Von den Einflussflächen eines Bogenträgers mit zwei an den Kämpfern gelegenen Gelenken. Von Prof. Ramisch in Breslau. Von den Einflussflächen eines Bogenträgers mit zwei an den Kämpfern gelegenen Gelenken. Im Hefte 7 vom 15. Februar 1902Dinglers polyt. Journal. Man vergleiche auch: Müller-Breslau. Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. Aufgabe 4, Seite 170. ist vom Verfasser die Untersuchung eines flachen Bogenträgers mit zwei an den Kämpfern gelegenen Gelenken geschehen und es wurde gezeigt, wie man auf allein zeichnerischem Wege die Einflussflächen für die Horizontal kraft und für das Biegungsmoment irgend eines Querschnitts darstellen kann. Für praktische Anwendungen wird es jedoch vorzuziehen sein, die Gleichungen der Einflusslinien zu geben, um sie auf Grund derselben zu zeichnen, weil man dann wichtige Folgerungen daran knüpfen kann. Textabbildung Bd. 318, S. 561 In Fig. 1 ist ein flacher Kreisbogen als Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte eines Gewölbes mit denKämpfergelenken als A1 und A2 dargestellt. Im beliebigen Punkte C des Bogens, welcher von den senkrechten Auflagerdrücken in A1 und A2 die bezüglichen Abstände a1 und a2 hat, möge eine senkrechte Kraft P wirken. Hierdurch werden in A1 und in A2 Horizontalkräfte erzeugt, von denen wir jede mit X bezeichnen. Berücksichtigen wir nicht die Temperatur, so entsteht nach Formel 14, S. 105 des genannten Aufsatzes X=\frac{5}{8}\cdot P\cdot \frac{a_1\cdot a_2\cdot ({a_1}^2+3\,a_1\cdot a_2+{a_2}^2)}{f_1\cdot l^3} und nach Formel 13.) f_1=f\cdot \left(1+\frac{15}{8}\cdot \frac{J}{F\cdot f^2}\right) Hierbei kann \frac{15}{8}\cdot \frac{J}{F\cdot f^2} gegen 1 vernachlässigt werden, sodass wir f = f1 setzen und es bedeutet f die Pfeilhöhe und l die Spannweite des Bogens. Weiter ist a2 = l – a1. Daher ergibt sich X=\frac{5}{8}\cdot \frac{P\cdot l}{f}\cdot \left\{\left(\frac{a_1}{l}\right)^4-2\,\left(\frac{a_1}{l}\right)^3+\left(\frac{a_1}{l}\right)\right\}_{\overline{a'_1\,a'_2}} Man zeichne in Fig. 2 eine horizontale Linie a'1 a'2 zwischen den Auflagerdrücken hin und nehme mit ihr zusammenfallend die X-Achse eines rechtwinkligen Koordinatenkreuzes mit dem Koordinatenanfangspunkt a1' an; die andere Achse nennen wir die Z-Achse, sodass die Koordinaten irgend eines Punktes der Einflusslinie für die Horizontalkraft mit x und z zu bezeichnen sind. Man setze nun in der vorigen Gleichung x statt a1 und \frac{X}{P}\cdot f=z . . . . 1.) so hat man z=\frac{5}{8}\cdot l\cdot \left(\left(\frac{x}{l}\right)^4-2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\left(\frac{x}{l}\right)\right) . 2.) als Gleichung der Einflusslinie für die Horizontalkraft. In Fig. 2 ist die Einflusslinie gezeichnet worden, indem man der Reihe nach, wenn \frac{x}{l}= 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 und 0,9 ist, für \frac{5}{8}\,\left(\left(\frac{x}{l}\right)^4-2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\left(\frac{x}{l}\right)\right) erhält: 0,0613125, 0,11600, 0,1588125, 0,18600, 0,1953125, 0,18600, 0,1588125, 0,11600 und 0,0613125. Da nun X=P\cdot \frac{z}{f} ist, so erkennt man, dass, wenn das Gewölbe von den Lasten P1, P2, P3, P4 usw. beansprucht ist, welche die zugehörigen Ordinaten z1, z2, z3, z4 usw. von der Einflusslinie haben, die hierdurch erzeugte Horizontalkraft X=\frac{1}{f}\cdot (P_1\cdot z_1+P_2\cdot z_2+P_3\cdot z_3+P_4\cdot z_4....) sich ergibt. Wir gehen jetzt dazu über, die Gleichung für die Einflusslinie des Biegungsmomentes vom beliebigen Punkte C des Bogens aufzustellen. Zu dem Zwecke möge sich zwischen A1 und C eine Last P auf dem Gewölbe befinden, welche von A1 den Abstand x hat. Hierdurch entsteht in A2 ein Auflagerdruck, welcher \frac{P\cdot x}{l} ist. Das Biegungsmoment im Punkte C, welches wir Ml nennen wollen, berechnet sich, wenn y der Abstand des Punktes von A1 A2 ist, aus der Gleichung M_l=\frac{P\cdot x}{l}\cdot a_2-X\cdot y wobei X der von P verursachte Horizontalschub ist. Befindet sich dagegen die Last P zwischen C und A2 und hat von A2 den Abstand x, so entsteht für das Biegungsmoment im Punkte C, welches wir Mr nennen wollen, der Wert M_r=\frac{P\cdot x}{l}\cdot a_1-X\cdot y worin X wiederum der von dieser Kraft verursachte Horizontalschub ist. Berücksichtigt man hierbei den Wert von X und bedenkt, dass y=\frac{4\cdot f\cdot a_1\cdot a_2}{l^2} ist, weil der flache Kreisbogen als Parabelbogen aufgefaßt werden kann, so hat man M_l=P\cdot \frac{a_2}{l}\cdot \left(x-4\cdot \frac{a_1}{l}\cdot z\right) und M_r=P\cdot \frac{a_1}{l}\cdot \left(x-4\cdot \frac{a_2}{l}\cdot z\right) Man setze \frac{M_l}{P}=z' . . . 3.) und \frac{M_r}{l}=z'' . . . 4.) so hat man weiter z'=\frac{a_2}{l}\,\left(x-4\cdot \frac{a_1}{l}\cdot z\right) . . . 5.) und z''=\frac{a_1}{l}\,\left(x-4\cdot \frac{a_2}{l}\cdot z\right) . . . 6.) Man zeichne eine horizontale Gerade zwischen den Auflagerdrücken \overline{a'_2\,a'_2}, wie es in den Fig. 3-8 geschehen ist, hin; damit zusammenfallend nehme man die X-Achse eines rechtwinkligen Koordinatenkreuzes an; die andere Achse nenne man Z' – Achse, wenn a1' der Koordinatenanfangspunkt ist und Z'' – Achse, wenn a2' zum Koordinatenanfangspunkt genommen wird. Die Gleichung 5.) ist nun die Gleichung der Einflusslinie für das Biegungsmoment des Punktes C zwischen A1 und C, und die Gleichung 6.) ist die Gleichung der Einflusslinie für das Biegungsmoment dieses Punktes zwischen A2 und C. Es besteht also diese Einflusslinie aus zwei verschiedenen Kurven. In Fig. 3 ist genommen worden a1 = 0,5 l also auch a2 = 0,5 l Man hat dann nach den Formeln 5.) und 6.) \frac{z'}{l}=0,5\,\frac{x}{l}-\frac{z}{l} und \frac{z''}{l}=0,5\cdot \frac{x}{l}-\frac{z}{l} und der Wert für z ist hier, wie auch künftig aus Gleichung 2.) zu entnehmen. Man erhält nun der Reihe nach für \frac{x}{l}=\ 0,1,\ 0,2,\ 0,3,\ 0,4\mbox{ und }0,5 \frac{z'}{l}=-0,0113125,\ -0,0160,\ -0,0088125,\ +0,014,\ +0,0546875 und \frac{z''}{l}=-0,0113125,\ -0,0160,\ -0,0088125,\ +0,014\mbox{ und }\pm\,0,0546875. Mittels dieser Ordinaten ist in Fig. 3 die Einflusslinie für das Biegungsmoment des mittleren Punktes M des Bogens gezeichnet worden. Da die Ordinaten teils positiv und teils negativ sind, was übrigens bei den künftigen Einflusslinien auch der Fall sein wird, so sind die Ordinaten der Einflussfläche unter \overline{a'_1\,a'_2} positiv und über \overline{a'_1\,a'_2} negativ zu nehmen. In Fig. 4 ist a1 = 0,4, also a2 = 0,6 l gewählt worden. Wir haben deshalb nach den Formeln 5.) und 6.) z' = 0,6 X – 0,96 . z und z'' = 0,4 x – 0,96 . z Man hat für \frac{x}{l}=0,1,\ 0,2,\ 0,3\mbox{ und }0,4 der Reihe nach \frac{z'}{l}=+0,00114,\ +0,00864,\ +0,02754091\mbox{ und }+0,06144 und für \frac{x}{l}=0,1\ 0,2,\ 0,3,\ 0,4,\ 0,5\mbox{ und }0,6 der Reihe nach \frac{z''}{l}=-0,01886,\ -0,03136,\ -0,03245909,\ -0,01856,\ +0,0125\mbox{ und }+0,06144 In Fig. 5 ist a1 = 0,3 l, also a2 = 0,7 l gewählt. Wir erhalten deshalb aus den Formeln 5.) und 6.) z' = 0,7 . x – 0,84 . z und z'' = 0,3 . x – 0,84 . z Daher für \frac{x}{l}=0,1,\ 0,2\mbox{ und }0,3 der Reihe nach \frac{z'}{l}=+0,0184985, +0,04256\mbox{ und }0,0765975 und für \frac{x}{l}=0,1,\ 0,2,\ 0,3,\ 0,4,\ 0,5,\ 0,6,\ 0,7 der Reihe nach \frac{z''}{l}=-0,0215025,\ -0,03744,\ -0,043025,\ -0,03624,\ -0,0140625,\ +0,023760\mbox{ und }+0,0765975. In Fig. 6 ist a1 = 0,2 . l, also a2 = 0,8 . l genommen worden. Es entsteht deshalb z' = 0,8 . x – 0,64 . z und z'' = 0,2 . x – 0,64 z Man hat für \frac{x}{l}=0,1 und 0,2 bezw. \frac{z'}{l}=0,04076 und + 0,08576 und für \frac{x}{l}=0,1,\ 0,2,\ 0,3,\ 0,4,\ 0,5,\ 0,6,\ 0,7\mbox{ und }0,8 der Reihe nach \frac{z''}{l}=-0,01924,\ -0,03424,\ 0,04164,\ -0,03904,\ -0,02500,\ +0,00096,\ +0,03836\mbox{ und }+0,08576. In Fig. 7 ist a1 = 0,1 l, also a2 = 0,9 l genommen worden. Wir haben deshalb z' = 0,9 x – 0,36 . z und z'' = 0,1 x – 0,36 . z Für \frac{x}{l}=0,1 entsteht \frac{z'}{l}=+0,0679275 und für \frac{x}{l}=0,1,\ 0,2,\ 0,3,\ 0,4,\ 0,5,\ 0,6,\ 0,7,\ 0,8\mbox{ und }0,9 entsteht der Reihe nach \frac{z''}{l}=0,0120725,\ 0,02176,\ -0,0271725, -0,02696,\ -0,0203125,\ -0,00696,\ +0,0128275, +0,03824\mbox{ und }+0,0679275. Um grosse Ordinaten zu erhalten, wurden übrigens für die Zeichnungen der Einflusslinien, sowie für die folgende die Gleichungen z'=\frac{1}{n}\cdot \frac{n\,a_2}{l}\,\left(x-4\cdot \frac{a_1}{l}\cdot z\right) und z''=\frac{1}{n}\cdot \frac{n\cdot a_1}{l}\cdot \left(x-4\cdot \frac{a_2}{l}\cdot z\right) welche mit den Gleichungen 5.) und 6.) ganz übereinstimmen, angewendet. Hierbei ist n eine beliebige Zahl, welche man als ganze, recht grosse Zahl wählen muss. Für die Zeichnungen ist stets n = 10 genommen. Man nenne F den Inhalt irgend einer Einflussfläche für das Biegungsmoment eines Punktes des Bogens und denke sich das Gewölbe mit g für die Längeneinheit gleichmässig belastet, so ergibt sich das Biegungsmoment M 0 = g . F. für den betreffenden Punkt. Wenn aber der Bogen vollständig gleichmässig belastet ist, so ist bekanntlich dafür die Parabel die Stützlinie, und da der flache Kreisbogen als Parabel angesehen werden kann, so ist der Bogen selbst Stützlinie für die gleichmässige Belastung. Es können dann aber in keinem Punkte des Bogens Biegungsmomente entstehen und jeder Querschnitt wird in allen Punkten gleich stark beansprucht. Hieraus folgt, dass M = 0, also auch F = 0 sein muss. Es sind also bei allen gezeichneten Einflussflächen die unter der Grundlinie \overline{a'_1\,a'_2}liegenden Teile genau so gross, wie die darüber gezeichneten Teile. Dies gilt aber nicht nur für die gezeichneten Flächen, sondern auch für die Einflussfläche des Biegungsmomentes eines beliebigen Punktes des Bogens. Will man nun z.B. im Punkte M das grösste Biegungsmoment haben, so muss man (zu beachten Fig. 1 und 3) den Bogen entweder zwischen a1' und b1 und zwischen a2' und b2 oder zwischen b1 und b2 allein belasten. Befindet sich eine Last über b1 oder über b2, so wird hierdurch in M kein Biegungsmoment hervorgebracht, wenn auch die Lasten noch so gross sind, vorausgesetzt jedoch, dass die Elastizitätsgrenze nicht überschritten wird, weil die Untersuchung nur innerhalb der Elastizität Giltigkeit hat. Die Einflussfläche zwischen b1 und b2 nehmen wir positiv, es hat dies folgende Bedeutung. Befindet sich zwischen b1 und b2 eine Last, so werden die oberen Fasern des Querschnitts von M gedrückt und die unteren Fasern gezogen. Befindet sich jedoch eine Last im übrigen Teile des Gewölbes, also entweder zwischen a1' und b1 oder zwischen a2' und b2, so werden die oberen Fasern desselben Querschnitts gezogen und die unteren Fasern werden gedrückt. Aehnliche Betrachtungen können wir für alle übrigen Querschnitte machen, sodass wir sie unterlassen können. II. In der Untersuchung ist stillschweigend vorausgesetzt worden, dass der Bogen überall denselben Querschnitt hat. Der Querschnittsbestimmung werden wir deswegen die Einflussfläche zu gründe legen, welche die grösste Ausdehnung zeigt. Ein Blick auf die Abbildungen zeigt uns, dass hierzu entweder Fig. 5 oder Fig. 6 passt. Wir wollen uns nun überzeugen, ob dazwischen eine Figur ist, welche noch grössere Ausdehnung zeigt, als diese Figuren. Wir nehmen deswegen a1 = 0,25 l und a2 = 0,75 l Hierdurch erhält man z'=\frac{3}{4}\,x-\frac{3}{4}\,Z . . . 7.) und z''=\frac{1}{4}\,x-\frac{3}{4}\,Z . . . 8.) Man hat für \frac{x}{l}=0,1,\ 0,2\mbox{ und }0,25 der Reihe nach \frac{z'}{l}=+0,029015625,\ +0,635\mbox{ und }0,087524 und für \frac{x}{l}=0,1,\ 0,2,\ 0,3,\ 0,4,\ 0,5,\ 0,6,\ 0,7\mbox{ und }0,75 der Reihe nach \frac{z''}{l}=0,020984375,\ -0,0370,\ -0,044109375,\ -0,0395,\ -0,021484375,\ +0,0105,\ +0,055890625\mbox{ und }+0,087524. Wie wir sehen, besitzt diese Einflussfläche die grössten Ausdehnungen und sie ist daher der Querschnittsbestimmung des Gewölbes allen übrigen vorzuziehen. Indem wir dies tun, behaupten wir zugleich, dass die gefährlichen Querschnitte des Bogens sich in den Abständen 0,25\,l=\frac{1}{4}\,l von dem linken und dem rechten Auflager befinden. Es kann möglicherweise eine Einflussfläche vorhanden sein, welche noch grössere Ausdehnungen wie diese hat; wenn wir jedoch die Fig. 5, 6 und 8 (und in letzterer ist die Einflusslinie gezeichnet worden für a1 = 0,25 und a2 = 0,75) betrachten, so erkennen wir, dass der Unterschied nicht mehr gross ist, sodass wir Fig. 8 der Bestimmung des Maximalbiegungsmomentes und die Fig. 2 der Bestimmung der Horizontalkraft zur Ermittlung des Bogenquerschnitts zu gründe legen können. Es genügen also dazu allein die Fig. 2 und 8. Zur Querschnittsberechnung hat man also nur folgende Gleichungen zu benutzen X=P\cdot \frac{z}{f} z=\frac{5}{8}\cdot \left(\left(\frac{x}{l}\right)^4-2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\left(\frac{x}{l}\right)\right) Ml= P . z' und M1 = P . z'' z'=\frac{3}{4}\,x-\frac{3}{4}\cdot z und z''=\frac{1}{4}\,x-\frac{3}{4}\cdot z Das Maximalbiegungsmoment entstellt, wenn der Bogen zwischen a1' und c oder zwischen a2' und c in Fig. 8 belastet ist. Beide Flächenteile werden bei beweglicher Last zu verwenden sein, bei gleichmässig verteilter Last genügt jedoch der Teil zwischen c und a2' allein. – Wir haben aus den letzten Gleichungen M_r=P\cdot z''=P\cdot \left(\frac{1}{4}\,x-3\cdot z\right) d.h. M_r=P\cdot \left[\frac{1}{4}\,x-\frac{15}{8\cdot 4}\,l\cdot \left(\left(\frac{x}{l}\right)^4-2\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^3+\left(\frac{x}{l}\right)\right)\right] als massgebend. Für eine Belastung über c entsteht Mr = 0, und unser Ziel ist vor allen Dingen die Strecke \overline{a'_2\,c} zu bestimmen. Aus der Gleichung ergibt sich \frac{1}{4}-\frac{15}{32}\,\left(\left(\frac{x}{l}\right)^3-2\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+\left(\frac{x}{l}\right)\right)=0 d.h. \left(\frac{x}{l}\right)^3-2\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+\frac{7}{15}=0 Aus dieser Gleichung erhält man \overline{a'_2\,c}=0,571\,l; denn (0,571)3 = 0,186169411 \frac{7}{15}=0,466666667 Gibt zusammen 0,652836078. Ferner ist (0,571)2 = 0,326041, also 2 . 0,326041 = 0,652082 Der Fehler beträgt demnach nur: 0,000454. Wenn man also den Bogen von dem einen Auflager an auf die Strecke 0,571 der Spannweite, oder von dem anderen Auflager an auf die Strecke 1 – 0,571 = 0,429 der Spannweite belastet, so wird das Maximalbiegungsmoment erzeugt; falls die Belastung gleichmässig verteilt ist. Bei beweglicher Belastung wird man selbstverständlich auch die Strecken 0,571 und 0,429 benutzen und sich dann der Formeln Ml= P . z' und Mr = P . z'' bedienen. Wir schreiben noch M_r=P\cdot l\cdot \left(-\frac{15}{32}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4+\frac{15}{16}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{7}{32}\,\left(\frac{x}{l}\right)\right) und haben für eine gleichmässig verteilte Belastung das Maximalbiegungsmoment mit g für die Längeneinheit M_{max}=g\,l\,\int_0^{0,571\,l}\,\left(-\frac{15}{32}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4+\frac{15}{16}\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{7}{32}\,\left(\frac{x}{l}\right)\right)\,l\,x =g\,l^2\cdot \left(-\frac{3}{32}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^5+\frac{15}{64}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^4-\frac{7}{64}\,\left(\frac{x}{l}\right)^2\right) für x = 0,571 l Aus dieser Gleichung folgt ohne Rücksicht auf das Vorzeichen Mmax = 0,0165 . g . l2 wie schon Melan gefunden hatte. In der Praxis nimmt man unrichtiger Weise dafür 0,0156 . g . l2, weil vorausgesetzt ist, dass es eintritt, wenn die Hälfte des Bogens belastet ist. III. Es möge C der Schwerpunkt eines beliebigen Querschnitts des Bogens in Fig. 9 sein. Man verbinde ihn mit dem Mittelpunkt O desselben und nenne α den Winkel, welcher diese Verbindungslinie mit \overline{M\,O} bildet. Im Querschnitt wirkt ausser dem Biegungsmomente die Querkraft A und die Horizontalkraft X. Man zerlege beide Kräfte in Seitenkräfte normal und in Richtung zum Querschnitt. Den Einfluss dieser Seitenkräfte vernachlässigen wir als zu unbedeutend. Jene Seitenkräfte ergeben nun die Normalkraft A . sin α + X . cos α Textabbildung Bd. 318, S. 564 Fig. 9. Da nun α sehr klein ist, so setze man sin α = 0 und cos α = 1 und hat einfach X als Normalkraft aufzufassen. Wir nennen weiter MO das Biegungsmoment dieses Querschnittes vom Inhalte F und dem Widerstandsmomente W, so hat man für die Beanspruchung in den äussersten Faserschichten die Formel k=\pm\,\frac{M}{W}+\frac{X}{F} Befinden sich nun auf dem Gewölbe die Lasten P1, P2, P3 .... und sind deren Ordinaten in der Einflussfläche für die Horizontalkraft der Reihe nach z1, z2, z3 ..., so ist X=\frac{1}{f}\,(P_1\cdot z_1+P_2\cdot z_2+P_3\cdot z_3...)-\frac{\Sigma\,P_z}{f} zu setzen und es sind sämtliche Ordinaten von gleichem Vorzeichen. Ferner nennen wir z1', z2', z3' die Ordinaten in der Einflusslinie für das Biegungsmoment, so hat man M0 = P1 . z1' + P2z2' + P3z3' + ... = ΣPz' wobei die Ordinaten von verschiedenen Vorzeichen sein können. Wir erhalten deswegen K=\pm\,\frac{\Sigma\,P\cdot z'}{W}+\frac{\Sigma\,P_z}{W\cdot f} Soll nun der Höchstwert von k ermittelt werden, so wird man bewegliche Lasten stets so stellen, dass die meisten Ordinaten z' von gleichem Vorzeichen sind. Da der Bogen überall denselben Querschnitt haben soll, so wird diese Gleichung für verschiedene Querschnitte angewandt werden müssen, bis man denjenigen gefunden hat, für welchen der Höchstwert von k den grössten Wert hat. Dieser Querschnitt kann dann als gefährlicher bezeichnet werden und sein Biegungsmoment und seine Querkraft sind zur Dimensionierung massgebend. Wie hierbei die Lasten zu stellen sind, ist bekannt, so dass wir darauf nicht einzugehen brauchen. Betrachten wir die Figuren 2 bis 8, so sehen wir, dass der gefährliche Querschnitt in der Nähe desjenigen liegen wird, welcher 0,25 der Spannweite von dem einen oder dem anderen Auflager entfernt liegt, so dass ein Auffinden desselben sehr rasch geschehen kann, was die statische Berechnung des Bogens wesentlich vereinfacht. Es bleibt uns nunmehr nur übrig, den Fall zu erledigen, wenn der Bogen gleichmässig mit g für die Längeneinheit beansprucht ist. Wir setzen hierbei einen rechteckigen Querschnitt von der Höhe h und der Breite b voraus, so ist F=b\cdot h und W=\frac{b\,h^2}{6} Man hat dann K=\frac{1}{b\,h^2}\cdot (N\cdot h\,\pm\,6\cdot M_0) Zunächst ist klar, dass der gefährliche Querschnitt entweder 0,25 oder 0,75 der Spannweite Abstand von dem einen oder dem anderen Auflager hat. Wir ziehen denjenigen in Betrachtung, welcher 0,25 der Spannweite zum Abstand von A1 hat und belasten das Gewölbe links von A2 an. Zur Ermittlung der Druckspannung ist in letzter Formel das negative Vorzeichen zu nehmen, weil die Ordinaten zwischen c und a2' negativ sind. Man erkennt nun, dass die Belastung zwischen a1' und c endigen wird, und der Endpunkt wird sehr nahe an e liegen müssen; wir bezeichnen seinen Abstand vom rechten Auflager mit x, so ist X=\frac{5}{8}\,g\cdot \frac{l}{f}\cdot \int_0^x\,\left(\left(\frac{x}{l}\right)^4-2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+\left(\frac{x}{l}\right)\right)\cdot d\,x Rechnet man das Integral aus, so entsteht X=\frac{g\cdot l^2}{16\,f}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2\cdot \left\{2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-5\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2+5\right\} Weiter ist M_0=g\cdot l\cdot \int_0^x\,\left(-\frac{15}{32}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4+\frac{15}{16}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^3-\frac{7}{32}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)\right)\cdot d\,x =g\cdot l^2\cdot \left(-\frac{3}{32}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^5+\frac{15}{64}\,\left(\frac{x}{l}\right)^4-\frac{7}{64}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2\right) =\frac{g\cdot l^2}{64}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2\cdot \left(-6\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+15\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-7\right) Es ergibt sich daher zur Bestimmung der grössten Druckspannung die Formel k=\frac{g\cdot l^2}{16\cdot b\cdot h^2}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2\cdot \left\{\frac{h}{f}\cdot \left[2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-5\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+5\right]-\frac{1}{4}\cdot \left(-6\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+15\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-7\right)\right\} und es muss x > 0,571 . l sein. Dann ist das Gewölbe rechts von A1 an zu belasten und die Last endigt zwischen c und a2'. Man hat dann mit Rücksicht darauf, dass die Einflussflächenteile oberhalb und unterhalb der Grundlinie in Fig. 8 einander gleich sind, die Formel k=\frac{g\cdot l^2}{16\cdot b\cdot h^2}\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2\cdot \left[2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-5\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+5\right]+\frac{1}{4}\cdot \left(-6\,\left(\frac{x}{l}\right)^3+15\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-7\right) und hier muss x < 0,571 l sein. Die Bestimmung von x hat nach der Theorie dem Maxima und Minima zu geschehen, erst dann kann k angegeben werden. Wie man sieht, ist k von dem Quotienten \frac{h}{f} abhängig, also kann man dafür keine allgemeine Formel angeben. Am vorteilhaftesten wird es sein, Tabellen anzufertigen. Man bestimmt für verschiedene Werte von \frac{h}{f} den Ausdruck \varphi=\left(\frac{x}{l}\right)^2\cdot \left\{\frac{h}{f}\cdot \left[2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-5\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+5\right]-\frac{1}{4}\cdot \left(-6\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^3+15\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-7\right)\right\} oder \varphi=\left(\frac{x}{l}\right)^2\cdot \left\{\frac{h}{f}\cdot \left[2\,\left(\frac{x}{l}\right)^3-5\,\left(\frac{x}{l}\right)^2+5\right]+\frac{1}{4}\cdot \left(-6\cdot \left(\frac{x}{l}\right)^3+15\,\left(\frac{x}{l}\right)^2-7\right)\right\} sodass er ein Maximum ist, und hat k=\frac{g\cdot l^2}{16\cdot b\,h^2}\cdot \varphi Gewöhnlich ist k gegeben, und g, l und b sind bekannt, sodass man eine Beziehung zwischen φ und h2 erhält, mit der man unter Berücksichtigung der Tabelle leicht h ermitteln kann. Die beiden Formeln können auch zur Bestimmung der grössten Zugspannung angewendet werden, doch wird man hierzu noch die anderen Figuren benutzen! müssen und entsprechende Formeln ableiten. Man wird finden, dass bei den ausgeführten Gewölben, wenn sich darauf Einzellasten oder teilweise gleichmässige Belastung befindet, Zugspannungen unvermeidlich sind; denn andernfalls müsste h bedeutend grösser als f sein. Es ergibt sich aber die Zugspannung sehr klein, sodass von der Behörde eine bestimmte Grenze für die Zugspannung festgesetzt werden müsste. Die übliche Methode mittels Minimaldrucklinie, welche lehrt, dass Zugspannungen unmöglich sind, wenn diese Drucklinie innerhalb des Kerns fällt, ist nicht richtig; denn sie setzt starres und nicht elastisches Material voraus; der Polabstand wird ja dabei rein graphostatisch ohne Rücksicht auf die Elastizität des Materials bestimmt. In einem späteren Aufsatz soll auf die Zugspannungen im Gewölbe näher eingegangen werden.