Die theoretischen Grundlagen der Rollen- und Kugellager. Von Hermann Studte, Berlin. (Schluss von S. 461 d. Bd.) Die theoretischen Grundlagen der Rollen- und Kugellager. Gehemmte Rollen- und Kugelsysteme. Ein Rollensystem, dessen Glieder sich einander derartig berühren, dass die Verbindungslinien ihrer Kontaktstellen in den Querschnitten die Kombination regulärer Sechsecke mit gleichseitigen Dreiecken aufweisen, ist ein Gehemmtes. Zu dieser Gruppe gehören: 1. Das Rollenrhombus mit den Winkeln von 60° bezw. 120°. Die Rollenanzahl ist: A = n2 Die zugehörige Kontaktzahl ist: \underset{R\,h}{K\,t}=(3\,n-1)\,(n-1) 2. Das aus Rollen gebildete Parallelogramm mit den Winkeln von 6O° bezw. 120° (Fig. 8). Die Rollenzahl ist: \underset{(m\,n\,60^{\circ},\ 120^{\circ})\ \ \ \ \ \ \ \ }{A-m\,n} Die zugehörige Kontaktzahl ist: \underset{(m\,n\,60^{\circ},\ 120^{\circ})}{K\,t=}n\,(m-1)+(2\,m-1)\,(n-1) 3. Das gleichseitige Rollendreieck, wie Fig. 9 zeigt. Die Rollenzahl ist: A=\frac{n\,(n-1)}{2} Die zugehörige Kontaktzahl ist: \underset{\triangle}{K\,t}=\frac{3}{2}\,\left(n-1\right)\,n 4. Das gerade Rollenparalleltrapez mit den Grundseitenwinkeln von je 60° (Fig. 10). Die Rollenanzahl beträgt: A =\frac{m}{2}\,(2\,n-m+1) Als zugehörige Kontaktzahl besteht die Gleichung: K t =\frac{1}{2}\,\left[m\,(6\,u-3\,m+1)-4\,n\right] Zu der gleichen Gattung gehört das reguläre Rollensechseck, dessen Verbindungslinien der Kontakte im Querschnitte unvermischte Sternfiguren aus der Kombination von regulären Sechsecken und gleichseitigen Dreiecken ergeben, wie Fig. 11 zeigt. Textabbildung Bd. 318, S. 474 Fig. 8. Textabbildung Bd. 318, S. 474 Fig. 9. Die Rollenanzahl ist: \underset{\left(\underset{eck}{Sechs-}\right)}{A}=3\,n\,(n-1)+1 Als zugehörige Kontaktzahl erhält man: \underset{(Sechseck)}{K\,t}=\left[3\,(n-1)\right]^2+3\,(n-1) Dieselben Ergebnisse gelten für entsprechende Kugelanordnungen. Mehrschichtige, vielreihige Rollsysteme. Legt man mehrere Kugelschichten gleicher Art so übereinander, dass sie kongruieren, so erhält man eine Vertikalkugelsäule. Zur Ermittlung der Kugelanzahl einer solchen Säule, welche mit A bezeichnet sein mag, hat man die Schichtzahl mit der Rollkörperanzahl A aus einer Schicht zu multiplizieren: man hat dann A = Aξ Textabbildung Bd. 318, S. 474 Fig. 10. Textabbildung Bd. 318, S. 474 Fig. 11. Die Kontaktzahl der aus Kugeln gebildeten Vertikalsäule heisse Kt; diese Zahl findet man nach dem Satze: In jeder vertikalen Rollkörpersäule ist die Kontaktzahl gleich der Summe aus den Produkten der Kontaktzahl aus einer Schicht multipliziert mit der Schichtzahl und der einschichtigen Rollenzahl multipliziert mit der um Eins verminderten Schichtzahl. Kt = ξKt + (ξ – 1)A Ungehemmte Anordnungen von vertikalen Rollkörpersäulen. Legt man ξ Kugelschichten, welche bei quadratischer Anordnung gegeneinander in Berührung sind, übereinander, so ist die Kugelanzahl einer solchen Säule A = n2ξ Als Kontaktzahl findet man \underset{n^2\,\xi}{\frakfamily{K}\,t}=2\,\xi\,n\,(n-1)+(\xi-1)\,n^2 Zu derselben Gattung gehört die aus rechteckigen Rollkörperschichten aufgebaute Vertikalsäule, die Kugelanzahl ist A = mnξ Als zugehörige Kontaktzahl besteht die Beziehung \underset{m\,n\,\xi}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,[m\,(n-1)+n\,(m-1)]+(\xi-1)\,m\,n oder in anderer Form geschrieben \underset{m\,n\,\xi}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,[2\,m\,n-(m+n)]+(\xi-1)\,m\,n Gehemmte Anordnungen von vertikalen Rollkörpersäulen. Es darf wohl als selbstverständlich gelten, diejenigen Kügelsäulen als gehemmte anzusehen, welche aus gehemmten einschichtigen Rollsystemen aufgebaut sind. Zu dieser Gruppe gehören 1. Die Kugelrhombussäule mit den Querschnitts winkeln von 60° bezw. 120°. Die Anzahl der Kugeln einer solchen Säule, sind \underset{\mbox{Rh}}{\frakfamily{A}}=u^2\,\xi Die zugehörige Kontaktzahl stellt sich als folgende Gleichung dar \underset{\mbox{Rh}}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,(3\,n-1)\,(n-1)+(\xi-1)\,n^2 2. Das rhomboidische Kugelparallelepipedon mit den Querschnittswinkeln von 60° bezw. 120°. Die Kugelzahl einer solchen Säule ist \underset{\#\,s}{\frakfamily{A}}=m\,n\,\xi Die zugehörige Kontakt zahl ist \underset{\#\,s}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,[3\,m\,n-2\,(m+n)+1]+(\xi-1)\,m\,n 3. Das gleichseitige dreieckige Kugelprisma. Die Kugelanzahl ist \underset{\Delta s}{\frakfamily{A}}=\frac{\xi}{2}\,(n+1)\,n Als zugehörige Kontaktzahl gilt \underset{\Delta s}{\frakfamily{K}\,t}=\frac{3}{2}\,\xi\,n\,(n-1)+(\xi-1)\,\frac{n\,(n+1)}{2} 4. Die gerade Kugelparalleltrapezsäule mit den an der grössten Parallelkante liegenden Winkeln von 60°. \frakfamily{A} =\frac{\xi}{2}\,(n+1)\,n s Der zugehörigen Kontaktzahl entspricht die Gleichung \frakfamily{K}\,t =\frac{3}{2}\,\xi\,n\,(n-1)+(\xi-1)\,\frac{n\,(n+1)}{2} s 5. Die Vertikalkugelsäule über dem regulären einschichtigen Kugelsechseck. Die Kugelanzahl beträgt \underset{\mbox{Sechseck}}{\frakfamily{A}}=\xi\,[3\,n\,(n-1)+1] Die zugehörige Kontaktzahl ist \underset{\mbox{Sechseck}}{\frakfamily{K}\,t}=\xi\,\{[3\,(u-1)]^2+3\,(n-1)\}+(\xi-1)\,[3\,u\,(n-1)+1] + (ξ – 1) [3n (n – 1) + 1] Die gleichen Beziehungen gelten auch im allgemeinen Sinne unter besonderen Voraussetzungen für entsprechende, aus Rollen aufgebaute Säulen. Die Lageverhältnisse der Rollkörper gegeneinander. Sind zwei Kugeln oder Rollen im Kontakt, so ist, wie Fig. 12 zeigt, der in der Mitte der Zentrallinie C1C2 liegende Entfernungswert K sowohl nach C1 als auch nach C2 je einer Radiuslänge gleich, demnach ist C1K = r, und C2K = r Fig. 13 zeigt ein gehemmtes Rollsystem, welches aus drei Kugeln C1, C2, C3 besteht, darin sind C1K = C1K1 = r ferner besteht die Beziehung (C 1 K 2 ) 2 = (2r) 2 – r 2 woraus folgt C1K2= r√3 Textabbildung Bd. 318, S. 475 Fig. 12. Textabbildung Bd. 318, S. 475 Fig. 13. Textabbildung Bd. 318, S. 475 Fig. 14. Bedeutend verwickelter werden die Lageverhältnisse eines Rollsystems von vier Rollelementen gleichen Durchmessers. Zum Zwecke der geordneten Uebersichtlichkeit sind die Lageverhältnisse einer graphischen Darstellung unterworfen, wie sie Fig. 14 zeigt. Angenommen die Rollkörper seien Kugeln. In dem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y ist die Kugel c1 nicht aus dem Anfangspunkt der Koordinaten herausschiebbar gedacht. Es bilden c1, c2, c3, c4 ein im Kontakt befindliches quadratisches Rollsystem. Die an c1 durch die Kugeln c2 und c3 gebildeten Kontakte k liegen auf dem Kontaktkreise r√1 = r; dagegen liegen die zwischen den Rollkörpern c2, c3, sowie c3, c4 befindlichen Kontakte k1 und k1 auf dem Kontaktkreise r√5. Das miteinander beweglichverbundene Rollsystem sei in seinen Ecken c1, c2, c3, c4 mit beweglichen Scharnieren versehen gedacht; dagegen sei die Diagonalaxe c1, cV als unveränderlich in ihrer Lage angenommen. Der Rollkörper c3 sei auf c1; cK verschiebbar. Man denke sich nun, der Rollkörper c3 werde auf der Diagonalaxe bis cV hinaufgezogen, so wird aus dem Quadrat ein Rhombus mit den Winkeln von 60° bezw. 120°, wie es Fig. 14 darstellt, und man erhält, wie aus der graphischen Darstellung der Kontaktkurve ersehen wird, den Kontaktwert r V 3, ausserdem die Kontaktwerte k6 bezw. k6. Die beiden letzten Kontaktwerte liegen auf dem Kontaktkreise r√7 Schiebt man von cV aus den Rollkörper an c1, so erhält man erstens den Kontaktwert k auf dem Kontaktkreise r, sowie die Kontakte 1k sowie 1k, welche beide auf dem Kontaktkreise r√3 liegen. Zwischen den Verschiebungsgrenzen der Winkel von 60° bis 120° sind die Kontaktkurvenzweige in der Zeichnung dargestellt, nämlich der Zweig 1k bis k6, ferner der Zweig 1k bis k6. Weist das Rollsystem die Kontaktwerte k, sowie 1k und 1k auf, so ist das System ein Gehemmtes, ebenso gilt es gehemmt, wenn es die Kontaktwerte = r√3, sowie k6 und k6 =r√7 hat. Alle zwischen diesen Anfangs- und Endwerten liegenden Rollsysteme sind ungehemmte tetragonale Rollanordnungen. Als Gleichung für die Rollkontaktkurve gewinnt man mit Hilfe des Projektionssatzes die Beziehung P2 = r2 + (2r)2 – 2r . 2r cos α woraus folgt P=\pm\,r\,\sqrt{5-4\,cos\,a} wenn α ein spitzer Winkel ist; ferner P=r\,\sqrt{5+4\,cos\,a\,(180^{\circ}-\alpha)} wenn α ein stumpfer Winkel ist. Angenommen, es sei α =0°, dann ist cos α = 1 Setzt man nun in die allgemeine Kurvengleichung P=r\,\sqrt{5-4\,cos\,a} die zugehörigen Werte ein, so folgt P=r\,\sqrt{1=r} Es sei α = 60°, dann ist cos\,a=\frac{1}{2} Man erhält P=r\,\sqrt{5-4\cdot \frac{1}{2}}=r\,\sqrt3 Setzt man α = 90° dann ist cos α = 0 dann folgt für P = r√5 Ist α = 120°, so hat man P=r\,\sqrt{5+4\,cos\,(180^{\circ}-120^{\circ})} woraus folgt P=r\,\sqrt{5+4\,cos\,60^{\circ}}=r\,\sqrt7 Unter Berücksichtigung der geometrischen Lageverhältnisse der Kurven erhält man für die betrachteten Winkel dieselben Ergebnisse bei Anwendung des Pythagoräischen Lehrsatzes. Zur bequemeren Auffindung aller Reihen werte für jeden Kurvenzweig setzt man für den spitzen Winkel α α = 90° – φn und für den stumpfen Winkel α = 90° + φn Demnach heisst die Reihe für die Kurvenelemente je beider Zweige von 60° angefangen bis 120° \underset{60^{\circ}}{P}=r\,\sqrt3 \underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-1)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}-\varphi_{(n-1)}]} \underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-2)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}-\varphi_{(n-2)}]} \underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-3)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}-\varphi_{(n-3)}]} \underset{90^{\circ}-\varphi_2}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}-\varphi_2)} \underset{90^{\circ}-\varphi_1}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}-\varphi_1)} \underset{90^{\circ}}{P}=r\,\sqrt5 \underset{90^{\circ}+\varphi_1}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}+\varphi_1)} \underset{90^{\circ}-\varphi_2}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}-\varphi_2)} \underset{90^{\circ}-\varphi_{(n-3)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,(90^{\circ}+\varphi_{(n-3)}]} \underset{90^{\circ}+\varphi_{(n-2)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}+\varphi_{(n-2)}]} \underset{90^{\circ}+\varphi_{(n-1)}}{P}=r\,\sqrt{5-4\,cos\,[90^{\circ}+\varphi_{(n-1)}]} \underset{120^{\circ}}{P}=r\,\sqrt7 Die Abstandswerte der Kontakte unter sich. Textabbildung Bd. 318, S. 476 Fig. 15a. Textabbildung Bd. 318, S. 476 Fig. 15b. Textabbildung Bd. 318, S. 476 Fig. 15c. Es sei C1, C2. C3, C4 ein viergliedriges Rollsystem. Die Figuren 15a, b, c stellen das viergliedrige System in den drei Hauptlagetypen dar; aus denselben ist ersichtlich, dass, wenn das Zentrallinienviereck einen Rhombus mit Winkeln von 60° bezw. 120° darstellt, die Verbindungslinien zwei gleichseitige kongruente Dreiecke mit gemeinschaftlicher Spitze bilden. Jede der Dreieckseiten ist gleich r. Bildet das Zentrallinienviereck des Rollsystemes ein Quadrat, so ist die Entfernung aller Kontakte unter sich, wie leicht zu übersehen ist r√2 Hieraus folgt: Jedes mehrgliedrige Rollsystem ist ein gehemmtes, wenn die Kontakte desselben als die Eckpunkte gleichseitiger Dreiecke angesehen werden können. In jedem anderen Falle gilt das Rollsystem als läufig oder ungehemmt. Die Abstandswerte der Kontakte n – gliedriger Rollsysteme vom Koordinatenursprunge. Fig. 7 stellt ein aus mn Rollkörpern gebildetes Rechteck so dar, dass zwei zusammenstossende Randseiten auf den rechtwinkligen Koordinaten x und y liegen. In jedem Falle gilt für jeden beliebigen Kontaktpunkt des gesamten Rollkörpersystemes die allgemeine Beziehung \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{x^2+y^2} hierbei ist zu beachten, dass sowohl x als auch y in Radiuslängen der unter sich gleichen Rollkörper auszudrücken sind. Die Kontaktlagen aller Rollkörper bleiben, auch wenn das ganze System in drehende Bewegung gesetzt wird, konstant. Sind x und y grade Zahlen der Radiuswerte, so stellen die Punkte \underset{(x,\,y)}{P} die Querschnittsmittelpunkte der Rollkörper dar. Sind dagegen x und y verschiedenen Charakters, d.h. stellt die eine Grösse eine grade, die andere eine ungrade Zahl dar, so erhält man durch die obige Gleichung für \underset{(x,\,y)}{P} die verschiedenen Lagen der Kontaktpunkte. Bedeutet x eine grade Zahl, also y eine ungrade, so liegen sämtliche Kontakte dieser Rollkörperreihen auf der Zentrallinienrichtung für y. Bedeutet dagegen x eine ungrade, y eine grade Zahl, so liegen sämtliche Kontakte dieser Rollkörperreihen auf der Zentrallinienrichtung für x. Diese Lagegesetze sind für das rechteckige Rollkörpersystem durchaus wichtig. Man ist durch dieselben ohne weiteres imstande, die verschiedenen Lagebedingungen aller Kontakte gegeneinander zu übersehen und auf ihre Lageunterschiedlichkeiten zu untersuchen. Ohne Schwierigkeiten ergibt sich das ganze Punktlagenbild sowohl für die Rollkörperkontakte, als auch für die Rollkörpermittelpunkte. Am wichtigsten treten jetzt für die vorliegenden Untersuchungen die Kontaktreihen hervor. Parallelscharen von Kontakt reihen, welche nach dem Theoreme der arithmetischen Reihen höherer Ordnung in völliger Gesetzmässigkeit sich aufbauen, findet man jetzt bequem auf. Es bleibt nur noch übrig, die einzelnen Glieder der Reihen genau bestimmen zu können. Zu diesem Zwecke ist die allgemeine Gleichung \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{x^2+y^2} gehörig zu transformieren. Wie bereits festgestellt, muss y eine ungrade Zahl sein, wenn x eine grade ist, damit Kontaktpunkte auftreten. Daher setze man bei Einführung der Grössen u und v für x beziehungsweise y x = 2u dann erhält man für y y = 2v – 1 In die obige allgemeine Gleichung substituiert man diese Werte für x und y und erhält \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v-1)^2} Ist x eine ungrade Zahl, dagegen y eine grade, so setzt man für x und y bei Anwendung derselben Buchstaben x = 2u – 1; y = 2v Durch Eintragung dieser Werte in die Gleichung gewinnt man die Beziehung \underset{(x,\,y)}{P}=\sqrt{(2\,u-1)^2+(2\,v)^2} Diese abgeleiteten Gleichungen genügen, die Parallelscharen aller Kontaktreihen eines mn-gliedrigen läufigen Rollkörpersystemes mit den Zentrallinienwinkeln von 90° aufzustellen. Zur Bestimmung der Rollkörpermittelpunkte setzt man x = 2u, und y = 2v Hieraus findet man durch Substitution der Werte \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v)^2} Die Allgemeingiltigkeit der Rollkontaktkurve für das m n-gliedrige Rollsystem. Richtet man wiederum seine Aufmerksamkeit auf die Fig. 14, welche ein viergliedriges verschiebbares Rollkörpersystem darstellt, so liegt die Vermutung sehr nahe, dass man die Allgemeingiltigkeit der Rollkontaktkurve für ein Rollkörpersystem aus m n-Gliedern bestehend, feststellen kann. Und in der Tat ermittelt man nach dem bekannten Verfahren für ein mehrgliedriges Rollsystem die Beziehung \underset{(x,\,y)}{P^2}=x^2\,y^2+y^2\,r^2-2\,x\,r\,y\,r\,cos\,(90^{\circ}\mp\,\varphi) hieraus folgt die allgemeine Gleichung: \underset{(x,\,y)}{P}=\pm\,r\,\sqrt{x^2+y^2-2\,x\,y\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)} Dementsprechend erhält man durch Einsetzung von u und v die Gleichungen für die Parallelscharen der Kontaktreihen. I. x = 2u; y = (2v – 1). \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v-1)^2-2\,(2\,v-1)\,2\,u\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)} II. x = 2u – 1 : y = 2z. \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u-1)^2+(2\,v)^2-2\,(2\,u-1)\,2\,v\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)} Für die Rollkörpermittelpunkte ergeben sich bei analoger Betrachtung: x = 2u; y = 2v \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{(2\,u)^2+(2\,v)^2-2\cdot 2\,u\cdot 2\,v\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)} Aus dieser Beziehung erhält man vereinfacht: \underset{(x,\,y)}{P}=r\,\sqrt{4\,[u^2+v^2-2\,u\,v\,cos\,(90^{\circ}\,\mp\,\varphi)]} Mit Hilfe voranstehender Gleichungen ist das Kontaktproblem eines einschichtigen Rollsystems, welches aus vier Elementen gleicher Durchmesser besteht, nach den Hauptrichtungen allgemein gelöst. Zum Schlusse sei noch angegeben, wie weit die beiden Kontakte der Gipfelkugel eines gleichseitigen Kugeldreiecks (s. Fig. 9) vom Koordinatenursprung entfernt sind; die Kugelseitenzahl heisse n; dann ist der der y-Achse am nächsten liegende Kontakt Pn P_n=r\,\sqrt{\left(\frac{2\,n-3}{2}\,\sqrt3\right)^2+\left(\frac{2\,m-3}{2}\right)^2} der weiter von der y-Achse abliegende, Pn benachbarte Kontakt P_{n_1} ergibt die Relation P_{n_1}=r\,\sqrt{\left(\frac{2\,n-3}{2}\,\sqrt3\right)^2+\left(\frac{2\,m-1}{2}\right)^2} Während selbstverständlicher Weise durch die Gleichung der Rollkontaktkurve äquivalente Werte ebenfalls gefunden werden und zwar durch Einsetzung cos 120° = – ½, so stellen die beiden letzten Gleichungen die Grenzbestimmung der Kontaktlagenwerte des Gipfelkörpers für ein gleichseitiges Dreieck dar.