Ueber Fahrwiderstände an Laufkranen. Von Dipl.-Ing. Martin Pape, Berlin. Ueber Fahrwiderstände an Laufkranen. Einleitung. Der Fahrwiderstand an Laufkranen wird bisher aus der Zapfenreibung und dem Rollwiderstand der Laufräder berechnet. Es ist bekannt, daß jene Verlustquellen nicht die einzigen sind, sondern daß der wirklich auftretende Fahrwiderstand noch aus weiteren, zusätzlichen Reibungen besteht. Diesem Umstand trägt man schätzungsweise dadurch Rechnung, daß man zu dem aus Rollwiderstand und Zapfenreibung ermittelten Fahrwiderstand einen Zuschlag macht, der in seiner Größe nicht unerheblich und zwar zwischen 30 und 100 v. H. schwankt. In der Literaturs. Ernst, Die Hebezeuge, III. Auflage, Bd. 1, S. 305 ff. sind bisweilen noch höhere Zuschläge angegeben. In einem von dem Verfasser nachgeprüften Fall betrugen die zusätzlichen Reibungen eines elektrisch betriebenen Laufkranes sogar das 2,5fache der Zapfenreibung und des Rollwiderstandes. Dieser ausnahmsweis hohe Fahrwiderstand veranlaßte den Verfasser zu einer eingehenden Nachforschung der zusätzlichen Reibungswiderstände. Die Literatur streift nur an einer einzigen StelleEbendaselbst. das Wesen dieser Nebenverluste, indessen werden die nachfolgenden Untersuchungen zeigen, daß der dort gewiesene Weg zur rechnerischen Ermittlung des daraus hervorgehenden Verlustmomentes, soweit die Spurkranzreibung in Frage kommt, nicht der Wirklichkeit entspricht. Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, die Kraftwirkungen klar zu legen, welche im Beharrungszustand des fahrenden Laufkranes auftreten, und den gesamten Fahrwiderstand, welcher bisher nur geschätzt wurde, durch sorgfältige Zergliederung des gesamten Verlustmomentes zu ermitteln. Dabei ist es, um die Rechnung überhaupt zu ermöglichen, mehrfach nötig, Annahmen zu machen. Gegenüber Zweifeln an der Zulässigkeit einer dieser Annahmen sei bemerkt, daß es dem Verfasser zunächst daran lag, eine Unterlage zu schaffen, auf Grund welcher einschlägige Versuche aufzubauen sind, und weiter eine Erklärung zu geben für die außerordentlich hohen Fahrwiderstände, welche mitunter an ausgeführten Kranen beobachtet wurden. Leitend war ferner der Gedanke, aus der Kenntnis der einzelnen Verlustquellen die Mittel zu bestimmen, welche zu einer Verringerung des Fahrwiderstandes führen. Eine Vorstellung über die Größenordnung der einzelnen Reibungsquellen gibt ein eingehend durchgerechnetes Beispiel. Die Ergebnisse der Unteruchung führen schließlich zu einer einfachen, für die Praxis brauchbaren Formel zur Bestimmung des Fahrmotors. Die Anregung zu dieser Arbeit erhielt ich von meinem früheren Ober-Ingenieur, Herrn R. P. Schröder in Saarbrücken. Ich möchte ihm an dieser Stelle meinen Dank aussprechen. Erster Abschnitt. Die Fahrwiderstände vor Erreichung der größten Schräglage des Kranes. 1. Die Zapfenreibung und der Rollwiderstand. Bezeichnet in Fig. 1 Q das Gesamtgewicht des Kranes einschließlich Last in kg, R den Halbmesser des Laufrades in m, r den Halbmesser des Zapfens in m, μ die Reibungsziffer der Gleitlager, f den Hebelarm des Rollwiderstandes in m, Textabbildung Bd. 325, S. 148 Fig. 1. so ist der durch Rollwiderstand und Zapfenreibung erzeugte Fahrwiderstand \frakfamily{W}^{\mbox{kg}}=\frac{Q}{R}\,(\mu\,r+f) . . . . 1) und das entsprechende Antriebsmoment \frakfamily{M}^{\mbox{mkg}}=Q\,(\mu\,r+f) . . . . 2) 2. Die Quergleitung. Solange die lotrechten Mittelebenen sämtlicher Räder mit der Schienenrichtung zusammenfallen, können an den Rädern nennenswerte Wagerechtkräfte quer zur Schienenrichtung nicht auftreten. Dieser Bedingung ist jedoch nur im Ausnahmefall entsprochen; denn im allgemeinen werden die Räder und der Kranwagen eine gewisse Schräglage zur Schienenrichtung einnehmen. Die Gründe hierfür und die Größe der zu erwartenden Schrägstellung sollen zunächst im folgenden erörtert werden, ehe auf das Wesen der Quergleitung selbst näher eingegangen wird. Textabbildung Bd. 325, S. 148 Fig. 2. Man erkennt, daß der geringste Unterschied im Durchmesser der zwangläufig verbundenen Antriebsräder eine Schrägstellung des Kranwagens hervorruft. Nimmt man selbst an, daß eine sehr sorgfältige Werkstättenarbeit diesen Fehler ausschließt, so wird dennoch mit der Zeit durch ungleiche Abnutzung der Räder ein Unterschied ihrer Durchmesser eintreten. Das hat zur Folge, daß der Kranwagen einen während der Kranfahrt veränderlichen Winkel, er werde mit α1 bezeichnet, mit der Schienennormalen bildet. Der Winkel α1 ist für alle Räder von gleicher Größe und Vorzeichen. Der Grenzwert, auf welchen α1 anwachsen kann, läßt sich ohne weiteres ermitteln. Bezeichnet in Fig. 2 und 3 b1 die Breite der Schiene, b2 die Breite des Radprofils im Grunde, a den Radstand, so wird im Höchstfall mit genügender Genauigkeit \mbox{tg}\,\alpha_1=\frac{b_2-b_1}{a} . . . . . 3) Textabbildung Bd. 325, S. 148 Fig. 3. Um von der Größe des Winkels α1 eine Vorstellung zu geben, sei bemerkt, daß bei normalen Ausführungen das Spiel b2 – b1 der geführten Räder auf der Schiene 0,4 bis 1,0 cm und der Radstand etwa 225 bis 375 cm betragen, so daß \mbox{tg}\,\alpha_{1\mbox{ max}}=\frac{1}{225}=\sim\,\alpha_{1\,\mbox{max}} wird. Auf die Schrägstellung der Räder zur Schienenrichtung haben jedoch gleichzeitig noch andere Umstände einen Einfluß, welcher für jedes einzelne Rad von verschiedener Größe sein kann. Die Ursachen hierfür sind dadurch gekennzeichnet, daß 1. die Achse nicht mathematisch genau winkelrecht im Kopfträger befestigt sein wird; 2. die Kopf träger selbst nicht mathematisch genau parallel sein werden. Man sieht also, daß jedes Rad schon durch die Unmöglichkeit absolut genauer Werkstättenarbeit unter einem gewissen Winkel, er werde mit α2 bezeichnet, zur Schienenrichtung gestellt ist. Der Fehlerwinkel α2 ist lediglich von der Güte der Werkstättenarbeit abhängig und läßt sich nicht vorausbestimmen. Sein Einfluß auf die Querleitung kann nur geschätzt werden. Zur Vereinfachung der Rechnung ist die Größe von α2 für alle Räder als gleich angenommen und im Mittel gesetzt worden: \mbox{tg}\,\alpha_2=\frac{1}{200}=\sim\,\alpha_2. Der gesamte Schrägstellungswinkel α eines Rades wird demnach bedingt: 1. Durch die Schräglage des Kranwagens (α1), die während der Fahrt allmählich zunimmt und den Wert α für alle Räder nach Größe und Vorzeichen gleichmäßig beeinflußt; 2. durch den Fehlerwinkel α2, dessen Wert für alle Räder gleich groß und unveränderlich angenommen ist, dessen Vorzeichen aber für jedes Rad verschieden sein kann (Fig. 4). Der gesamte Schrägstellungswinkel α eines Rades beträgt somit: α = α2 ± α1. Da das Vorzeichen von α1 mit der Fahrtrichtung wechselt, so kann sich der Wert α bei der Kranbewegung zwischen α = ∾ 0 und α = α2 + α1 ändern. Berücksichtigt man ferner, daß nach der obigen Annahme α1 < α2 ist, so erkennt man daraus, daß der gesamte Schrägstellungswinkel α des Rades bald kleiner bald größer α2 ist, daß also α = 1/200 einen Mittelwert darstellt. Dementsprechend ist in die folgende Rechnung, welche bezweckt, die Größe des aus der Querleitung hervorgehenden Verlustmomentes zu bestimmen, der mittlere Schrägstellungswinkel αmittel = 1/200 als gleicher Festwert für alle Räder eingeführt. In Wirklichkeit ist der Wert von α für sämtliche Räder verschieden groß; man darf daher nicht außer acht lassen, daß das im folgenden gewonnene Ergebnis nur einen Mittelwert angibt. Es stellt in Fig. 5 A B die Richtung der Schiene, B C die Richtung der lotrechten Mittelebene des Rades, ∡ A B C den Winkel α = 1/200 dar. Textabbildung Bd. 325, S. 149 Fig. 4. A Schienenrichtung. Ein freies Rad, welches sich mit der augenblicklichen Winkelgeschwindigkeit ω dreht, würde in der Richtung B C mit der Geschwindigkeit R . ω rollen. Da das Rad gezwungen wird, sich längs der Schienenrichtung A B zu bewegen, so wird der Mittelpunkt des Rades in Richtung der Schiene nur mit der Geschwindigkeit R . ω cos α fortschreiten, während zu gleicher Zeit das Rad mit der Geschwindigkeit R . ω . sin α quer zur Schienenrichtung gleiten muß. Versteht man unter: Q1 den lotrechten Raddruck in kg, μ1 die Reibungsziffer zwischen Rad und Schiene, ω die Winkelgeschwindigkeit des Rades in 1/Sek., so ist das Mittel des durch die Quergleitung eines Rades hervorgerufenen Leistungsverlustes G_1^{\mbox{mkg/sec}}=Q_1\,\mu_1\,.\,\omega\,.\,R\,.\,\mbox{sin}\,\alpha=Q_1\,\mu_1\,.\,\omega\,.\,R\,.\,\frac{1}{200}. Textabbildung Bd. 325, S. 149 Fig. 5. Hieraus bestimmt sich das mittlere Verlustmoment der Quergleitung aller Räder zu \frakfamily{M}_g=\frac{Q\,\mu_1\,R}{200} . . . . . 4) \frakfamily{M}_g kann nach den obigen Darlegungen zeitweise größer, zeitweise kleiner ausfallen. Wie sich aus der späteren Zusammenstellung der einzelnen Reibungsmomente ergibt, nimmt die Quergleitung nur einen geringen Anteil, etwa 3 v. H. an dem gesamten Fahrwiderstand. Es liegt daher kein Bedürfnis vor, die Verhältnisse, welche für die Quergleitung in der Tat viel verwickelter sind, als in dem Vorhergehenden angenommen, näher zu ergründen. 3. Die Spurkranzreibung und der Hebelarm ihres Reibungsmomentes, Die Kranfahrwerke weisen bezüglich ihrer konstruktiven Ausbildung gewisse Unterschiede auf. Es ist deshalb für die Untersuchung diejenige herausgegriffen, welche als eine der verbreitetsten angesprochen werden darf, und später der Einfluß ermittelt, welchen einzelne konstruktive Abänderungen auf das Ergebnis ausüben können. Für den vorliegenden Abschnitt genügt es festzustellen, daß sämtliche Räder des Kranes doppelte Spurkränze besitzen und auf festgehaltener Achse lose laufend gelagert sind. (Fig. 6.) Zur Führung der Fahrbühne ist den Rädern auf der einen Kranseite enges Profil gegeben, welches die Schiene mit geringem Spiel umschließt; auf der anderen Kranseite dagegen ist das Radprofil bedeutend weiter angenommen, um etwaige Ungenauigkeiten in der Spurweite schadlos zu machen. Die im folgenden zu lösende Aufgabe besteht zunächst darin, den auf den Radspurkranz wirkenden Normaldruck zu ermitteln, wenn das fortschreitende Rad in lotrechter Richtung durch eine Kraft Q1 belastet und außerdem von dem Kranwagen auf die Nabenstirn des Rades eine Wagerechtkraft K ausgeübt wird. In den Figuren 6–9 bezeichnet: m die Höhe des Spurkranzes, t die Größe seiner Abschrägung, γ den Steigungswinkel des Spurkranzes [tg γ = t/m], R den Halbmesser des Laufrades, ρ den Abrundungshalbmesser der Schiene. Textabbildung Bd. 325, S. 149 Fig. 6. Textabbildung Bd. 325, S. 149 Fig. 7. Textabbildung Bd. 325, S. 149 Fig. 8. Bei den geführten Rädern wird das Bestreben derselben, aus der vorgeschriebenen Bahn herauszurollen, durch den Spurkranz verhindert. Der jeweilige Berührungspunkt zwischen Spurkranz und Schiene ist in Fig. 7 bis 9 mit J bezeichnet. Verändert sich der Schrägstellungswinkel des Rades zur Schiene, so ändert sich damit auch die Lage des Punktes J auf dem Spurkranz. Der Punkt J (Fig. 7 und 8) fällt mit dem Punkt B zusammen, wenn die lotrechte Mittelebene des Rades genau parallel zur Schienenrichtung ist. Der Punkt A der Fig. 7 bedeutet die Projektion der augenblicklichen Drehachse des Rades. Textabbildung Bd. 325, S. 150 Fig. 9. Betrachtet man zunächst ein einzelnes Rad (Fig. 8), so muß Gleichgewicht bestehen zwischen den Oberflächenkräften in den Punkten O, A und J und einem Kräftepaar \frakfamily{M}_x mit wagerechter Achse quer zur Schienenrichtung zur Ueberwindung der Spurkranzreibung. Im Punkte O hat man die drei Komponenten Q1, K und Y1, im Punkte A die Komponenten X2, Y2, Z2, im Punkte J die Reibungskraft S1 unter dem Winkel δ gegen J H, entgegen der Geschwindigkeit des Anlaufpunktes J und den zugehörigen Normaldruck \frac{S_1}{\mu_1}. Die Ebene, in welcher S1 liegt, schließt (Fig. 9) mit der lotrechten Ebene den Winkel γ ein. Da in der Fahrt – d. i. in der Y-Richtung die Kraft Y2 nur gering ist, so ist es zulässig, X2 durch Z2 μ1 zu ersetzen. Die Gleichgewichtsbedingungen liefern: In der X-Richtung: \frac{S_1}{\mu_1}\,\mbox{cos}\,\gamma-K-Z_2\,\mu_1-S_1\,\mbox{cos}\,\delta\,.\,\mbox{sin}\,\gamma=0 1) in der Y-Richtung: S1 sin δ – Y1 + Y2 = 0 . . . . II) in der Z-Richtung: Z_2+S_1\,.\,\mbox{cos}\,\gamma\,.\,\mbox{cos }\delta+\frac{S_1}{\mu_1}\mbox{ sin }\gamma-Q_1=O III) Aus den vorstehenden Gleichungen folgt: S_1=\frac{K+Q_1\,\mu_1}{\frac{\mbox{cos}\,\gamma}{\mu_1}-\mbox{cos}\,\delta\,.\,\mbox{sin}\,\gamma+\mbox{cos}\,\delta\,.\,\mbox{cos}\gamma\,.\,\mu_1+\mbox{sin}\,\gamma} Da γ stets klein ist, so kann hierfür geschrieben werden: S1 = ∾ (K + Q1 μ1) μ1 . . . . 5) Textabbildung Bd. 325, S. 150 Fig. 10. Damit sind die Kräfte S1 und \frac{S_1}{\mu_1}, welche in dem Anlaufspunkt J wirken, bestimmt (ihre Größe ist von Interesse, weil dadurch das Spurkranzreibungsmoment bedingt wird). Die Kenntnis dieser Kräfte ermöglicht an die Lösung der folgenden Aufgabe, d. i. die Berechnung des Spurkranzreibungsmomentes, heranzutreten. Zu diesem Zweck sind in Fig. 10 sämtliche Kräfte auf die Y Z-Ebene projiziert. Die obigen Gleichgewichtsbedingungen lassen erkennen, daß zur Ermittlung von Y1 und Y2 nur eine Gleichung (II) zur Verfügung steht. Hieran wird auch nichts geändert, wenn man als vierte Gleichgewichtsbedingung die Momentengleichung in bezug auf eine Parallele zur X-Achse aufstellt; denn es tritt damit zu| gleich als neue Unbekannte das Antriebsmoment \frakfamily{M}_x auf. Die Aufgabe ist demnach für die Kräfte in der Y-Richtung statisch unbestimmt. Die Momentengleichung bezüglich des Punktes 0 lautet: Y_2\,R-\frac{S_1}{\mu_1}\,\mbox{sin}\,\gamma\,.\,y_i-S_1\,\sqrt{\mbox{sin}^2\,\delta+\mbox{cos}^2\,\delta\,.\,\mbox{cos}^2\,\gamma}\,(R\,\mbox{sin}\,\delta+A\,J)+\frakfamily{M}_x=0 . . 6) Hierin kann der Wurzelwert gleich 1 gesetzt werden, da γ stets ein kleiner Winkel ist (tg γ < ⅕). Bezeichnet man die Mittelkraft aus S1, und \frac{S_1}{\mu_1}\,\mbox{sin}\,\gamma mit P1 und mit λ den Winkel zwischen S_1\,.\,\frac{\mbox{sin} \gamma}{\mu_1} und P1, so wird P_1=S_1\,\sqrt{1+\frac{sin^2\,\gamma}{{\mu_1}^2}+\frac{2\,\mbox{sin}\,\gamma\,.\,\mbox{cos }\delta}{\mu_1}} und \mbox{sin}\,\lambda=\frac{S_1}{P_1}\,.\,\mbox{sin}\,\lambda. Setzt man zur Abkürzung die Wurzel \sqrt{1+\frac{\mbox{sin}^2\,\gamma}{{\mu_1}^2}+\frac{2\,\mbox{sin}\,\gamma\,.\,\mbox{cos}\,\delta}{\mu_1}}=w . 7) so läßt sich schreiben: \frakfamily{M}_x=S_1\,.\,w\,(R\,\mbox{sin}\,\lambda+A\,J)-Y_2\,.\,R. Da die in Fig. 10 befindlichen Kräfte mit \frakfamily{M}_x ein Gleichgewichtssystem bilden, so müssen die Kräfte in den Punkten A und O eine Mittelkraft gleich P1 liefern (in der Fig. 10 gestrichelt), welche zu der im Punkte J wirksamen Kraft P1 parallel und entgegengesetzt ist. Da aber von Y1 und Y2 nur ihre Summe und nicht ihre Einzelbeträge bekannt sind, so ist auch die Lage der Mittelkraft P1 ≡ (Q1, Z2, Y1, Y2) unbestimmt. Fig. 10 läßt jedoch erkennen, daß bei gegebenem γ das Kräftepaar P1 . l am größten wird für Y2 = 0; denn in diesem Fall geht die gestrichelte Kraft P1 durch O und es wird \frakfamily{M}_{x\ max}=P_1\,.\,l_{max}=S_1\,.\,w\,(R-\,\mbox{sin}\,\lambda+A\,J). Ist dagegen Y1 = O, so ergibt sich \frakfamily{M}_{x\ min}=P_1\,.\,l_{min}=S_1\,.\,w\,.\,A\,J. Bezüglich der Größe des durch die Spurkranzreibung erzeugten Verlustmomentes kann daher nur ausgesagt werden, daß es zwischen \frakfamily{M}_{x\ max} und \frakfamily{M}_{x\ min} liegt. Ernst hat in seinem Werke „Die Hebezeuge“, dritte Auflage, Bd. 1 S. 305 ff. das Moment \frakfamily{M}_x ebenfalls durch Rechnung ermittelt. Mit den vorhergehenden Bezeichnungen würde sein Ansatz lauten: \frakfamily{M}_x=S_1\,.\,A\,J. Darin ist die Kraft \frac{S_1\,.\,\mbox{sin}\,\gamma}{\mu_1} ganz unberücksichtigt geblieben und außerdem ist von den unendlich vielen Hebelarmen l der kleinste eingeführt, welcher überhaupt möglich ist. Würde man nach seinem Ansatz das Spurkranzreibungsmoment berechnen, so würde das Ergebnis günstiger ausfallen, als in Wirklichkeit (was auch aus dem an ders. Stelle angeführten Beispiel ersichtlich ist). Die Momente \frakfamily{M}_{x\ max} und \frakfamily{M}_{x\ min} sind durch die vorstehenden Gleichungen noch nicht auf unmittelbar gegebene Größen zurückgeführt. Dazu ist weiter erforderlich, die Strecke A J und den Winkel δ zu bestimmen. Zu diesem Ziel führt uns die im folgenden angestellte geometrische Betrachtung. Ist die Drehachse des Rades genau winkelrecht zur Schienenrichtung, so liegt, wie bereits vorher angedeutet, der Berührungspunkt zwischen Spurkranz und Schiene in B (Fig. 7). Dabei ist die lotrechte Entfernung des Punktes B von A: ρ (1 – sin γ) (Fig. 9). Tritt eine Schrägstellung des Rades ein, so verweilt, wie sich leicht berechnen läßt, der Berührungspunkt zwischen Rad und Schiene mit sehr großer Annäherung in der durch B gelegten Wagerechtebene. In diesem Fall ist der geometrische Ort für die Berührungspunkte J auf dem Spurkranz eine Hyperbel; denn die Rotationsfläche E H (Fig. 6) bildet einen Kegelmantel, dessen Achse mit der des Rades zusammenfällt.Bei der vorliegenden Art des Abwälzens zwischen Kegel und Zylinder ist die Berührungskurve beider nicht wagerecht. Berücksichtigt man jedoch, daß in diesem Falle der Winkel a, um welchen die Achse des Rades schwenkt, < 1° ist, so liefert bereits die Anschauung, daß die Abweichungen des Berührungspunktes von der durch B gelegten Wagerechtebene nur gering sein können. In der Tat ist bei einem Rade mit:R = 30 cm, b2 = 6,0 cm, ρ = 0,4 cm, tg γ = 1/10die Abweichung des Berührungspunktes aus der Wagerechtebene bei einer Schwenkung des Rades um 1° kleiner als 1/1000 cm. Mit zunehmender Schrägstellung werden von B entferntere Punkte der Hyperbel zum Anliegen mit der Schiene gelangen. Da der Punkt C' (Fig. 11) der Hyperbel, ferner ihre Halbachse Textabbildung Bd. 325, S. 151 Fig. 11. Wagerechtschnitt durch den Spurkranz. a = [R + ρ (1 – sin γ)] tg γ bekannt sind, so läßt sich aus der Scheitelgleichung der Hyperbel y^2=p\,\left[\frac{x^2}{a}+2\,x\right] die noch unbekannte Halbachse b bestimmen. Hierin bedeutet p=\frac{b^2}{a} die Ordinate im Brennpunkt. In bezug auf das durch den Scheitel B (Fig. 11) gelegte, rechtwinklige Achsenkreuz sind die Koordinaten des Punktes C': y_c=\sqrt{[R+m]^2-[R+\rho\,(1-\mbox{sin}\,\gamma)]^2}, x_c=t\,\left(1-\frac{\rho\,(1-\mbox{sin}\,\gamma)}{m}\right); denn es verhält sich: \frac{t}{m}=\frac{x_c}{m-\rho\,(1-\mbox{sin}\,\gamma)}. (Fortsetzung folgt.)