Zur Frage der Temperaturspannungen in ebenen Platten, geraden und gekrümmten Stäben. Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart. (Aus einem Vortrag über Temperaturspannungen, gehalten im Augsburger Bez.-Ver. deutsch. Ingenieure.) Zur Frage der Temperaturspannungen in ebenen Platten, geraden und gekrümmten Stäben. In einer Abhandlung über „Temperaturspannungen in einer kreisförmigen Platte“D. p. J. 1907, 322, S. 721. wurde gezeigt, daß eine ebene Kreisplatte, die in Richtung der Dicke nach einem linearen Temperaturgesetz erwärmt wird und zwar derart, daß die Mittelfläche ihre Temperatur behält, die auf der einen Seite liegenden Plattenschichten erwärmt, die auf der andern gelegenen abgekühlt werden, „sich wirft“, d.h. sich biegt, ohne daß Temperaturspannungen in ihr entstehen, sofern nämlich die Wärmedehnung durch äußere Kräfte nicht gehindert wird. Wenn von dieser kreisförmigen Platte, die in der angegebenen Weise erwärmt ist, ein Flächenstück so abgeschnitten wird, daß eine elliptische, rechteckige, quadratische oder überhaupt beliebig begrenzte Platte übrig bleibt, so wird dadurch an dem Deformationszustand des übrig gebliebenen Stücks nichts geändert, da ja in den Schnittflächen keine Spannungen geherrscht haben. Dies läßt sich in allgemeiner Form, wie folgt, aussprechen. Verhalten ebener Platten bei ungleicher Erwärmung. Alle ebenen Platten, wie sie auch begrenzt sein mögen, wölben sich, wenn sie in Richtung ihrer Dicke nach einem linearen Gesetz erwärmt werden, in der gleichen Weise und zwar sphärisch; der Meridian ist (da wie stets in der Elastizitätslehre nur kleine Formänderungen betrachtet werden) ein flacher Kreisbogen, der auch als Parabelbogen aufgefaßt werden kann. Für den Fall der kreisförmigen Platte mit Radius ra lautet nämlich die Gleichung des Meridians (Gleichung 20 c S. 721 in D. p. J. 1907, Heft 46). w_0=\alpha_w\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h}\,({r^2}_a-x^2) Die Krümmung \frac{1}{\varrho} einer flachen Kurve ist bekanntlich \frac{1}{\varrho}=\pm\,\frac{d^2\,w_0}{d\,x^2}, dies gibt, auf die Meridianlinie der ungleich erwärmten Kreisplatte angewandt: \frac{1}{\varrho}=2\,\alpha_w\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h}=\alpha_w\,\cdot\,\frac{\Delta\,T}{h/2}=\alpha_w\,\cdot\,T_g, d.h. die Krümmung ist konstant, der Meridian ist ein Kreis und die Platte sphärisch gewölbt. Dies ist nach dem oben Bemerkten auch die Krümmung einer beliebig begrenzten ebenen Platte, wenn sie in der angegebenen Weise in Richtung der Dicke erwärmt bezw. abgekühlt wird. die Bezeichnungen sind dieselben wie a. a. O. An der kreisförmigen Platte ist nun in D. p. J. 1907, S. 722 gezeigt worden, daß die gleiche Formänderung, wie durch ungleiche Erwärmung der beschriebenen Art, auch durch reine Biegungsmomente erzeugt werden kann, die gleichmäßig über dem Plattenumfang verteilt sind und die Größe haben: M=\frac{m}{m-1}\,\cdot\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h^2}{6} Hierin und im Folgenden bedeutet 2 ΔT= Ta – Ti den gesamten Temperaturunterschied in Richtung der Wandstärke, \frac{2\,\Delta\,T}{h}=\frac{\Delta\,T}{h/2}=T_g das Temperaturgefälle in der Wand bezogen auf 1 cm (°C/cm). St. Venant hat im „Clebsch annoté“, Schlußnote zu § 45, S. 342, dasselbe auch von einer rechteckigen Platte gezeigt. Umgekehrt folgt aus dem Gesagten, daß die infolge ungleicher Erwärmung einer kreisförmigen oder rechteckigen Platte entstehende Formänderung durch reine Biegungsmomente, die sich gleichmäßig über den Plattenumfang verteilen, ganz oder teilweise rückgängig gemacht werden kann. Wird die Formänderung in dieser Weise ganz rückgängig gemacht, so treten Biegungsspannungen auf, die an der Ober- und Unterfläche der Platte die Größe haben (vergl. D. p. J. 1907, S. 722): \sigma=\pm\,\frac{m}{m-1}\,\cdot\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T wofern die Temperatur einer im Abstand ± λ von der Mittelfläche befindlichen Schicht um \pm\,\frac{\lambda}{h/2}\,\cdot\,\Delta\,T über bezw. unter der Temperatur der Mittelfläche gelegen ist. Analoges Verhalten eines geraden Stabes.Vergl. D. p. J. S. 129 d. Bd. Werden die Stabschichten proportional dem Abstand ± λ von der Mittelschicht erwärmt bezw. abgekühlt, so biegt sich der Stab so, als ob er unter dem Einfluß eines biegenden Kräftepaares stünde von der Größe: M=\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h^2}{6}. Ein Stab von konstantem Querschnitt biegt sich nach einem Kreisbogen und kann durch ein reines Biegungsmoment ganz oder teilweise zurückgebogen werden, ganz, wenn das Moment die soeben angegebene Größe hat. In diesem Fall wird die Spannung im Abstand ± λ von der Mittelschicht: \sigma=\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T. Analoges Verhalten eines gekrümmten Stabes. Auch von einem eben gekrümmten Stab, der in der mehrfach bezeichneten Weise erwärmt wird, läßt sich nachweisen, daß er sich dabei ebenso biegt, als ob er von reinen Biegungsmomenten ergriffen wäre, und daß die entstehende Biegung durch reine Biegungsmomente ganz oder teilweise rückgängig gemacht werden kann. Um dies zu zeigen, nehme ich an, ein nach einem Viertelskreis gekrümmter Stab (von rechteckigem Querschnitt mit Höhe h und Breite 1 cm) sei an einem Ende eingespannt, an anderen Ende mit dem biegenden Kräftepaar M=\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h^2}{6} belastet. Nach der Lehre von den gekrümmten Stäben (Winkler, Grashof, v. Bach) ist die Dehnung der Mittellinie: \varepsilon_0=\frac{\alpha}{F}\,\left[P+\frac{M}{r}\right] und die verhältnismäßige Winkeländerung: \omega=\frac{\alpha}{F}\,\left[P+\frac{M}{r}+\frac{M}{x\,\cdot\,r}\right]. (F Stabquerschnitt, P Normalkraft und M Biegungsmoment in diesem Querschnitt, r Krümmungshalbmesser der Stabachse, x=-\frac{1}{F}\,\cdot\,\int\,\left(\frac{\lambda\,\cdot\,d\,f}{r+\lambda}\right), woraus mit P = 0, da am Endquerschnitt keine Zug- und Druckkraft angreift, und mit dem oben stehenden Wert von M, sowie mit F = 1 . h = h: \varepsilon_0=\frac{\alpha}{h}\,\cdot\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h^2}{6\,r}=\alpha_w\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h}{6\,r} \omega=\frac{\alpha}{h}\,\cdot\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h^2}{6\,r}\,\frac{1+x}{x}=\alpha_w\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h}{6\,r}\,\cdot\,\frac{1+x}{x} Die gleiche Formänderung erleidet der gekrümmte Stab, wenn er in der Höhenrichtung nach einem linearen Gesetz erwärmt wird (vergl. den Anfang dieses Aufsatzes und Fußnote 3), wie aus der Gleichung 14 in D. p. J., S. 131 d. Bd. hervorgeht, die lautet: \varepsilon_0=2\,\alpha_w\,\cdot\,\Delta\,T\,\frac{\Theta}{F\,\cdot\,r\,\cdot\,h} \omega=2\,\alpha_w\,\cdot\,\Delta\,T\,\frac{\Theta}{F\,\cdot\,r\,\cdot\,h}\,\cdot\,\frac{1+x}{x}, woraus mit \Theta=\frac{h^3}{12} und F = h die unmittelbar vorhergehenden Gleichungen erhalten werden. Damit ist der beabsichtigte Beweis geführt. Es folgt gleichzeitig, daß die Temperaturdehnung ganz rückgängig gemacht werden kann durch ein biegendes Kräftepaar von der Größe: M=\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h^2}{6}. Dabei entsteht eine Biegungsspannung, die man im vorliegenden Fall genau genug aus der Biegungsgleichung für gerade Stäbe berechnen kann, wofern nämlich der Querschnitt nicht zu hoch ist im Vergleich zum Krümmungshalbmesser: \sigma_b=\frac{M}{W}=\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T. In einem gekrümmten Stab, der in der Eingangs bezeichneten Weise erwärmt wird, entstehen aber auch dann Spannungen, wenn er sich unbehindert durch äußere Kräfte ausdehnen kann, wie in D. p. J. S. 131 d. Bd. gezeigt worden ist. Diese Spannungen addieren sich algebraisch zu den vorhin behandelten, die von gehinderter Wärmedehnung herrühren. Um über die gegenseitige Größe der beiden Spannungen ins Klare zu kommen, vergleichen wir dieselben. Wir knüpfen an das in D. p. J. S. 131 d. Bd. vorgebrachte Zahlenbeispiel an; auf der Außenseite der Krümmung war die Druckspannung: 0,12\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T. Ebenda entsteht infolge gehinderter Wärmedehnung die Biegungs-Druckspannung: \frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T, so daß die infolge gehinderter Wärmedehnung entstehende Spannung durch die schon bei freier Wärmedehnung vorhandene Spannung um 12 v. H. erhöht erscheint. Ich werde nun zeigen, daß dieser Bruchteil in Wirklichkeit noch kleiner ist und wohl ohne erheblichen Fehler ganz vernachlässigt werden kann. Zunächst erinnere ich daran, daß die ohne Zutun äußerer Kräfte auftretenden Wärmespannungen deswegen entstehen, weil die Querschnitte des gekrümmten Stabes unter einer linearen Temperaturverteilung sich zu wölben suchen, wie Fig. 3 a. a. O. zeigt, was sie jedoch nicht können, weil die anstoßenden Stabelemente sie daran hindern. Nun stellt sich eine lineare Temperaturverteilung nur bei der Wärmeleitung durch eine ebene Wand ein (vergl. D. p. J. S. 469 d. Bd.), in einer Zylinder-Wand dagegen eine logarithmische und in einer Hohlkugel-Wand eine hyperbolische Temperaturverteilung. Bei einer logarithmischen Temperaturverteilung ist die angestrebte Querschnittswölbung geringer, als bei einer linearen; bei hyperbolischer bleiben die Querschnitte sogar ganz eben. Im letzten Falle würden sich die Stabelemente nach der ungleichen Erwärmung zwanglos aneinander reihen lassen, es würde also (bei sonst ungehinderter Wärmedehnung) gar keine Temperaturspannung entstehen; die in Fig. 4 a. a. O. dargestellten Spannungen wären ganz verschwunden. Eine Untersuchung der Temperaturspannungen in einem gekrümmten Stab in D. p. J. S. 131 d. Bd. wurde in Angriff genommen, um mit Hilfe der Ergebnisse die Verhältnisse in der Hohlkehle eines Gasmaschinenkolbens näherungsweise verfolgen zu können. Die Temperaturverteilung in der Wand dieser Hohlkehle ist nicht bekannt; sie mag zwischen einer logarithmischen und einer hyperbolischen liegen. Zieht man in Betracht, daß die tatsächlichen Verhältnisse an einem Kolben, um die es sich schließlich handelt, nicht genau faßbar sind, und ferner daß die Formeln, die für die Temperaturspannungen in einem gekrümmten Stab aufgestellt werden, nur zu einer Näherungsrechnung benutzt werden sollen, so ist es von geringer Bedeutung, ob die Ergebnisse der Näherungsrechnung von der Wirklichkeit um einige Hundertteile mehr oder weniger abweichen. Bei dieser Sachlage halte ich es für berechtigt, von denjenigen Temperaturspannungen in einem gekrümmten Stab, die auch bei vollständig freier Wärmedehnung, d.h. ohne irgend welche Hinderung durch äußere Kräfte auftreten, ganz abzusehen; die oben erwähnten 12 v. H. werden überdies den soeben angestellten Ueberlegungen zufolge noch kleiner sein. Das Schlußergebnis stimmt dann beim geraden und beim gekrümmten Stab hinsichtlich der Spannungen überein, wenn beide nach einem linearen Gesetz erwärmt und an der Wärmedehnung vollständig gehindert werden; in den äußersten Stabschichten entsteht beide Male eine Biegungsspannung von \sigma=\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T ein Ergebnis, das als Grundlage für eine Näherungsrechnung ganz annehmbar erscheint. Auch bezüglich der Berechnung der Wärmedehnung eines gekrümmten Stabes halte ich es aus den eben dargelegten Gründen für angängig, die in D. p. J. S. 136 d. Bd., abgeleiteten Formeln zu benutzen, die für eine lineare Temperaturverteilung gelten. Gleichartiges Verhalten ebener kreisförmiger und rechteckiger Platten, gerader und gekrümmter Stäbe bei ungleicher Erwärmung in Richtung der Dicke bezw. Höhe. Bei linearer Temperaturverteilung in Richtung der Höhe bezw. Dicke biegen sich ein gerader Stab und ein gekrümmter (dieser näherungsweise) und eine kreisförmige und rechteckige Platte so, als ob sie von reinen Biegungsmomenten ergriffen würden, die im Endquerschnitt angreifen bezw. sich über den Plattenrand gleichmäßig verteilen. Die Wärmedehnung ist einer Biegung ähnlich und kann durch reine Biegungsmomente ganz oder teilweise rückgängig gemacht werden. Bei vollständig gehinderter Biegung entstehen in einem Stab bezw. einer ebenen Platte Spannungen, wie sie bei vollständig gehinderter linearer Ausdehnung bezw. Flächenausdehnung auftreten, nämlich \frac{\alpha_w}{\alpha}\,\Delta\,T bezw. \frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\Delta\,TAnm. während des Drucks: Ganz ebenso verhält sich, wie ich inzwischen nachweisen konnte, ein dünnwandiger Hohlzylinder, der in Richtung der Wandstärke nach einem linearen Gesetz erwärmt wird. Er wirft sich, falls keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken, genau so, als ob er an den Endflächen von reinen Biegungsmomenten ergriffen würde, die sich gleichmäßig über die Endflächen verteilen und die Größe haben:\begin{array}{rcl}M&=&\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{s^2}{6}\\ &=&\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,T_g\,\cdot\,\frac{s^3}{12}.\end{array}Durch solche Biegungsmomente kann die Wärmedehnung ganz rückgängig gemacht werden, wobei eine größte Biegungsspannung von\sigma=\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\Delta\,T=\frac{m}{m-1}\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,T_g\,\frac{s}{2}auftritt. Der Zylinder behält seine ursprüngliche Gestalt bei. Dies ist z.B. der Fall bei vollkommener Einspannung der Zylinderenden.Ohne äußere Kräfte ist er, zum Unterschied gegenüber Stäben und Platten – nicht spannungsfrei, es treten Wärmespannungen auf, über die späterhin berichtet werden soll. (s. D. p. J. 1907 S. 722). Einfluß der Wandstärke. Dieser soll am Beispiel einer ebenen Wand erörtert werden. Wenn stündlich durch 1 qm dieser Wand ein bestimmter Wärmestrom fließen soll, so muß auf jedem Zentimeter Stromweg ein gleiches Temperaturgefälle vorhanden sein, um den auf jedem Zentimeter konstanten Widerstand zu überwinden, der sich der Fortleitung der Wärme entgegenstellt. Der Gesamtunterschied der Temperaturen an der Innen- und Außenfläche wächst somit proportional der Wandstärke. In allen Fällen ist – unabhängig von der Wandstärke – die Krümmung der Platte gleich groß, nämlich nach Fußnote 2: =\alpha_w\,\cdot\,T_g=\alpha_w\,\cdot\,\frac{T}{h/2}, wenn Tg°C/cm das als konstant vorausgesetzte Temperaturgefälle in der Wand bedeutet. Alle ebenen Platten „werfen sich“ also bei linearer Temperaturverteilung in Richtung der Wandstärke in gleicher Weise, wenn nur das Temperaturgefälle in allem dasselbe ist. Nehmen wir nun an, die Platte werde an der Temperaturdehnung ganz gehindert, so sind z.B. bei einer ebenen Kreisscheibe oder bei einer rechteckigen Platte am Umfang gleichmäßig über diesen verteilte Biegungsmomente anzubringen deren Größe (s. S. 529): ist M=\frac{m}{m-1}\,\cdot\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T\,\cdot\,\frac{h^2}{6}, die also mit dem Quadrat der Dicke h wachsen. Die Temperaturspannung an der Außen- oder Innenfläche wird T=\pm\,\frac{m}{m-1}\,\cdot\,\frac{\alpha_w}{\alpha}\,\cdot\,\Delta\,T, diese wächst mit \Delta\,T=T_g\,\cdot\,\frac{h}{2}, d.h. proportional der Wandstärke. Die dickere Wand wird also auf die anstoßenden Konstruktionsteile stärker biegend einwirken, als die dünnere und auch selbst stärker auf Biegung beansprucht. Eine dicke ebene Wand verhält sich gegenüber einer ungleichen Erwärmung in der Dickenrichtung ungünstiger als eine dünne, wenn die Temperaturdehnung gehindert wird. Ein Beispiel bildet die Wand einer Lokomotivfeuerbüchse. Was hier von dem Einfluß der Wandstärke einer ebenen Platte gesagt wurde, gilt jedenfalls auch von gewölbten Wandungen; nur läßt sich der Einfluß der Wandstärke – wenigstens im Falle Dicker gewölbter Wandung – nicht so einfach rechnerisch ausdrücken. Eine bekannte Tatsache mag hier noch erwähnt werden, daß nämlich Retortengläser, die hohen Temperaturen ausgesetzt werden, am haltbarsten sind, wenn sie eine möglichst dünne Wand haben. In dieser Mitteilung ist nur der Einfluß gehinderter Wärmedehnung auf den Spannungszustand betrachtet. Ist eine Wandung oder ein Stab gleichzeitig durch äußere Kräfte, etwa durch gleichmäßige Oberflächenpressung, belastet, so kann die Aufgabe der Ermittlung der Wandstärke eine eigenartige werden, worüber weitere Mitteilung folgt.