Die Berechnung des Arbeitsverbrauches der Griesmühlen (Rohrmühlen) bei Trockenmahlung. Von Dr.-Ing. H. Dreyer-Magdeburg. (Fortsetzung von S. 611 d. Bd.) Die Berechnung des Arbeitsverbrauches der Griesmühlen (Rohrmühlen) bei Trockenmahlung. Wird nun in der zu Anfang beschriebenen Versuchsmühle von 1 m Durchm. der Mahltrommel die Stärke der mit der Trommelwandung aufsteigenden Schicht gemessen und außerdem festgestellt, welchen Teil des Trommelinhaltes die Füllung im Ruhezustande einnimmt, also der Wert von f, so läßt sich aus Gleichung 14 die mittlere Umlaufszahl der Teilchen, z, und das Verhältnis dieser Zahl zur Umdrehungszahl der Trommel finden. Diese Werte müssen je nach Füllung und Reibung ein wenig veränderlich sein. Mitgenommen wird die Füllung von der Trommel lediglich durch Reibung, deshalb wird es auch von der Größe der Reibung zwischen Trommel und Füllung und zwischen der Füllung selbst abhängen, wieviel Zeit erforderlich ist, den Kugeln nach dem Herabstürzen wieder die Winkelgeschwindigkeit der Trommel zu geben. Bei einem Versuch war beispielsweise die mehrfach erwähnte Versuchsmühle von 1 m Durchm., die ja ein genaues Beobachten des Mahlvorganges gestattet, zur Hälfte mit Flintsteinen und nicht stäubendem Mahlgute (Eisengraupen) gefüllt f=\frac{1}{2}. Bei normalem Betriebe, d.h. bei 32 Umdreh. i. d. Minute, betrug die Stärke des aufsteigenden Astes sehr gleichmäßig 0,250 m. Da der Halbmesser der Trommel \frac{D}{2}=0,500\mbox{ m} ist, ergibt sich für den Halbmesser der inneren Begrenzungsfläche \frac{d}{2}=0,250\mbox{ m}. Aus Gleichung 14 folgt: \frac{z}{n}=\frac{1}{f}\,\cdot\,\left(1-\frac{d^2}{D^2}\right)=1,5 . . . . 15) Da      n = 32 wird      z = 48 . . . . . . . 16) Die Kugeln machen hier somit um die Hälfte mehr Umläufe als die Trommel Umdrehungen. Dies ergibt eine sehr lebhafte Kugelbewegung, die auch der Augenschein bestätigt. Es ist natürlich schwer durchführbar, genau die Bahnen bestimmter Kugeln zu verfolgen, man kann aber doch beobachten, daß bei einer Drehung der Trommel einzelne Kugeln bis zu zwei Malen ihren Weg zurücklegen. In einem anderen Falle bei 4/10 Füllung der Trommel (f = 0,4) betrug die Stärke des aufsteigenden Stromes 0,160 m, infolgedessen war \frac{d}{2}=0,340\mbox{ m}. In ähnlicher Weise wie vor ergibt sich hierfür \frac{z}{n}=1,3 . . . . . . . 17) und da wieder n = 32, wird z = 42 . . . . . . . 18) Die mittlere Umlaufszahl ist hier geringer; sie beträgt nur das 1,3 fache der Umdrehungszahl der Trommel. Textabbildung Bd. 323, S. 628 Fig. 24. Fig. 24 stelle die Versuchsmühle von 1 m Durchm. mit 5/10 Füllung während des Betriebes dar (n = 32). Wird die Füllung auf 4/10 verringert, so werden immer noch beim Aufsteigen die Kugeln sich fest gegen die Trommellegen und deshalb Kugelbahnen im Innern verschwinden, der Hohlraum wird größer, etwa wie schraffiert. Da nun, wie vorstehende Rechnung zeigt, bei 4/10 Füllung die mittlere Umlaufszahl der einzelnen Teilchen geringer ist wie bei 5/10 Füllung, so ergibt sich, daß die Teilchen ihren Weg immer noch rascher zurücklegen wie die Trommel, daß aber die äußeren Bahnen mehr Zeit zum Zurücklegen erfordern wie die inneren. Textabbildung Bd. 323, S. 629 Fig. 25. Fig. 25 stelle wieder genau wie vorher Fig. 23 den senkrechten Querschnitt einer beliebigen Griesmühle in normalem Betriebe dar. Denken wir uns nun einmal den Querschnitt CE des aufsteigenden Stromes in unendlich viele unendlich schmale Streifen von der Breite dρ zerlegt, die der Trommelachse gleichlaufend sind, so werden alle diese Streifen die Länge L der Trommel besitzen, ihre Fläche wird also jedesmal sein dF = dρ . L . . . . . 19) Greifen wir einen solchen Streifen in der Entfernung ρ vom Mittelpunkt heraus, so werden durch diesen die Teilchen der Füllung mit der Geschwindigkeit v_\varrho=2\,\cdot\,\varrho\,\cdot\,\pi\,\cdot\,\frac{n}{60} . . . . . 20) hindurchgehen, also bei einem spezifischen Gewichte s dem Gewichte nach in einer Sekunde die Menge dρ . L . vρ . s. Die ganze Masse der kreisenden Füllung denken wir uns entsprechend den unendlich vielen, unendlich schmalen Streifen des Querschnittes CB in unendlich viele, unendlich dünne Schichten zerlegt. In Fig. 25 sei AB eine solche Schicht von der Dicke dρ und der Länge L im Abstand ρ von der Trommelachse. In dieser Schicht geht durch den Querschnitt in jeder Sekunde dem Gewichte nach die Menge dρ . L . vρ . s. Dieser Menge wird in jeder Sekunde bei A die Geschwindigkeit vρ erteilt und ebenso wird eine gleiche Menge durch die Trommel vom Ausgangspunkt A bis zu B, dem Beginn der freien Wurfbahn gehoben (in jeder Sekunde). Es ist also für diese kleine Schicht an Arbeit zu leisten zum Erteilen der Geschwindigkeit vρ: I d\,\frakfamily{A}_v=d\,\varrho\,\cdot\,L\,\cdot\,v_\varrho\,\cdot\,s\,\cdot\,\frac{{v_\varrho}^2}{2\,\cdot\,g} . . 21) und zum Heben um die Höhe hρ: II d\,\frakfamily{A}_h=d_{\rho}\,.\,L\,.\,v_{\rho}\,.\,s\,.\,h_{\rho} . . . 22) Die gesamte Arbeit, die für diese unendlich dünne Schicht zu leisten ist, beträgt demnach die Summe beider nämlich      d\,\frakfamily{A}=d\,A_v+d\,\frakfamily{A}_h d\,\frakfamily{A}=d\,\varrho\,\cdot\,L\,\cdot\,v_\varrho\,\cdot\,s\,\cdot\,\frac{{v_\varrho}^2}{2\,\cdot\,g}+d\,\varrho\,\cdot\,L\,\cdot\,v_\varrho\,\cdot\,s\,\cdot\,h_\varrho 23) Genau ebenso gestaltet sich der Ausdruck für die Arbeit für all die anderen unendlich vielen, unendlich dünnen Schichten, in die wir uns die ganze Füllung zerlegt denken. Die ganze zu leistende Arbeit für den Mahlvorgang im Innern der Trommel wird in jeder Sekunde also gleich sein der Summe all dieser Einzelarbeiten. Die erforderliche Leistung \frakfamily{A}_i wird deshalb dargestellt durch das Integral der Gleichung 23. Der veränderliche Wert ρ bezeichnet den Abstand der einzelnen Schichten von der Trommelachse im aufsteigenden Strom, ρ kann wachsen von \frac{d}{2} bis \frac{D}{2}. Diese Werte sind deshalb bei der Integration als Grenzen einzuführen. Somit ergibt sich \frakfamily{A}_i=\int_{\varrho=\frac{d}{2}}^{\varrho=\frac{D}{2}}\,d\,\varrho\,\cdot\,L\,\cdot\,v_\varrho\,\cdot\,s\,\cdot\,\frac{{v_\varrho}^2}{2\,g}+\int_{\varrho=\frac{d}{2}}^{\varrho=\frac{D}{2}}\,d\,\varrho\,\cdot\,L\,\cdot\,v_\varrho\,\cdot\,s\,\cdot\,h_\varrho 24) Das erste Integral bezeichnet hierbei die Beschleunigungsarbeit in der Sekunde: \frakfamily{A}_{i\,v}=\int_{\varrho=\frac{d}{2}}^{\varrho=\frac{D}{2}}\,d\,\varrho\,\cdot\,L\,\cdot\,v_\varrho\,\cdot\,s\,\cdot\,\frac{{v_\varrho}^2}{2\,\cdot\,g} . . 25) und das zweite die Hebungsarbeit in der Sekunde: \frakfamily{A}_{i\,h}=\int_{\varrho=\frac{d}{2}}^{\varrho=\frac{D}{2}}\,d\,\varrho\,\cdot\,L\,\cdot\,v_\varrho\,\cdot\,s\,\cdot\,h_\varrho. Die Summe beider gibt die gesamte erforderliche Leistung. Die früheren Rechnungen haben gezeigt, daß man vρ und hρ durch die Veränderliche ρ und durch feste Größen ausdrücken kann, L, die Länge der Trommel und s, das spezifische Gewicht der Füllung sind für den einzelnen Fall gleichfalls fest, so werden die Integrale der Gleichung nach Einführen der Werte für vρ und hρ als Integrale einer einzigen Veränderlichen erscheinen und so eine Lösung gestatten. Die Geschwindigkeit vρ auf der Kreisbahn im Abstande ρ von der Achse ist bei n Trommelumdrehungen i. d. Minute v_\varrho=2\,\cdot\,\varrho\,\cdot\,\pi\,\cdot\,\frac{n}{60}. Der Wert des jedesmaligen Höhenunterschiedes der unmittelbar von der Trommel zu überwinden ist, hρ, ist nach Gleichung 11 h_\varrho=\frac{4\,\cdot\,{v_\varrho}^2\,\cdot\,\cos^2\,\alpha}{g} setzen wir den Wert für vρ ein, so ergibt sich: h_\varrho=\frac{4^2\,\cdot\,\varrho^2\,\cdot\,\pi^2\,\cdot\,n^2}{60^2\,\cdot\,g}\,\cdot\,\cos^2\,\alpha Der Winkel α, dessen Kosinus Gleichung 11 enthält, ist der Winkel, den der Halbmesser zum Anfang der freien Flugbahn mit der Wagerechten einschließt. Sein Sinus ist nach Gleichung 1 \sin\,\alpha=\frac{{v_\varrho}^2}{\varrho\,\cdot\,g}, deshalb \cos^2\,\alpha=1-\frac{{v_\varrho}^4}{\varrho^2\,\cdot\,g^2}. Somit wird h_\varrho=\frac{2^4\,\cdot\,\varrho^2\,\cdot\,\pi^2\,\cdot\,n^2}{60^2\,\cdot\,g}\,\cdot\,\left(1-\frac{2^4\,\cdot\,\varrho^2\,\cdot\,\pi^4\,\cdot\,n^4}{60^4\,\cdot\,g^2}\right) . 28) Durch Einsetzen dieser Werte gestalten sich die Integrale folgendermaßen: Es wird \frakfamily{A}_{i\,v}=\frac{\pi^3\,\cdot\,n^3}{60^3\,\cdot\,g}\,\cdot\,L\,\cdot\,s\,\cdot\,\frac{D^4-d^4}{2^4} . . 29) und stellt dar, welche Arbeitsleistung zum Erteilen der Geschwindigkeit erfordert wird. Ferner wird \frakfamily{A}_{i\,h}=\frac{2^5\,\cdot\,\pi^3\,\cdot\,n^3}{60^3\,\cdot\,g}\,\cdot\,L\,\cdot\,s\,\cdot\,\left[\frac{D^4-d^4}{4\,\cdot\,2^4}-\frac{2^4\,\cdot\,\pi^4\,\cdot\,n^4}{60^4\,\cdot\,g^2}\,\cdot\,\frac{D^6-d^6}{6\,\cdot\,2^6}\right] 30) und stellt die Arbeit dar, die zum Heben der Füllung bis zum Beginn der freien Flugbahn in der Sekunde verbraucht wird. Die gesamte erforderliche Leistung wird demnach die Summe \frakfamily{A}_i=\frakfamily{A}_i\,v+\frakfamily{A}_i\,h . . . . . 31) nämlich \frakfamily{A}_i=\frac{\pi^3\,\cdot\,n^3}{60^3\,\cdot\,g}\,\cdot\,L\,\cdot\,s\,\cdot\,\left[9\,\cdot\,\frac{D^4-d^4}{2^4}-\frac{\pi^4\,\cdot\,n^4}{15^4\,\cdot\,3\,\cdot\,g^2}\,\cdot\,\frac{D^6-d^6}{2^6}\right] 32) Gleichung 13 gibt die Beziehung: d=D\,\cdot\,\sqrt{1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}}, dies eingesetzt ergibt \frakfamily{A}_i=\frac{\pi^3\,\cdot\,n^3}{60^3\,\cdot\,g}\,\cdot\,L\,\cdot\,s\,\cdot\,\frac{D^4}{2^4}\,\cdot\,\left[9\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{2}\right)^2\right)\right \left-\frac{\pi^4\,\cdot\,n^4}{15^4\,\cdot\,3\,\cdot\,g^2}\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^3\right)\right]. Nach Gleichung 6 ist das Gewicht Q der Füllung Q=f\,\cdot\,\frac{D^2\,\cdot\,\pi}{2^2}\,\cdot\,L\,\cdot\,s, daraus folgt L\,s=\frac{2^2\,\cdot\,Q}{f\,\cdot\,D^2\,\cdot\,\pi}, somit wird \frakfamily{A}_i=\frac{\pi^2\,\cdot\,n^3}{60^3\,\cdot\,g}\,\cdot\,\frac{1}{f}\,\cdot\,Q\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\,\cdot\,\left[9\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^2\right)\right \left-\frac{\pi^4\,\cdot\,n^4}{15^4\,\cdot\,3\,\cdot\,g^2}\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^3\right)\right] . . . 33) Es dürfte empfehlenswert sein, sofort zu prüfen, ob dieser Ausdruck für Arbeit in der Zeiteinheit auch wirklich als Benennung ein Leistungsmaß ergibt \left(\frac{\mbox{Kraftmaß}\,\cdot\,\mbox{Längenmaß}}{\mbox{Zeitmaß}}\right). Nehmen wir als Krafteinheit das Kilogramm, als Längenmaß das Meter und als Zeitmaß die Sekunde, so ist das Gewicht Q der Füllung in Kilogramm, der Durchmesser D in Meter anzugeben, die Erdbeschleunigung g wird 9,81^{\mbox{ m}}/_{\mbox{Sek.}^2} und so wird \frakfamily{A}_i=\frac{\pi^2\,\cdot\,n^3}{60^3\mbox{ Sek.}^3\,\cdot\,9,81\,\frac{\mbox{Meter}}{\mbox{Sek.}^2}}\,\cdot\,\frac{1}{f}\,\cdot\,Q\mbox{ kg}\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\mbox{ Meter}^2 \left[9\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^2\right)\right \left-\frac{\pi^4\,\cdot\,n^4}{15^4\mbox{ Sek.}^4\,3\,\cdot\,9,81^2\,\frac{\mbox{Meter}^2}{\mbox{Sek.}^4}}\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\mbox{Meter}^2\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^3\right)\right] also      \frac{\mbox{Meter}\,\cdot\,\mbox{Kilogramm}}{\mbox{Sekunde}} Um die Leistung in PS zu erhalten, ist der Ausdruck noch durch 75 zu teilen. N_i=\frac{\pi^2\,\cdot\,n^3}{60^3\,\cdot\,9,81\,\cdot\,75}\,\cdot\,\frac{1}{f}\,\cdot\,Q\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\,\cdot\,\left[9\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^2\right)\right \left-\frac{\pi^4\,\cdot\,n^4}{15^4\,\cdot\,3\,\cdot\,9,81^2}\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^3\right)\right]\mbox{ PS} . 34) Wie früher gezeigt, ist die Umdrehungszahl n der Trommel abhängig vom Durchmesser der Trommel. Bezeichnet D den lichten Durchmesser der Trommel in Meter, so ist n=\frac{32}{\sqrt{D}}, deshalb wird N_i=\frac{\pi^2\,\cdot\,32^3}{60^3\,\cdot\,9,81\,\cdot\,75\,\sqrt{D^3}}\,\cdot\,\frac{1}{f}\,\cdot\,Q\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\,\cdot\,\left[9\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^2\right)\right \left-\frac{\pi^4\,\cdot\,32^4}{15^4\,\cdot\,3\,\cdot\,9,81^2\,\cdot\,\sqrt{D^4}}\,\cdot\,\frac{D^2}{2^2}\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^3\right)\right]\mbox{ PS}. oder N_i=0,0005082\,\cdot\,\frac{1}{f}\,\cdot\,Q\,\cdot\,\sqrt{D}\,\cdot\,\left[9\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^2\right)\right \left-1,746\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^3\right)\right]\mbox{ PS}. Es ist gebräuchlich zu sagen, je 1000 kg Füllung brauchen so und soviel PS. Wir können deshalb eine leichte Umänderung vornehmen, indem wir Q durch 1000 teilen und dafür das Komma in der ersten Zahl um drei Stellen nach rechts rücken: N_i=0,5082\,\cdot\,\frac{1}{f}\,\cdot\,\left(\frac{Q}{1000}\right)\,\cdot\,\sqrt{D}\,\cdot\,\left[9\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^2\right)\right \left-1,746\,\cdot\,\left(1-\left(1-f\,\cdot\,\frac{z}{n}\right)^3\right)\right]\mbox{ PS} . . . . 35) wobei also: Q = Füllung in kg, D = lichter Durchmesser in m, f = Füllungsverhältnis, n = minutliche Umlaufszahl der Trommel, z = mittlere minutliche Umlaufszahl der Füllung. Diese Gleichung für den Arbeitsverbrauch zur Herbeiführung der Kugelbewegung im Innern der Trommel enthält neben festen Zahlen das Gewicht der Füllung und die Wurzel aus dem Durchmesser der Trommel, daneben noch das Füllungsverhältnis bezw. dessen umgekehrten Wert \left(f\mbox{ und }\frac{1}{f}\right) und das Verhältnis der mittleren Umlaufszahl der Kugeln zur Umdrehungszahl der Trommel \left(\frac{z}{n}\right). Dieser Ausdruck \frac{z}{n} ist, wie ich vorhin gezeigt habe, abhängig von dem Füllungsverhältnis, daneben aber auch, wenn auch in geringerem Maße, von den Reibungsverhältnissen zwischen Füllung und Trommel. Weiter habe ich vorhin gezeigt, daß bei normalem Betriebe zweckmäßig auch bei Mühlen von verschiedenem Durchmesser stets ein gleiches Füllungsverhältnis zu nehmen ist. Dadurch entstehen für die Bewegung der Kugeln genau ähnliche, einander entsprechende Verhältnisse, so daß die Querschnittsbilder der Mühlen von verschiedenem Durchmesser einander bei gleichen Reibungsverhältnissen vollständig ähnlich werden, deshalb muß dann auch der Wert \frac{z}{n} gleich bleiben. Für gleiches Mahlgut, gleichartige Kugelfüllung und Wandung werden also in der Gleichung 35 die Werte für f, \frac{1}{f}, \frac{z}{n} auch noch fest, so daß der Kraftverbrauch für die Kugelbewegung im Innern der Mahltrommel lediglich abhängig ist von dem Gewicht der Füllung und von der Wurzel aus dem Durchmesser. Es ergibt sich unmittelbar für den Arbeitsverbrauch N_i=c\,\cdot\,\frac{Q}{1000}\,\cdot\,\sqrt{D} . . . . 36) wobei c eine feste Zahl ist. Durch eine frühere Rechnung (S. 628) hat sich bei einem Füllungsverhältnis f = 0,4 für \frac{z}{n} der Wert 1,3 ergeben. Setzen wir dies in Gleichung 35 für den Arbeitsverbrauch ein, so erhalten wir N_i=6,9\,\cdot\,\frac{Q}{1000}\,\cdot\,\sqrt{D}\mbox{ PS} . . . 37) In dem zweiten Falle, Füllungsverhältnis f = 0,5 hat sich für \frac{z}{n} der Wert 1,5 ergeben. Hierfür wird also N_i=6,7\,\cdot\,\frac{Q}{1000}\,\cdot\,\sqrt{D}\mbox{ PS} . . . 38) Somit zeigt sich, daß bei dem größeren Füllungsverhältnis für je 1000 kg etwas weniger Arbeit gebraucht wird, wie bei dem kleineren. An Hand der Fig. 24 (S. 628) habe ich gezeigt, daß durch eine Vergrößerung des Füllungsverhältnisses neue Kugelbahnen im Innern erscheinen. Die innen kreisenden Kugeln laufen nun wohl, wie vorhin gezeigt, etwas schneller um, dafür werden sie aber auch nur um geringere Strecken gehoben und erhalten eine kleinere Geschwindigkeit, wodurch sich der geringere Arbeitsmehrverbrauch erklärt. Dem steht aber gegenüber, daß die Kugeln auch nur aus geringer Höhe herunterfallen, also eine geringere Mahlwirkung besitzen. Damit ist nun die eigentliche Rechnung, soweit sie das Ziel dieser Arbeit sein soll, beendet. Während der ganzen Rechnung habe ich mich bemüht, jeden einzelnen Schritt zu begründen und gleichzeitig kurz zu beurteilen. Naturgemäß habe ich gewisse Grenzen beachten müssen, um nicht die Uebersichtlichkeit zu stören. Nunmehr will ich noch einmal die Hauptgesichtspunkte hervorheben und eingehend besprechen und dabei auf einzelne Fehlerquellen hinweisen. Als Grundlage für die ganze Rechnung habe ich angenommen, daß an Stelle der Kugeln und des Mahlgutes unendlich viele, unendlich kleine Teilchen sich in der Mühle befinden, die denselben Platz einnehmen und das gleiche Gewicht haben sollen, wie die Kugeln und das Mahlgut zusammen. Da diese Teilchen nun auch noch genau den Kugelbewegungen folgen sollen, so muß auch der Arbeitsverbrauch der gleiche sein. Weiter habe ich angenommen, daß die Füllung beim Aufsteigen mit der Trommelwand gleichmäßig sich über den von dem aufsteigenden Strom eingenommenen Raum verteilt. Hier werden nun leicht Bedenken aufstoßen, da man zunächst der Ansicht sein kann, daß vermöge der Fliehkraft beim Aufsteigen das feine Mahlgut versucht, zwischen den Lücken der Kugeln hindurch möglichst nach außen zu dringen. An sich ist das ja nicht ausgeschlossen. Bedenkt man, daß der leere Raum zwischen den Kugeln nur etwa zur Hälfte mit Mahlgut gefüllt ist, so würde man annehmen können, daß die außen an der Trommel liegenden Hohlräume mehr Mahlgut enthalten als die innenliegenden. In Wirklichkeit ist aber ein größerer Unterschied nicht zu bemerken. Dies erklärt sich auf folgende Weise: Durch die herabstürzenden Kugeln wird das Mahlgut nach allen Seiten umhergespritzt, so daß – wie schon früher gezeigt – eine gleichmäßige Verteilung erfolgt, also auch beim Beginn des aufsteigenden Stromes eine gleichmäßige Verteilung herrscht. Beim Aufsteigen liegen die Kugeln fest aufeinander, so daß das Mahlgut bei einem Wandern durch recht enge Schlitze hindurchgehen müßte. Diese Kanäle führen aber noch nicht einmal gerade nach Außen, sondern bilden ein vollständiges Labyrinth, wobei – ganz abgesehen von der kurzen Zeit – alle Augenblicke der Böschungswinkel des Mahlgutes ein Wandern verhindert. Findet aber wirklich eine geringe Verschiebung des Mahlgutes nach außen hin statt, so ist weiter noch zu berücksichtigen, daß das Mahlgut im Verhältnis zu den Mahlkörpern nur ein geringes Gewicht besitzt, so daß ein fühlbarer Einfluß auf den Arbeitsverbrauch dadurch nicht eintreten kann. Drittens habe ich noch angenommen, daß Kugeln wie Mahlgut immer wieder die gleiche Bahn durchlaufen, daß sie nach dem Aufsteigen wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurückkehren, immer wieder die gleiche Beschleunigung erfahren und um die gleiche Strecke gehoben werden. Diese Annahme entspricht nicht der Wirklichkeit, vielmehr wird beim Aufschlagen das Mahlgut weit umhergespritzt und auch zwischen den Kugeln treten Verschiebungen ein, so daß die einzelnen Teilchen ständig neue Bahnen durchlaufen. Für den Arbeitsverbrauch ist es aber vollständig gleichgültig, ob das Teilchen a oder b von A nach B gehoben wird, wenn sie nur gleich schwer sind Da ich nun weiter angenommen habe, daß die ganze Füllung in unendlich viele, unendlich kleine Teilchen zerlegt ist, die ganz wie die Kugeln und das Mahlgut im aufsteigenden Strom gleichmäßig verteilt sind, so ergibt sich, daß durch diese gegenseitigen Verschiebungen eine Aenderung des Arbeitsbedarfes der ganzen Mühle zum Heben und zum Beschleunigen der Füllung nicht eintreten kann. Somit sind diese Annahmen, die ich zur Ermöglichung einer rechnerischen Verfolgung des Arbeitsverbrauches im Innern gemacht habe, zulässig. Fehlerquellen liegen darin noch nicht. Erst wenn nach dem Niederfallen Kugeln und Mahlgut nicht sofort von der Trommel wieder mitgenommen werden, was zum Teil noch dadurch begünstigt wird, daß der niedersausende Strom nicht genau senkrecht zur Trommelwandung gerichtet ist, entstehen kleine Fehler. Dadurch, daß sich nach dem Niederfallen unten in der Mahltrommel neben den eigentlichen Kugelbahnen eine kleine Anhäufung bildet, werden die wirklichen Höhenunterschiede, um die die Kugeln zu heben sind, etwas geringer; es muß also auch weniger Kraft erforderlich sein. Bei Trockenmühlen ist eine solche Anhäufung im Gegensatz zu Naßmühlen stets nur sehr gering (Fig. 26), wie auch die Lichtbilder (Fig. 12 und 18) zeigen. Textabbildung Bd. 323, S. 631 Fig. 26. Somit folgt, daß die dadurch bedingte Arbeitsersparnis nur gering sein kann. Andererseits werden die Kugeln nach dem Niederfallen wenigstens kurze Zeit an der Trommelwand gleiten, bevor sie wieder die volle Drehgeschwindigkeit der Trommel erhalten. Hierdurch wird ein geringer Aufwand an Reibungsarbeit erforderlich, der der eben erwähnten Arbeitsersparnis wieder entgegenwirkt. Die durch die Rechnung gefundene Zahl für den Festwert c der Gleichung 36 kann deshalb wohl eine geringe Richtigstellung erfahren; eine wesentliche Aenderung oder gar Umgestaltung der Formel kann dadurch nicht erfolgen. Wie der Augenschein lehrt, ist bei Trockenmahlung die eben besprochene seitliche Anhäufung selbst bei verschiedenartigem Mahlgut stets fast gleich. Deshalb kann auch die mittlere Umlaufszahl der Kugeln und damit der Wert \frac{z}{n}, bei gleichem Füllungsverhältnis sich nicht sehr ändern, somit wird auch noch für verschiedenes Mahlgut der Wert c fast genau gleich sein. (Schluß folgt.)