Die Berechnung der Zahnradteilung mit Rücksicht auf Abnutzung. Von Dr.-Ing. Otto Schaefer, Hamburg. Die Berechnung der Zahnradteilung mit Rücksicht auf Abnutzung. Bei der Berechnung der Teilung für Zahnräder geht man davon aus, daß die Biegungsbeanspruchung im Zahnfuß einen für das Material zulässigen Wert erhalten soll. Durch Vereinfachung der Biegungsgleichung ergibt sich dann die bekannte Formel P = k . b . t in welcher P den Zahndruck, k eine vom Material und den Betriebsverhältnissen abhängige Wertziffer, b die Breite des Zahnrades, t die Teilung bedeutet. Die Abhängigkeit des Wertes k von der Biegungsfestigkeit des Materials ist einfach und rechnerisch leicht zu verfolgen, nicht aber die Abhängigkeit von den Betriebsverhältnissen. Um hier größere Klarheit zu schaffen, wird gewöhnlich eine Einteilung der Zahnräder in Kraft- und Arbeitsräder getroffen und dann werden die beiden Gruppen getrennt behandelt, wodurch freilich eine gewisse Unsicherheit in solchen Fällen hervorgerufen wird, in denen man nicht weiß, ob das Rad der einen oder der andern Gruppe zuzurechnen ist. In dieser Lage befindet man sich aber bei Zahnrädern für Krane sehr häufig, so daß hier eine tiefer greifende Untersuchung erforderlich ist. Da nun Kraft- und Arbeitsräder danach unterschieden werden, ob die Abnutzung eine kleine oder große Rolle spielt, so wird eine solche Untersuchung zweckmäßig gerade die Abnutzung rechnerisch verfolgen müssen. Man kann jedenfalls annehmen, daß das Volumen des durch Abnutzung von einem Zahn abgetrennten Materials proportional dem Zahndruck, dem Reibungsweg, das heißt dem Weg, welchen der Angriffspunkt des Zahndruckes auf der Zahnflanke gleitend zurücklegt, und der Anzahl der überhaupt vorgekommenen Eingriffe ist. Das abgenutzte Volumen hat eine Breite b gleich der Zahnbreite, eine Länge l gleich der Zahnhöhe vermindert um das Spiel am Grunde, so daß für l rund 2\,\frac{t}{\pi} gesetzt werden kann und eine Dicke a. Da die Stärke des neuen Zahnes am Fuß gleich c2 . t ist, worin c2 etwa von 0,5 bis 0,55 schwankt, so bleibt für die Stärke des abgenutzten Zahnes c2 t – a. Die höchste auftretende Kraft P, welche der Berechnung auf Biegung zu Grunde gelegt wird, stimmt nicht überein mit der durchschnittlichen, die Abnutzung bewirkenden Kraft, welche demgemäß mit m . P bezeichnet werden soll. Bei einem meistens mit halber Last arbeitenden Kran findet der Verschleiß bei einer Kraft 0,5 P statt, so daß also m = 0,5 zu nehmen wäre, während mit Rücksicht auf die möglicherweise auftretende Vollast P die Biegungsfestigkeit noch dieser Kraft P gegenüber genügen muß. Der Reibungsweg stimmt überein mit der Länge l des abgenutzten Volumens und soll also auch zu 2\frac{t}{\pi} angenommen werden, die Anzahl der Eingriffe, deren Ermittlung noch besprochen werden soll, möge mit z bezeichnet werden. Dann ist, wenn man den Proportionalitätsfactor c1 nennt a\,.\,b\,.\,2\,\frac{t}{\pi}=c_1\,.\,m\,.\,P\,.\,2\,\frac{t}{\pi}\,.\,z woraus folgt a=c_1\,.\,m\,.\,\frac{P}{b}\,.\,\frac{t}{t}\,.\,z. Setzt man \frac{P}{b\,.\,t}=k, so wird a = c1 . m . k . t . z . . . . 1) und dieser Wert für a soll in die Biegungsleitung eingeführt werden. Die Biegungsbeanspruchung kb im Zahnfuß ergibt sich als Quotient des Biegungsmomentes P\,.\,2\,.\,\frac{t}{\pi} durch das Widerstandsmoment \frac{1}{6}\,b\,(c_2\,.\,t-a)^2. k_b=\frac{P\,.\,2\,.\,\frac{t}{\pi}}{\frac{1}{6}\,b\,(c_2\,.\,t-a)^2} Nach Einsetzung des Wertes für a und entsprechender Umformung, wobei für \frac{P}{b\,t} jedesmal k gesetzt wird, entsteht eine quadratische Gleichung für k, deren Lösung lautet: k=\frac{c_2\,.\,c_1\,.\,m\,.\,z\,.\,k_b+\frac{6}{\pi}}{k_b\,(c_1\,.\,m\,.\,z)^2}-\sqrt{\left(\frac{c_2\,.\,c_1\,.\,m\,.\,z\,.\,k_b+\frac{6}{\pi}}{k_b\,(c_1\,.\,m\,.\,z)^2}\right)^2-\frac{{c_2}^2}{(c_1\,.\,m\,.\,z)^2}} 2) Das positive Vorzeichen der Wurzel liefert kein brauchbares Ergebnis, wie man erkennen kann, indem man z = 0 setzt. Hierbei werden nämlich der erste Bruch und die Quadratwurzel für sich allein unendlich groß, so daß nur ihre Differenz einen endlichen Wert für k liefern kann, der ja mit dem ohne Berücksichtigung der Abnutzung erhaltenen Wert von k übereinstimmen muß. Die Werte m und z hängen von den Betriebsverhältnissen ab und sind dementsprechend einzuschätzen, wobei m, wie schon erwähnt, das Verhältnis der durchschnittlichen Last zur vollen Last und z die Gesamtzahl der Eingriffe bedeutet. Die Ermittlung von z wird am anschaulichsten, wenn sie gleich an einem bestimmten Beispiel vorgeführt wird. Die Lebensdauer des Zahnrades sei 10 Jahre, ferner werde von den 365 Tagen des Jahres an 300 Tagen, von den 24 Std. des Tages an 10 Std. gearbeitet und außerdem sei der Betrieb derartig, daß die Zeit, in der das Zahnrad wirklich arbeitet, sich zur Gesamtzeit wie 1 : 3 verhält. Diese letzte Annahme ist die bei normalen Werkstattkranen für die Bestimmung der Elektromotoren übliche. Die Lebensdauer von 10 Jahren in Minuten ausgedrückt beträgt 5,26 . 106, die wirkliche Arbeitszeit also \frac{300}{365}\,.\,\frac{10}{24}\,.\,\frac{1}{3}\,.\,5,26\,.\,10^6 und, wenn die minutliche Umdrehungszahl n ist, so ist die Gesamtzahl der Eingriffe, da jeder Zahn bei jeder Umdrehung einmal eingreift z=\frac{300}{365}\,.\,\frac{10}{24}\,.\,\frac{1}{3}\,.\,5,26\,.\,10^6\,.\,n z = 0,6 · 106 · n . . . . . 3) Es wird sich empfehlen, bei Kranen mit anderen Betriebsverhältnissen nur bis auf diese letzte Gleichung zurückzugreifen und, wenn zum Beispiel in Tag- und Nachtschichten, also 20 Std. von 24 Std. gearbeitet wird, lediglich mit 2 zu multiplizieren, oder, wenn bei langem Hub und kurzen Kran- und Katzfahrwegen ein Verhältnis der Zeiten von 1 : 2 für das Hubwerk vorliegt, mit \frac{3}{2} zu multiplizieren. Die Werte m und z kommen in der Gleichung für k stets zum Produkt vereinigt vor und sollen daher zu einer Wertziffer w = m . z zusammengefaßt werden. Die Größe c2 soll als annähernd konstant für alle Zahnformen angesehen und mit 0,55 in die Rechnung eingeführt werden. Der Proportionalitätsfaktor c1 der Gleichung 1) kann seiner Natur nach nur aus Versuchen bekannt sein und ist für Stahl nach den in Bach's Maschinen-Elementen (10. Aufl. S. 312) über Betriebsergebnisse an Zahnrädern der Vitznau-Rigibahn gemachten Mitteilungen zu 1,4 . 10–10 ermittelt worden, wobei der mittlere Zahndruck zu \frac{2}{3} des dort angegebenen höchsten geschätzt wurde. Da die Benutzung der Gleichung 2) zu unbequem sein würde, ist nach ihr eine Tabelle berechnet worden, welche den Wert k abhängig von der Wertziffer w bei verschiedenen Biegungsbeanspruchungen kb des abgenutzten Zahnes erscheinen läßt. Gegen den Grundgedanken dieser Ableitung, den k-Wert außer von der Biegungsspannung von der zu erwartenden Abnutzung abhängig zu machen und diese in Form der Wertziffer w einzuführen, werden sich kaum schwerwiegende Einwände vorbringen lassen, um so mehr werden jedoch praktische Bedenken laut werden, vor allen Dingen gegen den Wert c1, der nur auf einem, allerdings wiederholten Versuch ruht. Um alle diese Bedenken gleichzeitig zu entkräften, soll gezeigt werden, daß die Gleichung 2) oder die sie ersetzende Tabelle brauchbare Werte liefern, welche bereits in der Praxis des Kranbaues angewandt werden. Es wird ratsam sein, solche Krane zum Vergleich heranzuziehen, welche mehrere Vorgelege besitzen, deren Zahnräder also, von der Umdrehungszahl abgesehen, alle unter denselben Betriebsverhältnissen arbeiten, und von jedem Zahnräderpaar nur das Ritzel zu berücksichtigen, da dieses dem gleichen Zahndruck ausgesetzt ist wie das Gegenrad, dabei aber eine höhere Umdrehungszahl besitzt. Ein 60 t-Schwimmkran von Bechern & Keetman, über welchen Einzelheiten von A. Böttcher in der Zeitschrift d. V. d. I. 1905 S. 1589 bekannt gegeben worden sind, zeigt folgende Werte für die Stahlritzel der drei Hubwerksvorgelege n =   6,36 33,9 203,5 k = 86 78   28 Setzt man hier m = 0,5 und nimmt an, daß die Biegungsbeanspruchung kurz vor dem Auswechseln 1200 kg/qcm werden dürfe, so erhält man w = 0,3 . 106 n also w = 1,9 . 106 10,2 . 106 61 . 106 und k = 87 66 29 Ein 40 t-Schwimmkran von Bromovsky, Schulz & Sohr, über den sich Angaben in einem Aufsatze von Beran Z. d. V. d. I. 1907, S. 186 finden, besitzt n=   8,1 56,8 315 k = 83 64   17 während bei den gleichen Annahmen, wie im vorigen Beispiel sich ergeben würde w = 2,4 . 106 17 . 106 95 . 106 k = 85 55 22 Um auch Ritzel aus Gußeisen oder Stahlguß in den Kreis der Betrachtungen ziehen zu können, soll weiter vorausgesetzt werden, daß der Wert c1 bei diesen Stoffen derselbe sei wie bei Stahl und daß eine Biegungsbeanspruchung kb = 400 kg/qcm für Gußeisen und kb = 1000 kg/qcm einem kb = 1200 kg/qcm für Stahl entspreche. In „Ernst, Hebezeuge“, 3. Aufl. S. 830 sind Angaben über einen Laufkran der Rheiner Maschinenfabrik Windhoff & Co. gemacht, und zwar ist n = 35 140 700 k = 44 15 11 wobei das Material der Ritzel der Reihe nach Stahlguß, Gußeisen und Stahl ist. Mit m = 0,75 ergibt sich w = 0,45 . 106 . n also w = 16 . 106 63 . 106 315 106 und k = 50 17 9 Die von den Konstrukteuren der erwähnten Firmen zugelassenen Werte sind auf Grund von bereits vorliegenden Erfahrungen gewählt worden; sind also jedenfalls annähernd richtig. Zeigt nun die Tabelle im Mittel ähnliche Werte, so darf man schließen, daß sie nicht nur annähernd richtig ist, sondern sogar, da sie die verschiedenen Werte gemeinsam umfaßt, dem wirklichen Verhalten in hohem Grade gerecht wird. Man kann sich auch die Tabelle so entstanden denken, daß durch eine Reihe bekannter Werte von k eine mittlere Kurve hindurchgelegt ist, deren Gesetz den anfangs gemachten Betrachtungen entspricht. Dann hätten also die praktischen Werte die erforderlichen Konstanten und die theoretischen Erwägungen das Gesetz der Kurve geliefert. Durch Abgreifen aus dieser Kurve hätte sich die Tabelle ermitteln lassen. Mitteilungen aus der Praxis, welche einen zuverlässigen Vergleich mit der Tabelle ermöglichen, sind leider sehr spärlich. Entweder fehlt die Angabe der Breite, so daß man auf ein unsicheres Abgreifen aus den oft stark verkleinerten Abbildungen angewiesen ist, oder es fehlt die Angabe des Materials, und wenn man auch aus dem Wert von k häufig schließen kann, ob Stahl oder Gußeisen vorliegt, so ist ein solcher Schluß doch gerade hier recht anfechtbar, wo es sich um den Nachweis handelt, daß gewisse k-Werte für das eine oder das andere Material zugelassen werden. Ferner müssen solche Fälle ausscheiden, wo nur ein Zahnräderpaar vorhanden ist, weil man hier die Wertziffer w derartig wählen könnte, daß k so herauskommt, wie man es haben will. Derartiges, nicht völlig einwandfreies Material ist hier ausgeschieden und eine Beschränkung auf die Zahnräder der drei erwähnten Hubwerke vorgenommen worden. Es muß jedem einzelnen überlassen bleiben, aus den ihm bekannten Fällen, welche aus einem der genannten Gründe vielleicht keine für die Oeffentlichkeit ausreichende Beweiskraft besitzen, solche herauszusuchen, welche ihm persönlich klar genug zu sein scheinen, sie mit der Tabelle zu vergleichen und daraus seine Schlüsse zu ziehen. Tabelle für k k b k b k b k b k b k b 1200 1000 800 600 400 200 0 95 79 63 48 32 16 1 . 106 91 76 61 46 31 16 2 „ 87 73 59 45 31 15 3 „ 83 71 57 44 30 15 4 „ 80 68 56 43 30 15 5 „ 77 66 55 42 29 15 6 „ 74 64 54 42 29 15 7 „ 72 62 52 41 29 15 8 „ 70 61 51 40 28 15 9 „ 68 59 50 39 28 15 10 „ 66 58 49 39 27 15 12 „ 62 55 47 37 27 14 14 „ 59 52 45 36 26 14 16 „ 56 50 43 35 25 14 18 „ 54 48 42 34 25 14 20 „ 52 46 40 33 24 14 30 „ 43 39 34 31 22 13 40 „ 37 34 30 26 20 12 60 „ 29 27 25 21 17 11 80 „ 24 23 21 19 15 10 100 „ 21 20 18 16 14   9,3 120 „ 18 17 16 15 12   8,6 150 „ 16 15 14 13 11   7,8 200 „ 13 12 11 10   9,1   6,8 250 „ 10 10   9,6   8,9   7,8   6,0 300 „   9,0   8,7   8,4   7,7   7,0   5,4 400 „   7,1   6,9   6,6   6,2   5,6   4,5 500 „   5,9   5,7   5,5   5,2   4,8   3,9 Die Lehrbücher über den Kranbau oder die allgemeinen Hilfsbücher für Ingenieure geben Regeln über die Wahl von k, welche ebenfalls aus der Erfahrung geschöpft sind. Diese Regeln sind viel zu allgemein gehalten, um etwa eine Formel aus ihnen herleiten zu können, umgekehrt wird man aber von einer Formel verlangen können, daß sie mit solchen Regeln, welche einen zu we ten Spielraum lassen, nicht in Widerspruch gerät. Vergleicht man die Tabelle mit solchen Angaben, so wird man volle Uebereinstimmung finden. Für gußeiserne Arbeitsräder gibt Bach die empirische Formel k = 20 – √n, welche sich für n < 250 zweifellos bewährt hat. Für größere Werte von n liefert sie ein zu kleines k, wie schon aus der einfachen Erwägung hervorgeht, daß bereits bei n = 400 der Wert von k = 0 wird. Auch für kleine Werte von n wird die Formel nicht zutreffen, da es sich ja dann schon mehr um Krafträder handelt. Stellt man zum Zweck des Vergleichs diese Formel und die Werte der Tabelle für kb = 400 kg/qcm in Kurven dar, wobei zu berücksichtigen ist, daß m = 1 und das Verhältnis Arbeitszeit zu Betriebszeit ebenfalls gleich 1 wird, daß also w = 1,8 . 106 n wird, so erhält man die Fig. 1, aus der deutlich zu sehen ist, daß die Tabellenwerte an den Stellen mit den Werten der Formel k = 20 – √n gut übereinstimmen, wo diese selber Anspruch auf Gültigkeit haben. Für Umdrehungszahlen über 250, entsprechend einem w > 400, liefert die Tabelle offenbar richtigere Werte und ebenso bei Umdrehungszahlen unter 50, entsprechend einem w < 80, wo etwa der Uebergang zu den Krafträdern beginnt. Diese Uebereinstimmung der Tabelle mit einer bewährten Formel ist eine sehr gute Stütze für die Tabelle selbst. Nimmt man hinzu, daß sie für sehr kleine Werte von w mit der ebenfalls richtigen Biegungsgleichung übereinstimmt und daß sie außerdem einen theoretisch begründeten Aufbau besitzt, so liegt hierin ein starker Beweis für ihre Richtigkeit auch an den zwischenliegenden Punkten. In die Figur ist auch die k-Kurve für kb = 1200 kg/qcm des Vergleichs halber mit eingetragen. Man sieht übrigens, daß die Kurven ungeeignet sind, den ganzen Verlauf so darzustellen, daß man überall abgreifen könnte. In der Figur laufen sie für kleine Werte von w viel zu steil; wählt man für w einen genügend großen Maßstab, so wird diesem Uebelstande zwar abgeholfen, aber die Figur wird so breit, daß eine Tabelle übersichtlicher wird und deshalb vorgezogen wurde. Textabbildung Bd. 325, S. 131 Fig. 1. Die Wahl von kb muß auf Grund der in den sonstigen Teilen des Kranes zugelassenen Beanspruchungen erfolgen und mit diesen in Uebereinstimmung stehen. Ist für die Eisenkonstruktion für Zug 1000 kg/qcm zugelassen, also etwa 4fache Sicherheit, so können für Stahl 1200 kg/qcm, für Stahlguß 1000 kg/qcm und für Gußeisen 400 kg/qcm oder ähnliche, den besonderen Verhältnissen, wie der Güte des erhältlichen Stahlgusses oder Gußeisens angepaßte Werte angenommen werden. Da der Bruch eines Zahnrades innerhalb der Garantiefrist für den Lieferanten sehr viel unangenehmer ist als ein späterer, so wird der Konstrukteur dazu neigen, die Beanspruchung in der ersten Zeit gering zu halten, während es ihm nicht so sehr darauf ankommt, wie sie später wird. Er wird also für Arbeitsräder höhere Beanspruchungen als für Krafträder zulassen, da bei letzteren die Beanspruchung im Anfang schon nahezu ebenso hoch ist wie später, während sie bei den Arbeitsrädern erst nach 10 Jahren der Berechnung nach erreicht wird. Solche Erwägungen haben im Geschäftsleben große Bedeutung, lassen sich aber nicht gut rechnerisch in Formeln berücksichtigen, so daß nichts weiter übrig bleibt, als den Teil der Tabelle von w = 500 bis etwa w = 100 herab für eine hohe Beanspruchung, das k für w = 0 aus der Biegungsgleichung mit einer geringeren Beanspruchung zu berechnen und den fehlenden Teil schätzungsweise zu ergänzen. Die verschiedenen kleinen Vernachlässigungen und Vereinfachungen, welche vorgenommen wurden, und welche die Genauigkeit der Tabellenwerte beeinträchtigen, erscheinen sofort gerechtfertigt, wenn man daran denkt, daß der Konstrukteur niemals genau eine bestimmte Beanspruchung zu erzielen sucht, sondern die gegebenen Werte zuerst nur als Anhalt benutzt und nach Bestimmung von Breite und Modul in runden Zahlen nur nachrechnet, ob er die zulässige Grenze auch nicht ohne triftigen Grund überschritten hat Es schien darum auch nicht nötig, einen Unterschied zwischen Zykloiden- und Evolventenverzahnung zu machen.