Lagervertikalen 1/1' gebildeten Tangentenabschnitt bestimmen (¼) = gr in Fig. 19. Verlängern wir dann die Tangente rückwärts bis zum Schnittpunkt 5 mit der Aussenlagervertikalen 2/2' so ist der dadurch gebildete Abschnitt (2/5)=-g_r\cdot \frac{l_2}{l_1} (64. Diesen Abschnitt können wir aber auch noch aus den Grossen des Feldes II bestimmen. Denn wenn die elastische Linie durch Lager 2 gehen soll, ist die Strecke (2/5) nichtsanderes als der Tangentenabschnitt für den Punkt O unter Einfluss des Mittellagermomentes M0. Wir haben somit durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für die Strecke (2/5) eine Bedingungsgleichung zur Bestimmung des Mittellagermomentes M0. Führt man diese Entwicklung durchAusführliche Ableitung der Gleichung siehe in der mehrfach erwähnten Abhandlung des Verfassers., so erhält man als Bedingungsgleichung für das Moment M0 \frac{M'\,l_1\,\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)}{3\,E\,J}=-\frac{M_0\,l_1}{3\,E\,J}\,\left[l_1+l_2+l_2\,\left(\frac{x}{l_2}\right)^3\,\left(\frac{J}{J_x}-1\right)\right] und somit Textabbildung Bd. 318, S. 245 Fig. 19. M_0=-M'\,\frac{a_1+\frac{b_1}{2}}{L+\lambda\,l_2} . . . . (65. worin \lambda=\left(\frac{x}{l_2}\right)^3\,\left(\frac{J}{J_x}-1\right) wieder der bekannte, aus der Fig. 18 zu entnehmende Wert ist. Die Gleichung (65. unterscheidet sich von der entsprechenden für glatten Träger (Gleichung (48.) nur durch das im Nenner auftretende Zusatzglied λl2. Die früher (in Fig. 12) gegebene Konstruktion von M0 aus M' ändert sich also nur insofern, als wir an L noch die Strecke λl2 anzutragen haben. Die Konstruktion ist in Fig. 20 ausgeführt und dürfte ohne weiteres auf Grund der Gleichung (65. verständlich sein. (4/8) ist das gesuchte M0. Ist M0 gefunden, so ergibt sich dann durch algebraische Addition der beiden Momentenflächen die resultierende Momentenfläche. M1 ist das im Punkte 3 wirklich auftretende Biegungsmoment. Aus ihm findet man den Lagerdruck Textabbildung Bd. 318, S. 246 Fig. 20. T_1=-\frac{M_1}{a_1} aus M0 ergibt sich der Lagerdruck T_2=-\frac{M_0}{l_2} Der Druck im Mittellager ist dann gegeben durch die Grleichgewichtsbedingung P + T1 + T2 + T0 = 0. Fall II. Der Träger sei nur im Feld I auf der Strecke x vom Aussenlager aus gemessen abgesetzt und zwar seix < a1 (Fig. 21). Textabbildung Bd. 318, S. 246 Fig. 21. Führt man für diesen Fall die gleiche Entwicklung durch, wie sie eben angedeutet wurde, so erhält man als Gleichung für das Mittellagermoment M0 M_0=-M'\,\frac{\lambda\,l_1+\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)+\frac{b_1}{a_1}\cdot \lambda\,l_1}{\lambda\,l_1+L} . . (66. wo wieder \lambda=\left(\frac{x}{l_1}\right)^3\cdot \left(\frac{J}{J_x}-1\right) Wir entnehmen also λ aus Fig. 18 und tragen (Fig. 22) (1/5)=\lambda\,l_1 und (4/6)=\frac{b_1}{a_1}\cdot \lambda\,l_1 ab. Die Konstruktion von M0 ist dann wieder ohne weiteres verständlich. (6/9) ist das gesuchte Moment M0. Aus M0 und M' findet man dann in bekannter Weise die resultierende Momentenfläche und daraus wieder die Stützdrücke. Fall III. Der Träger sei nur im Feld I abgesetzt, aber es seix > a1 (Fig. 23). In diesem Falle erhalten wir als Gleichung für das Mittellagermoment M0 eine ähnliche Gleichung, wie für Fall II, nämlich M_0=-M'\,\frac{\lambda\,l_1+\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)+\lambda\,l_1\cdot x}{\lambda\,l_1+L} . . (67. worin wieder \lambda=\left(\frac{x}{l_1}\right)^3\,\left(\frac{J}{J_x}-1\right) der bekannte, aus Fig. 18 zu entnehmende Wert ist. Textabbildung Bd. 318, S. 246 Fig. 22. Textabbildung Bd. 318, S. 246 Fig. 23. Ausserdem tritt hier jedoch die Grösse x auf, die einen ziemlich komplizierten Ausdruck darstellt. Es ist nämlich x=\frac{3}{2}\,\frac{{l_1}^2}{x\,b_1}-1-\frac{l_1}{b_1}-\frac{{a_1}^2\,{l_1}^2}{2\,b_1\,x^3} Setzt man hierin a=\frac{a_1}{l_1}, \frac{b_1}{l_1}=1-a und \xi=\frac{x}{l_1} so ist x=\frac{3}{2}\,\frac{1}{\xi\,(1-a)}-1-\frac{1}{1-a}-\frac{a^2}{2\,(1-a)\,\xi^3} (68. wobei zu bemerken ist, dass diese Formel nur für x > a1, also für ξ > a in Anwendung kommt. Die Werte von x in Abhängigkeit von ξ und a sind aus Fig. 18, Tabelle 3 zu entnehmen. Die Konstruktion von M0 ist in Fig. 24 ausgeführt. Fall IV. Der Träger ist an mehreren Stellen abgesetzt. Treten zwei oder mehrere der eben behandelten Fälle gleichzeitig auf, so addieren sich die einzelnen Wirkungen. Hierbei hat man jedoch genau darauf zu achten, dass man alles auf ein Hauptträgheitsmoment bezieht. Man wählt hierzu am geeignetsten das im Mittellager vorhandene. Wir wollen dasselbe mit J0 bezeichnen. Die Strecken, auf denen der Träger abgesetzt ist, werden dann in beiden Feldern vom Aussenlager aus gemessen, sie seien mit x1' x1'' für Feld I und x2' x2'' für Feld II bezeichnet (Fig. 25), wobei x1' > a1 und x1'' < a1 sein möge. Textabbildung Bd. 318, S. 247 Fig. 24. Die Werte \lambda=\left(\frac{x}{l}\right)^3\,\left(\frac{J}{J_x}-1\right) enthalten das zur Strecke x gehörige Trägheitsmoment Jx im Nenner, das jenseits von x nach der Seite des Mittellagers zu vorhandene Trägheitsmoment J im Zähler. Ist nun dieses Trägheitsmoment nicht identisch mit dem Hauptträgheitsmoment J0, so hat man, wie sich aus der Ableitung ergiebt, die aus Fig. 18 entnommenen Werte von λ noch mit dem Verhältnis \frac{J_0}{J} zu multiplizieren. Für den in Fig. 25 dargestellten Fall erhalten wir demnach die Geichung M_0=-M'\,\frac{\frac{\left(\frac{J_0}{J'_1}\cdot \lambda''_1+\lambda'_1\right)\cdot l_1+\left[a_1+\frac{b_1}{2}\right]|}{|+\left(\lambda'_1\,x'_1+\frac{b_1}{a_1}\,\frac{J_0}{J'_1}\,\lambda''_1\right)\,l_1}}{\frac{\left(\frac{J_0}{J'_1}\cdot\lambda''_1+\lambda'_1 \right)\cdot l_1+L|}{|+\left(\lambda'_2+\frac{J_0}{J'_2}\cdot \lambda''_2\right)\cdot l_2}} . (69. Die Gleichung hat also allgemein die Form Textabbildung Bd. 318, S. 247 Fig. 25. M_0=-M'\,\frac{\varepsilon_1\,l_1+\left(a_1+\frac{b_1}{2}\right)+\varepsilon_3\,l_1}{\varepsilon_1\,l_1+L+\varepsilon_2\,l_2} . (70. Hat man mit Hilfe von Fig. 18 die Werte von λ und x und daraus dann die ε-Werte ermittelt, so ist die einfache Konstruktion von M0 nach Fig. 26 auszuführen. β. Bestimmung der Durchbiegung. Sind die Momente M1 und M0 bestimmt, so bietet die Aufzeichnung der elastischen Linie keinerlei neue Schwierigkeiten, da das Verfahren genau dasselbe ist, wie für einen zweifach gestützten mit Innen- und Aussenlast beanspruchten Träger. Ist der dreifach gestützte Träger in beiden Feldern belastet, so untersucht man den Einfluss der beiden Kräfte getrennt von einander, bestimmt das resultierende Mittellagermoment und zeichnet die von M', sowie von M0 allein erzeugten elastischen Linien auf, die Einzeldurchbiegungen setzt man dann den Richtungen der Momente entsprechend vektoriell zusammen. Textabbildung Bd. 318, S. 247 Fig. 26. Ein der Praxis entnommenes, ausführlich durchgeführtes Anwendungsbeispiel s. a. a. O.