Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden Regulatoren. Von Dr.-Ing. J. Magg, Graz. (Fortsetzung von S. 107 d. Bd.) Beiträge zur Theorie des Reguliervorganges bei direkt wirkenden Regulatoren. Das periodische Festhalten. Es ist eine Eigentümlichkeit gewisser Steuerungsmechanismen, dem Regulator nur eine absatzweise Verstellung zu ermöglichen, in dem zu gewissen Zeitpunkten die Kräfte, die zu einer Verstellung nötig wären, so groß sind, daß sie der Regulator nicht erzeugen kann; er wird dann in diesen Zeitpunkten festgehalten. So ist es z.B. dem Regulator, der auf den Expansionsschieber einer Ridersteuerung einwirkt, während des Momentes, wo sich der Expansionsschieber in relativer Ruhe zum Grundschieber befindet, nicht möglich, jenen zu verstellen, da er in diesem Augenblicke die gesamte Reibung zu überwinden hätte, während bei einer Bewegung der beiden Schieber gegeneinander nur die Reibungskomponente vom Regulator zu überwinden ist, die sich einer Verdrehung des Schiebers widersetzt; diese macht aber nur einen kleinen Bruchteil der Gesamtreibung aus, da das Verhältnis der Verdrehungs- zur Verschiebungsgeschwindigkeit in der Regel nur klein ist.s. auch: Isaachsen: Die Bedingungen für eine gute Regulierung, Berlin 1899.. Tatsächlich regulieren nun aber solche Maschinen, bei denen ein solches „periodisches Festhalten“ des Regulators eintritt, bei richtiger Ausführung meistens vortrefflich, so zwar, daß z.B. bei Maschinen mit Riedersteuerung von der Anwendung einer Oelbremse in der Regel abgesehen werden kann. Auch einige Arten von Ventilsteuerungen, besonders die sogenannten zwangläufigen, haben die Eigenschaft, den Regulator in gewissen Momenten festzuhalten; dasselbe ist bei manchen Ausführungsformen der Corlißsteuerung der Fall. Nachdem nun dieser günstige Einfluß des periodischen Festhaltens erkannt war, ist man einigerorts auch dazu übergegangen, dieses durch besondere Mechanismen ausführen zu lassen, allerdings meistens bei indirekt wirkenden Regulatoren. Von diesen Ausführungsformen ist wohl das Pfarrsche Hemmwerk am meisten bekannt geworden.s. auch: Z. d. V. d. I., Jahrg. 1896, S. 1008. Um nun den Einfluß des periodischen Festhaltens auf den Verlauf des Reguliervorganges zu zeigen, nehmen wir an, wir hätten ein Hemmwerk am Regulator angebracht, das diesem sich nur zeitweise zu bewegen erlaube. Da dieser Einfluß die Gesetzmäßigkeit der Bewegung aufhebt, ist eine allgemeine Behandlung nur in den Grundzügen möglich, während zur Beurteilung des ganzen Vorganges die Durchrechnung eines speziellen Falles herangezogen werden muß. Textabbildung Bd. 325, S. 121 Fig. 4. Periodisches Festhalten: Dauer des Freiseins = 0,20 Sek.: Dauer des Festgehaltenseins = 0,116 Sek. Textabbildung Bd. 325, S. 121 Fig. 5. Periodisches Festhalten: Dauer des Freiseins = 0,10 Sek., Dauer des Festgehaltenseins = 0,216 Sek. Die zur allgemeinen Erörterung notwendigen Daten ergeben sich nach den früheren Ausführungen wie folgt: Während der Zeit des Festgehaltenseins des Regulators, die mit ϑ bezeichnet werde, verändert sich die Maschinengeschwindigkeit um Δω, dem eine Verschiebung des Motorpunktes um Δ hm entspreche. Ist nun xn der Abstand des Regulatorpunktes von der anzustrebenden Beharrungslage, so ist die Winkelbeschleunigung der Maschine \frac{d\,\omega}{d\,t}=\frac{M_b}{J}=\frac{c_3\,x_n}{J}=c_2\,\frac{d\,h_m}{d\,t} nach Gleichung (2) oder d\,h_m=x_n\,\frac{c_3}{c_2\,J}\,d\,t=\frac{x_n}{T_d}\,d\,t. Daraus ist dann für die Dauer ϑ des Festgehaltenseins; \Delta\,h_m=\int\limits_o^{\vartheta}\,d\,h_m=\frac{x_n}{T_d}\,\int\limts_o^{\vartheta}\,d\,t \Delta\,h_m=x_n\,\frac{\vartheta}{T_d} . . . . . . (33) In dem Moment, wo sich der Regulator wieder zu bewegen anfängt, beginnen wir mit t = 0 die Zeit neu zu zählen. Die Beschleunigung, die in diesem Momente auftritt und für die Integrationskonstanten bestimmend ist, ergibt sich mit b_p=\left(\frac{d^2\,x}{d\,t^2}\right)_{t=0}=-\frac{c_1}{m}\,(h_{mp}-h_p) (34) wobei hmp und hp die Höhen von Motor- und Regulatorpunkt zu Beginn der Bewegungsperiode bezeichnen. Das negative Vorzeichen rührt daher, daß die Beschleunigung bei hmp – hp > 0 den algebraischen Wert von x zu verkleinern trachtet und umgekehrt. Textabbildung Bd. 325, S. 121 Fig. 6. Periodisches Festhalten: Dauer des Freiseins 0,15 Sek., Dauer des Festgehaltenseins 0,166 Sek. Die Werte der Integrationskonstanten erhalten wir, indem wir bp statt b1 in Gleichung (31) einsetzen. Unter Benutzung dieser Konstanten bestimmen dann die Gleichungen (9), (10), (14) und (15) die Bewegung während der einzelnen Perioden des Freiseins, da wir nunmehr vom Einfluß der Unempfindlichkeit wieder absehen wollen, um die Wirkung des periodischen Festhaltens klar erkennen zu können. Zur Behandlung eines speziellen Falles werde angenommen, daß das Hemmwerk, das von der Regulatorspindel mit n = 190 angetrieben werde und eine Verstellung gestatte, derart, daß die Dauer des Festgehaltenseins variiert werden könne. Die Berechnung wurde für drei Fälle durchgeführt und zwar unter Zugrundelegung folgender Daten: Fig. 4: Dauer des Freiseins 0,20 Sek. Dauer des Festgehaltenseins 0,116 Sek. Fig. 5: Dauer des Freiseins 0,10 Sek. Dauer des Festgehaltenseins 0,216 Sek. Fig. 6: Dauer des Freiseins 0,15 Sek. Dauer des Festgehaltenseins 0,166 Sek. Einfluß der Oelbremse. Die Wirkung einer Oelbremse ist das, was in der physikalischen Schwingungslehre eine „Dämpfung“ im engeren Sinne des Wortes genannt wird, d.h. ein Widerstand, der sich mit der Geschwindigkeit des schwingenden Systems so ändert, daß er mit steigender Geschwindigkeit anwächst und mit abnehmender sinkt. Für die Größe dieses Widerstandes genügt innerhalb des Bereichs der auftretenden Geschwindigkeiten die Annahme, daß sich der Widerstand diesen proportional ändere. Wir setzen daher: W=-b\,\frac{d\,h}{d\,t} . . . . . (35) Gleichung (4) geht dann über in: m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=P+W=c_1\,h_1-c_1\,h+\frac{c_1\,c_3}{c_2\,J}\,\int\limits_0^t\,(h_l-h)\,d\,t=b\,\frac{d\,h}{d\,t} oder nach einigen Umformungen unter Benutzung der oben verwendeten Bezeichnungen: \frac{d^3\,x}{d\,t^3}+x\,\frac{d^2\,x}{d\,t^2}+\alpha\,\frac{d\,x}{d\,t}+\beta\,x=0 . . (36) wobei x=\frac{b}{m} gesetzt wurde (37) Das allgemeine Integral von Gleichung (36) lautet x=D_1\,e^{u_1\,t}+D_2\,e^{u_2\,t}+D_3\,e^{u_3\,t} . . (38) wobei D1, D2 und D3 die aus den Anfangsbedingungen zu ermittelnden Integrationskonstanten sind. u1, u2 und u3 sind die Wurzeln der Gleichung u3+ x u2+ α u + ß = 0 . . . (39) Wie man sich aus Gleichung (35) überzeugt, ist b > 0, daher auch x > 0. Die drei Wurzeln der Gleichung (39) können daher entweder alle reell und negativ oder nur eine reell und die beiden anderen konjugiert komplex sein. Sind alle drei Wurzeln reell und negativ, so entspricht dies einem aperiodischen Vorgang, die Muffe nähert sich der neuen Behanungslage asymptotisch. Sind dagegen zwei Wurzeln konjugiert komplex, so stellt Gleichung (38) einen Schwingungsvorgang dar, der entweder gedämpft oder ungedämpft sein kann. Der Uebergangsfall von den ungedämpften zu den gedämpften Schwingungen tritt offenbar dann ein, wenn die Schwingungen gerade konstant bleiben, d.h. der von der Sinusfunktion [s. Gleichung (9)] stehende Exponentialfaktor gleich einer konstanten Größe wird. Dies ist dann der Fall, wenn der reelle Teil der komplexen Wurzeln aus Gleichung (39) gleich Null wird. Wir haben daher als Wurzeln der Gleichung (39) zu setzen: u 1 = v, u 2 = + s i, u 3 = – s i. Dann besteht bekanntlich die Beziehung (u – v) (u – s i) (u + s i) = 0 oder ausgeführt: ü2– u2v + u s2 – s2 v = 0, demnach aus Gleichung (39) x = – v, α = s2, ß = – s2 v, woraus sich als Bedingung für den Dämpfungskoeffizienten x die einfache Beziehung ergibt: x=-v=-\frac{s^2\,v}{v}=\frac{\beta}{\alpha} oder nach Gleichung (18) x=\frac{1}{T\,d} . . . . (40) D.h. Um überhaupt eine Dämpfung zu ermöglichen, muß der durch Gleichung (37) definierte Dämpfungskoeffizient mindestens dem reziproken Werte der Durchgangszeit der Maschine gleich sein. Anders erledigt sich die Frage, ob und wann eine aperiodische Schwingungsdämpfung möglich ist. Um sie zu beantworten, schreiben wir zuerst Gleichung (39) in folgender Form an: x=-u-\frac{\alpha\,u+\beta}{u^2} . . . . (41) Soll nun einem positiven Wert von x, der nach der Definitionsgleichung allein in Betracht kommen kann, eine aperiodische Dämpfung entsprechen, muß die Gleichung (41) drei reelle Werte der u ergeben. Die durch Gleichung (41) bestimmte Kurve hat folgende Eigenschaften: für u = 0 ist x= – ∞, für u = w1 [s. Gleichung (10)] ist x = 0 (idealer Fall)]. Da der Teil \frac{\alpha\,u+\beta}{u_2} für wachsendes u immer mehr abnimmt, ist x = u eine Asymptote der Kurve, ebenso wie x = 0. Je nachdem sich nun die Werte von α und ß zu einander verhalten, hat die Kurve in ihrem negativen Ast noch ein Maximum und Minimum oder nicht. Wir bilden daher aus Gleichung (41) \frac{d\,x}{d\,u}=-1-\frac{u^2\,a-2\,u\,(\alpha\,u+\beta)}{u^4} und setzen die gleich Null. Daraus ergibt sich: u3– α u – 2 ß = 0 . . . . (42) Da nun, wie aus der Klarstellung der Lage der Kurvenasymptoten erhellt, ein Maximum nur immer gleichzeitig mit einem Minimum auftreten kann, muß Gleichung(42) reelle Wurzeln ergeben, d.h. ihre Diskriminante muß kleiner als Null sein. Wir können daher als Bedingung für die aperiodische Dämpfung anschreiben: \beta^2+\left(-\frac{\alpha}{3}\right)^2\,<\,0 oder \beta^2\,<\,\frac{\alpha^3}{27}. Auf diese Beziehung kommt auf anderem Wege auch Dr. Thimmler in „Fliehkraft und! Beharrungsregler“ Berlin 1903. Da nun nach Gleichung (16) und (18) \alpha=\frac{4\,\pi^2}{{T_r}^2} und \beta=\frac{\alpha}{T_d}, so muß auch \frac{a^2}{{T_d}^2}\,<\,\frac{\alpha^3}{27} sein, oder \frac{1}{{T_d}^2}\,<\,\frac{\alpha}{27},\ \frac{1}{{T_d}^2}\,<\,\frac{4\,\pi^2}{27}\,.\,\frac{1}{{T_r}^2} oder endlich T_r\,<\,\frac{2\,\pi}{\sqrt{27}}\,.\,T_d, wofür wir angenähert setzen können Tr. < 1,2 Td . . . . . . (43) D.h. also: Um überhaupt eine aperiodische Dämpfung der Regulatorschwingungen zu ermöglichen, muß die Eigenschwingungsdauer des Regulators kleiner sein als das 1,2fache der Durchgangszeit der Maschine. Die Bewegung des Regulatorpunktes wird durch Gleichung (38) dargestellt, die sich für den Fall, daß zwei Wurzeln der Gleichung (39) konjugiert komplex sind, in einer Form analog Gleichung (9) anschreiben läßt. Die Integrationskonstanten ergeben sich, wenn wir wie früher \frac{d\,x}{d\,l} und \frac{d^2\,x}{d\,t^2} bilden und für t=0\ x=x,\ \frac{d\,x}{d\,t}=0,\ \frac{d^2\,x}{d\,t^2}=0 setzen. Für den Fall der aperiodischen Dämpfung sind dann: D_1=\frac{u_2\,u_3}{(u_1-u_2)\,(u_1-u_3)}\,x_1 D_2=\frac{u_3\,u_1}{(u_2-u_3)\,(u_2-u_1)}\,x_1 D_3=\frac{u_1\,u_2}{(u_3-u_1)\,(u_3-u_2)}\,x_1 (44) Für den Fall der gedämpften oder ungedämpften Schwingungen ist, wenn wir u2,3 = r ± s i setzen: D_1=\frac{r^2+s^2}{(u_1-r)+s^2}\,x_1 D_2=\frac{u_1\,(u_1-2\,r)}{(u_1-r)+s^2}\,x_1 D_3=\frac{s^2+r\,u_1-r^2}{(u_1-r)+s^2}\,.\,\frac{-u_1}{s}\,.\,\,x_1 (45)Für den Fall, daß x = 0 wird u1 = – 2 r und die Gleichung (45) gehen in die Form der Gleichung (12) (idealer Fall) über. Die Gleichungen für die Bewegung des Motorpunktes erhalten wir endlich aus folgender Ueberlegung: Wir haben nunmehr zu setzen: P+W=m\,\frac{d^2\,h}{d\,t^2}=c_1\,(h_m-h)-b\,\frac{d\,h}{d\,t}, woraus sich dann unter Benutzung der früheren Gleichungen für hm ergibt: h_m=h_l-\left(\frac{1}{\alpha}\,.\,\frac{d^2\,x}{d\,t^2}+\frac{x}{\alpha}\,\frac{d\,x}{d\,t}+x\right) . (46) Setzen wir nun aus Gleichung (39) x und seine erste und zweite Abteilung in Gleichung (46) ein, so bekommen wir für den Fall der aperiodischen Dämpfung: h_m=h_l-(\frakfamily{B}_1\,e^{u_1\,t}+\frakfamily{B}_2\,e {u_2\,t}+\frakfamily{B}_3\,e^{u_3\,t}) (47) worin \frakfamily{B}_1, \frakfamily{B}_2 und \frakfamily{B}_3 die Bedeutung haben: \frakfamily{B}_1=D_1\,\left(1+\frac{x\,u_1}{\alpha}+\frac{{u_1}^2}{\alpha}\right) \frakfamily{B}_2=D_2\,\left(1+\frac{x\,u_2}{\alpha}+\frac{{u_2}^2}{\alpha}\right) \frakfamily{B}_3=D_3\,\left(1+\frac{x\,u_3}{\alpha}+\frac{{u_3}^2}{\alpha}\right) (48) Für den Fall der Schwingungen bekommen wir: h_m=h_l-[\frakfamily{B}_1\,e^{u_1\,t}+e^{r\,t}\,(\frakfamily{B}_2\mbox{ cos }st+\frakfamily{B}_3\mbox{ sin }st)] (49) wobei nunmehr \frakfamily{B}_1, \frakfamily{B}_2 und \frakfamily{B}_3 die Bedeutung haben: \left{{\frakfamily{B}_1=D_1\,\left(1+\frac{x\,u_1}{\alpha}+\frac{{u_1}^2}{\alpha}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\atop{\frakfamily{B}_2=D_2+\frac{x}{\alpha}\,(r\,D_2+s\,D_3)+\frac{1}{\alpha}\,[(r^2-s^2)\,D^2+2\,r\,s\,D_3]}}\right\}(50) \left{{\frakfamily{B}_3=D_3+\frac{x}{a}\,(-s\,D_2+r\,D_3)}\atop{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{1}{\alpha}\,[(r^2-s^2)\,D_3-2\,r\,s\,D_2]}}\right\}(50) Textabbildung Bd. 325, S. 123 Fig. 7. x = 3. Noch nicht genügend gedämpfte Schwingung. Textabbildung Bd. 325, S. 123 Fig. 8. x = 4,97. Konstante Schwingung. (Kleinster zulässiger Dämpfungsfaktor.) Textabbildung Bd. 325, S. 123 Fig. 9. x = 7. Schwach gedämpfte Schwingungen. Textabbildung Bd. 325, S. 123 Fig. 10. x = 10. Gedämpfte Schwingungen. Textabbildung Bd. 325, S. 123 Fig. 11. x = 15. Gedämpfte Schwingungen. Textabbildung Bd. 325, S. 123 Fig. 12. x = 25. Zu stark angezogene Oelbremse. In unserm speziellen Fall ist Tr = ⅔ sec und Td = 0,201 sec; demnach ist nach Gleichung (43) eine aperiodische Regulierbewegung nicht zu erreichen. In Fig. 7 bis 12 sind die Kurven der Bewegungen von Regulator- und Motorpunkt gezeichnet und zw. unter folgenden Annahmen von x: Fig. 7: x = 3. x = 23,1 e–4,6055 t + e0,803 t (6,9 cos 9,734 t + 10,45 sin 9,784 t) hm = 50 – [25 e–4,6055 t + e0,803 t (5,0 cos 9,784 t – 4,0 sin 9,784 t)]. Die Dämpfung ist in diesem Falle noch zu klein, die Regulatorschwingungen nehmen zu. Fig. 8: x=\frac{1}{0,201}=\frac{1}{T_d}=4,97 x = 23,5 e–4,97 t + 6,5 cos 9,43 t + 12,4 sin 9,43 t hm = 50 – [23,5 e–4,97 t + 6,5 cos 9,43 t – 3,45 sin 9,43 t] Der Wert von x entspricht Gleichung (40); die Schwingungen bleiben konstant. Fig. 9: x = 7. x = 23,6 e–5,4987 t + e0,7507 (6,4 cos 8,954 t + 15,0 sin 8,954 t) hm = 50 – [21,5 e–5,4987 t+ e0,7507 t (8,5 cos 8,954 t – 2,8 sin 8,954 t] Fig. 10: x = 10. x = 22,6 e–6,6533 t + e–1,6734 t (7,4 cos 8,0 t + 20,4 sin 8,0 t) hm = 50 – [17,0 e–6,6533 t + e–1,6734 t (13,0 cos 8,0 t – 2,1 sin 8,0 t) Fig. 11: x = 15. x = 13,2 e–10,04 t + e–2,23 t (16,8 cos 6,265 t + 27,2 sin 6,265 t) hm = 50 – [6,6 e–10,04 t + e–2,23 t (23,4 cos 6,265 t – 5,0 sin 6,265 t)] Fig. 12: x = 25. x = 1,42 e–21,858 t + e–1,571 t (28,58 cos 4,225 t + 17,4 sin 4,225 t) hm = 50 – [0,25 e–21,858 t + e–1,571 t (29,75 cos 4,225 t – 23,1 sin 4,225 t)]. (Schluß folgt.)