Beanspruchung des Glockenturmes durch die Seitenkräfte der schwingenden Glocke. Von Prof. Dr. K. Schreber, Greifswald. Beanspruchung des Glockenturmes durch die Seitenkräfte der schwingenden Glocke. Jeder schwingende Körper, z.B. ein Pendel oder eine Glocke übt auf sein Lager Seitenkräfte aus, welche unter Umständen von großer Bedeutung werden können. Beim Glockenstuhl haben die Seitenkräfte einen Hebelarm, dessen Länge der Höhe des Turmes nahezu gleich ist, so daß sie ein sehr großes Biegungsmoment ausüben und dadurch den Turm sehr gefährden, zumal wenn noch die Eigenschwingung des Turmes in einfacher Beziehung steht zur Schwingung der Glocke, so daß Resonanzerscheinungen auftreten können. Beim Pendel wird durch diese Seitenkräfte, wenn das Lager nicht sehr fest ist, der Drehpunkt gewissermaßen nach oben verschoben, und dadurch die Schwingungszeit des Pendels vergrößert, so daß, wenn man aus solchen Pendelbeobachtungen die Erdbeschleunigung messen will, man falsche Werte erhält. Die theoretische Mechanik gibt für die Seitenkräfte, welche ein schwingender Körper auf sein Lager ausübt, die Gleichung:vergl. Keck, Mechanik, III, S. 204. H=M\,g\,\frac{s^2}{\varrho^2+s^2}\,(3\,\cos\,\varphi-2\,\cos\,\alpha)\,\sin\,\varphi, . . 1) wo g die Beschleunigung des freien Falles, M die Masse des schwingenden Körpers, also M . g sein Gewicht, s die Entfernung seines Schwerpunktes von der Drehachse, ρ der Trägheitsradius, definiert durch τ = M ρ2, wenn τ das Trägheitsmoment in bezug auf eine durch den Schwerpunkt gehende, der wirklichen Drehachse parallele Achse ist, α die halbe Schwingungsweite und φ der augenblickliche Stellungswinkel ist, beide gezählt von der senkrechten Ruhelage. Definitionsgemäß ist stets α ⋝ φ. Die Gleichung gibt die Seitenkräfte in ihrer Abhängigkeit namentlich vom augenblicklichen Stellungswinkel, sie zeigt, daß diese Kraft in der Ruhelage des Pendels zu Null wird und beim Durchgang durch diese Lage ihr Vorzeichen ändert. Sind die Schwingungsweiten α > 30°, so wird, wie eine einfache mathematische Diskussion der Gleichung 1 zeigt, das Maximum von H auf jeder Seite vor dem Umkehrpunkte erreicht, d.h. während der Stellungswinkel noch weiterhin wächst, nimmt die Kraft schon wieder ab. Die Erfahrung lehrt nun, daß derartige theoretisch abgeleitete Formeln durchaus nicht so in ihrer Bedeutung erfaßt und behalten werden, wenn man sie nicht gleichzeitig durch den anschaulichen Versuch bestätigt. Die durch Gleichung 1 gegebenen Seitenkräfte lassen sich sehr leicht sichtbar machen, wenn man das Pendel so aufhängt, daß der Drehachse kleine wagerechte Verschiebungen gestattet sind. Man erreicht dieses, wenn man die Drehachse an einem recht langen Faden aufhängt und sie in wagerechter Richtung durch gespannte Schraubenfedern festhält. Die durch die Schwingungen des Pendels verursachten Seitenkräfte veranlassen Bewegungen der Drehachse in wagerechter Richtung, wodurch die Kräfte der Federn geändert werden, so daß man umgekehrt aus der Längenänderung der Federn die jedesmaligen Seitenkräfte des schwingenden Körpers messen kann. Die Beobachtung der Längenänderung der Federn macht sich am bequemsten beim Umkehrpunkte des Pendels, weil dann gewissermaßen das Pendel einen Augenblick in Ruhe ist und sich vorher und nachhehr nur sehr langsam bewegt; allerdings muß dann die Schwingungsweite unter 30° bleiben. Bezeichnen wir die Seitenkraft beim Umkehrpunkte mit H1, so erhalten wir, wenn wir gleichzeitig die Konstanten der Gleichung zu einer einzigen zusammenfassen: H'=A\,\sin\,\alpha\,\cos\,\alpha=A\,\frac{\sin\,2\,\alpha}{2} . . . 2) Diese Kraft H1 läßt sich aus den Längenänderungen der wagerechten Schraubenfedern in folgender Weise ableiten. Bezeichnen:   S0 die Spannung der Federn im Ruhezustande,   S1 und S2 die Spannungen der Federn beim Umkehrpunkte des Pendels,    γ1 und γ2 die Belastungen, welche nötig sind, um eine Verlängerung der Federn um 1 mm hervorzubringen, ∆ l1 und ∆ l2 die abgelesene Verlängerung der einen bezw. Verkürzung der anderen Feder, so ist, wenn man die gedehnte Feder mit dem Index 1 bezeichnet: S1 = H' + S2, und daraus nach dem Gesetz der Federdehnung: S0 + γ1 ∆ l1 = H' + S0 + γ2 ∆ l2. Somit erhält man: H' = γ1 ∆ l1 – γ2 ∆ l2. Diese Gleichung vereinfacht sich noch durch die geometrische Bedingung, daß, weil die äußeren Befestigungspunkte der beiden Schraubenfedern während der Schwingungen des Körpers feststehen, die eine Feder sich um ebensoviel dehnt, wie sich die andere zusammenzieht: ∆ l1 + ∆ l2 = 0 Das eingesetzt ergibt endlich: H' = (γ1 + γ2) ∆ l . . . . . 3) Um diese Kraft zu messen, habe ich einen Eisenstab von 1040 mm Länge und 16 mm Durchm. in der Nähe des einen Endes senkrecht zur Achse durchbohrt und durch dieses Loch einen Eisenstift gesteckt, welcher dort, wo der Stab auf ihm ruhte, zu einem dreikantigen Prisma mit nach oben gerichteter Kante zurecht gefeilt war. Der Stift saß in einem kleinen vierseitigen Rahmen, an dessen dem Stift parallelen Seiten die Schraubenfedern eingehängt werden konnten. Aufgehängt war der Stift und damit das Pendel an einem über 1 m langen Faden. An dem Stift war vorn eine kleine Drahtspitze befestigt, welche auf einem wagerecht darunter gelegten Maßstab einspielte, so daß sich die Umkehrpunkte des Stiftes bei den Hin- und Herbewegungen des Pendels sehr bequem ablesen ließen. Den Anschlagwinkel des Pendels beobachtete ich an einem unter ihm liegenden zweiten wagerechten Maßstab, indem ich das Auge ungefähr in die Höhe des das Pendel tragenden Stiftes brachte und dann am Eisenstab entlang nach dem Maßstab visierte. Ich las also eine Strecke ab, aus der man die geometrische Tangente des Ausschlagwinkels erhält, wenn man die Verschiebung des Stiftes und die halbe Dicke des Stabes abzieht. Ich versetzte das Pendel in Schwingungen von passender Weite, ungefähr 25° und ließ dann durch die Dämpfung die Schwingungen abnehmen. Jedesmal, wenn der Zeiger an der Achse des Pendels auf einen Teilstrich seines Maßstabes zeigte, machte ich eine Ablesung des Gesamtausschlages am unteren Maßstab und zwar in der einen Versuchsreihe Ausschläge nach rechts, in der zweiten sonst genau gleichen nach links. Diese Ausschläge sollen natürlich in beiden Reihen einander gleich sein. Die in der Tabelle sich zeigenden Unterschiede geben ein Maß für die Genauigkeit der Methode, welche unter Berücksichtigung ihrer Einfachheit als sehr groß bezeichnet werden muß. Nach Gleichung 3 ist die Ausschlagweite ∆ l des Stiftes von der Anfangsspannung S0 der Federn unabhängig. Ich habe das an zwei Versuchen gezeigt, bei denen dieselben Federn das eine Mal die Anfangsspannung 0,9 kg, das andere Mal 1,6 kg, also nahe das Doppelte hatten. Die Ergebnisse dieser beiden Beobachtungen sind in der folgenden Zusammenstellung enthalten. In ihr gibt die Reihe:     e den Ausschlag der Drehachse in mm,   H' die daraus mit γ1 + γ2 = 0,0235 berechnete Kraft, tg αrr ... die Tangenten der Ausschlagswinkel und zwar α1 nach rechts, α' nach links, bei der Spannung 0,9 kg, α'' bei 1,6 kg, 2\,\sin\,\frac{\alpha}{2} der dem Mittel aus den vier Reihen tg α entsprechende Wert dieser Funktion,    A die Konstante der Gleichung 2 berechnet aus den Spalten H' und 2\,\sin\,\frac{\alpha}{2}. Zahlenzusammenstellung 1. e H' tg α'r tg α'1 tg α''r tg a''1 2\,\sin\,\frac{\alpha}{2} A 16 0,376 0,383 0,374 0,381 0,385 0,353 1,07 15 0,353 0,355 0,352 0,340 0,351 0,335 1,05 14 0,329 0,324 0,319 0,317 0,324 0,310 1,06 13 0,306 0,299 0,301 0,294 0,306 0,290 1,06 12 0,282 0,276 0,273 0,268 0,268 0,264 1,07 11 0,259 0,252 0,244 0,247 0,240 0,240 1,08 10 0,235 0,229 0,221 0,219 0,229 0,220 1,07   9 0,212 0,206 0,198 0,196 0,193 0,195 1,08   8 0,188 0,173 0,178 0,173 0,175 0,173 1,09   7 0,165 0,157 0,153 0,149 0,150 0,151 1,09   6 0,141 0,133 0,128 0,121 0,128 0,127 1,11   5 0,118 0,113 0,110 0,108 0,111 0,110 1,07   4 0,094 0,094 0,086 0,082 0,086 0,087 1,08 ––––––   1,075 Man erkennt ohne weiteres, daß die vier Werte des Ausschlagwinkels innerhalb der Genauigkeit der Beobachtungen gleich sind. Die Anfangsspannung der Federn ist also auf den Ausschlag ohne Einfluß. Der mit dem Mittel aus den Ausschlägen berechnete Wert A ergibt sich der Theorie entsprechend als unabhängig von α. Nimmt man kräftigere Federn, so erhält man, wie die nachfolgende Zusammenstellung 2, welche ebenso eingerichtet ist wie 1, zeigt, dieselbe Bestätigung der Formeln 2 und 3. Der Wert (γ1 + γ2) war hier 0,0300. Zahlenzusammenstellung 2. e H tg αr tg α1 2\,\sin\,\frac{\alpha}{2} A 13 0,390 0,377 0,378 0,359 1,09 12 0,360 0,329 0,330 0,317 1,13 11 0,330 0,301 0,303 0,292 1,13 10 0,300 0,273 0,270 0,264 1,13   9 0,270 0,240 0,246 0,238 1,13   8 0,240 0,212 0,209 0,208 1,15   7 0,210 0,184 0,181 0,181 1,16   6 0,180 0,156 0,152 0,153 1,18   5 0,150 0,132 0,131 0,131 1,15   4 0,120 0,106 0,101 0,104 1,15 ––––   1,140 Der Vergleich beider Zusammenstellungen zeigt aber, daß der Mittelwert von A in ihnen verschieden ist. Würde das Lager vollkommen starr sein, wie es die Theorie voraussetzt, so müßte die Konstante A, da das Gewicht der Stange 1,66 kg wiegt und die Drehachse von dem Ende um 22 mm entfernt ist, die Konstante den Wert A = 1,22 haben. Weil aber in den Versuchen die Drehachse den auf ihr einwirkenden Kräften nachgeben kann, und zwar bei den schwächeren Federn mehr als bei den kräftigeren der zweiten Zusammenstellung, so muß auch die Abweichung vom theoretischen Wert der Konstante A im ersten Versuch größer sein als im zweiten. Je mehr das Lager starr wird, um so näher liegt der aus den Beobachtungen folgende Wert von A dem theoretischen. Dasselbe erhält man bei Beobachtung der Schwingungszeiten. Als Mittel aus einer größeren Zahl von Beobachtungen erhielt ich für die Schwingungszeit bei Benutzung der weicheren Federn 0,858 Sek., bei Benutzung der härteren 0,850, während die Theorie bei vollkommen starrem Lager 0,828 verlangt. Auch hier erkennt man, daß sich die beobachteten Werte den theoretisch berechneten umsomehr nähern, je starrer das Lager der Drehachse ist. Bei sehr empfindlichen Beobachtungen der Schwingungszeit, wie sie angestellt werden, um die Verschiedenheit der Beschleunigung des freien Falles an den verschiedenen Orten der Erde festzustellen, muß man also sich sehr genau vergewissern, ob das Lager der von der Theorie geforderten Starrheit hinreichend genügt. Da die Schwingungszeit eines physischen Pendels, wenn man die Achse, um welche es schwingen kann, vom oberen Ende allmählich bis zum Schwerpunkt heruntersinken läßt, zunächst kleiner wird, bis ein Minimum erreicht ist, dann aber wieder zunimmt, so kann man dieselbe Schwingungszeit, welche eine Kirchenglocke hat, wenn sie wie gewöhnlich um eine am Helm befestigte gerade Achse schwingt, auch erreichen, wenn man, wie es z.B. der Dresdener Glockengießer Bierling tut, die Achse in ihrer Mitte stark nach oben biegt, und den Helm der Glocke in der oberen Biegung befestigt. Die Glocke schwingt dann um eine Achse, welche dem Schwerpunkt bedeutend näher liegt. Die Folge davon ist, daß dann zunächst das Drehmoment ein bedeutend kleineres ist, daß man also dieselbe Winkelgeschwindigkeit mit einer bedeutend schwächeren Kraft erzielt. Mit anderen Worten, die Glocke läßt sich viel leichter läuten. Die zweite Folge ist, daß auch die Lager bedeutend weniger von Seitenkräften beansprucht werden. In Gleichung 1 kommt zwar die Entfernung s der Drehachse vom Schwerpunkt im Zähler und Nenner vor, da aber im Nenner noch der Trägheitsradius vorkommt, welcher im allgemeinen von derselben Größenordnung ist, so ist der Einfluß der Abnahme von s im Zähler größer als im Nenner, d.h. bei einem nach dieser Methode aufgehängten schwingenden Körper ist die Konstante A kleiner. Um das zu prüfen, habe ich in meinem Eisenstab in 220 mm Entfernung vom Ende ein zweites Loch gebohrt und dann dieselben Beobachtungen unter Benutzung der weicheren Federn angestellt. Der Ergebnis ist in der folgenden Zusammenstellung gegeben: Zahlenzusammenstellung 3. e H tg αr tg α1 2\,\sin\,\frac{\alpha}{2} A 12 0,282 0,427 0,400 0,71 11 0,259 0,374 0,357 0,73 10 0,235 0,339 0,350 0,330 0,71   9 0,212 0,300 0,302 0,291 0,73   8 0,188 0,261 0,265 0,258 0,73   7 0,165 0,229 0,226 0,223 0,74   6 0,141 0,190 0,190 0,189 0,74   5 0,118 0,161 0,161 0,160 0,74   4 0,094 0,127 0,127 0,126 0,75   3 0,071 0,096 0,096 0,096 0,74 ––––   0,732 Die Theorie verlangt als Verhältnis der Konstanten den Wert 1,47; die mit den gleichen Federn angestellten Versuche 1 und 3 ergeben genau dasselbe Verhältnis der Konstanten, so daß damit auch dieser Teil der Gleichung 1 durch den Versuch betsätigt ist. So manche Glocke, welche jetzt aus Rücksicht auf die Festigkeit und Sicherheit des Turmes nicht geläutet werden darf, würde durch diese Aufhängung brauchbar werden.