Die störenden Bewegungen der Lokomotive unter Berücksichtigung der auftretenden Reibungswiderstände. Von Dipl.-Ingenieur Karl Wolters, Hannover. (Fortsetzung von S. 660 d. Bd.) Die störenden Bewegungen der Lokomotive unter Berücksichtigung der auftretenden Reibungswiderstände. II. Untersuchung, welche Bewegungen des Lokomotivgestelles möglich sind. Nachdem nun sämtliche Gleichungen aufgestellt sind, die für die etwaigen Bewegungen der Maschine in Frage kommen, soll jetzt näher untersucht werden, unter welchen Bedingungen diese Bewegungen überhaupt eintreten können. 1. Das Zucken. Als Gleichung dieser Bewegung haben wir die erste der Gleichungen 1)., nämlich \Sigma\,X=M\cdot \frac{d^2\,x_0}{d\,t^2} aufgestellt, und abgesehen von der sehr geringen Veränderlichkeit der Werte Tt und Tk sucht nur die Kraft der Gleichung 23). diese Bewegung hervorzubringen, nämlich =-\frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{r}\cdot (cos\,a+sin\,a) Da dieser Wert aber nur auf den Ungleichförmigkeitsgrad der Maschine Einfluss hat, einen schädlichen Einfluss aber nicht erlangen kann, wollen wir auf ihn nicht näher eingehen. 2. Bewegung in Richtung der Y-Achse. Die zweite Gleichung 1). lautet \Sigma\,Y=M\cdot \frac{d^2\,y_0}{d\,t^2} da aber quer zur Geleisachse überhaupt keine Kräfte wirken, so kann hier keine Bewegung erfolgen. 3. Das Wogen. Die dritte Gleichung 1). bestimmt die Bewegung, die man gewöhnlich das Wogen der Maschine nennt, und lautet \Sigma\,Z=M\cdot \frac{d^2\,z_0}{d\,t^2} Dabei suchen die Pressungen der Kreuzköpfe gegen die Gleitbahnen diese Bewegung hervorzubringen. Der Wert derselben ergibt sich nach Gleichung 21). zu r/L . (P' . sin a – P'' . cos a) gehindert wird diese Bewegung durch die einzelnen Teile der Reibung nach den Gleichungen 29)., 35). und 42). mit den Werten f\cdot [{K'\,\pm\,(T_t+T_k)}+{K''\,\pm\,(T_t+T_k)}]+\kappa\cdot f+2\cdot \frakfamily{P}\cdot f Ob nun Bewegung möglich ist, können wir folgendermassen untersuchen: ist der Kreuzkopfdruck beider Maschinen einmal grösser als die Reibung, dann wird er die Maschineheben; damit wird die Zusammendrückung der Federn geringer und damit auch das von ihnen getragene Gewicht. Infolgedessen wird diese Bewegung jedenfalls solange dauern, bis das Gewicht + der nach unten gerichteten Reibung = Summe der jeweiligen Kreuzkopfdrücke + Federspannung geworden ist, denn erstere beiden Werte sind nach unten und die letzten beiden nach oben gerichtet. Soll nun die Maschine aus dieser gehobenen Stellung sich wiederum senken, was beim kleinsten Werte der Kreuzkopfdrücke am ehesten eintritt, dann muss das Gewicht die Federspannung, die Kreuzkopfdrücke und die Reibung überwinden, denn letztere hat jetzt ihr Vorzeichen umgekehrt. Bezeichnen wir nun für einen Augenblick den maximalen Wert der Kreuzkopfdrücke mit \frakfamily{K}_{\mbox{max}} und den kleinsten Wert mit \frakfamily{K}_{\mbox{min}}, die Federspannung mit \frakfamily{F} und mit \frakfamily{R}_1 und \frakfamily{R}_2 die Werte der Reibung, welche bei den Drücken \frakfamily{K}_{\mbox{max}} bezw. \frakfamily{K}_{\mbox{min}} vorhanden sind, dann erhalten wir allgemein die Bedingung für die Bewegung, wenn wir obige beiden Gleichungen in Buchstaben ausdrücken, nämlich \frakfamily{K}_{\mbox{max}}+\frakfamily{F}\,\geq\,G+\frakfamily{R}_1 \frakfamily{K}_{\mbox{min}}+\frakfamily{F}+\frakfamily{R}_2\,\leq\,G woraus unmittelbar folgt \frakfamily{K}_{\mbox{max}}-\frakfamily{K}_{\mbox{min}}\,\geq\,\frakfamily{R}_1+\frakfamily{R}_2 und zwar gibt das Gleichheitszeichen die Differenz auf der linken Seite an, bei der eben noch die Bewegung eintreten kann; d.h. also: die Differenz der maximalen und minimalen Kreuzkopfdrücke muss gleich oder grösser als die Summe der bei diesen Kreuzkopfdrücken vorhandenen Werte der Reibung sein; bei konstanter Reibung würde sich auf der rechten Seite das Produkt 2 . \frakfamily{R}, d.h. der doppelte Reibungswert ergeben. In unserem Fall des Wogens erreicht nun die linke Seite viermal ihr Maximum nämlich für a = 45°, 135°, 225° und 315° und ihr Minimum für a = 0°, 90°, 180° und 270° folglich erhalten wir bei Benutzung der Werte r/L=\frac{0,3}{1,5}=\frac{1}{5} P=\frac{0,42^2\cdot \pi}{4}\cdot 4,5\cdot 10000=6200 dabei ist bei 0,2 Füllung und 12 Atm. Admissionsspannung der Nutz druck = 4,5 angenommen Kmax = 2 . ⅕ . 6200 . 0,707 = 1750 Kmin = ⅕ . 6200       = 1240 somit die Differenz Kmax – Kmin = 510 Die Reibung erreicht nun im vierten Quadranten ihr Minimum, denn da gelten die unteren Vorzeichen und im zweiten ihr Maximum mit den positiven Vorzeichen. Folglich wird das Heben der Lokomotive am ehesten bei 315° und ein Senken bei 270° eintreten; infolgedessen müssen wir für diese Winkel die Werte R1 bezw. R2 bilden und erhalten bei Benutzung der Werte T_{t\,270}=\frac{0,3}{2\cdot 1,96}\cdot (6200\cdot 1-0\cdot 0)-\frac{0,3^2}{2\cdot 1,5\cdot 1,96}\cdot (6200-0)\cdot 0=475 Tk 270 = 475 Tt 315 = 670, Tk 370 = 670, f = 0,1 und f' = 0,015 \kappa=\frac{1/2\cdot 16400\cdot 0,015\cdot 0,14+18400\cdot 0,0005}{0,49}=54 somit weiter die Grössen \frakfamily{R}_1=0,1\cdot [{6200-2\cdot 670}+{6200-2\cdot 670}]+0,1\cdot 54+20=997 und \frakfamily{R}_2=0,1\cdot [{6200-2\cdot 475}+{6200-2\cdot 475}]+0,1\cdot 54+20=1075 Damit liefert obige Bedingungsgleichung die Zahlengrössen 510 ⋝ 997 + 1075 was aber nicht der Fall ist, d.h. diese Bewegung des Wogens ist vollständig ausgeschlossen, und es findet nur ein einmaliges Heben der Maschine statt. Weiter sehen wir, dass für Leerlauf die Gleichung 21). stets den Wert = 0 hat, während die Reibung stets = 2 . 54 . 0,1 + 2 . 20 betragen würde; d.h. die Bewegung ist ebenfalls ausgeschlossen. 3. Graphische Ableitung. Textabbildung Bd. 318, S. 674 Fig. 8. Obige Ableitung können wir auch bildlich darstellen: trage ich mir beispielsweise (Fig. 8) die Resultierende aus beiden Sinuskurven der Kreuzkopfdrücke auf, welche die K-Werte liefert und ziehe im Abstande der für diese Betrachtung konstant angenommenen Reibung R eine Parallele, wobei diese aber, um ein deutliches Bild zu erhalten, kleiner als bei der eben behandelten Bewegung genommen ist, dann sehe ich, dass die über schiessende Kraft \frakfamily{K}-\frakfamily{R} den auf den Federn ruhenden Teil der Lokomotive hebt. Dabei wird aber auch gleichzeitig der Druck der Federn geringer, sodass ein Teil des Lokomotivgewichtes nicht mehr von den Federn, sondern von den Kreuzkopf drücken getragen wird; dieser Teil der Kreuzkopfdrücke kann somit kein weiteres Heben des Gestells veranlassen. Die Grösse desselben = Starrheitskoeffizient × Weg der Hebung erhält man folgendermassen: die Geschwindigkeitskurve für die Bewegung der Lokomotive kann man sich leicht punktweise für ein beliebig kleines Zeitintervall d t konstruieren aus der allgemeinen Formel d\,z'=z''\cdot d\,t=\frac{\frakfamily{K}-\frakfamily{R}-k\cdot z}{M}\cdot d\,t wobei z' die Geschwindigkeit in der Z- Richtung, z'' die Beschleunigung in derselben Richtung und k den für das Zeitintervall konstant angenommenen Starrheitskoeffizienten der in Betracht kommenden Federn bedeutet. Die Entlastung, d.h. der Wert z, ist zwar auch während dieses kleinen Zeitteilchens veränderlich, lässt man sie sich aber linear, entsprechend der Anfangsgeschwindigkeit der Bewegung der Lokomotive beim Beginn des Zeitteilchens ändern, dann kann man sie für die Mitte desselben erhalten und mit diesem Wert die Rechnung vornehmen. Um diese Geschwindigkeit beim Anfang jedes einzelnen Zeitteilchens nun zu erhalten, trägt man sich die Geschwindigkeitszunahme d z', welche man aus der Gleichung erhalten hat, auf, und bekommt so die Kurve z', welche damit die Geschwindigkeit der Bewegung für jede beliebige Zeit darstellt. Daraus erhält man dann die Wegzunahme zu d z = z' . d t Trägt man sich jetzt sofort in die obere Figur die Werte k . z ein, dann sieht man, dass die schraffierten Ordinaten die für eine Bewegung übrig bleibende Kraft darstellen. Beim maximalen Wert derselben, welcher kurz vor dem Scheitel der resultierden Kurve liegt, erhält die Geschwindigkeitskurve einen Wendepunkt, und wenn die Kraft = 0 ist, ist die Geschwindigkeitszunahme = 0, mithin läuft die Geschwindigkeitskurve wagerecht. Von diesem Punkte ab wird die Geschwindigkeit geringer, der Weg nimmt aber infolge der einmal erteilten Geschwindigkeit noch zu und zwar wird die lebendige Kraft dadurch aufgezehrt, dass die Summe von k . z und \frakfamily{R}, die nach unten gerichtet sind, jetzt grösser als \frakfamily{K} wird. Nach dem Satz vom Antriebe erhalten wir die Geschwindigkeit = 0, wenn die Fläche F2 = F1 geworden ist, weil die Integrale Kraft × Zeit einander gleich sein müssen. Dies trifft für den Punkt 3 zu, von welchem Punkte ab die Maschine in gehobenem Zustand stehen bleibt, und dieses Spiel wiederholt sich, sobald die Kraft wiederum grösser wird. Würde nun vielleicht bei mehrmaliger Wiederholung des Spiels die Entlastung der Federn k . z grösser als \frakfamily{R}, dann lässt die Figur ohne weiteres erkennen, dass Abwärtsbewegung des Gestells eintreten muss. Weiter sieht man sofort, dass dies nur dann möglich ist, wenn \frakfamily{R} kleiner als der Wert der Hälfte der Schwankung der Kreuzkopfdrücke ist, denn sonst könnte das Gestell höchstens bis zum Scheitel der Kurve gehoben werden und dann würde dauernder Stillstand eintreten. Diese Bedingung ist aber dieselbe, wie die früher aufgestellte Beziehung, denn die zweite frühere Gleichung lautete G\,\geq\,\frakfamily{K}_{\mbox{min}}+\frakfamily{R}+\frakfamily{F}, jetzt ist aber G=k\cdot z+\frakfamily{F}+\frakfamily{K}_{\mbox{min}}, sodass wir sofort erhalten k\cdot z\,\geq\,\frakfamily{R}. Weiter sieht man auch die Bedeutung der früheren Bedingung \frakfamily{K}_{\mbox{max}}-\frakfamily{K}_{\mbox{min}}\,\geq\,2\cdot \frakfamily{R} aus der Figur, denn diese ist nur dann zu erfüllen, wenn R kleiner als der mittlere Wert der Druckschwankungen ist. Würde nun der Punkt 1 so tief liegen, dass die schraffierte Fläche F2 kleiner als die erste Fläche F1 würde, dann sehen wir, dass die Geschwindigkeit vor dem neuen Antrieb nicht erst den Wert = 0 annehmen würde, sondern sie würde nur vorher abnehmen und dann wiederum wachsen; jedoch würde auch hier ohne weiteres noch keine dauernde Bewegung eintreten, denn der Weg würde zwar zunehmen, damit aber auch die Entlastung, sodass die Beschleunigung kleiner werden würde, und infolgedessen würde die Wegkurve den Scheitel später erreichen können. Wenn dabei dann die obigen Bedingungen für die Bewegung nicht erfüllt sind, würde trotzdem keine weitere Bewegung möglich sein. 4. Das Wanken. Jetzt bleibt noch die Möglichkeit der drehenden Bewegungen zu untersuchen übrig. Die erste derselben ist die Drehung um die X-Achse; diese nennt man gewöhnlich das Wanken der Maschine. Die allgemeine Gleichung derselben lautet \frakfamily{M}_x=J_1\,\frac{d\,\varphi}{d\,t}-(J_2-J_3)\cdot \chi\cdot \psi Ob sie in Kraft tritt, sehen wir auf folgende Weise: tragen wir uns einmal statt der Kräfte beim Wogen jetzt die bald positiven bald negativen Momente, die sich in der Hauptsache aus den beiden der Gleichung 20) zusammensetzen auf, wie nebenstehend geschehen, und bilden wiederum das resultierende Moment, dann sehen wir sofort, dass, wenn \frakfamily{M}_{\mbox{max}} und \frakfamily{M}_{\mbox{min}} das grösste bezw. kleinste Moment bedeuten, die Bedingung für den Eintritt der Bewegung lauten muss \frakfamily{M}_{\mbox{max}}-\frakfamily{M}_{\mbox{min}}\,\geq\,2\cdot \frakfamily{R}_m wobei Rm auch das in die Fig. 9 eingetragene Moment bedeutet. Infolge einer Drehung würden sich hier ebenfalls die Federspannungen ändern, und zwar können wir uns ähnlich wie früher zunächst den Drehwinkel ausrechnen aus der Beziehung Textabbildung Bd. 318, S. 675 Fig. 9. d\,\varphi=\frac{\frakfamily{M}}{J\,\chi}\cdot d\,t Daraus erhalten wir die Zunahme des Winkels der Drehung in der Zeit d t d β = φ . d t Den Wert d φ tragen wir uns genau wie beim Wogen die Zunahme der geradlinigen Geschwindigkeit auf und erhalten somit in der φ-Kurve die jeweilige Winkelgeschwindigkeit der Drehung. Infolge dieser Drehung wird nun die eine Seite stärker zusammengedrückt, während die andere um genau soviel entlastet wird, sodass wir bei Vernachlässigung der Federreibung ein die Maschine zurückzudrehen bestrebtes Moment erhalten von der Grösse = 2 × ε . β × . k. Dies tragen wir uns wiederum in die Figur ein, und die durch die schraffierten Ordinaten wiedergegebenen Momente suchen dann genau wie früher die Bewegung hervorzubringen. Die Endgrösse 2 . ε . β . k' bildet nun ein Moment, das die nächste Drehung, die ja umgekehrt gerichtet ist, begünstigt; dies kann man darstellen, indem man von dem Reibungsmoment ein Moment dieser Grosse in Abzug bringt, und zwar durch Ziehen einer Parallelen. Dann sieht man sofort, dass die folgende Kurve jetzt steiler verlaufen wird; weiter erkennt man auch die beiden Möglichkeiten: entweder wird sich infolge des steileren Verlaufes der Kurve ein Zustand herausbilden, bei dem [2 . ε . β . k]x = [2 . ε . β . k]x+1 ist, wobei die Maschine meist zwischen einer positiven und folgenden negativen Drehung in Ruhe kommen wird. Dies ist aber nicht unbedingt notwendig, da sich auch bei fortführender Bewegung ein Beharrungszustand bilden kann. Es können sich aber auch die Schwingungen im Lauf der Zeit addieren, sodass sie immer grösser und grösser werden. Untersuchen wir nun einmal unsere Maschine, so erhalten wir dabei nach den Gleichungen 20). und 25). die treibenden Kräfte mit den Werten e\cdot \frac{r}{L}\,(P'\cdot sin\,a+P''\cdot cos\,a)-e\cdot \frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{2\cdot L}\cdot sin\,(2\,a) Als die Bewegung hindernde Kräfte treten mit Ausnahme des unter 11.) und 12.) behandelten Widerstandes ausschliesslich Reibungen auf, und zwar besonders die Reibung der Achslager an den Achsgabeln, die Reibung an den Vertikalflächen des Drehgestells und die Reibung an den Berührungsflächen mit dem Tender. Diese drei geben zusammen nach den Gleichungen 28)., 34). und 40). die Werte f\cdot \sqrt{c^2+{h_2}^2}\cdot [\{K'\,\pm\,(T_t+T_k)\}+\{K''\,\pm\,(T_t+T_k)\}]+\kappa\cdot f\cdot h_3+2\cdot \frakfamily{p}\cdot f\cdot \sqrt{{h^2}_4+\frakfamily{z}^2} Da nun \frakfamily{M}_{\mbox{max}}=–\frakfamily{M}_{\mbox{min}} ist, so können wir gleich beide Seiten durch zwei dividieren und erhalten dann für 270°, bei welchem Werte auf der rechten Seite beide negativen Vorzeichen gelten, die Bedingung für den Eintritt der Bewegung e\cdot \frac{r}{L}\cdot P''\cdot sin\,270^{\circ}\,\geq\,f\cdot \sqrt{c^2+{h^2}_2}\cdot [\{K'-(T_t+T_k)\}+\{K''-(T_t+T_k)\}]-\varkappa\cdot f\cdot h_3+2\cdot \frakfamily{P}\cdot f\cdot \sqrt{{h^2}_4+\frakfamily{z}^2} Daraus ergibt sich bei Einsetzung der Werte e = 1,02, h2 = 1,15, c = 0,63, h3 = 1,3, h4 = 0,8, z = 0,5 1262 ⋝ 1375 + 7 + 20 ⋝ 1402 d.h. die Bewegung des Wankens tritt bei unserer Maschine nicht ein. Ebenso würde diese Bewegung bei Leerlauf vermieden sein, weil dann die linke Seite immer = 0 ist, während die rechte den konstanten Wert = 7 + 20 hat. 5. Das Nicken. Die zweite Gleichung 2)., nämlich \frakfamily{M}_y=J_2\cdot \frac{d\,\chi}{d\,t}-(J_3-J_1)\cdot \psi\cdot \varphi bestimmt die Drehungen um die Querachse, die man gewöhnlich das Nicken oder Stampfen der Maschine nennt. Ob diese Bewegung eintreten kann, erkennen wir sofort aus der Figur für das Wogen; führen wir nämlich anstatt der Kräfte jetzt die Momente ein, so haben wir, da die Funktionen dieselben sind, an der Figur nichts geändert. Infolgedessen bildet die Bedingung für den Eintritt der Bewegung die Erfüllung der Ungleichung \frakfamily{M}_{\mbox{max}}-\frakfamily{M}_{\mbox{min}}\,\geq\,\frakfamily{R}_{m_1}+\frakfamily{R}_{m_2} Als störende Kräfte kommen hier vor allem die Pressungen gegen die Gleitbahnen in Frage, und zwar liefern sie nach den Gleichungen 19). die Beiträge \frac{r^2}{2\cdot L}\cdot (P'-P'')\cdot sin\,(2\,a)-\frac{r}{L}\cdot (L-\Delta_1)\cdot (P'\cdot sin\,a-P''\cdot cos\,a) Der Einfluss des Massendruckes ist gering und kann daher vernachlässigt werden. Als Reibungsmomente kommen vor allem die der Reibung an den Achsgabeln, an den Vertikalflächen des Drehgestells und an der Berührungsfläche mit dem Tender in Frage und zwar nach den Gleichungen 26)., 27)., 33). und 41). mit den Werten \Delta_1\cdot f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_t\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_t\right)\right] +\Delta_2\cdot f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_k\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_k\right)\right] +\Delta_5\cdot \kappa\cdot f+2\cdot \frakfamily{P}\cdot f\cdot \frakfamily{x} Für das maximale Moment ist nun im allgemeinen der zweite Faktor ausschlaggebend, und zwar hat dieser vier Maxima, nämlich für a = 45°, 135°, 225° und 315° und vier Minima für a = 0°, 90°, 180° und 270° In den Reibungsmomenten sind nur die Vorzeichen veränderlich, und zwar gelten sämtliche negative für den vierten Quadranten, mithin müssen wir für diesen die Untersuchung anstellen. Wir erhalten nun beispielsweise für 315° bei Benutzung des Wertes Δ1 = 0,05 \frakfamily{M}_{\mbox{max}}=\frac{0,3^2}{2\cdot 1,5}\cdot (-6200+6200)\cdot sin\,630^{\circ}-\frac{1}{5})\cdot (1,5-0,05)\cdot (6200\cdot 0,7071+6200\cdot 0,7071)=-2540 und für a = 0° \frakfamily{M}_{\mbox{min}}=0-\frac{1}{5}\cdot (1,5-0,05)\cdot 6200\cdot 1=-1800 damit die Differenz \frakfamily{M}_{\mbox{max}}–\frakfamily{M}_{\mbox{min}}=–740 Die Reibungsmomente \frakfamily{R}_{m_1} und \frakfamily{R}_{m_2} erhalten wir nun unter Benutzung der Werte Δ2 = 2,65, Δ5 = 3,75, \frakfamily{x}=3,8 zu der Grösse \frakfamily{R}_{m_1}=-[0,05\cdot 0,1\cdot \{(3100-670)\cdot 2\}+2,65\cdot 0,1\cdot \{(3100-670)\cdot 2\}+3,75\cdot 54\cdot 0,1+12]=-1310 und \frakfamily{R}_{m_2}=-[0,05\cdot 0,1\cdot \{(3100-475\cdot 2)\}+2,65\cdot 262,5\cdot 2+32]=1447 sodass die Bedingungsgleichung lautet - 740 ⋝ – 1310 – 1447 welche aber nicht erfüllt ist. Wir sehen also, dass die Reibung bei weitem hinreicht, diese Bewegung zu hindern. Bei Leerlauf ist die linke Seite immer = 0, während die rechte den konstanten Wert = 2 . [3,75 . 54 . 0,1 + 12] hat, sodass diese Bewegung auch hier nicht eintreten kann. 6. Das Schlingern. Somit bleibt jetzt nur noch die letzte der Gleichungen 2), nämlich \frakfamily{M}_{\varepsilon}=J_3\cdot \frac{d\,\psi}{d\,t}-(J_1-J_2)\cdot \varphi\cdot \chi näher zu betrachten übrig, und zwar bestimmt diese die Bewegungen um die Z- Achse, die den Namen Schlingern tragen. Da diese Bewegungen aber nur durch den Massendruck der nicht ausgeglichenen Massen hervorgerufen werden, und dieser immer an den Achsgabeln angreift, so muss, wenn zwischen Achsgabel und Lager kein Spielraum vorhanden ist, die ganze Maschine an dieser Bewegung teilnehmen. Das bewegende Moment hat nun unter Berücksichtigung der Gleichung 22). die Grösse \left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot e\cdot \frac{\mu\cdot \frakfamily{v}^2}{r}\cdot (cos\,a-sin\,a) Als verhindernde Kräfte treten hier hauptsächlich wiederum die einzelnen Teile der Reibung auf, und erst bei eingetretener Bewegung würde eine Komponente des Zugwiderstandes am Kuppelbolzen hinzukommen. Sehen wir nun von der Veränderlichkeit der Belastung der Triebachse infolge der Zentrifugalkraft der Gegengewichte für den Massendruck ab, dann können wir die Reibung auf den Schienen als konstant annehmen. Setzen wir nun vorläufig voraus, zwischen Lagerkasten und Achsgabel sei soviel Spielraum vorhanden, dass ein Anstossen der Achsgabeln an die Lagerkasten vermieden wäre, so müssen wir die Reibung an diesen Teilen und nicht die auf den Schienen in Rechnung stellen, weil die letztere die grössere ist. Mithin werden die Räder solange ruhig ihren Weg fortsetzen, bis ein Anstossen eintritt. Ebenso wollen wir an dem Zapfen des Drehgestells soviel seitlichen Spielraum annehmen, dass auch hier ein Anstossen vermieden wird. Dann liefert die Reibung nachden Gleichungen 26)., 27)., 32)., 33)., 36). und 41). die einzelnen Momente \Delta_1\cdot f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_t\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_t\right)\right] \Delta_2\cdot f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_k\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_k\right)\right] +\Delta_5\cdot (2\cdot Q_d\cdot f+k_d\cdot \Delta_5\cdot \zeta) +\Delta_5\cdot \kappa\cdot f+2\cdot f\cdot (Q_t\cdot \sqrt{{\Delta_1}^2+\varepsilon^2}+Q_k\cdot \sqrt{{\Delta_2}^2+\varepsilon^2})+2\cdot \frakfamily{P}\cdot f\cdot \frakfamily{x} Dabei ist die Bedingung dafür, dass die Räder auf den Schienen nicht gleiten, dass die Reibung an den senkrechten Achsgabelflächen und an den wagerechten Flächen der Federstützen zusammen kleiner, als die Reibung auf den Schienen ist, d.h. für die Triebachse muss die Ungleichung bestehen f_1\cdot Q'_t\,>\,f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_t\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_t\right)\right]+2\cdot Q_t\cdot f ebenso für die Kuppelachse f_1\cdot Q'_k\,\geq\,f\cdot \left[\left(\frac{K'}{2}\,\pm\,T_k\right)+\left(\frac{K''}{2}\,\pm\,T_k\right)\right]+2\cdot Q_k\cdot f Ebenso darf auch das Drehgestell, um einen ruhigen Gang zu erzielen, seinen Lauf nicht verändern; infolgedessen muss auch hier die Reibung an der Schiene grösser sein, als die Summe der Kräfte an den wagerechten und senkrechten Flächen, vermehrt um die jeweilige Federspannung; diese letztere ist aber veränderlich und hängt von dem Ausschlag ζ um die Z- Achse ab. Infolgedessen muss auch beim grössten Ausschlag die Ungleichung bestehen. Reibung an der Schiene > Kräfte an den senkrechten und wagerechten Flächen + Federspannung Dies gibt bei Benutzung der Werte der Gleichungen 32)., 33). und 37). bei Fortlassung der dortigen Hebelarme (Q+Q_1)\cdot f\,>\,\kappa\cdot f+2\cdot Q_d\cdot f+\Delta_5\cdot k_{d_1}\cdot \zeta Diese letzten drei Bedingungen wollen wir nun zunächst untersuchen. Ist z.B. f1 = 0,20, Qt' = Qk' = 14000, Qt = 5200, Qk = 5000 dann erhalten wir für den ungünstigen Fall, der für a = 90° bis 180° eintritt, weil dann beide positiven Vorzeichen gelten und zwar beispielsweise für a = 135° 0,2 . 14000 > 0,1 . [(3100 + 670) + (3100 + 670)] + 2 . 5200 . 0,1 daraus folgt 2800 > 1794 und ferner 0,2 . 14000 > 0,1 . [(3100 + 670) + (3100 + 670)] + 2 . 5000 . 0,1 daraus folgt 2800 > 1794 d.h. die Räder werden sicher, wenn genügend Spielraum vorhanden ist, die Möglichkeit der Bewegung des Schlingerns dabei vorausgesetzt, ihren Weg fortsetzen, sodass wir nicht die Reibung an der Schiene, sondern die kleinere für die in Frage kommenden Flächen einzuführen haben. Die dritte der obigen Gleichungen bildet die Bedingung dafür, dass das Drehgestell nicht auf den Schienen gleitet. Setzen wir nun einmal auch hier Werte ein und zwar Q + Q1 = 18400, Qd = 7950 nehmen wir ferner, um sicher zu gehen Δ5 . ζ = 0,01, k_{d_1}=90000, welcher Wert wie folgt bestimmt ist: nehmen wir eine vierlagige Feder mit dem Querschnitt eines jeden Blattes = 13 mm . 90 mm an, und beträgt die Länge der Feder 800 mm = 2 . l, dann ist allgemein die Durchbiegung derselben bei der Belastung P, wenn E den Elastizitätsmodul und J das Trägheitsmoment der ebenen Dreiecksfeder bedeutet f\mbox{ cm}=\frac{P\mbox{ kg}\cdot l^3\mbox{ cm}}{2\cdot E\cdot J\mbox{ cm}^4} dabei ist für unseren Fall J\mbox{ cm}^4=\frac{(4\cdot 9)\cdot 1,3^3}{12} damit erhalten wir P\mbox{ kg}=\frac{2\cdot E\cdot J}{l^3}=\frac{2\cdot 2200000\cdot (4\cdot 9)\cdot1,3^3}{12\cdot 40^3}=450 mithin für die ganze Feder = 2 . 450 = 900 und für eine Durchbiegung = 1 m wäre damit eine Kraft erforderlich =k_{d_1}=90000 Damit gibt dann die obige Gleichung beim Einsetzen dieser sämtlichen Werte 18400 . 0,2 > 54 . 0,1 + 2 . 7950 . 0,1 + 90000 . 0,01 3680 > 2495 d.h. auch hier ist die Reibung auf der Schiene stets grösser als die Summe der ablenkenden Kräfte, solange die Zusammendrückung kleiner als 0,01 bleibt; infolgedessen wird das Drehgestell an der Bewegung der Maschine nicht teilnehmen, sondern ruhig seinen Weg fortsetzen. Da also die beiden Bedingungen erfüllt sind, dass nämlich die Reibung an den beiden Räderpaaren auf den Schienen grösser ist, als die die Räder ablenkenden Kräfte, so können wir die Bedingungsgleichung für das Schlingern untersuchen. Wir sehen nun sofort, dass das Moment, welches diese Bewegung hervorzurufen sucht, bald positiv bald negativ ist, also der Kurve für das Wanken ähnlich aussehen wird. Mithin erhalten wir auch hier die Bedingung für den Eintritt dieser Bewegung in der Ungleichung \frakfamily{M}_{\mbox{max}}-\frakfamily{M}_{\mbox{min}}\,\geq\,\frakfamily{R}_{m_1}+\frakfamily{R}_{m_2} oder da \frakfamily{M}_{\mbox{max}}=-\frakfamily{M}_{\mbox{min}} ist, auch in der Ungleichung 2\cdot \frakfamily{M}_{\mbox{max}}\,\geq\,\frakfamily{R}_{m_1}+\frakfamily{R}_{m_2} Wir sehen nun, dass in der Gleichung 22). dieser maximale Wert der linken Seite zweimal auftritt, nämlich für a = 315° und für a = 135°, und zwar ist ersterer positive Wert = \frakfamily{M}_{\mbox{max}}, letzterer negative = \frakfamily{M}_{\mbox{min}}. Mithinmüssen wir für den ersten Wert R_{m_1} mit den negativen Vorzeichen in den Momenten der Achsgabelreibung und für den letzten Wert R_{m_2} mit den positiven Vorzeichen bilden. Da diese Werte aber addiert werden, so können wir die einander gleichen Grössen Tt und Tk gleich von vornherein fortlassen, und erhalten dann, wenn V die Fahrgeschwindigkeit der Lokomotive in km/Std. bezeichnet, bei Benutzung der Werte n = 3, \mu=\frac{270}{9,81}, V = 90, D = 1,96, ε = 0,59 und wenn wir \frakfamily{v}=2\cdot r\cdot \pi\cdot \frac{v}{D\cdot \pi}=2\cdot r\cdot \pi\cdot \frac{V}{3,6\cdot D\cdot \pi}=\frac{1}{1,8}\cdot \frac{r\cdot V}{D} einsetzen, und beide Seiten gleich durch zwei dividieren \frac{3-1}{2}\cdot 1,02\cdot \frac{270}{1,8^2}\cdot \frac{0,3\cdot 90^2}{1,96^2}\cdot 1,414 >\,0,05\cdot 0,1\cdot 3100\cdot 2+2,65\cdot 0,1\cdot 3100\cdot 2 +3,75\cdot [2\cdot 7950\cdot 0,01+0]+3,75\cdot 54\cdot 0,1 +2\cdot 0,1\cdot (5200\,\sqrt{0,05^2+0,59^2}+5000\cdot \sqrt{2,64^2}+0,59^2)+12 das gibt weiter \begin{array}{rcl}5150&\,>\,&1660+5960+20+3340+12\\ &\,>\,&10996. \end{array} Da diese Ungleichung also sicher nicht erfüllt ist, so sehen wir, dass das Schlingern durch die Reibung vollständig vernichtet wird. Bei Leerlauf wird sich auch hier der Angriffspunkt der Kraft, welche diese Bewegung hervorzurufen versucht, immer an den Achsgabeln zeigen, indem von hier ausgehend durch die lebendige Kraft der Maschine immer in der ersten Hubhälfte der Kolben beschleunigt wird, und in der zweiten wird dieselbe Kraft wiederum auf die Maschine durch die Verzögerung des Kolbens übertragen. Auf der rechten Seite werden aber die beiden ersten Glieder verschwinden, wenn wir den Rollwiderstand vernachlässigen, sodass wir die Ungleichung erhalten \begin{array}{rcl}5150&\,>\,&5960+20+3340+12\\ &\,>\,&9332. \end{array}. Somit wird auch für Leerlauf das Schlingern nicht eintreten können. (Schluss folgt.)