Der Reguliervorgang: beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator mit nachgiebiger Rückführung (Isodromregulator). Von Dipl.-Ing. Heinrich Haake, Preußisch Oldendorf. (Fortsetzung von S. 24 d. Bd.) Der Reguliervorgang beim direkt gesteuerten hydrostatischen Turbinenregulator usw. Zu „B“, Reguliervorgang mit Schwingungen. Wie schon erwähnt wurde, ergeben sich bei negativer Diskriminante eine reelle und zwei imaginäre Wurzeln (imaginäre Gleichungswurzeln können nur paarweise auftreten) aus der kubischen Gleichung: w3 + c1 (v + 1) . w2 + x . c12 . w + x . v . c13 = 0 . 26) Stellt also w1 die reelle Wurzel dar, so muß w2 = p + q i und w3 = p – q i werden, worin p reell und q\,i=q\,.\,\sqrt{-1} imaginär ist; wir setzen diese Werte nunmehr in die Gleichung 25 ein und erhalten damit die Größe z der Verschiebung der Reibscheibe W aus ihrer Mittellage nach Verlauf der Zeit t: z=C_1\,.\,e^{w_1\,.\,t}+C_2\,.\,e^{p+q\,i}\,t+C_3\,.\,e^{p-q\,i}\,.\,t . 35) Wir formen die beiden letzten Glieder um: z=C_1\,.\,e^{w_1\,.\,t}+e^{p\,.\,t}\,[C_2\,.\,e^{q\,i\,.\,t}+C_3\,.\,e^{-q\,.\,i\,.\,t}]. Bekanntlich ist nun ganz allgemein: eix = cos x + i . sin x e–ix=  cos x – i . sin x, somit können wir den Klammerausdruck auch schreiben: C2 . eqit + C3 . e–qit = (C2 + C3) – cos q t + i . (C2 – C3) . sin q . t. Wir setzen: (C2 + C3) = C4 i . (C2 – C3) = C5 und erhalten die Gleichung 35 in der Form: z=C_1\,.\,e^{w_1\,.\,t}+e^{p\,t}\,(C_4\,.\,\mbox{cos}\,q\,t+C_5\,\mbox{sin}\,q\,.\,t) . 35a) In dem jetzt betrachteten Falle ist der Regulator stabil, wenn w1 und p negativ werden. Ist für eine kubische Gleichung von der allgemeinen Form: a0x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = 0 die Diskriminante D negativ, so ergeben sich, damit die reelle Wurzel und der reelle Teil der beiden komplexen Wurzeln negativ werden, zwei Bedingungen: einmal müssen die Vorzeichen aller Koeffizienten, außerdem der Ausdruck a1 a2 – a0 a3 positiv sein. Die erste Bedingung ist für unsere Gleichung 26 stets erfüllt; ebenso auch die zweite, denn wenn wir die entsprechende Beziehung bilden, so ergibt sich: c1 . (v + 1) . x . c12 – x . v . c13 = x . c13 . 36) Demnach bleibt der Isodromregulator stets stabil. Wir hatten die Koeffizienten C1, C2 und C3 bei schwingungsfreiem Reguliervorgang allgemein bestimmt Da in vorliegendem Falle der Aufbau des Integralausdrucks ein anderer geworden ist, so müssen hier auch die Koeffizienten C1 C4 und C5, die aus den Anfangsbedingungen zu berechnen sind, in anderer Form erscheinen. Wir bilden wiederum die ersten beiden Ableitungen von z = f (t) und setzen t = 0. Es ist e0 = 1, cos 0° = 1, sin 0° = 0, so daß wir die drei Gleichungen erhalten: a) (z)t = 0 = C1 + C4 = 0 b) \left(\frac{dz}{dt}\right)_{t=0}=C_1\,w_1+p\,C_4+q\,C_5=0 c) \left(\frac{d^2\,z}{dt^2}\right)_{t=0}=C_1\,{w_1}^2+C_4\,(p^2-q^2)+2\,p\,q\,C_5=-x\,.\,{c_1}^2\,(k_1-k_0)\,(a-b) Für die Koeffizienten selbst ergeben sich dann folgende Werte: C_1=-\frac{x\,.\,{c_1}^2\,.\,(k_1-k_0)}{q^2+(w_1-p)^2}\,.\,(a-b) . . . . 37a) C_4=+\frac{x\,.\,{c_1}^2\,.\,(k_1-k_0)}{q^2+(w_1-p)^2}\,.\,(a-b) . . . . 37b) C_5=\frac{w_1-p}{q}\,.\,\frac{x\,.\,{c_1}^2\,.\,(k_1-k_0)}{q^2+(w_1-p)^2}\,.\,(a-b) . . . . 37c) Somit erhalten wir den Wert von z nach Verlauf der Zeit t: z=\left\{-e^{w_1\,.\,t}+e^{p\,.\,t}\left[\mbox{cos}\,q\,.\,t+\frac{w_1-p}{q}\,.\,\mbox{sin}\,q\,.\,t\right]\right\}\,\frac{x\,.\,{c_1}^2\,.\,(k_1-k_0)}{q^2+(w_1-p)^2}\,.\,(a-b) . . . . 38) Die Gleichung zeigt wieder, daß die Größe der Ausschläge direkt proportional der Belastungsänderung ist. Wir wissen also jetzt, für welche Werte von x und v Schwingungen eintreten und wann der Reguliervorgang ohne Schwingungen erfolgt. Für die Konstruktion eines Regulators ist es aber von wesentlicher Bedeutung, daß man schon vorher sich ein Bild machen kann, ob es praktisch überhaupt möglich ist, den Reguliervorgang schwingungsfrei zu gestalten und, wenn nicht, was für Schwingungen eintreten können. Außerdem möchte man wissen, in welcher Weise an einem fertigen Regulator nachträglich noch günstige Beeinflussungen möglich sind. Diese Fragen sollen im kommenden Abschnitt behandelt werden. Art der Schwingungen. Wir haben bisher vorausgesetzt, daß die in den Koeffizienten der Gleichungen enthaltenen Größen konstant seien. Das ist aber bei zwei sehr wichtigen Faktoren nicht der Fall; nämlich der für die Erzeugung von Geschwindigkeit im Steuerquerschnitt zur Verfügung stehende Teil a h1 der Flüssigkeitsdruckhöhe h1 und besonders der Widerstandskoeffizent ξ werden sich bei ein und demselben Reguliervorgang stetig ändern. Die Aenderung von a h1 ist bedingt durch den bei verschiedenen Leitapparatstellungen ungleich großen Verstellwiderstand, ξ wird klein sein bei großen Eröffnungen des Steuerventiles, groß bei kleinen Steuerquerschnitten. Nach den Gleichungen 22 und 23 ist: c_1=\frac{a_1}{a_2}\,.\,\frac{\lambda\,.\,d\,.\,\pi}{F}\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,a\,.\,h_1}{\xi}} x=\frac{c_2}{c_1}=\frac{37,5}{\beta\,.\,A_1}\,.\,\frac{a_2}{a_1}\,.\,\frac{F}{\lambda\,d\,\pi\,\sqrt{\frac{2\,g\,a\,h_1}{\xi}}} v=\frac{\Psi}{c_1}=\frac{2\,n'\,s'}{60\,.\,d_1}\,.\,\frac{a_2}{a_1}\,.\,\frac{F}{\lambda\,.\,d\,.\,\pi\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,a\,.\,h_1}{\xi}}} Wie schon der Aufbau der kubischen Gleichung 26 w3 + c1 (v + 1) . w2 + x . c12 . w + x . v . c13 = 0 anzeigt, sind die Wurzeln derselben stets direkt proportional der Größe c1. Das Verhältnis der Wurzeln w1, w2 und w3 zueinander ist also nur von den beiden Größen x und v abhängig. Aus dem gleichen Grunde ist die Größe der Koeffizienten Cl bis C5 (Gleichung 25 und Gleichung 35 a) unabhängig von c1, vielmehr nur durch x und v bestimmt, da c12 sich heraushebt. Wenn demnach x=\frac{c_2}{c_1} und v=\frac{\Psi}{c_1} festliegen, so kann c_1=\frac{a_1}{a_2}\,.\,\frac{\lambda\,.\,d\,.\,\pi}{F}\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,a\,h_1}{\xi}} nur einen Einfluß auf die Zeitdauer, nicht auf die Eigenart des Reguliervorganges haben. D.h. wählen wir in dem Koordinatensystem (x, v) einen Punkt, so gibt dieser einen ganz bestimmten Zustand der Regulierung an. Ein wirklicher Reguliervorgang entspricht dann einer geraden Linie in diesem Koordinatensystem, denn mit der Zu- und Abnahme von c1, bezw. ξ und a h1 ändern sich ja auch x=\frac{c_2}{c_1} und v=\frac{\Psi}{c_1}, und zwar beide in gleichem Verhältnis, so daß der Wert \frac{x}{v} unter Wegfall von c1 als \frac{c_2}{\Psi} konstant bleibt und eine gerade Linie darstellt, welche durch den Nullpunkt geht. Der Einfluß der in c1 enthaltenen Größen, von denen die Druckhöhe h1 noch nach Fertigstellung des Regulators geändert werden kann, erstreckt sich also, abgesehen von den Hebellängen a1 und a2, darauf, die Länge dieser geraden Linie im Koordinatensystem (x, v), welche den Regulator charakterisiert, zu verändern. Für den kleinsten Wert von c1 sind wir, weil c1 im Nenner, am weitesten vom Nullpunkt des Koordinatensystemes entfernt, mit wachsendem c1 nähern wir uns demselben. Die Größe von c1 ist bei ein und demselben Reguliervorgange veränderlich, weil der Fließwiderstand ξ und, infolge veränderlicher Verstellwiderstände des Leitapparates, die zur Erzeugung von Geschwindigkeit zur Verfügung stehende Druckhöhe a h1 nicht konstant bleiben. Die zusammengehörigen Minimalwerte von x und v, welche beim Reguliervorgange erreicht werden können, sind festgelegt durch die Konstruktion. Sie können nachträglich nur durch Vergrößern von h1 noch verringert werden. Durch dieses Mittel wird dann zugleich die Zeitdauer der Reguliervorgänge vermindert. Verkleinert man c_1=\frac{a_1}{a_2}\,\frac{\lambda\,.\,d\,.\,\pi}{F}\,.\,\sqrt{\frac{2\,g\,a\,h_1}{\xi}}, so müssen zwecks Beibehaltung des bisherigen Zustandes auch c2 = x . c1 und Ψ = v . c1 kleiner gemacht werden. Eine Vergrößerung von c1 ist stets günstig für den Verlauf des Reguliervorganges, weil sie bewirkt, daß die ganzen Bewegungen des Reguliergetriebes mit weniger Schwingungen erfolgen. Konstruieren wir nun einen Regulator für schwingungsfreien Uebergang, d.h. mit drei reellen Wurzeln für die kubische Gleichung, so haben wir noch nicht die Garantie, daß die zukünftigen Reguliervorgänge schwingungsfrei erfolgen. Aber wir kennen die gerade Linie, welche für die betreffende Regulierung charakteristisch ist und könnten demnach, wenn wir für sämtliche Punkte derselben die theoretischen Schwingungskurven zeichneten, uns ein Bild von dem vermutlichen Vorgange machen. Das würde aber große Rechenarbeit erfordern; es läßt sich in einfacherer Weise ein allgemeiner Ueberblick gewinnen, wie die Schwingungen für verschiedene gerade Linien sich gestalten. – Uebrigens stellt die Ordinatenachse (v = 0, also auch Ψ = 0) den Reguliervorgang des Regulators mit starrer Rückführung dar, während der Regulator ohne Rückführung durch die Abszissenachse (v = ∞, also auch Ψ = ∞) charakterisiert wird, so lange x endliche Werte besitzt. Die Gleichung 38: z=\left\{-e^{w_1\,.\,t}+e^{p\,.\,t}\,\left[\mbox{cos}\,q\,.\,t+\frac{w_1-p}{q}\,.\,\mbox{sin}\,q\,.\,t\right]\right\}\,\frac{x\,.\,{c_1}^2\,(k_1-k_0)}{q^2+(w_1-p)^2}\,(a-b) besagt, daß bei kleinem w1 und großem p die durch den Klammerausdruck gekennzeichneten Schwingungen stark gedämpft sein werden, weil bei wachsendem t, da p negativ ist, der Wert ept schnell kleiner wird. In diesem Falle würde also ein Hauptausschlag mit Neben- oder Oberschwingungen erfolgen. Ist w1 groß und p klein, so bleibt der Einfluß der trigonometrischen Funktion groß, wir erhalten dann Hauptschwingungen. Die kubische Gleichung zur Ermittlung der Exponenten lautete: w3 + c1 (v + 1) w2 + x . c12 . w + x . v . c13 = 0 . 26) Für die zahlenmäßige Berechnung muß das quadratische zweite Glied fortgeschafft werden, das geschieht in der bekannten Weise dadurch, daß man w=x-\frac{c_1}{3}\,.\,(v+1) einsetzt. Die reduzierte Gleichung heißt dann: x^3+3\,.\,\left(\frac{c_1}{3}\right)^2\,[3\,x-(v+1)^2]\,.\,x+2\,.\,\left(\frac{c_1}{3}\right)^3\,[(v+1)^3-4,5\,x\,(1-2\,v)]=0 . 39) Wir haben also die allgemeine Form: x3 ± P x ± Q = 0. Die Auflösung erfolgt mittels Kreis- oder Hyperbelfunktionen und zwar können zunächst zwei Hauptfälle eintreten: Fall 1: P ist positiv, die allgemeine Gleichung lautet; x3+ P x ± Q = 0. Die Hilfsgröße φ (nicht zu verwechseln mit der Füllung φ der Turbine) ist zu berechnen mittels des sin hyp und zwar ist: \mbox{sin hyp }\varphi=\frac{\frac{1}{2}\,Q}{\frac{1}{3}\,P\,.\,\sqrt{\frac{1}{3}\,.\,P}} und wenn wir die Werte einsetzen: \mbox{sin hyp }\varphi=\frac{\left(\frac{c_1}{3}\right)^3\,[(v+1)^3-4,5\,x\,(1-2\,v)]}{\left(\frac{c_1}{3}\right)^2\,.\,[3\,x-(v+1)^2]\,.\,\sqrt{\left(\frac{c_1}{3}\right)^2\,.\,[3\,x-(v+1)^2]}} Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks hebt sich \left(\frac{c_1}{3}\right)^3 heraus, ist also ohne Einfluß auf die Größe von φ; x selbst ist direkt proportional \frac{c_1}{3}, weil: x_1=\mp\,2\,.\,\sqrt{\frac{1}{3}\,p}\,.\,\mbox{sin hyp }\frac{\varphi}{3}=\mp\,2\,.\,\sqrt{\left(\frac{c_1}{3}\right)^2\,.\,[3\,x-(v+1)^2]}\,.\,\mbox{sin hyp }\frac{\varphi}{3} x_2=\pm\,\sqrt{\frac{1}{3}\,P}\,.\,\mbox{sin hyp }\frac{\varphi}{3}+i\,\sqrt{P}\,\mbox{cos hyp }\frac{\varphi}{3} x_3=\pm\,\sqrt{\frac{1}{3}\,P}\,.\,\mbox{sin hyp }\frac{\varphi}{3}-i\,\sqrt{P}\,.\,\mbox{cos hyp }\frac{\varphi}{3} Fall 2: P ist negativ, die allgemeine Gleichung lautet: x3– Px ± Q = 0. Hier müssen wir setzen \mbox{cos hyp }\varphi=\frac{\frac{1}{2}\,.\,Q}{\frac{1}{3}\,P\,.\,\sqrt{\frac{1}{3}\,P}} Die Wurzeln ergeben sich dann aus dem obigen, wenn darin für sin hyp der cos hyp und für den cos hyp der sin hyp eingesetzt wird. Die Grenze zwischen Fall 1 (P positiv) und Fall 2 (P negativ) läßt sich, da nur die Größe von x und v dafür in Betracht kommt, in Fig. 4 als Kurve eintragen. Der Uebergang von + P nach – P ist natürlich an derjenigen Stelle, an welcher P = 0 wird; wir erhalten demnach als Grenzlinie die Kurve: 3 x – (v + 1)2. Innerhalb des Feldes für den cos hyp liegen auch diejenigen Werte x und y, für welche sich reelle Wurzeln ergeben. Hierfür ist dann φ mittels des cos der Kreisfunktionen zu berechnen. Die Grenze findet sich, wenn cos φ = cos hyp φ = 1 wird, also wenn wir den Ausdruck: \frac{\frac{1}{2}\,Q}{\frac{1}{3}\,P\,.\,\sqrt{\frac{1}{3}\,P}}=\frac{(x+1)^3-4,5\,x\,(1-2\,v)}{[3\,x-(x+1)^2]\,.\,\sqrt{3\,x-(v+1)^2}}=1 setzen; daraus ergibt sich: [(v+1)^3-4,5\,x\,.\,(1-2\,v)]=[3\,x-(v+1)^2]^{\frac{3}{2}} . 41) und durch Quadrieren erhalten wir wieder die kubische Gleichung 28: x3– x2 . (0,25 + 5 v –2 v2) + x . v . (v + 1)3 = 0. Wir haben also hier den Beweis für die allgemeine Richtigkeit der Rechnung. Das Vorzeichen vor dem reellen Teil der Wurzeln x1, x2 und x3 ist abhängig von dem Vorzeichen des letzten Gliedes der reduzierten kubischen Gleichung 39. Ist x positiv, so wird, weil w=x-\frac{c_1}{3}\,(v+1) gesetzt worden war, w1 klein, und umgekehrt. x1 bezeichne die reelle Wurzel, x2 und x3 seien komplex; es ist nun stets: x1+ x2+ x3 = 0, weil das quadratische Glied in Gleichung 39 fehlt. Da aber x2,3 = p' ± i . q' sind, so folgt, daß p' = – ½ x1 sein muß. Das ist für uns wichtig, weil wir nun wissen, daß bei großem w1 der reelle Teil von w2 und w3 klein sein muß, und umgekehrt. An der Grenze sind w1 und der reelle Teil von w2 und w3 einander gleich; das tritt ein, sobald die reduzierte kubische Gleichung nur zwei imaginäre Wurzeln hat, nämlich für den Fall, daß das dritte Glied der Gleichung verschwindet und das zweite positiv ist. P ist positiv im Gebiet des sin hyp, Q verschwindet, wenn wir setzen: (v + 1)3 – 4,5 x (1 – 2 v) = 0 . . . 42) Dieser Ausdruck ergibt in Fig. 4 die strichpunktierte Kurve. Die Zahlentabelle für die beiden Kurven 40 und 42 mag hier eingefügt werden: v= x=\frac{1}{3}\,(v+1)^2 x=\frac{(v+1)^3}{4,5-9\,v} 0 0,333 0,222 0,02 0,347 0,246 0,04 0,3605 0,2715 0,06 0,3745 0,301 0,08 0,3888 0,333 0,1 0,403 0,37 v= x=\frac{1}{3}\,(v+1)^2 x=\frac{(v+1)^3}{4,5-9\,v} 0,12 0,4181 0,411 0,14 0,4332 0,458 0,16 0,4485 0,51 0,18 0,4641 0,57 0,2 0,48 0,64 0,25 0,512 0,868 Der allen Kurven in Fig. 4 gemeinsame Schnittpunkt (x = 0,421875, v = 0,125) ergibt drei gleiche reelle Wurzeln für w, da alle drei x-Werte = 0 werden, und zwar: w_1=w_2=w_3=-\frac{c_1}{3}\,.\,1,125=-0,375\,c_1. Alle weiteren Erörterungen sollen an die Besprechung der Zahlenbeispiele angeknüpft werden. (Fortsetzung folgt.)