Temperaturspannungen in einem geraden und gekrümmten Stab. Von Dr.-Ing. Max Ensslin-Stuttgart. Temperaturspannungen in einem geraden und gekrümmten Stab. Auf Grund der nachfolgenden Berechnungen soll später der Versuch gemacht werden, Anhaltspunkte über die Temperaturspannungen in Gasmaschinenkolben zu gewinnen. Aus naheliegenden Gründen, die schon in D. p. J. 1907, S. 705 erwähnt sind, wird ein lineares Gesetz für die Temperaturverteilung in Richtung der Querschnittshöhe angenommen. Es ändere sich die Temperatur des ganzen Stabes um ∆ Tm; und überdies werde eine Stabschicht im Abstand ± λ von der Nullachse des Querschnitts um \pm\,\frac{\lambda}{h/2}\,\cdot\,\Delta\,T über die Temperatur der Mittelschicht erwärmt bezw. abgekühlt, so daß die Gesamterwärmung im Abstand λ ist: T-T_0=\Delta\,T_m\,\pm\,\frac{\lambda}{h/2}\,\cdot\,\Delta\,T . . . . 1) Es genügt symmetrische Querschnitte zu betrachten; es kommt später ausschließlich der Rechteckquerschnitt in Frage. Gerader Stab. Infolge der gleichmäßigen Erwärmung des l cm langen Stabes um ∆ Tm verlängert er sich um: ∆ l = αw . l ∆ Tm. Infolge der ungleichen Erwärmung biegt sich der Stab, da sich die Stabschichten auf der einen Seite der Schwerpunktsschicht verlängern, auf der anderen verkürzen. Betrachten wir in Fig. 1 ein Stabelement zwischen zwei um d x abstehenden Querschnitten vor der Erwärmung, so wird die ursprüngliche Länge d x im Abstand ± λ von der Schwerpunktsschicht vermehrt bezw. vermindert um \pm\,\alpha_w\,\cdot\,d\,x\,\cdot\,\frac{\lambda}{h/2}\,\cdot\,\Delta\,T. Textabbildung Bd. 323, S. 129 Fig. 1. Man erkennt ohne weiteres, daß die Querschnitte sich gegeneinander neigen und eben bleiben. Die einzelnen Stabelemente, die sich untereinander gleich verhalten, fügen sich zwanglos aneinander. Der Stab biegt sich, ohne daß Spannungen in ihm entstehen. Der Krümmungsradius ρT der elastischen Linie des im übrigen unbelasteten Stabes ergibt sich aus zwei ähnlichen Dreiecken der Fig. 1 zu: \frac{d\,x}{\varrho_T}=\alpha_w\,d\,x\,\frac{\Delta\,T}{\frac{h}{2}} \frac{1}{\varrho_T}=\alpha_w\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h/2} . . . . 2) Die gleiche Krümmung kann man sich durch ein fingiertes Kräftepaar Mt hervorgebracht denken, für das nach einer bekannten Gleichung der Biegungslehre gerader Stäbe ist: \frac{1}{\varrho_T}=\alpha\,\frac{M_T}{\Theta}, wobei α der Dehnungskoeffizient und Θ das Trägheitsmoment. Durch Gleichsetzen folgt. M_T=\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{\Delta,T}{h/2}\,\cdot\,\Theta. Benutzt man die bekannten Formeln für die Durchbiegung eines einseitig eingespannten geraden Stabes von unveränderlichem Querschnitt und Länge l (vergl. Lehroder Taschenbücher), so ist infolge der ungleichen Erwärmung die Durchbiegung des freien Stabendes: y'=\frac{\alpha}{\Theta}\,\frac{M_T\,\cdot\,l^2}{2}=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\cdot\,l^2 . . . 3) und die Neigung des freien Stabendes gegen die Einspannungstangente: \varphi=\frac{\alpha}{\Theta}\,M_T\,\cdot\,l=\alpha_w\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h/2}\,\cdot\,l. . . . 3) Die Durchbiegung durch äußere Kräfte addiert sich algebraisch zu dieser Durchbiegung infolge ungleicher Erwärmung. Im Fall vollkommener Einspannung der Stabenden ergibt sich z.B. offenbar keine Durchbiegung, aber außen im Abstand \lambda=\pm\,\frac{h}{2} eine größte Biegungsspanuung von \pm\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T genau wie bei vollständig gehinderter linearer Wärmeausdehnung, wie das ja hier im Wesen der Sache liegt. Vergleich von geradem Stab und ebener Kreisplatte. Zieht man die Ergebnisse heran, die in dem Aufsatz: Temperaturspannungen in einer kreisförmigen Platte D. p. J. 1907, Heft 46, mitgeteilt wurden, so erhält man folgende Gegenüberstellung, wobei angenommen ist, daß äußere Kräfte nicht vorhanden sind: Einseitig einge-spannter StabLänge l. Höhe h, Breite 1 KreisplatteRadius r. Dicke h Durchbiegung \alpha_w\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\cdot\,l^2 \alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\cdot\,r^2 Neigung außen \alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h/2}\,l \alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h/2}\,r also für l = r gleiche Größe der Durchbiegung und Neigung. Temperaturspannungen treten hierbei weder in Stab noch Platte auf. Wirkt dagegen ein Biegungsmoment im freien Stabende bezw. über den Plattenrand gleichmäßig verteilte Biegungsmomente, die den Stab bezw. die Platte an der Durchbiegung hindern, so ist einerseits die Neigung außen am Stab bezw. an der Platte gleich Null, andererseits entsteht eine größte Biegungsspannung im Stab:\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T, in der Platte\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\Delta\,T. Bei gleich großer Durchbiegung entstehen also in der Platte größere Spannungen, die zudem in zwei aufeinander senkrechten Richtungen in gleicher Größe tätig sind. Gekrümmter Stab. Die Stabmittellinie sei eine ebene Kurve; der Querschnitt ein Rechteck von Höhe h und Breite 1. a) Gleichmäßige Erwärmung des ganzen Stabes um ∆ Tm. Wir grenzen ein Stabelement durch zwei den Winkel dφ einschließende Querschnitte ab (Fig. 2). Die Länge einer Materialschicht im Abstand + λ von der Mittelschicht ist: vor der Erwärmung: (r + λ) dφ, nach „           „ (r + λ) dφ + αw . (r + λ) dφ . ∆Tm somit die Verlängerung: αw . (r + λ) dφ . ∆Tm +  αw . λdφ . ∆ Tm = αw . r . dφ . ∆ Tm + αw . λdφ . ∆ Tm Textabbildung Bd. 323, S. 130 Fig. 2. Ist der eine Querschnitt in Fig. 2 festgehalten, so wird dem letzten Ausdruck zufolge der andere Querschnitt fürs erste um αw . r . dφ . ∆ Tm parallel verschoben, fürs zweite neigt er sich gegen seine ursprüngliche Stellung um den ∡ ∆ ψ, dessen Größe man aus Fig. 2 leicht ablesen kann; er ist ∆ ψ = αw .  ∆ Tm . dφ Eine einfache Ueberlegung ergibt, daß der verschobene und geneigte Querschnitt in seiner Verlängerung durch M geht. ∆ ψ ist die Aenderung des ursprünglichen Winkels dφ; die Aenderung der Winkeleinheit, die spezifische Winkeländerung ω1 ist somit \omega_1=\frac{\Delta\,\psi}{d\,\varphi}=\alpha_w\,\cdot\,\Delta\,T_m. . . . 4) Die Mittellinie hatte ursprünglich die Länge r d φ; infolge der Erwärmung nimmt diese um αw . r . dφ . ∆ Tm zu; die Dehnung ε01 der Mittellinie ist \varepsilon_{01}=\frac{\alpha_w\,\cdot\,r\,\cdot\,d\,\varphi\,\cdot\,\Delta\,T_m}{r\,d\,\varphi}=\alpha_w\,\cdot\,\Delta\,T_m . . . 5) Aus dem oben angeschriebenen Ausdruck für die Verlängerung einer Stabschicht im Abstand λ folgt, daß die Querschnitte des Stabelementes eben bleiben, wenn es durchweg um ∆ Tm erwärmt wird. Alle Elemente, die sich ebenso verhalten, können somit spannungslos aneinander gefügt werden: Ein gekrümmter Stab, der gleichmäßig erwärmt wird, wird längs seiner Mittellinie gedehnt, ohne daß seine ursprüngliche Krümmung geändert wird. Spannungen entstehen dabei nicht, sofern keine äußeren Kräfte wirken. Nachdem die Dehnung ε01 der Mittellinie und die spezifische Winkeländerung ω1 eines beliebigen Stabelements in Gleichung 5 und 4 ausgedrückt sind, läßt sich die Gesamtformänderung des gekrümmten Stabes, der gleichmäßig erwärmt wird, leicht angeben auf Grund bekannter Formeln über die Formänderung dieser Körper. Ist ein solcher in O eingespannt (Fig. 5)siehe später. und macht man die Einspannungstangente zur y-Achse und die Einspannungsnormale zur x-Achse, zählt man ferner den Winkel φ zwischen der x-Achse und einem beliebigen Stabquerschnitt im Punkt (x, y) in der aus Fig. 5vergl. weiter unten. ersichtlichen Weise, so kommt ein Punkt C, bestimmt durch xc yc und φc infolge der Formänderung nach xc + ∆ xc, yc + ∆ yc und der Winkel φc wird zu φc + ∆ φc, gemäß folgenden Gleichungen, die in den Lehrbüchern der Elastizität und Festigkeit von E. Winkler (Kap. 40), Grashof (Kap. 3 B). C Bach (Abschn. 5) hergeleitet sind: \Delta\,x_c=y_c\,\int_0^{\varphi_c}\,\omega\,d\,\varphi-\int_0^{\varphi_c}\,y\,\omega\,d\,\varphi+\int_0^{x_c}\,\varepsilon_0,d\,x \Delta\,y_c=-x_c\,\int_0^{\varphi_c}\,\omega\,d\,\varphi+\int_0^{\varphi_c}\,x\,\omega\,d\,\varphi+\int_0^{y_c}\,\varepsilon_0,d\,y \Delta\,\varphi_c=\int_0^{\varphi_c}\,\omega\,d\,\varphi b) Ungleiche Erwärmung in Richtung der Querschnittshöhe nach einem linearen Gesetz. Eine Stabschicht im Abstand λ von der Neutralachse hat vor der Temperaturänderung die Länge (r + λ) dφ, nach der Temperaturänderung (r+\lambda)\,d\,\varphi+\alpha_w\,\cdot\,(r+\lambda)\,d\,\varphi\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h/2}\,\cdot\,\lambda die Verlängerung ist also \alpha_w\,(r+\lambda)\,d\,\varphi\,\cdot\,\lambda\,\frac{\Delta\,T}{h/2}=\alpha_w\,\cdot\,r\,d\,\varphi\,\lambda\,\frac{\Delta\,T}{h/2}+\alpha_w\,\lambda^2\,d\,\varphi\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h/2}. Die Querschnitte des Elements würden sich hiernach parabolisch krümmen, wenn es in der beschriebenen Weise ungleich erwärmt und kein Zwang auf das Element ausgeübt würde. Diese Krümmung des Querschnitts ist in Fig. 3 angedeutet. Man erkennt, daß andere Stabelemente, die sich ebenso verhalten, nicht mehr zwanglos sich aneinanderfügen, es muß vielmehr im mittleren Teil des Querschnitts Zug, und beiderseits davon Druck entstehen. Wie sich die Spannungen über die Querschnitte verteilen, hängt von dem Verhalten dieser Querschnitte bei der Formänderung ab. Das einfachste ist anzunehmen, daß die Querschnitte eben bleiben. Daß dies bei einem freien Endquerschnitt nicht zutrifft, ist klar; die Annahme kann bestenfalls erst in einiger Entfernung von einem freien Endquerschnitt erfüllt sein, oder man müßte als weitere Annahme hinzufügen, daß der Endquerschnitt eine unnachgiebige Deckplatte trage, die ihn zwingt, eben zu bleiben. Die Dehnung ε' im Abstand λ von der Schwerpunktsschicht eines gekrümmten Stabes ist nun, wie in der Lehre von der Biegung solcher Stäbe gezeigt wird, unter der Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte; \varepsilon'=\varepsilon_0+(\omega-\varepsilon_0)\,\frac{\lambda}{r+\lambda} . . . 7) worin ε0 die Dehnung der Schwerpunktsschicht und ω die spezifische Winkeländerung bedeutet. Textabbildung Bd. 323, S. 131 Fig. 3.Element eines krummen Stabes bei Erwärmung nach Gl. 1 [mit ∆ Tm = 0] und nicht gehinderter Wärmeausdehnung. Zu der Temperaturdehnung εT kommt nun die von einer Spannung σ herrührende Dehnung ε hinzu, wodurch der infolge ungleicher Temperaturverteilung gewölbte Querschnitt gezwungen wird, eben zu bleiben und wodurch die resultierende Dehnung ε' entsteht (vergl. hierzu D. p. J. 1907, S. 705). Man hat so: ε' = ε + εT . . . . . 8) Die Spannung σ ist der Dehnung ε, die durch jene hervorgerufen wird, proportional, ε = α . σ . . . . 9) da nur eine Normalspannung in dem gekrümmten Stab tätig ist in Richtung der Tangente an die Stabachse bezw. weil die dazu senkrechte Radialspannung verschwindend klein ist gegenüber der ersteren. Die Temperaturdehnung εT im Abstand λ ist: \varepsilon_T=\frac{\mbox{Verlängerung durch Temperaturzunahme}}{\mbox{Ursprüngliche Länge}} oder mit den oben stehenden Werten \varepsilon_T=\frac{\alpha_w\,\cdot\,(r+\lambda)\,d\,\varphi\,\cdot\,\lambda\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h/2}}{(r+\lambda)\,d\,\varphi}=\alpha_w\,\cdot\,\lambda\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h/2} 10) Durch Einsetzen von Gleichungen 7, 9 und 10 in 8 erhält man: \varepsilon_0+(\omega-\varepsilon_0)\,\frac{\lambda}{r+\lambda}=\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h/2}\,\cdot\,\lambda+\alpha\,\cdot\,\sigma, woraus: \sigma=\frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_0+(\omega-\varepsilon_0)\,\frac{\lambda}{r+\lambda}-2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\cdot\,\lambda\right] . . 11) Diese Gleichung gibt Aufschluß über die Spannungsverteilung; sie ist aber noch mit den Unbekannten ε0 und w behaftet, die aus der Erwägung bestimmt werden, daß der gekrümmte Stab, wenn er durch keine äußeren Kräfte belastet ist, in keinem Querschnitt einen resultierenden Zug, Druck oder Schub oder ein resultierendes Biegungsmoment aufweist. Daher ist \left.{{P=\int_{\lambda=-\frac{h}{2}}^{\lambda=+\frac{h}{2}}\,\sigma\,d\,f=0}\atop{M_b=\int_{\lambda=-\frac{h}{2}}^{\lambda=+\frac{h}{2}}\,\sigma\,\cdot\,\lambda\,\cdot\,d\,f=0}}\right\} . 12) Man setzt Gleichung 11 in 12 ein und beachtet, daß bei der Integration, die über einen Querschnitt hin zu erfolgen hat, ε0 und ω konstant sind; dann wird: \left.{{0=\frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_0\,\int\,d\,f+(\omega-\varepsilon_0)\,\int\,\frac{\lambda}{r+\lambda}\,d\,f-2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\int\,\lambda\,d\,f\right]}\atop{0=\frac{1}{\alpha}\,\left[\varepsilon_0\,\int\,\lambda\,d\,f+(\omega-\varepsilon_0)\,\int\,\frac{\lambda^2}{r+\lambda}\,d\,f-2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\int\,\lambda^2\,d\,f\right]}}\right\} 13) Nun ist zwischen \lambda=+\frac{h}{2} und \lambda=-\frac{h}{2} \int\,d\,f=F\ \ \int\,\lambda\,d\,f=0\ \ \int\,\lambda^2\,d\,f=\Theta \int\,\frac{\lambda}{r+\lambda}\,d\,f=-x\,F\ \ \int\,\frac{\lambda^2}{r+\lambda}\,d\,f=x\,F\,r, womit Gleichung 12 gibt: 0 = ε0 F – (ω – ε0) x F 0=+(\omega-\varepsilon_0)\,x\,F\,r-2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\cdot\,\Theta. Hieraus erhält man für die Unbekannten ω und ε0: \left.{{\varepsilon_0=2\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\frac{\Theta}{F\,r}\ \ \ \ }\atop{\omega=2\,\frac{1+x}{x}\,\alpha_w\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\frac{\Theta}{F\,r}}}\right\} . . . 14) Setzt man Gleichung 14 in 11 ein, so erhält man für die Spannungsverteilung über den Querschnitt eines gekrümmten Stabes, der in Richtung seiner Querschnittshöhe nach einem linearen Temperaturverteilungsgesetz (Gleichung 1) erwärmt wird unter Konstanz der Temperatur der Schwerpunktsschicht \sigma=2\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\frac{\Delta\,T}{h}\,\left[\frac{\Theta}{F\,r}+\frac{\Theta}{x\,F\,r}\,\cdot\,\frac{\lambda}{r+\lambda}-\lambda\right] . . 15) Die beiden Abstände λ1 und λ2, denen σ = 0 ist, folgen aus Gleichung 15 mit σ = 0 und werden erhalten aus der quadratischen Gleichung: \lambda^2+\left(r-\frac{x+1}{x}\,\cdot\,\frac{\Theta}{F\,\cdot\,r}\right)\,\lambda-\frac{\Theta}{F}=0 . . . 16) Beispiel: Ein Gasmaschinenkolben hat einen ebenen, 4 cm starken Boden, der mit einer Hohlkehle von 10 cm Krümmungshalbmesser in den Kolbenmantel übergeht. Im Anschluß hieran werde ein nach einem Kreisbogen von 10 cm Halbmesser gekrümmter Stab mit einem Reckteckquerschnitt von 4 cm Höhe und 1 cm Breite betrachtet, dessen Schwerpunktsschicht auf der ursprünglichen Temperatur T0 verbleibt, während die äußeren Schichten (+ λ) erwärmt, die inneren (– λ) abgekühlt werden nach dem linearen Gesetz T-T_0=\pm\,\lambda\,\frac{\Delta\,T}{\frac{h}{2}}=\pm\,\lambda\,\frac{\Delta\,T}{2}. Es ist h = 4 cm, b = 1 cm, r = 10 cm Krümmungshalbmesser der Mittellinie, daher F = 4 qcm \Theta=\frac{b\,h^3}{12}=\frac{16}{3}=5,33 \frac{\Theta}{F}=\frac{4}{3}=1,33\ \ x=-1+\frac{r}{h}\,l\,n\,\frac{2\,r+h}{2\,r-h}=0,01366 \frac{1}{x}=73,2\ \ \frac{1+x}{x}=74,2. Die Spannungsverteilung über einen Querschnitt folgt aus Gleichung 15 und 16. Abstand vom Schwerpunkt: λ = + 2 + 1,5 + 1,105 + 0,5 ± 0 – 0,5 – 1,205 – 1,5 – 2; Spannung: \sigma=-0,12-0,047\,\pm0+0,049+0,067+0,06 \pm0-0,045-0,153\,\cdot\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T Die Spannungsverteilung ist in Fig. 4 bildlich dargestellt. Textabbildung Bd. 323, S. 132 Fig. 4. Für Stahlguß ist \frac{\alpha_w}{\alpha}=\mbox{rd.}\,\frac{2200000}{80000}\,\sim\,27. Für Gußeisen ist \frac{\alpha_w}{\alpha}=\mbox{rd.}\,\frac{1000000}{90000}\,\sim\,11. Zur Uebersicht sind in der folgenden Tabelle die Spannungen σa σi σm außen und innen an der Krümmung und in der Mitte des Querschnitts zusammengestellt, wenn die Außen- bezw. Innenseite um ∆ T = 20, 40, 60° C über die Mittelschicht erwärmt bezw. abgekühlt sind und die Temperaturverteilung einem linearen Gesetz folgt. Gußeisen Stahlguß ∆ T = 20 40 60 20 40 60 °C σa   = – 26,4 – 52,8 – 79,2 – 65 – 130 – 194 kg/qcm σm   = + 14,7 + 29,4 + 43,2 + 36 +   72 + 108 „ σi    = – 33,6 – 67,2 100,8 – 82,6 – 165 – 248 „ Die Formänderung. Es ist vorerst zu schwierig, das Verhalten eines gewölbten oder auch ebenen Bodens mit angeschlossener Hohlkehle bei ungleicher Erwärmung in Richtung der Dicke rechnerisch zu verfolgen. Man muß sich zunächst mit der Annäherung begnügen, einen diametralen Streifen des Bodens von der Breite 1 als Stab zu betrachten, der allerdings – vornehmlich in der Krümmung – sich erheblich anders verhalten wird als die gewölbte Wand der Hohlkehle. Dabei kommt die Aufgabe vor: die Formänderung eines gekrümmten Stabes anzugeben, der aus zwei Kreisbögen von verschiedenem Krümmungshalbmesser zusammengesetzt ist (vergl. Fig. 5). Für die Ausrechnung ist es bequem, die Formänderung der beiden Bögen für sich getrennt zu ermitteln und zwar bei einem Bogen in Bezug auf das (x, y) Koordinatensystem mit Ursprung O, bei dem anderen in Bezug auf das (x', y')-System mit Ursprung O'. Dabei sind O und O' jeweils als feste Einspannungsstellen gedacht und die Einspannungstangente zur y-bezw. y'-Achse, die Einspannungsnormale zur x-bezw. x'-Achse gewählt. Schließlich ist die Gesamtverschiebung des Endpunktes D anzugeben, unter Berücksichtigung der Tatsache, daß sich das (x', y')-System gegen das (x, y)System bei der Formänderung verschiebt und dreht. Es ist also eine Koordinatentransformation vorzunehmen. Textabbildung Bd. 323, S. 132 Fig. 5. In Fig. 5 sei φc der Winkel zwischen x und x'-Achse vor der Formänderung; xc und yc, xd und yd die Koordinaten von C und D in bezug auf das (x y)-System; x'd und y'd die Koordinaten von D in bezug auf das (x' y')-System. Aus Fig. 5 liest man ab; xd = xc + y'd . sin φc + x'd . cos φcyd = yd + y'd . cos φc – x'd . sin φc 17) Nach der Formänderung befindet sich (xc yc) in (xc + ∆ xc, yc + ∆ yc) (xd yd) in (xd + ∆ xd, yd + ∆ yd) (x'd y'd) in (x'd + ∆ x'd, y'd + ∆ y'd) und der ∡ φc wird zu φc + ∆ φc             ∡ φ'd  „    „ φ'd + ∆ φ'd, dann ist: x d y d + ∆ xd = xc + ∆ xc+ y'd + ∆ y'd) sin (φc + ∆ φc)+ (x'd + ∆ x'd) cos (φc + ∆ φc)+ ∆ yd = yc + ∆ yc+ y'd + ∆ y'd) cos (φc + ∆ φc)– (x'd + ∆ x'd) sin (φc + ∆ φc) 18) Weil tatsächlich nur sehr kleine Formänderungen in Betracht kommen, so ist ∆ φc klein und man kann setzen sin ∆ φc = ∾ φc und cos ∆ φc = ∾ 1; damit wird (sin φc + ∆ φc) = sin φc cos ∆ φc + cos φc sin ∆ φc                       = sin φc + ∆ φc . cos φc cos (φc + ∆ φc) = cos φc cos ∆ φc – sin φc sin ∆ φc                       = cos φc – ∆ φc . sin φc. Hiermit und mit Vernachlässigung der Produkte zweier sehr kleiner Größen gegenüber von solchen von höherer Größenordnung erhält man aus Gleichung 18: x d y d + ∆ xd = xc + ∆ xc + y'd sin φc+ y'd . ∆ φc . cos φc + ∆ y'd . sin φc + x'd . cos φc– x'd . ∆ φc . sin φc + ∆ x'd . cos φc+ ∆ yd = yc + ∆ yc + y'd cos φc– y'd . ∆ φc . sin φc + ∆ y'd . cos φc – x'd . sin φc– x'd . ∆ φc . cos φc – ∆ x'd . sin φc 18a) Subtrahiert man Gleichung 17 von 18a, so erhält man für die Gesamtverschiebung des Punktes D mit ursprünglich (xd yd): ∆ xd∆ yd = ∆ xc + y'd . ∆ φc cos φc + ∆ y'd . sin φc– x'd . ∆ φc sin φc + ∆ x'd . cos φc= ∆ yc + y'd . ∆ φc . sin φc + ∆ y'd . cos φc– x'd . ∆ φc . cos φc – ∆ x'd . sin φc∆ φd = ∆ φc + ∆ φ'd=\int_{\varphi=0}^{\varphi=\varphi_c}\,\omega\,\cdot\,d\,\varphi+\int_{\varphi'=0}^{\varphi'={\varphi'}_d=\frac{\pi}{2}-\varphi_c}\,\omega'\,d\,\varphi' 19) Ist in einem besonderen Fall das Stück OC in Fig. 5 gerade, so ist φc = 0, womit sin φc = 0 und cos φc = 1 wird; ∆ xc bedeutet dann die Durchbiegung und ∆ yc die Verlängerung des geraden Stabstücks in C und ∆ φc die Neigung der elastischen Linie ebenda. Gleichung 19 wird: ∆ xd = ∆ xc + y'd . ∆ φc + ∆ x'd∆ yd = ∆ yc + y'd . ∆ φc + ∆ y'd∆ φd = ∆ φc + ∆ φ'd = ∆ φc + ∫ω' d φ' 19a) Zusammenfassung. Die Temperatur ändere sich in Richtung der Stabdicke nach einem linearen Gesetz, dann gilt folgendes: 1. Ein gerader Stab, an dem keine äußeren Kräfte angreifen, „wirft sich“, ohne daß in ihm Temperaturspannungen entstehen. Bei konstantem Stabquerschnitt krümmt sich der Stab nach einem Kreisbogen. 2. Eine ebene Kreisplatte, deren Halbmesser gleich der Stablänge und die keine äußere Last trägt, deformiert sich genau ebenso wie der gerade Stab. Bei gehinderter Deformation entstehen unter sonst gleichen Umständen in der Kreisplatte größere Spannungen als im geraden Stab. 3. Ein von Anfang an krummer Stab, der von äußeren Kräften nicht belastet ist, ändert seine Krümmung, es entstehen in ihm Wärmespannungen, die den mittleren Teil des Querschnittes auf Zug, die äußeren Teile auf Druck beanspruchen. (Ueber die Wirkung und Wahrscheinlichkeit anderer Temperaturverteilung folgt später Mitteilung.) Wird ein gekrümmter Stab durchweg gleichmäßig erwärmt, so verlängert er sich in Richtung seiner Mittellinie; die ursprüngliche Krümmung wird nicht geändert, Temperaturspannungen treten nicht auf, sofern die Wärmeausdehnung durch äußere Kräfte nicht gehindert ist.