Die Dehnungen verjüngter Schwungradarme. Von Otto Mies, Darmstadt. Die Dehnungen verjüngter Schwungradarme. Zur Berechnung des Spannungszustandes von Radkörpern ist die Kenntnis der Deformationen der einzelnen Teile – Kranz, Arme und Nabe – erforderlich. Die Arme werden bei konstanter Rotationsgeschwindigkeit durch eine vom Kranz übertragene Zugkraft, sowie durch die Zentrifugalkraft ihrer eigenen Massen verlängert. Für prismatische Arme ist diese Verlängerung leicht zu bestimmen. Bei nach außen verjüngten Armen kann die Verlängerung durch die vom Kranz übertragene Zugkraft ebenfalls unschwer bestimmt werden, während die Berechnung der durch die Zentrifugalwirkungen der eigenen Massen hervorgerufenen Verlängerungen etwas umständlicher ist. Tolle löst die Aufgabe in seinem Werke „Die Regelung der Kraftmaschinen“ auf graphischem Wege. Hier soll als Ergänzung ein analytisches Verfahren entwickelt werden, das vielleicht das graphische zu ersetzen geeignet ist. Textabbildung Bd. 325, S. 358 Fig. 1. Textabbildung Bd. 325, S. 358 Fig. 2. Verjüngte Arme sind entweder konisch (Fig. 1) oder keilförmig (Fig. 2), je nachdem sich ihre Kanten entweder alle in einem Punkte, der Kegelspitze, oder paarweise in einer Geraden, der Keilschneide, treffen. Es kommen hier nur solche Körperformen in Betracht, welche die Armmittellinie zur Symmetrieachse haben. 1. Die Verlängerung verjüngter Arme durch eine Zugkraft Z am Ende. In Fig. 3 ist ein Schwungrad mit verjüngten Armen von rechteckigem Querschnitt dargestellt. Die Bezeichnungen gehen ohne weiteres aus der Figur hervor. Die Dehnung an der um die Strecke x von dem äußeren Ende nach innen entfernten Armstelle ist \epsilon_x=\frac{Z}{E\,f_x}, wenn fx die Größe des Querschnitts an der Stelle x bedeutet. Nimmt man an, der Arm sei konisch und setzt man entsprechend \frac{1}{l}\,\frac{a_i-a}{a}=\frac{1}{l}\,\frac{b_i-b}{b}=\alpha . . 1) so ergibt sich fx = fa (1 +α x)2, also die Dehnung \epsilon_x=\frac{Z}{E\,f_a}\,\frac{1}{(1+\alpha\,x)^2}, und damit die gesamte Verlängerung \lambda_z=\int\limits_0^1\,\epsilon_x\,.\,d\,x,     =\frac{Z}{E\,f_a}\,\int\limits_0^1\,\frac{d\,x}{(1+\alpha\,x)^2},     =\frac{Z}{E\,f_a}\,\frac{1}{1+\alpha\,l}, oder indem man fa und α durch die Armdimensionen ausdrückt \lambda_z=\frac{Z}{E\,a_i\,b}\,.\,l . . . 2) Ist der Arm keilförmig, so hat man zu setzen \left{{\frac{1}{l}\,\frac{a_i-a}{a}=\alpha}\atop{\frac{1}{l}\,\frac{b_i-b}{b}=\beta}}\right\}\ .\ .\ .\ 3) und fx = fa (1 +α x) (1 + ß x). Damit ergibt sich die gesamte Verlängerung Textabbildung Bd. 325, S. 358 Fig. 3. \lambda_z=\frac{Z}{E\,f_a}\,\int\limits_0^1\,\frac{d\,x}{(1+\alpha\,x)\,(1+\beta\,x)},     =\frac{Z}{E\,f_a}\,\frac{1}{\alpha-\beta}\,l\,n \,\frac{l+\alpha\,l}{1+\beta\,l}, oder indem man fa, α und ß wieder durch die Armdimensionen ausdrückt \lambda_z=\frac{Z\,.\,l}{E\,(a_i\,b-a\,b_i)}\,l\,n\,\frac{a_i\,b}{a\,b_i} . . . 4) Gleichung 4 läßt sich auf Gleichung 2 zurückführen, indem man den Ausdruck \frac{o}{o} ausmittelt, der sich ergibt, wenn man \frac{a}{a_i}=\frac{b}{b_i} setzt. 2. Die Verlängerung konischer Arme durch die Zentrifugalkraft ihrer Masse. Bedeuten Mx die Masse des äußeren Armteiles von der Länge x, ρx den Abstand seines Schwerpunktes von der Rotationsachse, ω die Winkelgeschwindigkeit der Rotation, so wirkt auf den Armquerschnitt fx eine Zentrifugalkraft von der Größe Mx . ρx . ω2, so daß an dieser Stelle die Dehnung wird \epsilon_x=\frac{M_x\,.\,\rho_x}{f_x}\,.\,\frac{\omega^2}{E}. Hieraus findet sich durch Integration über die Länge des Armes die Gesamtverlängerung \lambda_c=\frac{\omega^2}{E}\,\int\limits_0^1\,\frac{M_x\,.\,\rho_x}{f_x}\,.\,d_x . . . 5) Bezeichnet man mit γ das spezifische Gewicht des Armmaterials und setzt für die mit dem Index x bezeichneten Größen M_x=\frac{1}{3}\,\frac{\gamma}{g}\,x\,(a\,b+\sqrt{a\,b\,a_x\,b_x}+a_x\,b_x), \rho_x=r_n+l-x+\frac{1}{4}\,x\,\frac{a\,b+2\,\sqrt{a\,b\,a_x\,b_x}+3\,a_x\,b_x}{a\,b+\sqrt{a\,b\,a_x\,b_x}+a_x\,b_x} fx = ax bx, so ergibt sich an Stelle der Gleichung 5 die Gleichung \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^3\,\left\{\frac{1}{3}\,(r_n+1)\,\int\limits_0^1\,\left(x+a\,\frac{x}{a_x}+a^2\,\frac{x}{{a_x}^2}\right)\,d_x-\frac{1}{12}\,\int\limits_0^1\,\left({3_x}^2+2\,a\,\frac{x^2}{a_x}+a^2\,\frac{x^2}{{a_x}^2}\right)\,d_x,\right\} oder mit ax = α (1 + α x), wo die Bedeutung von α aus Gleichung 1 zu entnehmen ist, \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^3\,\left\{\frac{1}{3}\,(r_n+1)\,\int\limits_0^1\,\left(x+\frac{x}{1+a\,x}+\frac{x}{(1+a\,x)^2}\right)\,d_x-\frac{1}{12}\,\int\limits_0^1\,\left({3_x}^2+2\,\frac{x^2}{1+a\,x}+\frac{x^2}{(1+a\,x)^2}\right)\,d_x,\right\} Hieraus findet sich nach Zerlegung der unter dem Integralzeichen stehenden Brüche durch Integration \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\frac{l^2}{12}\,\left\{l+2\,r_n+\frac{1}{1+a\,l}\,(3\,l+4\,r_n)\right\} oder \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\frac{l^2}{12}\,\left\{l+2\,r_n+\frac{a}{a_i}\,(3\,l+4\,r_n)\right\} . . 6) Gleichung 6 geht mit \frac{a}{a_i}=1 in die bekannte Gleichung für die Verlängerung eines prismatischen Armes über. 3. Die Verlängerung keilförmiger Arme durch die Zentrifugalkraft ihrer Masse. Bei keilförmigen Armen hat man in Gleichung 5 für die mit dem Index x bezeichneten Größen folgende Werte einzusetzen: M_x=\frac{1}{6}\,\frac{\gamma}{g}\,x\,(2\,a_x\,b_x+a\,b_x+a_x\,b+2\,a\,b) \rho_x=r_n+l-x+\frac{x}{2}\,.\,\frac{a_x\,b_x+a\,b_x+a_x\,b+3\,a\,b}{2\,a_x\,b_x+a\,b_x+a_x\,b+2\,a\,b} fx= axbx, so daß sich für die Verlängerung des Armes ergibt \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\left\{\frac{1}{6}\,(r_n+l)\,\int\limits_0^1\,\left(2\,x+a\,\frac{x}{a_x}+b\,\frac{x}{b_x}+2\,a\,b\,\frac{x}{a_x\,b_x}\right)\,d\,x-\frac{1}{12}\,\int\limits_0^1\,\left(3\,x^2+a\,\frac{x^2}{a_x}+b\,\frac{x^2}{b_x}+a\,b\,\frac{x^2}{a_x\,b_x}\right)\,d\,x\right\}, oder mit ax = a (1 + α x) und bx = b (1 + ß x), wo die Werte für α und ß aus den Gleichungen 3 folgen, \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\left\{\frac{1}{6}\,(r_n+l)\,\int\limits_0^1\,\left(2\,x+\frac{x}{1+\alpha\,x}+\frac{x}{1+\beta\,x}+2\,\frac{x}{(1+\alpha\,x)\,(1+\beta\,x}\right)\,d\,x-\frac{1}{12}\,\int\limits_0^1\,\left(3\,x^2+\frac{x^2}{1+\alpha\,x}+\frac{x^2}{1+\beta\,x}+\frac{x^2}{(1+\alpha\,x)\,(1+\beta\,x)}\right)\,d\,x\right\}, . . . 7) Zerlegt man die unter den Integralzeichen stehenden Brüche und integriert, so erhält man \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\frac{l^2}{12}\,\left\{l+2\,r_n+\frac{1}{2\,l}\,\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)\,(3\,l+4\,r_n)+\frac{1}{l}\,\left(\frac{2\,\alpha-\beta}{\alpha^2\,(\alpha-\beta)}+\frac{2\,\beta-\alpha}{\beta^2\,(\beta-\alpha)}\right)-\left(2\,\frac{3\,\alpha-\beta}{l\,\alpha^2}+2\,r_n\,\frac{3\,\alpha-\beta}{l\,\alpha^2}-\frac{2\,\alpha-\beta}{l^2\,\alpha^3}\right)\,\frac{ln\,\frac{a_i}{a}}{\alpha-\beta}-\left(2\,\frac{3\,\beta-\alpha}{l\,\beta^2}+2\,r_n\,\frac{3\,\beta-\alpha}{l^2\,\\beta^2}-\frac{2\,\beta-\alpha}{l^2\,\beta^3}\right)\,\frac{ln\,\frac{b_i}{b}}{\beta-\alpha}\right\} . 8) Setzt man zur Vereinfachung \frac{1}{\alpha\,l}=\frac{a}{a_i-a}=m, \frac{1}{\beta\,l}=\frac{b}{b_i-b}=n, so ergibt sich nach einigen Umrechnungen endgültig \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\frac{l^2}{12}\,\left\{l+2\,r_n+\frac{1}{2}\,(m+n)\,(3\,l+4\,r_n)+l\,(m^2-m\,.\,n+n^2)-[2\,(l+r_n)\,m^2\,(3\,n-m)+l\,m^3\,(2\,n-m)]\,\frac{ln\,\frac{a_i}{a}}{n-m}-[2\,(l+r_n)\,n^2\,(3\,m-n)+l\,n^3\,(2\,m-n)]\,\frac{ln\,\frac{b_i}{b}}{m-n}\right\} . 9) Diese Gleichung läßt sich in die Gleichung 6 überführen, indem man die unbestimmten Ausdrücke ausmittelt, die sich ergeben, wenn man m = n setzt. Wenn eine Armdimension, etwa die Dicke, nicht verjüngt ist, läßt sich Gleichung 9 nicht ohne weiteres verwenden, da die rechte Seite eine unbestimmte Form annimmt. Eine Formel für diesen Fall erhält man, wenn man in Gleichung 7 ß = 0 setzt, entsprechend bi = b. Dadurch ergibt sich \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\left\{\frac{1}{6}\,(r_n+l)\,\int\limits_0^1\,\left(3\,x+3\,\frac{x}{1+\alpha\,x}\right)\,d\,x-\frac{1}{12}\,\int\limits_0^1\,\left(4\,x^2+2\,\frac{x^2}{1+\alpha\,x}\right)\,d\,x\right\} und hieraus durch Integration und mit Hilfe der Beziehung \frac{1}{a\,l}=m \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,l^2\,\left\{\left(\frac{1}{2}+m-m^2\,ln\,\frac{a_i}{a}\right)\,\left(\frac{1}{2}\,(r_n+l)+\frac{1}{6}\,l\,.\,m\right)-\frac{1}{6}\,l\,\left(\frac{2}{3}+m\right)\right\} . . . 10) Die entwickelten Gleichungen gelten auch für Arme mit elliptischem Querschnitt; man hat dabei unter a und b die Hauptachsen der Querschnittsellipsen zu verstehen, und jedem Produkt von zwei Größen a und b den Faktor \frac{\pi}{4} zuzufügen. 4. Tabelle zur zahlenmäßigen Berechnung der Verlängerungen. Die Formeln für die Verlängerungen der Arme durch eine Zugkraft Z sind leicht ohne weitere Hilfsmittel auszuwerten. Zur Berechnung der Verlängerungen infolge der Zentrifugalkräfte nach den Gleichungen 6, 9 und 10 soll eine Tabelle aufgestellt werden, welche die Verhältnisse der Verlängerungen verjüngter Arme zu denen prismatischer von denselben Längenverhältnissen enthält. Die Verlängerung eines prismatischen Armes ist gegeben durch die Gleichung \lambda_{pr}=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,l^3\,\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\,\frac{r_n}{l}\right) . . . 11) sie ist also bei bestimmter Armlänge von keinen anderen Dimensionen als dem Verhältnis des Nabenhalbmessers zur Armlänge abhängig. Die Verlängerung verjüngter Arme, die mit λk bezeichnet werden möge, ist aber außerdem noch durch die Verhältnisse der Querschnittsgrößen beeinflußt, d.h. durch die Werte \frac{a}{a_i} und \frac{b}{b_i} bezw. m und n. Die bei Ausführungen vorkommenden Grenzen für das Verhältnis \frac{r_n}{l} sind etwa 0,2 und 0,5, für das Verhältnis \frac{a}{a_i} bezw. \frac{b}{b_i} etwa 1 und 0,75. Auf das Verhältnis der Verlängerungen \frac{\lambda_k}{\lambda_{pr}} haben die innerhalb der angegebenen Grenzen liegenden Werte von \frac{r_n}{l} nur vernachlässigbar kleinen Einfluß, so daß nur eine Tabelle für eine Anzahl von Werten der Verhältnisse \frac{a}{a_i} und \frac{b}{b_i} und ein mittleres Verhältnis \frac{r_n}{l} aufgestellt zu werden braucht. Tabelle der Verhältnisse \frac{\lambda_k}{\lambda_{pr}}. \frac{a}{a_i} bezw. \frac{b}{b_i} 1 9/10 ⅞ 6/7 ⅚ ⅘ ¾ 1 1 0,977 0,969 0,946 0,933 0,926 0,903 9/10 0,928 0,919 0,912 0,902 0,890 0,872 ⅞ 0,910 0,903 0,895 0,881 0,863 6/7 0,896 0,889 0,876 0,857 ⅚ 0,879 0,869 0,848 ⅘ 0,856 0,839 ¾ 0,820 Textabbildung Bd. 325, S. 360 Fig. 4. Bei verjüngten Armen rechnet man also zunächst unter Vernachlässigung der Verjüngung die Verlängerung so nach Gleichung 11 aus, als ob die Arme prismatisch wären und berücksichtigt darauf den Einfluß der Verjüngung, indem man den für prismatischen Arm gefundenen Wert mit dem entsprechenden Wert der Tabelle multipliziert. Werte, die in der Tabelle nicht enthalten sind, kann man durch Interpolation angenähert bestimmen 5. Beispielsrechnung (Fig. 4). Um die Anwendung der gefundenen Gleichungen und der Tabelle zu erläutern, sollen die Verlängerungen der Arme des in Fig. 4 dargestellten Dampfmaschinenschwungrades berechnet werden. Die Arme haben elliptischen Querschnitt und sind in der Ausführung konisch. Zum Vergleich mögen auch die Verlängerungen der Arme bestimmt werden, wenn man ihnen durch Aenderung der Neigung der Seiten bei unveränderlichem Mittelquerschnitt keilförmige und prismatische Gestalt gibt. Auf diese Weise sollen der Berechnung vier Fälle mit den in folgender Tabelle zusammengestellten Querschnittsverhältnissen zu Grunde gelegt werden: Form derVerjüngung a i a b i b \frac{a}{a_i} \frac{b}{b_i} m n a prismatisch 202,5 202,5 135 135 1 1 – – c keilförmig (b1  b) 225 180 135 135 ⅘ 1 4 ∾ c keilförmig (bi + b) 225 180 145 125 ⅘ 6/6,96 4 6,25 d konisch 225 180 150 120 ⅘ ⅘ – An allen vier Fällen ist: die Länge der Arme l = 162,75 cm der Halbmesser der Nabe rn = 39,25 cm der Elastizitätsmodul des Armmaterials E = 750000 kg/qcm. a) Prismatische Arme: Zur Bestimmung von λz gilt die bekannte Beziehung \lambda_z=Z\,\frac{l}{E\,.\,a\,b\,\frac{\pi}{4}}=Z\,.\,\frac{162,75}{750000\,.\,20,25\,.\,13,5\,\frac{\pi}{4}}     =Z\,.\,1,011\,.\,10^{-6}\mbox{ cm} Nach Gleichung 11 ist \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,.\,\omega^2\,162,75^2\,\left(\frac{1}{2}\,.\,39,25+\frac{1}{3}\,.\,162,75\right)     =\frac{\gamma}{g\,E}\,.\,\omega^2\,19,27^2\,.\,10^5\mbox{ cm} b) Keilförmige Arme (b = bi): Nach Gleichung 4 ist \lambda_z=Z\,.\,\frac{162,75}{750000\,.\,13,5\,(22,5-18)\,\\frac{\pi}{4}}\,ln\,\frac{225}{180}.     =Z\,.\,1,015\,.\,10^{-6}\mbox{ cm} Nach Gleichung 10 ist \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,162,75^2\,\left\{\left(\frac{1}{2}+4-16\,.\,ln\,\frac{225}{180}\right)\,\left(\frac{1}{2}\,(162,75+39,25)+\frac{1}{6}\,.\,162,75\,.\,4\right)-\frac{1}{6}\,.\,162,75\,\left(\frac{2}{3}+4\right)\right\}.     =\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,18,06\,.\,10^{-5}\mbox{ cm}. Nach der Tabelle ergibt sich mit Hilfe des unter a) für prismatische Arme gefundenen Wertes für \frac{a}{a_i}=\frac{4}{5} und \frac{b}{b_i}=1 \lambda_C=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,19,57\,.\,0,926\,.\,10^3\mbox{ cm}.     =\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,18,12\,.\,10^5\mbox{ cm}. c) Keilförmige Arme (b + bi): Nach Gleichung 4 ist \lambda_z=Z\,\frac{162,75}{750000\,(22,5\,.\,13-18\,.\,14)\,\frac{\pi}{4}}\,ln\,\frac{22,5\,.\,13}{18\,.\,14}     =Z\,.\,1,017\,.\,10^{-6}\mbox{ cm} Für λc erhält man nach Gleichung 9 \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\frac{162,75^2}{12}\,\left\{241,25+3306,9+4892,3-18236+10572\right\}     =\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,17,14\,.\,10^5\mbox{ cm} Nach der Tabelle findet sich mit \frac{a}{a_i}=\frac{4}{5} und \frac{b}{b_i}\,\sim\,\frac{6}{7} \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,19,57\,.\,0,876\,.\,10^5\mbox{ cm}     =\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,17,14\,.\,10^5\mbox{ cm} d) Konische Arme. Nach Gleichung 2 ist \lambda_z=Z\,\frac{162,75}{750000\,.\,22,5\,.\,12\,.\,\frac{\pi}{4}}.     =Z\,.\,1,023\,.\,10^{-6}\mbox{ cm} Nach Gleichung 6 ist \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,\frac{162,75^2}{12}\,\{162,75+2\,.\,39,25+0,8\,.\,(3\,.\,162,75+4\,.\,39,25)\}-\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,16,72\,.\,10^5\mbox{ cm} und nach der Tabelle \lambda_c=\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,19,57\,.\,0,856\,.\,10^5\mbox{ cm}     =\frac{\gamma}{g\,E}\,\omega^2\,.\,16,75\,.\,10^5\mbox{ cm} Wie leicht erklärlich, sind die Werte λz weniger von einander verschieden, als die Werte λc. Man sieht, daß die Berechnung der Werte λc durch die Tabelle für das praktische Bedürfnis durchaus hinreichend genau ist.