Erwärmung von Motoren bei aussetzendem Betrieb. Von Dipl.-Ing. Alexander Brückmann, Frankfurt a. M. Erwärmung von Motoren bei aussetzendem Betrieb. Einleitung. Es ist eine bekannte Tatsache, daß eine elektrische Maschine, bei aussetzendem Betrieb, mehr zu leisten im Stande ist, als bei Energieentnahme auf eine längere Dauer. Bei der Beurteilung, wie weit die Ueberlastungsfähigkeit steigt bei gegebenen Betriebsbedingungen, sind bisher sehr häufig die Grenzen einer guten Kommutation maßgebend gewesen, da Maschinen, die bei normaler Belastung funkenfrei liefen, bei geringer Ueberlastung eine derartige Feldverzerrung aufwiesen, daß selbst bei Verstellung der Bürsten eine gute Kommutation nicht zu erreichen war. Nachdem in neuerer Zeit durch Einführung der Wendepole eine geradlinige Kommutierung ermöglicht ist, die eine weitgehende Ueberlastung der Maschine ohne Funkenerscheinungen am Kollektor gestattet, ist nunmehr die Frage der Temperaturerhöhung wieder in den Vordergrund getreten. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich daher mit der Erwärmung von Maschinen bei aussetzendem Betrieb unter bekannten Betriebsbedingungen und bezweckt, für Maschinen von bekannter Dauerleistung die in Betracht kommenden Größen in einfache Beziehungen zueinander zu bringen und so eine genauere Bestimmung der Leistung bei aussetzendem Betrieb zu ermöglichen, während man bisher sich damit begnügte, in diesem Falle 25–30 v. H. Ueberlastung ohne Berücksichtigung der Einzelfälle zuzulassen. Theoretischer Teil I. Für die Erwärmung eines Körpers bezw. einer Maschine ist die bekannte Temperaturkurve maßgebend, d.h. eine Kurve, die die Abhängigkeit der Temperaturerhöhung über das umgebende Medium (Luft, Oel und dergl.) von der Betriebszeit bei einer bestimmten Belastung darstellt. Literatur. In der Literatur sind darüber verschiedene Arbeiten erschienen, die meist den Nachteil eines komplizierten mathematischen Apparates besitzen, der zu einer Genauigkeit führt, die nicht im Verhältnis zu den bei Versuchen grundlegenden Messungen und der Unregelmäßigkeit bei den im täglichen Leben vorkommenden Betrieben steht. Es seien hier erwähnt die Arbeiten von Oelschläger, E. T. Z. 1900, Heft 51, „Die Berechnung von Widerständen, Motoren und dergl. bei aussetzendem Betrieb“. Die Arbeit von Goldschmidt im Journal of the institution of electrical engineers, Nr. 172, Mai 1905, „Temperature curves and the rating of electrical maschinery“, ein Auszug aus dieser Arbeit in der E. T. Z. 1905, Heft 43. Eine analytische Untersuchung von Edwin Rust Douglas: „Heating of electrical maschinery under two regularly alternating conditions of load“ im Electrical World and Engineer, Band XXXVII, Nr. 19, S. 769, und eine kurze Abhandlung von F. Kade, „Verfahren zur Feststellung der endgültigen Erwärmung eines intermittierend belasteten elektrischen Apparates“ in der E. T. Z. 1906, Heft 15. Erwärmungskurve für homogene Körper. Die in den einzelnen Teilen der Maschine entstehenden Verluste werden in Wärme übergeführt, die eine Temperaturerhöhung hervorruft. Betrachten wir zunächst einen homogenen Körper. In ihm wird ein Teil der entwickelten Wärme zur Steigerung der Temperatur des Körpers verwandt, ein Teil geht durch Leitung, Strahlung und Konvektion an das umgebende Medium über. Voraussetzung bei der folgenden Betrachtung ist, daß die Wärmekapazität des umgebenden Mediums so groß ist, daß eine nennenswerte Erhöhung seiner Temperatur durch die Wärmeaufnahme nicht stattfindet. Ist die in der Zeiteinheit in Wärme umgesetzte Energie Q, so ist die in der Zeit d t dem Körper zugeführte Wärmemenge Q . d t. In dieser Zeit wird dem Körper jedoch eine Wärmemenge von dem umgebenden Medium, das eine um den Betrag τ niedrigere Temperatur besitzt, entzogen, die abhängig ist von dieser Temperaturdifferenz, von der Berührungsfläche F und von dem Wärmeübergangskoeffizienten K. Die Differenz beider Wärmemengen muß demnach gleich sein der im Körper selbst enthaltenen und zur Temperatursteigerung verwandten Wärme. Diese ist gegeben durch die Wärmekapazität des Körpers (d.h. das Produkt aus dem Gewicht des Körpers G und der spezifischen Wärme s), und die Temperaturänderung d τ. Wir erhalten demnach die Gleichung der Erwärmungskurve: Q d t – τ F K d t = G s d τ . . . . 1) Hat der Körper den Endzustand erreicht, ist seine Temperatur z.B. τe, so ist d τ gleich Null, und die rechte Seite der Gleichung 1 wird 0. Die gesamte entwickelte Wärme wird nunmehr ohne weitere Temperatursteigerung an die Umgebung abgegeben. Wir erhalten daher: Q d t – τeF K d t = 0. Q d t = τe F K d t . . . . 2) Setzen wir diesen Wert für Q d t in obige Gleichung 1 ein, so erhalten wir: τ e F K d t – τ F K d t – G s d τ, oder durch Zusammenfassen der in dieser Gleichung enthaltenen Konstanten (\tau_e-\tau)\,d\,t=\frac{G\,s}{F\,K}\,d\,t=T\,d\,\tau . . . 2a) d\,t=T\,\frac{d\,\tau}{\tau_e-\tau} . . . . 3) Durch Integration dieser Gleichung erhalten wir dann die Gleichung der Erwärmungskurve zu t = – T ln (τe – τ) + A . . . . 4) Für t = 0 wird auch τ = 0, und wir erhalten die Größe der Konstanten A = T ln τe . . . . 5) und damit die Schlußgleichung t=T\,l\,n\,\frac{\tau_e}{\tau_e-\tau} . . . . . 6) Konstruktion der Kurve. Nach Gleichung 2a wird: \frac{d\,\tau}{d\,t}=\frac{\tau_e-\tau}{T}=\mbox{tg}\,\alpha . . . . 7) Aus dieser Gleichung ist zu entnehmen, daß die Projektion des Teiles der Tangente zwischen ihrem Berührungspunkt mit der Kurve und ihrem Schnittpunkt mit der Asymptote der Kurve (im Abstand τe von der Abszissenachse) auf eine Parallele zu dieser durch den Berührungspunkt stets gleich der Temperaturkonstanten (in Minuten) T sein muß. Textabbildung Bd. 323, S. 434 Fig. 1. Textabbildung Bd. 323, S. 434 Fig. 2. In Fig. 1 ist die Tangente im Punkte A gezogen. \mbox{tg}\,\alpha=\frac{C\,B}{A\,B};\ C\,B=\tau_e-\tau \frac{1}{A\,B}=\frac{\mbox{tg}\,\alpha}{\tau_e-\tau}. Nach Gleichung 7 ist jedoch \frac{\mbox{tg}\,\alpha}{\tau_e-\tau}=\frac{1}{T}. und somit ist nach Konstruktion A B = T . . . . 6) Es ergibt sich aus dieser Betrachtung eine einfache Konstruktion der Erwärmungskurve, die sowohl dazu dienen kann, durch die durch Messung gefundenen Punkte eine Kurve zu legen, die der Gleichung 4 entspricht, als auch dazu verwandt werden kann, um Endtemperaturen eines Körpers von großer Wärmekapazität bezw. hoher Endtemperatur mit abgekürzter Versuchszeit durch Extrapolation zu bestimmen. Die Konstruktion ist folgende: Wir zerlegen die durch ihre Asymptote und den Abschnitt der Ursprungstangente auf der Asymptote gegebene Kurve in eine Anzahl gerader Strecken (je kürzer diese sind um so genauer wird die Kurve), d.h. wir ersetzen die Kurvenstücke durch die Abschnitte der Tangenten an die Kurve (Umhüllungskonstruktion). Zunächst ziehen wir die Tangente im Nullpunkt O C (Fig. 2). Die Projektion der Strecke O C auf die Parallele zur Abszissenachse im Berührungspunkt, in diesem Falle auf die Abszissenachse ist gleich T. Der Temperaturzuwachs in t Minuten (Strecke O F) ist, für die Strecke O A Geradlinigkeit vorausgesetzt, gegeben durch die Strecke A F. Der Neigungswinkel a der Tangente im Punkt A an die Kurve ist gegeben durch die Größen τe – τ und T nach Gleichung 7). Tragen wir nun von C auf der Asymptote die Strecke C E = O F ab und verbinden den Punkt E mit A, so wird: E H = E G – H G = τe – τ und die Strecke A H = O D – O F + C E, da nun O F = C E ist, wird A H = O D = T. Die Linie A E ist demnach Tangente an die Kurve im Berührungspunkt A, sie stellt also den geradlinigen Verlauf der Temperaturzunahme im zweiten Abschnitt t dar. Fahren wir so fort, so erhalten wir eine Linienschaar, deren einzelne Abschnitte sich mit beliebiger Genauigkeit der theoretischen Kurve anschließen. Anwendung der Konstruktion auf die Messungen. Die vorbeschriebene Konstruktion ermöglicht es, den Abstand der Asymptote und den Neigungswinkel der Ursprungstangente unter Benutzung sämtlicher gemessener Punkte zu bestimmen. Vorausgesetzt, es ist eine Anzahl Punkte einer Erwärmungskurve durch Versuch bis zum Beharrungszustand aufgenommen, so liegt damit die Asymptote annähernd fest und ebenso die Richtung der anfänglichen Tangente. Durch Ausführung der Konstruktion mit verschiedener Lage des Punktes C (in den folgenden Figuren stets mit einem Doppelkreis bezeichnet) durch Veränderung seines Abstandes von der Ordinatenachse und der Abszissenachse, läßt sich nun die Kurve finden, die sich den gemessenen Punkten möglichst gut anschließt. In Fig. 3 ist ein Beispiel für die Ermittelung der Größe T gegeben. Verläuft die konstruierte Kurve gegen Ende zu niedrig oder zu hoch, so muß man die Asymptote höher bezw. niedriger legen (siehe gestrichelte Kurve). Zeigt sich im Anfang eine stärkere Krümmung als bei den gemessenen Punkten, so muß T größer (siehe strichpunktierte Kurve) im entgegengesetzten Falle kleiner genommen werden. Die in der Figur ausgezogene Kurve stellt die endgültige dar. Durch diese Konstruktion wird graphisch das Mittel aus sämtlichen T der gemessenen Punkte genommen. Sie verdient also unbedingt den Vorzug gegenüber der Ermittelung nur aus dem ersten und dem letzten beobachteten Punkt. Mißt man den Temperaturzuwachs nach Verlauf von 10, 20, 30 Minuten und so fort, bezw. je nach Erfordernis in größeren Zeitabständen, so erhält man durch die Verbindungslinien der gemessenen Punkte annähernd die Tangenten an die Kurve, und um die Endtemperatur des Körpers zu bestimmen, hat man nur nötig eine Parallele zur Abszissenachse solange zu verschieben, bis die durch die Tangenten auf ihr gebildeten Abschnitte gleich den Zeitabschnitten sind, in denen die Messungen stattfanden. Es ist dadurch z.B. die Möglichkeit gegeben, für höhere Belastungen, bei denen der Versuch wegen unzulässig hohen Temperaturen vor Erreichung des Endzustandes abgebrochen werden muß, aus den aufgenommenen Punkten die Endtemperatur zu bestimmen. Ferner kann das Verfahren bei großen Maschinen mit großen Temperaturkonstanten ermöglichen, den Versuch nicht bis zum Endzustand durchzuführen, sondern mit verkürzter Versuchszeit zu arbeiten. Man erhält, wie das aus den vorliegenden Versuchen für die höheren Belastungen des Hauptstrommotors und für den gekapselten Transformator ersichtlich ist, zufriedenstellende Resultate. Textabbildung Bd. 323, S. 435 Fig. 3.Beispiel zur Konstruktion der theoretischen Kurven durch die erhaltenen Punkte und zur Bestimmung der Ursprungstangente und Asymptote. Zeit in Stunden und Minuten. Abkühlungskurve. Die Gleichung der Abkühlungskurve ist auf ähnliche Weise, wie die der Erwärmungskurve zu ermitteln, nur ist bei ihr die zugeführte Wärme gleich Null, wir erhalten also aus Gleichung 1 – τ F K d t = G s d τ d\,t=-T\,\frac{d\,\tau}{\tau} . . . 9) Integriert man diese Gleichung, so erhält man: t = – T ln τe + B, und aus dieser Gleichung für t = 0 K τ = τe die Konstante B = T ln τe Die Gleichung der Abkühlungskurve wird demnach: t=T\,l\,n\,\frac{\tau_e}{\tau} . . . . 9a) Die Tangente mit Neigungswinkel β an die Kurve wird nach Gleichung 9 \frac{d\,\tau}{d\,t}=\mbox{tg}\,(180-\beta)=-\frac{\tau}{T} . . . 10) Im Folgenden wird die Konstante der Erwärmungskurve mit Ta, die der Abkühlungskurve mit Tr bezeichnet werden. Ta = Tr sind Abschnitte der Ursprungstangente an der Asymptote bezw. Nullinie. Kurve des aussetzenden Betriebes. Wird der Körper nun abwechselnd eine gewisse Zeit durch Belastung erwärmt und dann eine bestimmte Zeit der Abkühlung überlassen, so wird sich eine gebrochene Kurve, wie in Fig. 4 dargestellt, einstellen, deren Mittelkurve denselben Charakter hat wie die Erwärmungskurve. Der Endzustand wird dann erreicht sein, wenn die in der Arbeitszeit erfolgte Erwärmung gleich der in der folgenden Ruhepause eintretenden Abkühlung ist. Zur Orientierung des Lesers sollen im Folgenden einige Gleichungen anderer Autoren, die bisher bei aussetzendem Betrieb Verwendung fanden, in großen Zügen erläutert werden. Textabbildung Bd. 323, S. 435 Fig. 4. Gleichung von Oelschläger. Bezeichnet man den Arbeitsabschnitt mit a, die Pause mit r, so erhalten wir nach OelschlägerE. T. Z. 1900, S. 1058. unter der Voraussetzung, daß Ta = Tr = T ist, die Gleichung \frac{r}{T}=-l\,n\,\left[\frac{\tau_e}{\tau}-e^{\frac{a}{l}}\,\left(\frac{\tau_e}{\tau}-1\right)\right]; darin ist T die als gleich angenommene Konstante der Erwärmungs- und Abkühlungskurven, τe die Temperaturerhöhung nach Eintreten des Beharrungszustandes des Körpers unter der Voraussetzung ununterbrochener Wärmezufuhr bis zum Beharrungszustand und τ die schließliche Temperaturerhöhung bei aussetzenden Betrieb, bei der die gleiche Wärmezufuhr unterbrochen wird. Diese größte Temperaturerhöhung τ bei aussetzendem Betrieb darf die zulässige Erhöhung, die bei normalem Dauerbetrieb nach Erreichung des Beharrungszustandes sich einstellt, nicht übersteigen. Demnach wird nach Gleichung 2 die zeitlich abgegebene Wärmemenge des überlasteten Motors Qa, = F K τe und die des dauernd normal belasteten: Qd = F K τ Durch Division beider Gleichungen erhält man unter der Voraussetzung, daß die in Wärme umgesetzten Verluste proportional der Belastung sind, die Gleichung: \frac{\tau_e}{\tau}=\frac{\mbox{Ueberlastung}}{\mbox{normale Dauerlast}}=p gleich dem Ueberlastungsfaktor. Durch einige Umformungen erhält man dann die Gleichung für einen beliebigen aussetzenden Betrieb \frac{a}{a+r}=\frac{1}{1-\frac{a}{T}\,l\,n\,\left[p-e^{\frac{a}{T}}\,(p-1)\right]}. Darin ist enthalten: 1. Das Verhältnis \frac{a}{T}, worin a gegeben, T ermittelt ist. 2. Das Verhältnis \frac{a}{a+r}, das durch die Betriebsbedingungen gegeben ist. 3.p das gesuchte Ueberlastungsverhältnis. Mit dieser Gleichung hat Oelschläger in einer Anzahl Kurven für verschiedene Werte von \frac{a}{T} die Abhängigkeit des Wertes p von \frac{a}{a+r} aufgestellt. Uebertragung auf Maschinen. Die Versuche Oelschlägers beziehen sich, soweit aus der erwähnten Arbeit ersichtlich, auf Widerstände. Diese stellen, wie vorausgesetzt war, homogene Körper dar. Es fragt sich nun, ob die Betrachtung auch auf Maschinen oder deren Einzelteile ohne Einschränkung zu übertragen ist. Auch bei Maschinen tritt eine Wärmezufuhr ein, auch sie haben eine abkühlende Oberfläche und eine bestimmte Wärmekapazität. Diese, die dargestellt ist durch die Faktoren G und s, setzt sich aber zusammen aus den Gewichten und spezifischen Wärmen der Kupfer und Eisenteile usw. Die Berechnung wird erleichtert durch den Umstand, daß die spezifische Wärme der beiden Materialien annähernd gleich ist (für Eisen 0,113, für Kupfer 0,094), nämlich rund den Wert 0,1 besitzt. Jedenfalls ist es zweifellos, daß der Wert \frac{G\,s}{F} für eine bestimmte Maschine konstant ist. Verhalten des Kühlfaktors. Anders verhält es sich mit dem Wärmeübergangsfaktor K. Nach einer Arbeit von Overbeck, Wiedemanns Annalen 1895, Bd. 56, S. 397 ff. ist bei den in Frage kommenden Temperaturen und Geschwindigkeiten das Wärmeabgabevermögen proportional der Temperaturdifferenz zwischen Körper und umgebendem Medium und proportional der Geschwindigkeit der vorbeiströmenden Luft. Dabei ist es, wie in der Arbeit von H. Ott in Heft 35, 36 der Mitteilungen über Forschungsarbeiten aus dem Gebiete des Ingenieurwesens, herausgegeben vom Verband deutscher Ingenieure, festgestellt ist, gleichgültig, ob der Körper durch die Luft bewegt wird, wie dies an der Oberfläche des Ankers geschieht, oder ob die Luft an der Fläche vorbei geführt wird, wie dies an den Spulen und Ventilationskanälen der Fall ist. Die Versuche haben zunächst festzustellen, ob und unter welchen Bedingungen dieser Faktor K für jede beliebige Belastungskurve unabhängig von der Tourenzahl und die Abkühlungskurve bei einer bestimmten Maschine annähernd gleich bleibt, ob mit anderen Worten für eine bestimmte Maschine der Wert \frac{G\,s}{F\,K}=T tatsächlich eine einzige Größe besitzt. Gleichung von E. R. Douglas. Ist dies nicht der Fall, dann ist die Aufgabe zu behandeln, wie es in der eingangs erwähnten Arbeit von E. R. Douglas durchgeführt wurde, der für jede Belastung eine besondere Konstante einführt und mit Hilfe von Reihenentwicklung die Werte der unter zwei Betriebsbedingungen eintretenden Maximaltemperaturen τl und τr findet zu: \tau_1=\tau_e-(\tau_e-\tau_{e_1})\,\frac{B-1}{A\,B-1} und \tau_r=\tau_e\,\frac{A-1}{A\,B-1} unter der Voraussetzung, daß die zweite Betriebsbedingung einer Ruhepause entspricht. (Fortsetzung folgt.)