Die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Beton- und Betoneisenkonstruktionen. Von Paul Weiske, Diplom-Ingenieur und Kgl. Oberlehrer in Cassel. Die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Beton- und Betoneisenkonstruktionen. I. Einleitung. Im Anschluss an meinen Aufsatz: „Beitrag zur Berechnung der Beton- und Betoneisen-Träger“ (s. D. p. J. 1902, 317, 725) bringe ich in folgendem die Anwendung von Kraft- und Seileck auf die Berechnung der Beton- und Betoneisenkonstruktionen. Zunächst möge auf folgende bekannte Sätze aus der graphischen Statik hingewiesen sein: 1. Zeichnet man zu mehreren Parallelkräften mit beliebigem Pol Kraft- und Seileck, so erhält man das statische Moment der Kräfte in bezug auf eine parallele Achse in der Form: ΣP . x = E . x0 = H . y. Hierbei ist y der Abschnitt der Achse zwischen den beiden äussersten Seilecksseiten (s. Fig. 1). In bezug auf die Schwerpunktsachse des Kräftesystems muss R . x0 = 0 sein, d.h. die Resultierende der Parallelkräfte, bezw. die Schwerpunktsache geht durch den Schnittpunkt der beiden äussersten Seilecksseiten. 2. Das Trägheitsmoment der Parallelkräfte in bezug auf die Schwerpunktsachse erhält die Form: ΣP . x2 = J0.= 2H . F1/ Hierbei ist F1 die von dem Seileck und den äussersten Seilecksseiten eingeschlossene Fläche. In bezug auf die parallele Achse y-y ist das Trägheitsmoment: Textabbildung Bd. 318, S. 769 Fig. 1. \begin{array}{rcl}J&=&J_0+R\cdot {x_0}^2\\ &=& J_0+R\cdot x_0\cdot x_0\\ &=&2\,H\cdot F_1+\frac{2}{2}\cdot H\cdot y\cdot x_0\end{array} Es ist aber \frac{y\cdot x_0}{2} der Inhalt F2 des von den äussersten Seilecksseiten und dem Abschnitt y gebildeten Dreiecks. Daher ist: Jy = 2H(F1 + F2) Diese Sätze werden bei der Berechnung der Beton- und Betoneisenkonstruktionen Anwendung finden. Textabbildung Bd. 318, S. 769 Fig. 2. II. Betonträger ohne Eiseneinlagen. Nach meinem, oben angezogenen Aufsatz ist das Verhältnis n=\frac{E_d}{E_z} eingeführt, welches mit der Beanspruchung des Betonträgers wächst. Hierbei sind Ed und Ez die für denselben Betonquerschnitt konstant anzunehmenden Elastizitätsmodulen auf Druck und Zug. Das Trägheitsmoment des Betonbalkens hat die Form: Jn = J0 + Fz2 + (n – 1) [Jd + Fd . zd2]. Hierbei ist: Jn das Trägheitsmoment für einen bestimmten Wert von n. J0 das Trägheitsmoment des Querschnittes in bezug auf seine Schwerpunktsachse, F der Querschnitt, z der Abstand des Schwerpunktes von der Nullinie, Jd das Trägheitsmoment der Druckzone Fd in bezug auf die eigene Schwerpunktsachse, zd der Abstand des Schwerpunktes der Druckzone von der Nullinie. Der Ausdruck Jn lässt sich mit Hilfe von Kraft und Seileck graphisch konstruieren (Fig. 2). Man setzt die Flächenteile F1 .... bis Fn als Kräfte aneinander und zeichnet mit Hilfe des Poles O im beliebigen Abstand H vom Kräftezug, Kraft- und Seileck. Hierauf reiht man an den Kräftezug in entgegengesetzter Reihenfolge, die mit (n – 1) multiplizierten Kraftgrossen: (n – 1) Fn, (n – 1) Fn – 1 usw. an und verzeichnet mit demselben Pol O ein zweites Kraft- und Seileck im Anschluss an das erste. Die neue entstehende Seillinie wollen wir der Kürze halber die D-Linie nennen. Dieselbe schneidet die Verlängerung von BC im Punkte E. Wendet man die oben angegebenen Sätze aus der graphischen Statik auf die Figur 2 an, so ergeben sich folgende wichtigen Schlüsse: 1) Der Schwerpunkt des Querschnittes liegt auf der Parallelen zu den Kräften durch C. 2) Die Nullinie des Querschnittes ist eine Parallele durch E. Oberhalb dieser Parallelen liegt die Druckzone. 3) Das Trägheitsmoment des Querschnittes in bezug auf die Nullinie ist: Jn = 2H (F1 + F2 + F3) = 2 H . F und zwar ist: 2HF1 = J0 F . z2 = 2H . F2 (n – 1) [Jd + Fd . zd2] d . zd = 2H . F3 Das Trägheitsmoment in bezug auf die zur Schwerpunktsachse parallele Achse y-y ist: Jy = Jn + 2H . F4 4. Das statische Moment des Betonquerschnittes in bezug auf dieselbe Achse ist: S = H . y1 + H . y2 = H(y1 + y2) = H . y. Textabbildung Bd. 318, S. 770 Fig. 3. Hierbei ist Hy1 das statische Moment der Fläche F in bezug auf die y-y Achse, und Hy2 dasjenige der Druckzone in bezug auf dieselbe Achse. Rückt die Achse über den Schwerpunkt nach oben, so haben beide Beträge entgegengesetztes Vorzeichen. In bezug auf die Nullinie sind beide Werte entgegengesetzt gleich, nämlich gleich H. GE. Dieselben heben sich gegenseitig auf. Es ist also H . GE = F . z = (n – 1) Sd und z=\frac{(n-1)\,S_d}{F} wenn Sd das statische Moment der Druckzone in bezug auf die Nullinie ist. Dieser Wert wurde früher durch Rechnung bestimmt. 5. Bei Steigerung der Beanspruchung wächst n. Infolge dessen muss die D-Linie flacher werden, der Schnittpunkt E rückt höher. Die Nullinie rückt bei steigender Beanspruchung nach der Druckseite hin und die Druckzone verkleinert sich. Wenn auch die angewendete Darstellungsweise den Anteil der einzelnen Beträge am Trägheitsmoment Jn klar erkennen lässt, so empfiehlt sich für die Praxis eine kleine Aenderung des Verfahrens durch Verschiebung des Poles O und Aenderung des Kräftezuges. Man wählt als Ausgangspunkt zweier Kräftezüge den Punkt A und senkrecht darüber den Pol O im Abstand H. (s. Fig. 3). Von A aus trägt man auf der einen Seite die Kräfte F1, F2, F3 usw., und auf der anderen Seite die Kräfte nFn, nFn-1, nFn-2, also mit dem n fachen Werte an und verzeichnet mit Hilfe des Poles O zwei Seilecke und zwei Kraftecke. Hierdurch erhält man die D-Linie als Seileck für die Druckzone und die Z-Linie als Seileck für die Zugzone. Beide Linien schneiden sich im Punkte E. Man erkennt sofort folgendes: 1. Durch Punkt E geht die Nullinie des Querschnittes. 2. Das Trägheitsmoment in bezug auf die Nullinie ist Textabbildung Bd. 318, S. 770 Fig. 4. F ist der Flächeninhalt der Figur BEC. Ist der Betonquerschnitt rechteckig, so sind D-Linie und Z-Linie Parabeln mit den Scheiteln in B und C und das Trägheitsmoment bestimmt sich sehr einfach zu: J_n=2\,H\cdot \left(\frac{1}{3}\cdot B\,F\cdot E\,F+\frac{1}{3}\cdot C\,F\cdot E\,F\right)=\frac{2}{3}\cdot H\cdot \overline{B\,C}\cdot \overline{E\,F}. Die Widerstandsmomente für die äussersten Fasern ergeben sich zu: W_z=\frac{J}{B\,F}=\frac{2}{3}\cdot \frac{H\cdot \overline{B\,C}\cdot \overline{E\,F}}{\overline{B\,F}}\mbox{ Zug} und W_d=\frac{2}{3\,n}=\frac{2}{3}\cdot \frac{H\cdot \overline{B\,C}\cdot \overline{E\,F}}{C\,F}\mbox{ Druck} Beispiele: 1. Für ein Rechteck von 10 cm Höhe und 100 cm Breite sind Nullinie, Trägheitsmoment; und die Widerstandsmomente zu bestimmen für die Zustände n = 2, 3 und 4. (Fig. 4). Nach der in Fig. 3 dargestellten Methode sind eine Z-Linie und 3 D-Linien gezeichnet; mit einem Polabstand H = 1000 qcm. Es ergibt sich für n = 2 e_d=4,14,\ e_s=5,86,\ J=2\cdot 1000\cdot \frac{1}{3}\cdot 10\cdot 1,76=11655\mbox{ cm}^4. W_z=\frac{J}{e_x}=\frac{11655}{5,86}=1989\mbox{ cm}^3 und W_d=\frac{J}{n\cdot e_d}-\frac{11655}{2\cdot 4,14}=1408\mbox{ cm}^3. Da für n = 1, W_z=W_d=\frac{100\cdot 10^2}{6}=1666\mbox{ cm}^3 ist, so ist \frac{W_z}{W}=\frac{1989}{1666}=1,19 und \frac{W_d}{W}=\frac{1408}{1666}=0,84. n = 3, ed = 3,66, ez = 6,34. J=2\cdot 1000\cdot \frac{1}{3}\cdot 10\cdot 2,04=13586\mbox{ cm}^4. W_z=\frac{13586}{6,34}=2143\mbox{ cm}^3 und W_d=\frac{13586}{3\cdot 3,66}=1237\mbox{ cm}^3. Es ist also \frac{W_z}{W}=\frac{2143}{1666}=1,29 und \frac{W_d}{W}=\frac{1937}{1666}=0,74. n = 4, ed = 3,33, ez = 6,67. J=2\cdot 1000\cdot \frac{1}{3}\cdot 10\cdot 2,26=14985\mbox{ cm}^4. W_z=\frac{14985}{6,67}=2248\mbox{ cm}^3 und W_d=\frac{14985}{4\cdot 3,33}=1124\mbox{ cm}^3 es ist also \frac{W_z}{W}=\frac{2248}{1666}=1,34 und \frac{W_d}{W}=\frac{1124}{1666}=0,67. Mit den durch Rechnung in D. p. J., 1902, 317, 725, festgestellten zeigt sich eine sehr befriedigende Uebereinstimmung. 2. Für einen Plattenbalken mit den Abmessungen der Figur 5 werden Nullinie, Trägheitsmoment und die Widerstandsmomente gesucht für den Zustand n = 3. Aus Figur 5 ergibt sich ohne weiteres die Konstruktion. Es ist wieder H = 1000 qcm gewählt. Die D-Linie ist eine Parabel, die Z-Linie setzt sich aus 2 Parabelstücken zusammen, weil die Nullinie schon im Plattenteil liegt. Der Beitrag der Druckzone zur J-Fläche ist nach der Parabelformel berechnet, der Beitrag der Zugzone nach der Simpsonschen Regel. F=\frac{h}{3}\,[y_0+4\,y_1+2\,y_2+4\,y_3+....+4\,y_{n-1}+J_n] Textabbildung Bd. 318, S. 771 Fig. 5. dieselbe lautet, für h=\frac{1}{2}\,H, also wenn die Höhe der Fläche halbiert ist: F=\frac{H}{6}\,[y_0+4\,y_m+y_1] hierbei ist y0 Anfangs –, ym Mittel- und y1 Endordinate. Hier ist y0 = 0, folglich ist mit H = 32,5, ym = 2,85, y1 = 11,75 die ganze J-Fläche: F=\frac{1}{3}\cdot 7,5\cdot 11,75+\frac{32,5}{6}\,[4\cdot 2,85+11,75]=29375+125396=154,771\mbox{ cm}^2 und J = 2 H · F = 2 · 1000 · 154,771 = 309542 cm4. Nunmehr ist: W_z=\frac{J}{e_z}=\frac{J}{32,5}=\frac{309542}{32,5}\mbox{ cm}^3=9524\mbox{ cm}^3 und W_d=\frac{J}{n\cdot e_d}=\frac{309542}{3\cdot 7,5}=\frac{309542}{22,5}=13757\mbox{ cm}^3. (Schluss folgt.)